南师附中高三下学期数学4月质量检测试题及答案

2021—2022学年度第二学期质量检测试卷
高三数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知 10A x x ，{2,1,0,1}B ，则
R A B ð（ ）A.{2,1}
B.{2}
C.{1,0,1}
D.{0,1}
2.已知函数()sin (0)f x x 在区间2,33
上单调递增，且|()|1f x 在区间 0, 上有且仅有一个解，则 的取值范围是（ ）A 30,4
B. 33,42
C. 13,22
D. 13,24
3.史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A.
56
B.
12
C.
23
D.
13
4.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设 n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为4
，5a ，则数列12n n a a
的前24项和为（ ）
A.
2
B.3
C. D.6
5.已知215()sin ,()42f x x x f x
为()f x 的导函数，则() f x 的图象是（ ）
A. B. C. D.
.
6.对3个非零平面向量,,a b c
，下列选项中正确的是
A 若0a b ，则0
B.若a b a c
，则b c
C.若
a b c a c b
，则b c
D.,,a b c
两两之间的夹角可以都是钝角
7.不等式2x 13x ＜25x 13
x 的解集是（） A (－7，+∞) B.(－∞，7)C.(－7，3)∪(3，+∞)
D.(－∞，3)∪(3，7)
8.已知O 为坐标原点，过曲线:C ln (01)y x x 上一点P 作C 的切线，交x 轴于点A ，则AOP 面积取最大值时，点P 的纵坐标为（ ）
A.
B.
12
C.12
D.e
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的有（
）
A.若复数z 满足1R z
，则z R ； B.若复数z 满足2z R ，则z R ；C.若复数12,z z 满足12z z R ，则12z z ；
D.若复数z R ，则z R ．
10.已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设
n n b c a ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（
）
A.8
B.9
C.10
D.11
11.如图，正方形ABCD 与正方形DEFC 边长均为1，平面ABCD 与平面DEFC 互相垂直，P 是AE 上的一个动点，则（ ）
.
.
A. CP
的最小值为2
B. 当P 在直线AE 上运动时，三棱锥D BPF 的体
积不变
C. PD PF
D. 三棱锥A DCE 的外接球表面积为3
12. 已知圆22:410M x y x ，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（ ） A. 圆M 关于直线320x y 对称 B. 直线0x y 与圆M
C.
3
b a 的最大值为1
2
D. 22a b
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数 ,1
42,12x a x f x a x x
满足对任意的实数12x x 都有 12120f x f x x x 成立，则实数a 的取值范围是___________.
14. 平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA |＝1，|OB
|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC
|
＝
2
，则|OD |＝________． 15. 已知圆22:4C x y ，设圆C 上的点P 在x 轴的上方，点A 的坐标为(4,0)，直线AP 与圆C 的另一交点为Q ，且Q 为AP 的中点，则直线AP 的斜率为_____.
16. 复印纸幅面规格采用A 系列，其幅面规格为：①1239,,,,A A A A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y
表示）的比例关系都为:x y ；②将1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格；2A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为3A 规格；L ；如此对开至9A 规格，现有1239,,,,A A A A 纸各一张，若5A 纸的幅宽为2dm ，则1A 纸的面积为______2dm ，这9张纸的面积之和等于______2dm ．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.
17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
10sin 7cos 22
A C
B ， （1）求角B 的大小；
（2）已知点D 满足14BD BC ，且AB BD ，若4
ABD S
△，AD ，求AC ．18. 已知 n a 为等差数列，123,,a a a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.
请从①12a ，②11a ，③13a n a 存在.并在此存在的数列 n a 中，试解答下列两个问题： （1）求数列 n a 的通项公式；
（2）设数列2n n a
的前n 项和n S ，若不等式4n
n S a 对任意的*n N 都成立，求实数 的最小值.
