(遵义专版)2019年中考数学总复习 第一篇 教材知识梳理篇 第5章 图形的相识与解直角三角形 第1节 图形的相

第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
,遵义五年中考命题规律)
,遵义五年中考真题及模拟)
相似三角形
1．(2014遵义中考)如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为( D )
A .32
B .53
C .35 5
D .45
5
,(第1题图))
,(第2题图))
2．(2017遵义十二中一模)如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，
得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )
A ．(2，4)
B ．(－1，－2)
C ．(－2，－4)
D ．(－2，－1)
3．(2014遵义中考)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，
意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过点A ，则FH ＝__1.05__ 里．
4．(2017遵义中考)边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点(点P 与A ，C 不重合)，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线与AD(或AD 延长线)交于点F.
(1)连接CQ ，证明：CQ ＝AP ；
(2)设AP ＝x ，CE ＝y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE ＝3
8BC ；
(3)猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．
解：(1)如图①，连接CQ.
∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ， ∴BP ＝BQ ，∠PBQ ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC － ∠PBC＝∠PBQ－∠PBC， 即∠ABP＝∠CBQ.
在△BAP 和△BCQ 中，⎩⎪⎨⎪
⎧BA ＝BC ，∠ABP ＝∠CBQ，BP ＝BQ ，
∴△BAP ≌△BCQ (SAS )， ∴CQ ＝AP ； (2)如图①，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAC ＝1
2∠BAD＝45°，
∠BCA ＝1
2
∠BCD＝45°，
∴∠APB ＋∠ABP＝180°－45°＝135°. ∵DC ＝AD ＝22，
由勾股定理得：AC ＝（22）2
＋（22）2
＝4. ∵AP ＝x ，∴PC ＝4－x. ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝45°，
∴∠APB ＋∠CPQ＝180°－45°＝135°， ∴∠CPQ ＝∠ABP. ∵∠BAC ＝∠ACB＝45°， ∴△APB ∽△CEP ， ∴
AP CE ＝AB CP
， ∴x y ＝224－x
， ∴y ＝122x(4－x)＝－24x 2
＋2x(0＜x ＜4)．
∵CE ＝38BC ＝38×22＝32
4，
∴y ＝－
24x 2＋2x ＝32
4
，解得x ＝3或1， ∴当x ＝3或1时，CE ＝3
8BC ；
(3)PF ＝EQ.理由如下：
如图②，当F 在边AD 上时，过P 作PG⊥FQ，交AB 于G ，则∠GPF＝90 °. ∵∠BPQ ＝45°， ∴∠GPB ＝45°. ∴∠GPB ＝∠PQB＝45°. ∵PB ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ， ∴△PGB ≌△QEB ， ∴EQ ＝PG. ∵∠BAD ＝90°， ∴F ，A ，G ，P 四点共圆． 连接FG ，
∴∠FGP ＝∠FAP＝45°， ∴△FPG 是等腰直角三角形， ∴PF ＝PG ， ∴PF ＝EQ.
当F 在AD 的延长线上时，如图③，同理可得： PF ＝PG ＝EQ.
5．(2016遵义中考)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC ，AD 分别相交于P ，Q 两点．
(1)求证：CP ＝AQ ；
(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积． 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°， AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥BC ， ∴ ∠E ＝∠F.∵BE＝DF ，∴AE ＝CF. 在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠C＝∠A，CF ＝AE ，∠F ＝∠E，
∴△CFP ≌△AEQ(ASA )，∴CP ＝AQ ； (2)∵∠EBP＝∠FDQ＝90°， ∠F ＝∠AEF＝45°，
∴△BEP ，△AEQ 是等腰直角三角形， ∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2， ∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32， ∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2. 由(1)知CP ＝AQ ， ∴CP ＝3，
∴CB ＝CP ＋BP ＝1＋3＝4，
∴矩形ABCD 的面积＝AB·BC＝2×4＝8.
6．(2013遵义中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm .动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1 cm 的速度分别沿CA ，CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2 cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t.(单位：s ，0<t<2.5)
(1)当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？
(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)在Rt △ABC 中，
∵∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ， ∴根据勾股定理，得AB ＝AC 2
＋BC 2
＝5 cm . 设AM ＝4－t ，则AP ＝5－2t ，BN ＝3－t.
