最新中考试题研究、考点精讲： 切线判定的常见方法
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4. 如图，在△ABC 中，O、D 分别是边 AC 的三等分点，以 AD 为直径 的⊙O 与 BC 相切于点 E，连接 AE，过点 C 作 CH∥AE.求证：CH 是 ⊙O 的切线．
第 4 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，连接 OE，DE，过点 O 作 OM⊥CH，垂足为 M，
∵AD为⊙O的直径，
第1题图
微专题 切线判定的常见方法
2.
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，以 AD 为直径的
⊙O 经过点 C，过点 D 作 BC 的垂线交 BC 于点 F，交⊙O 于点 E，连
接 CE，且∠ACE＝2∠BAC.求证：BC 是⊙O 的切线．
第 2 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，连接 OC， ∵∠ACE＝∠ADE，∠ACE＝2∠BAC， ∴∠ADE＝2∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠BOC＝2∠OAC， ∴∠ADE＝∠BOC， ∴OC∥EF. ∵EF⊥BC， ∴OC⊥BC. ∵OC 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线．
微专题 切线判定的常见方法
微专题 切线判定的常见方法
方法1 连半径，证垂直(2021.23，2020.23)
方法解读 当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连 半径与直线垂直，简记：“连半径，证垂直”；
微专题 切线判定的常见方法
(1)图中没有 90°角需构造 构造一：若图中已知直径，则利用直径所对的圆周角是 90°，构造直角． 构造二：若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构 造直角． (2)图中有 90°角：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线性质证得垂 直；③利用三角形全等证得垂直．
第2题图
微专题 切线判定的常见方法
方法2 作垂直，证半径
方法解读 当直线与圆的公共点未知时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直 线的距离等于半径，简记：“作垂直，证半径”．
微专题 切线判定的常见方法
方法应用 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D， 以 D 为圆心，DC 为半径作⊙D.求证：AB 是⊙D 的切线．
第4题图
微专题 切线判定的常见方法
∴∠ECO＝∠MCO， ∵在△CEO 和△CMO 中， ∠OEC＝∠OMC ∠ECO＝∠MCO， CO＝CO ∴△CEO≌△CMO(AAS)． ∴OE＝OM. ∴OM 是⊙O 的半径． 又∵CH ⊥OM ， ∴CH 是⊙O 的切线．
第4题E，
∴∠OEC＝90°.
∴∠OEC＝∠OMC.
∵O、D是AC边的三等分点， ∴OA＝CD＝OD＝OE，
第4题图
微专题 切线判定的常见方法
∴在 Rt△CEO 中，OE＝12OC. ∴∠ECO＝30°， ∴∠EOD＝60°， ∵OE＝OA， ∴∠EAC＝12∠EOD＝30°. ∵CH∥AE， ∴∠MCO＝∠EAC＝30°，
第 3 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵∠ACB＝∠AED＝90°，AD＝AD， ∴△ACD≌△AED， ∴DE＝DC， ∴DE 为⊙D 的半径， ∴AB 是⊙D 的切线．
E
第3题图
微专题 切线判定的常见方法
微专题 切线判定的常见方法
方法应用 1. 如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连 接 PB，AB，∠PBA＝∠C.求证：PB 是⊙O 的切线．
第 1 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，连接 OB， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＋∠BAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠OBA， ∵∠PBA＝∠C， ∴∠PBA＋∠OBA＝90°， 即∠PBO＝90°， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴PB 是⊙O 的切线．
第 4 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，连接 OE，DE，过点 O 作 OM⊥CH，垂足为 M，
∵AD为⊙O的直径，
第1题图
微专题 切线判定的常见方法
2.
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，以 AD 为直径的
⊙O 经过点 C，过点 D 作 BC 的垂线交 BC 于点 F，交⊙O 于点 E，连
接 CE，且∠ACE＝2∠BAC.求证：BC 是⊙O 的切线．
第 2 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，连接 OC， ∵∠ACE＝∠ADE，∠ACE＝2∠BAC， ∴∠ADE＝2∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠BOC＝2∠OAC， ∴∠ADE＝∠BOC， ∴OC∥EF. ∵EF⊥BC， ∴OC⊥BC. ∵OC 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线．
微专题 切线判定的常见方法
微专题 切线判定的常见方法
方法1 连半径，证垂直(2021.23，2020.23)
方法解读 当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连 半径与直线垂直，简记：“连半径，证垂直”；
微专题 切线判定的常见方法
(1)图中没有 90°角需构造 构造一：若图中已知直径，则利用直径所对的圆周角是 90°，构造直角． 构造二：若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构 造直角． (2)图中有 90°角：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线性质证得垂 直；③利用三角形全等证得垂直．
第2题图
微专题 切线判定的常见方法
方法2 作垂直，证半径
方法解读 当直线与圆的公共点未知时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直 线的距离等于半径，简记：“作垂直，证半径”．
微专题 切线判定的常见方法
方法应用 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D， 以 D 为圆心，DC 为半径作⊙D.求证：AB 是⊙D 的切线．
第4题图
微专题 切线判定的常见方法
∴∠ECO＝∠MCO， ∵在△CEO 和△CMO 中， ∠OEC＝∠OMC ∠ECO＝∠MCO， CO＝CO ∴△CEO≌△CMO(AAS)． ∴OE＝OM. ∴OM 是⊙O 的半径． 又∵CH ⊥OM ， ∴CH 是⊙O 的切线．
第4题E，
∴∠OEC＝90°.
∴∠OEC＝∠OMC.
∵O、D是AC边的三等分点， ∴OA＝CD＝OD＝OE，
第4题图
微专题 切线判定的常见方法
∴在 Rt△CEO 中，OE＝12OC. ∴∠ECO＝30°， ∴∠EOD＝60°， ∵OE＝OA， ∴∠EAC＝12∠EOD＝30°. ∵CH∥AE， ∴∠MCO＝∠EAC＝30°，
第 3 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵∠ACB＝∠AED＝90°，AD＝AD， ∴△ACD≌△AED， ∴DE＝DC， ∴DE 为⊙D 的半径， ∴AB 是⊙D 的切线．
E
第3题图
微专题 切线判定的常见方法
微专题 切线判定的常见方法
方法应用 1. 如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连 接 PB，AB，∠PBA＝∠C.求证：PB 是⊙O 的切线．
第 1 题图
微专题 切线判定的常见方法
证明：如解图，连接 OB， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＋∠BAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠OBA， ∵∠PBA＝∠C， ∴∠PBA＋∠OBA＝90°， 即∠PBO＝90°， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴PB 是⊙O 的切线．