19. 如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面ABC ，90ABC ，2PA ，AC ． （1）求证：平面PBC 平面PAB ；
（2）若二面角P BC A 的大小为45 ，过点A 作AN PC 于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的
大小．
20. 为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A 型和B 型设备各100台，得到如下频率分布直方图：
（1）估算A 型设备的使用寿命的第80百分位数.
（2）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：
根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？
（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计），A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75/元/度.只考虑设备的成本和电
费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.参考公式：
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
，
n a b c d .参考数据：
21. 已知椭圆 22
22:10x y C a b a b
的左、右焦点分别为 1,0F c ， 2,0F c ，点31,2 在椭圆C
上，点 3,0A c 满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B . （1）求椭圆C 方程；
（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点 ,0P t 使得PM PN
为定值？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由.
22. 已知函数()2cos x f x e x ，x R . （1）求函数()f x 在0x 处切线方程；
（2）是否存在正数a 的值使得()(1)f x a x 对任意 [0,)x 恒成立？证明你的结论. （3）求证：()f x 在[,) 上有且仅有两个零点.
的的
2021—2022学年度第二学期质量检测试卷
高三数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知 10A x x ，{2,1,0,1}B ，则
R A B ð（ ）A.{2,1} B.{2}
C.{1,0,1}
D.{0,1}
【1题答案】 【答案】B 【解析】
【分析】先求得A R ð，然后求得
R A B ð.【详解】101x x ，
,1R A ð，
R
A B ð{2} .
故选：B
2.已知函数()sin (0)f x x 在区间2,33
上单调递增，且|()|1f x 在区间 0, 上有且仅有一个解，则 的取值范围是（ ）A. 30,4
B. 33,42
C. 13,22
D. 13,24
【2题答案】 【答案】D 【解析】
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数()f x 的单调递增区间，结合集合的包含关系求出 的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个 的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令2,222x k k ，解得22,22k k x
，k Z ，
而函数()sin (0)f x x 在区间2,33
上单调递增， 所以22323
，解得304 ，
当 0,x 时， 0,x ，
因为|()|1f x 在区间 0, 上有且仅有一个解，
所以232
，解得1322 .
综上所述， 的取值范围是13
24
. 故选：D
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得 的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得 的另一个范围.这里要注意，|()|1f x 说明()1f x ，而根据题意，|()|1f x 只有一个解，所以()f x 只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现()f x 只能等于1.如果能够取到1 ，那么根据自变量的范围，此时()f x 肯定也可以取1，所以舍去.
3. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A.
5
6
B.
12
C.
23
D.
13
【3题答案】 【答案】D 【解析】
【分析】利用古典概型的概率计算公式计算即可
【详解】双方随机各选一匹马进行比赛，所有基本事件共有11
33C C 9n
田忌的马获胜包含的基本事件共有11
21C C 3m
.
所以田忌的马获胜的概率13
m P n 故选：D
4.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设 n a 是由正数组成的等方差数
列，且方公差为4
，5a ，则数列12n n a a
的前24项和为（ ）
A.
2
B.3
C. D.6
【4题答案】 【答案】C 【解析】
【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为 n a 是方公差为4的等方差数列，所以22
14n n a a ，2
518a ，
∴22
5(5)41842042n a a n n n
，∴n a
，
∴
1221
42422n n a a n n
241112
2
2
S
11
2
2
故选：C ． 5.已知215()sin ,()42f x x x f x
为()f x 的导函数，则() f x 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【5题答案】 【答案】A 【解析】
【分析】求出导函数，判断导函数奇偶性，再利用特殊值即可得出选项.
的
【详解】 22co 151()si s n 424
f x x x x x
， 1
sin 2
f x x x
， 函数 f x 为奇函数，排除B 、D.
