全国各地高考数学三轮复习试题汇编 专题3 三角函数、解三角形、平面向量 第1讲 三角函数的图象与

专题3 三角函数、解三角形、平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质（B 卷）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.(2015·北京市东城区综合练习二·1）
23sin()6π
-
=（ ）
（A
）2
-
（B ）12
-
（C ）
12
（D
2. (2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·3)函数
)4s i n 2c o s 4c o s 2(s i n l o g 2
1π
πx x y -=的单调递减区间是（ ）
A.Z k k k ∈+
+),8
5,8
(π
ππ
π B.Z k k k ∈+
+
),83,8(π
ππ
π
C.Z k k k ∈+
-
),8
3,8
(π
ππ
π D.Z
k k k ∈++),85,83(π
πππ
3．(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题·9)将函数
)6
4sin(3)(π
+=x x f 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6π个单位长，得
到函数)(x g y =的图象，则)(x g y =的图象的一条对称轴是（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
3
π D ．
3
2π 4．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·8）函数sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像与函数
cos 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像（ ）
A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心
B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C ．既有相同的对称轴但也有相同的对称中心
D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
5. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·5)已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）
（A ）2-
（B ）0 （C ）2
（D ）1
6.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·7）
7．（2015·海南省高考模拟测试题·7）下列命题，正确的个数是（ ）
①直线53
x π
=
是函数sin 22y x x =的一条对称轴 ②将函数3cos()2
y x π=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的1
2（纵坐标不变），
再向左平行移动4π个单位长度变为函数sin(2)4
y x π
=+的图像．
③设随机变量ξ～)9,3(N ，若()0.3P a ξ<=，(3)a <，则(6)0.7P a ξ<-=
④ 101)x
的二项展开式中含有1
x -项的二项式系数是210. A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.(2015·大连市高三第二次模拟考试·6)如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为
4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动
(0)θθ>角到OB ，设B 点与地面距离为h ，则h 与θ的关系式为（ ）
（A ） 5.6 4.8sin h θ=+ （B ） 5.6 4.8cos h θ=+
（C ） 5.6 4.8cos()2
h π
θ=++ （D ） 5.6 4.8sin()2
h π
θ=+-
9.(2015·大连市高三第二次模拟考试·12)对(0,
)2
x π
∀∈ ，下列四个命题：①
sin tan 2x x x +>；②2sin tan x x x ⋅>；③8
sin tan 3
x x x +>；④2sin tan 2x x x >，则
正确命题的序号是（ ）
（A ）①、②
（B ）① 、 ③
（C ）③、④
（D ）②、④
10．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·6)()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6
g x A x π
ω=-+
的图象，可以将)(x f 的图象 （ ）
A ．向右平移
6
5π
个单位长度 B ．向右平移
12
5π
个单位长度 C ．向左平移6
5π
个单位长度 D ．向左平移
12
5π
个单位长度 11．(2015·日照市高三校际联合5月检测·7)将函数()sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A ．12
x π
=- B ．12x π
=
C ．3
x π
=
D ．23
x π=
12. (2015·济南市高三教学质量调研考试·4) 如图所示，点P 是函数
()()2sin ,0y x x R ωϕω=+∈>的图象的一个最高点，
M,N 是图象与x 轴的交点.若0PM PN ⋅=uuu r uuu r
，则ω的值为（ ）
A.8
B.4
C. 8π
D. 4
π 二、非选择题（40分）
13.(2015.芜湖市高三5月模拟·15)
14.(2015·济宁市5月高考模拟考试·
13)
15．(2015.南通市高三第三次调研测试·16)（本小题满分10分）已知函数()sin()
f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22
ϕππ
-＜＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f (x )的解析式； （2）若3()2f α=
，求sin(2)6
απ
+的值．
16.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·16）
17. （2015·山东省实验中学第二次考试·16）（本小题满分10分）已知函数
())22sin cos cos sin f x x x x x =-. （I ）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最值.
专题3 三角函数、解三角形、平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质（B 卷）答案与解析
1.【答案】C
【命题立意】本题重点考查诱导公式，难度较小． 【解析】由诱导公式得23sin()6π-=23sin(4)sin 66πππ-+==1
2
. 2.【答案】B
【命题立意】本题旨在考查函数的单调性。