以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC 时，AP AC ＝AM
AB ，
即
5－2t 4＝4－t 5，解得t ＝3
2
； ②当△APM∽△ABC 时，AM AC ＝AP AB ，
即
4－t 4＝5－2t
5
，解得t ＝0(不合题意，舍去)． 综上所述，当t ＝3
2时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似；
(2)存在．理由如下：
过点P 作PH⊥BC 于点H ，则PH∥AC， ∴
PH AC ＝BP BA ，即PH 4＝2t 5，∴PH ＝85
t ， ∴S ＝S △ABC －S △BPN ＝12×3×4－12×(3－t)·85t
＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋21
5(0<t<2.5)．
∵4
5>0，∴S 有最小值， 当t ＝32时，S 最小值＝215
.
故当t ＝32时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215.
,中考考点清单)
比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
2．比例中项：如果a b ＝b c ，即b 2
＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．
3．比例的性质：
4.黄金分割：如图，如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AC AB ＝__BC
AC __，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割
点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．
相似三角形的判定及性质
5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质
(1)相似三角形的__对应角__相等；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定
(1)__两角__对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法点拨】判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)．
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]． (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例． (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【温馨提示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
如：AB BC ＝DE
EF
，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．
相似多边形
8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质
(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．
位似图形
10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比等于__k 或－k__；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤 (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点；
(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
,中考重难点突破)
比例的性质
【例1】已知a 5＝b 4＝c
3
，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．
【解析】设a 5＝b 4＝c
3＝k(k≠0)，用含k 的式子表示a ，b ，c ，则a ＝5k ，b ＝4k ，c ＝3k ，代入等式3a －2b ＋c
＝20求出k 值，再求出a ，b ，c 值代入可求．
【答案】－6
1．(2016遵义六中一模)若y x ＝34，则x ＋y
x 的值为( D )
A ．1
B .47
C .54
D .7
4
相似三角形的判定与性质
【例2】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G.
(1)写出图中两对相似三角形并证明其中的一对；
(2)请连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长． 【解析】(1)两角对应相等的两个三角形是相似三角形；
(2)由相似三角形性质求BG 长，由AB 长可求AC ，BC 长，在Rt △FCG 中由勾股定理求FG 长． 【答案】解：(1)△A MF∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM(写出两对即可)．
证明△AMF∽△BGM 如下： ∵∠DME ＝∠A＝∠B＝α， ∴∠AMF ＋∠BMG＝180°－α. ∵∠A ＋∠AMF＋∠AFM＝180°， ∴∠AMF ＋∠AFM＝180°－α， ∴∠AFM ＝∠BMG，∴△AMF ∽△BGM ； (2)当α＝45°时，可得AC⊥BC，且AC ＝BC. ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝2 2. 又∵△AMF∽△BGM，∴AF AM ＝BM
BG ，
∴BG ＝AM·BM AF ＝22×223＝83.
又AC ＝BC ＝42·cos 45°＝4， ∴CG ＝4－83＝4
3，CF ＝4－3＝1.
在Rt △FCG 中，FG ＝CF 2
＋CG 2
＝
12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432
＝53
.
2．(2017庆阳二模)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D )
A ．DE ＝12
BC B .AD AB ＝AE AC
C ．△ADE ∽△ABC
D ．S △AD
E ∶S △ABC ＝1∶2
3．(2017武威中考模拟)如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.
求证：(1)AG ＝CG ； (2)AG 2
＝GE·GF.
证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB， 在△ADG 与△CDG 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ， ∴AG ＝CG ；
(2)∵△ADG≌△CDG， ∴∠DAG ＝∠DCF. 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠DCF， ∴∠EAG ＝∠F.
∵∠AGE ＝∠FGA，∴△AEG ∽△FAG ， ∴
AG FG ＝EG AG
，∴AG 2
＝GE·GF.
位似图形
【例3】(2017遵义六中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 的面积的1
4
，那么点B′的坐标是( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3)
C ．(3，－2)或(－2，3)
D ．(－2，3)或(2，－3)
【解析】根据面积比等于相似比的平方得到位似比为1
2，由图形得到点B 的坐标，根据在平面直角坐标系中，
如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于tk ，即可得出答案．
【答案】D
4．(威海中考)如图，直线y ＝1
2x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位
似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B′的坐标为__(－8，－3)或(4，3)__．
(第4题图)
(第5题图)
5．(2017云南中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B.如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( D )
A ．15
B ．10
C .152
D ．5。