又1024
f
，排除C. 故选：A
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6. 对3个非零平面向量,,a b c
，下列选项中正确的是
A. 若0a b ，则0
B. 若a b a c
，则b c
C. 若
a b c a c b
，则b c
D. ,,a b c
两两之间的夹角可以都是钝角
【6题答案】 【答案】D 【解析】
【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量，可排除A,B；向量不满足交换律所以C 错．
【详解】(1) a 与b 在同一条直线上，故A 错
（2）a
可能为0向量，故B 错 （3）向量运算不满足交换律，所以C 错
（4）,,a b c
两两之间的夹角可以都是钝角，如都为120
故选D
【点睛】此题考查平面向量运算，向量两个特殊情况：共线和零向量．为常考考点，属于基础题目．
7.不等式2x 13x ＜25x 13
x 的解集是（） A.(－7，+∞)
B.(－∞，7)
C.(－7，3)∪(3，+∞)
D.(－∞，3)∪(3，7)
【7题答案】 【答案】C 【解析】
【分析】由题可得225
30x x x
，解之即得.
【详解】原不等式可化为225
30x x x
，
解得7x 且3x .故选：C.
8.已知O 为坐标原点，过曲线:C ln (01)y x x 上一点P 作C 的切线，交x 轴于点A ，则AOP 面积取最大值时，点P 的纵坐标为（ ）
A.
B.
12
C.12
D.e
【8题答案】 【答案】C 【解析】
【分析】先将AOP 的面积用P 点坐标表示出来，再利用导数求出AOP 面积为最大值时P 的坐标，进而得出答案.
【详解】解：设点P 的坐标为
00,ln x x 1y x
，当0x x 时，0
01x
y x 切线方程为000
1
ln ()y x x x x
，令0y ，得000ln x x x x 点P 的坐标为
000ln ,0x x x 01x ， 0ln 0
x 2
0000000000001111ln (ln )ln (ln )ln (ln )2
2
2
2
AOP S x x x x x x x x x x x x
令2000011
()ln (ln )22
g x x x x x
2200000000011111111()ln (ln )22ln (ln )ln 2222222g x x x x x x x x x x 令0ln t x ，（0t ），2111
()0222
f t t t
解得10t （舍去），212
t
()f t 在1,2
单调递增，在 上单调递减
当0ln x 时，()g x 最大，即AOP 面积最大
故点P 的纵坐标为12
. 故选：C.
【点睛】关键点睛：求复杂函数的最值时，通常利用导数求出函数的单调性以及单调区间，必要时，需要利用换元法进行处理，进而得出函数的极值或最值.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的有（ ） A. 若复数z 满足1R z
，则z R ； B. 若复数z 满足2z R ，则z R ； C. 若复数12,z z 满足12z z R ，则12z z ； D. 若复数z R ，则z R ．
【9题答案】 【答案】AD 【解析】
【分析】根据复数的运算性质，即可判定A 正确；取i z ，可判定B 不正确；取121i,22i z z ，可判断C 不正确；根据复数的运算法则，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，设复数i,(,)z a b a b R ，
可得
2222
1i i i i a b a b z a b a b a b a b ， 因为1R z
，可得0b ，所以z a R ，所以A 正确； 对于B 中，取i z ，可得21z ，所以B 不正确；
对于C 中，例如：121i,22i z z ，则12(1i)2(1i)4z z R ，此时12z z ，所以C 不正确；
对于D 中，设i,(,)z a b a b R ，由z R ，可得0b ，即z a ，可得z a R ，所以D 正确.故选：AD
10.已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设
n n b c a ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（
）
A.8
B.9
C.10
D.11
【10题答案】 【答案】AB 【解析】 【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．
【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，1
2
n n b ，
n n b c a 2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，
其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21
+22
+ (2)
）﹣n
21212
n n
2
n +1
﹣2﹣n ．
当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB
【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11.如图，正方形ABCD 与正方形DEFC 边长均为1，平面ABCD 与平面DEFC 互相垂直，P 是AE 上的一个动点，则（ ）
A. CP
的最小值为2
B. 当P 在直线AE 上运动时，三棱锥D BPF 的体
积不变
C. PD PF
D. 三棱锥A DCE 的外接球表面积为3
【11题答案】 【答案】BD 【解析】
【分析】由题可知CP
A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距
离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D. 【详解】对于A ，连接,DP CP
，易得2
CP
，故A 错误；
对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D BPF 的体积不变，故B 正确；
对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD PF
取得最小值
，故C
错误；
的
对于D
，将该几何体补成正方体，则外接球半径为2
，外接球表面积为3 ，故D 正确. 故选：BD
12.已知圆22:410M x y x ，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（ ）
A.圆M 关于直线320x y 对称
B.直线0x y 与圆M
C.