【解析】112
2
log (sin 2cos
cos 2sin )log sin(2)444y x x x π
ππ=-=-.令sin(2)4t x π
=-， 则12
log y t =，当3,8
8k x k k Z π
πππ+
<<+
∈时，222,24
k x k k Z ππ
πππ+<+<+∈此时，sin(2)4
t x π
=-
在3,8
8k x k k Z π
π
ππ+
<<+
∈时单调递减，
而12
log y t =在(0,)+∞单调递减，故112
2
log (sin 2cos
cos 2sin )log sin(2)444y x x x π
ππ
=-=-
在3,8
8
k x k k Z π
π
ππ+
<<+
∈单调递减. 3.【答案】C
【命题立意】考查三角函数的图象变换，函数)sin(ϕω+=x A y 的图象性质，考查转化能力，中等题．
【解析】将函数)6
4sin(3)(π
+=x x f 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得函数)6
2sin(3)(1π
+
=x x g 的图象，再向右平移
6π
个单位长，得到函数)6
2sin(3]6)6(2sin[3)(π
ππ-=+-==x x x g y 的图象，令)Z (262∈+=-k k x πππ，令
0=k 得3
π
=x ，即函数)(x g y =的图象的一条对称轴．
4.【答案】A
【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质．
【解析】由于y=sin （2x －6π），其对称轴方程为x=21k π+3
π，k∈Z，对称中心的横坐标
为x=21k π+12π，k∈Z，而y=cos （x －3π）=cos （x+6π－2π）=sin （x+6
π），其对称轴方
程为x=k π+3π，k∈Z，对称中心的横坐标为x=k π－6
π
，k∈Z，那么两函数有相同的对称
轴但无相同的对称中心． 5.【答案】B
【命题立意】本题考查了奇函数的性质.
【解析】函数()f x 的定义域为R ，则由题意可得(0)0f =，即cos 0ϕ=. 6.【答案】D
【命题立意】本题重点考查诱导公式和三角函数图象的变换，难度中等. 【解析】因为()cos(2)sin(2)sin(2)sin(2())
3
3
2
612
f x x x x x π
π
π
π
π
=-=-
+
=+
=+，所以将其向右平移12
π
个单位可得()sin 2g x x =. 7.【答案】B
【命题立意】本题旨在考查命题的真假判定，三角函数的图象与性质，三角函数的平移变换，正态分布，二项式定理．
【解析】①中，由于y=sin2x －3cos2x=2sin （2x －
3
π），当x=35π时，y=0，直线x=35π
不是该函数的一条对称轴，错误；②中，将函数y=cos （x+2
3π
）=sinx 的图象上每个点的
横坐标缩短为原来的21（纵坐标不变）可得y=sin2x ，再向左平行移动4
π
个单位长度可得
y=sin2（x+4π）=sin （2x+2
π
）=cos2x 的图象，错误；③中，由于u=3，σ=3，则有P （ξ<6
－a ）=1－（ξ<a ）=1－0.3=0.7，正确；④中，二项展开式中含有x －1
的项为T 4+1=410C ·（2x ）
6
·（－
x
1）4，其二项式系数4
10C =210，正确． 8.【答案】D
【命题立意】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式的应用 等知识。

【解析】如图，振幅为4.8，最大值为10.4，故周期为2π，所以三角函数解析式为：
5.6 4.8sin()2
h π
θ=+-．
9.【答案】A
【命题立意】本题重点考查了命题的真假判断、三角函数的图象与性质等知识。

【解析】构造函数()sin tan f x x x =+，导数21
()cos cos f x x x
'=+
，该函数为增函数， (0,)
2
x π∀∈，得到sin tan 2x x x +>，故①正确；同理得到
②正确。

10.【答案】D
【命题立意】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题. 【解析】由题意可得A=1，
14T=14•27123
πππω=-，解得ω=2， ∴f （x ）=Acos （ωx+φ）=2cos （2x+φ）．
再由五点法作图可得 2×3π+φ=2π，∴φ=-6
π
， ∴f （x ）=2cos （2x-6π）=2cos2（x-12π），g （x ）=-2sin （2x+6π）=2cos （2x+6π+2
π
）=2cos2
（x+3π），而3
π
-（-12π）=512π，故将f （x ）的图象向左平移512π个单位长度，即可得到函
数g （x ）的图象. 11.【答案】 D
【命题立意】本题旨在考查正弦型函数的图像变化以及对称性． 【解析】将函数()πsin 6f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍得函数
()1
πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭,
其
对
称
轴
方
程
为
1ππ2π
π,2π()2623
x k x k k +=+∴=+∈Z ， 故选D ．
12.【答案】D
【命题立意】本题旨在考查三角函数的图像以及向量的数量积．
【解析】由三角函数图像性质知P(2
,2π
ϕ
ω
-),M(
,0ϕ
ω-),,M(
,0πϕ
ω-),则
22(,2),(,2)PM PN ππωω
-=-=-uuu r uuu r ，因为0PM PN ⋅=uuu r uuu r ，所以2440PM PN πω⋅=-+=uuu r uuu r ，解
得ω=4
π．
13.【答案】①③④⑤
【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象性质． 【解析】由题意可得对称轴为13x =
，则411233T =-=.则2T =,则②中51,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，一部分为增区间，一部分为减区间,错误；①③④⑤正确．
14.【答案】
【命题立意】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图像与性质
【解析】2
1()2sin cos 12sin(2)62f x x x x x π
=+-=-
-，由262
x k ππ
π-=+，解得,32k x k Z π
π=
+
∈，又[0,]2πϕ∈，所以3
π
ϕ=.
15.【答案】（1）f (x ) =2sin()6x π
-．（2）8
1-.
【命题立意】本题考查根据图象求解析式，简单的三角恒等变换，意在考查识图能力，转化能力，中等题.
【解析】（1）由图可知，A =2，T =2π，故1ω=，所以，f (x )=2sin()x ϕ+． 又22(
)2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-．于是，f (x )=2sin()6
x π
-．
（2）由3
()2f α=
，得3sin()64
απ-=． 所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡
⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦=2112sin ()68απ--=-．
16.【答案】（1）x x f sin )(=（2）tan()74
π
∂-
=-
【命题立意】本题第一问是求三角函数解析式问题，关键是抓住三角函数的性质；第二问考查了三角恒等变换问题，要求学生熟记两角差的正切公式。

【解析】
17.【答案】（I ）
2 ，[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈（II ）最大值为1，最小值为-1
2
【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质。

【解析】（I ）f(x)=
12cos2x=sin(2x+3π),则f(6
π
,
22k π
π-
+≤2x+
3π22
k π
π≤+，k Z ∈
单调递增区间[-512π+k π,12
π
+ k π],k Z ∈.
（II ）由x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
则2x+3π∈5[,]66ππ-，sin(2x+3π)∈[-12,1], 所以最大值为1，最小值为-
12。