3
b a 的最大值为
1
2D.22a b
2【12题答案】 【答案】AC 【解析】
【分析】验证圆心是否过直线判断A ，求出相交弦长判断B ，把3
b
t a 变以(3)b t a 代入圆方程，利用判别式不小于0判断C ，利用原点到圆心的距离求得2
2x
y 最小值判断D ．
【详解】圆M 标准方程是22(2)5x y ，(2,0)M
，半径为r ，
易得M 点在直线320x y 上，A 正确；点M 到直线0x y
的距离为d
l ，B 错； 由3
b
t a
得(3)b t a 代入圆的方程整理得2222(1)(64)910t a t a t
，.
22222(64)4(1)(91)80200t t t t ，1122
t ，所以t 的最大值是1
2，C 正确；
2OM
，min 2OP ，所以22a b
的最小值是2min ()9OP D 错误．
故选：AC ．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数 ,1
42,12x a x f x a x x
满足对任意的实数12x x 都有 12120f x f x x x 成立，则实数a 的取值范围是___________.
【13题答案】 【答案】 4,8 【解析】 【分析】
若对任意的实数12x x 都有
1212
()()
0f x f x x x 成立，则函数()f x 在R 上单调递增，进而可得答案．
【详解】 对任意的实数12x x 都有
1212
()()
0f x f x x x 成立，
函数,1()(4)2,12x a x f x a
x x
…在R 上单调递增， 1402422
a a a a
…，
解得：[4a ，8)， 故答案为： 4,8．
14. 平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA |＝1，|OB
|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线
交线段AB 于D ，若|OC
|
＝2
，则|OD |＝________．【14题答案】 【答案】23
【解析】 【分析】
点C 为线段AB 的中点,在OAB 中，则1OC (OA OB)2
, 将两边平方,结合向量数积的定义和角平分线
定理，可得21OD OA OB 33
，再两边平方，可得答案.
【详解】C 为AB 的中点，则1OC (OA OB)2 .
又|OC |,|OA |1,|OB |22
,所以
221OC OA OB 4 ,得OA OB 1 .由角平分线定理得
AD OA 1
BD OB 2 ，即
11AD AB OB OA 33 ,所以21OD OA OB 33
,
2221OD OA OB 33
22
4414OA OA OB OB 9999 ，所以2|OD |3 .
故答案为：
2
3
【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，考查了角平分线定理，属于中档题.
15.已知圆22:4C x y ，设圆C 上的点P 在x 轴的上方，点A 的坐标为(4,0)，直线AP 与圆C 的另一交点为Q ，且Q 为AP 的中点，则直线AP 的斜率为_____. 【15题答案】
【答案】9
【解析】
【分析】设00(,)P x y ，由题意可求得Q 点坐标，根据P ，Q 在圆C 上，代入可求得0x 的值，进而可得0y 值，代入公式，即可得答案.
【详解】设00(,)P x y ，因为Q 为AP 的中点，所以004,22Q Q x y x y
，即Q 点坐标为0
004,(0)2
2x y y
，
因为P 、Q 在圆C 上，代入可得22002200
44422x y x y
，
联立解得012x
，代入解得02
y ， 所以直线AP
的斜率0049
y k x .
故答案为： 16. 复印纸幅面规格采用A 系列，其幅面规格为：①1239,,,,A A A A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y
表示）的比例关系都为:x y ；②将1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格；2A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为3A 规格；L ；如此对开至9A 规格，现有1239,,,,A A A A 纸各一张，若5A 纸的幅宽为2dm ，则1A 纸的面积为______2dm ，这9张纸的面积之和等于______2dm ． 【16题答案】
【答案】 ①
. ②
. 4
【解析】
【分析】由题设知1239,,,,A A A A
的长宽均是公比为
2
的等比数列，设1A
长宽,)a 结合已知即可求a ，进而求1A
纸的面积；它们的面积是首项为1
2
的等比数列，利用等比数列前n 项和公式
求和即可.
【详解】由题意，若1A
长宽,)a ，2A
长宽(,
2a ，3A
长宽(,22
a ，…
∴4
(
22
a ，可得8a ，则1A
长宽
，故其面积为2dm . 由上知：9
张纸的面积是首项为1
2
的等比数列， ∴9
张纸的面积之和等于
9
1)21412
2
dm .
故答案为：4
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.
17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
10sin 7cos 22
A C
B ， （1）求角B 的大小；
（2）已知点D 满足14BD BC ，且AB BD ，若4
ABD S △，AD ，求AC ．
【17题答案】
【答案】（1）3
B
；
（2）AC 【解析】
【分析】（1）根据三角形内角的性质有sin cos 22
A C B
，结合已知三角恒等式及二倍角余弦公式，整理并解方程求cos B ，即可求B 的大小；
（2）由已知条件，结合三角形面积公式、余弦定理求BA ，BC ，再在ABC 中应用余弦定理求AC ．【详解】
（1）∵A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，则sin cos 22
A C
B ，又2
10sin 7cos 22A C
B ， ∴2
10cos 7cos 22B
B ，即 255cos 72cos 1B B ，整理得22cos 5cos 30B B ，∴1
cos 2
B 或cos 3B （舍），又0B ，
∴3
B
．
（2）∵1
sin 24
ABD S BD BA B
△，可得3BD BA ，在△ABD 中，2222cos 7AD BD BA BD BA B ，∴227BD BA BD BA ，又AB BD ，∴1BD ，3BA ，4BC ，
由余弦定理有2222cos 13AC BA BC BC BA B ，
∴AC ．
18. 已知 n a 为等差数列，123,,a a a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.
请从①12a ，②11a ，③13a 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列 n a 存在.并在此存在的数列 n a 中，试解答下列两个问题： （1）求数列 n a 的通项公式；
（2）设数列2n n a
的前n 项和n S ，若不等式4n
n S a 对任意的*n N 都成立，求实数 的最小值. 【18题答案】
【答案】（1）32n a n ；（2）91
8
【解析】 【分析】
（1）由等差数列的定义可得选②，再由等差数列的通项公式可得所求； （2）由错位相减法求得n S ，再参数分离可得 323+42n
n n
对任意的
*n N 都成立，令
323+42n
n
n n b
，判断 n
b 的单调性求得最大项即可求出. 【详解】（1）已知 n a 为等差数列，由题选择②可成立，
即11a ，24a ，37a ，所以公差3d ，
1+1332n a n n ；
（2）
3222n n n a n ， 12314732
++++2222
n n n S ，
234+1114732++++22222
n n n S ， 两式相减得：23+111111323++++1222222n n n n S +1
11
13122
3112
12
n n n
， 整理得3+4
42
n n
n S ， 若不等式4n n
S a
对任意的*n N 都成立，
则3+44+4232n n n
，即 323+42
n
n n 对任意的
*n N 都成立，令 323+42n n
n n b
，
则 2+1+1
+1
3+13+7323+49+12+23222n n
n n
n n n n n n n b b
， 当1,2n 时，+10n n b b ，可得321b b b ， 当3n 时，+10n n b b ，可得345 b b b L ，则 n b 中的最大项为391
8
b
， 918
，即 的最小值为
91
8
.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 n n a b 结构，其中 n a 是等差数列， n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于 +n n a b 结构，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a
结构，其中 n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a
，利用裂项相消
法求和.
19. 如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面ABC ，90ABC ，2PA
，AC ．
（1）求证：平面PBC 平面PAB ；
（2）若二面角P BC A 的大小为45 ，过点A 作AN PC 于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小． 【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2）60°． 【解析】
【分析】（1）根据根据线面垂直的判断得BC 平面PAB ，进而证明平面PBC 平面PAB ； （2）解法一：根据题意得45ABP ，进而过点A 作AM PB 于M ，则AM 平面PBC 且M 为PB 中点，连接MN ，则ANM 为直线AN 与平面PBC 所成的角，再根据几何关系求解即可；
解法二：建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）因为PA 底面ABC ，所以PA BC ， 又90ABC ，所以AB BC ，
又PA ，AB 为平面PAB 内的两条相交直线， 所以BC 平面PAB ， 因为BC 平面PBC ， 所以平面PBC 平面PAB ；
（2）解法一：由（1）可知，ABP 为二面角P BC A 的平面角，所以45ABP ， 又2PA
，AC ，90ABC ，所以2AB BC
，
过点A 作AM PB 于M ，则AM 平面PBC 且M 为PB 中点，连接MN ，则ANM 为直线AN 与平面PBC 所成的角，
在Rt ANM △中，AM
3
AN
，
所以sin 2AM ANM AN
， 故60ANM ，
所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°．解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知，可得 0,0,0B ， 2,0,0A ， 2,0,2P ， 0,2,0C ，
设 ,,N x y z ，PN PC
（01 ），则22x ，2y ，22z ，因为AN PC ， 2,,AN x y z ， 2,2,2PC
，
所以 22220x y z ，
解得13 ，所以424,,333N
，故224,,333AN ，
设平面PBC 的法向量为 ,,a x y z
，因为 0,2,0BC ， 2,0,2BP ， 由00
a BC a BP
，得20220y x z ， 令1x ，则1z ，
所以 1,0,1a r
为平面PBC 的一个法向量，
所以24cos ,2a AN
，
故直线AN 与平面PBC
所成的角的正弦值为2
， 所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°．
20. 为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A 型和B 型设备各100台，得到如下频率分布直方图：
（1）估算A 型设备的使用寿命的第80百分位数.
（2）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：
根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？
（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计），A 型和B 型设备每台的价格分别为1万元和
0.6万元，A 型和B 型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75/元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.参考公式：
2
2n ad bc K a b c d a c b d ，
n a b c d .
参考数据：
【20题答案】
【答案】（1）3400小时；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关；（3）选择A 型设备，理由见解析. 【解析】
【分析】（1）分别计算前三组和前四组频率的之和，可知第80百分位数一定位于 3000,3500，再由公式计算即可求解；
（2）根据频率分布直方图计算可补充列联表，再计算2K 与临界值6.635比较即可判断；
（3）根据A 型和B 型设备每台更换的概率计算10台设备需要更换的数量，计算A 型设备的费用以及电费之和，B 型设备的费用以及电费之和，选择费用较少者即可.
【详解】（1）前三组的频率之和为： 0.00020.00040.00065000.60 ，前四组的频率之和为： 0.00020.00040.00060.00055000.85 ，所以第80百分位数一定位于 3000,3500，所以第80百分位数为：0.800.60
300050034000.850.60
小时；
（2）由频率分布直方图可知，
A 型超过2500小时的有 1000.00060.00050.000350070 台，
则A 型不超过2500小时的有1007030 台，
B 型超过2500小时的有 1000.00060.00030.000150050 台，
则B 型不超过2500小时的有1005050 台. 列联表如下：
提出0H ：使用寿命是否超过2500小时与型号没有关系. 因为 2
2200705030508.333 6.63510010012080
K
，
所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关. （3）由频率分布直方图中的频率估计概率知： A 型设备每台更换的概率为
30
0.3100 ，所以10台A 型设备估计要更换3台； B 型设备每台更换的概率为50
0.5100
，所以10台B 型设备估计要更换5台， 选择A 型设备的总费用 4
10311020.75250010
16.75y 1（万元），
选择B 型设备的总费用 4
21050.61060.7525001020.25y （万元），
所以选择A 型设备.
21. 已知椭圆 22
22:10x y C a b a b
的左、右焦点分别为 1,0F c ， 2,0F c ，点31,2 在椭圆C
上，点 3,0A c 满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B . （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点 ,0P t 使得PM PN
为定值？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由. 【21题答案】
【答案】（1）22
143
x y ；
（2）存在，11,08P 【解析】 【分析】
（1）由点在椭圆上代入可得a ，b 的关系，再由点(3,0)A c 满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ．可得20AB BF
可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 的关系求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标，分坐标MN 的斜率为0和不为0两种情况讨论，假设存在P 满足条件，设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积PM PN
的表达式，要使
数量积为定值，则分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，且可求出定值． 【详解】解：（1）由题意可得上顶点(0,)B b ，2AB BF ，所以：22
1
914a b
，20AB BF ，即(3c ，)(b c ，)0b 即223b c ，222a b c ，
解得：24a ，23b ，
所以椭圆的方程为：22
14
3x y ；
（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标(1,0)，假设存在(,0)P t
)i 当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1x my ，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，
联立直线与椭圆的方程22
134120
x my x y
，整理可得：22
(43)690m y my ，122643m y y m ，122
9
43y y m
，
121228()243x x m y y m ，2222
121212222
96412()11434343m m m x x m y y m y y m m m
， 因为
1122,,PM PN x t y x t y
22222222
2
12121222222
41289(43)12853(4)(485)()4343434343m t t m m t m t t t x x t x x t y y t m m m m m
，
要使PM PN 为定值，则22448514t t t ，解得：118
t ，这时13564PM PN 为定值，
)ii 当直线MN 的斜率为0时，则(2,0)M ，(2,0)N ，P 为11(8，0)，则11
(28PM PN ，
110)(28
，2
111350)(4864
， 综上所述：所以存在11
(8
P ，0)，使PM PN 为定值．【点睛】考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．
22. 已知函数()2cos x f x e x ，x R . （1）求函数()f x 在0x 处的切线方程；
（2）是否存在正数a 的值使得()(1)f x a x 对任意 [0,)x 恒成立？证明你的结论. （3）求证：()f x 在[,) 上有且仅有两个零点. 【22题答案】
【答案】（1）1y x ；（2）存在，1a ，证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】
【分析】（1）先求导 f x ，分别求出斜率(0)k f 和切点坐标，代入直线的点斜式方程即可得解； （2）假设1a 时，有2cos 1x e x x 对任意[0,)x 恒成立，先利用导数证得1x e x ，再由三角函数的有界性可得2cos 2x ，两不等式相加即可证得结论； （3）对x 进行分类讨论，分为2x ，2
x
两种情况，利用导数研究每段区间上的零点即可证得结论.
【详解】（1）因为()2sin x f x e x ，所以(0)1k f ，又切点为(0,1) ， 所以函数()f x 在0x 处的切线力程为1y x ， （2）存在，1a ，证明过程如下：
当1a 时，()(1)f x a x 即2cos 1x e x x ， 令1x y e x （0x ），则10x y e ， 所以1x y e x [0,) 上单调递增， 故0
0x y y
，所以1x e x ，
又2cos 2x ，所以2cos 121x e x x x 对任意[0,)x 恒成立； （3）当2
x
时，2()2cos 20x f x e x e ， 所以()2cos x f x e x 在,2
上无零点； 当2x
时，令2cos ()1x
x g x e
，所以2sin 4()x
x g x e
， 在
由2sin 4()0x
x g x e
，得4
x
，当4
x
时，()0g x ；当4
2
x
时，()0g x ，
所以()g x 在,4
上单调递增，在,42
上单调递减，因为()210g e
，4104g e
，102g ，
所以()g x 在,2
上有且仅有两个零点，
所以()f x 在[,) 上有且仅有两个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数求曲线在某点处的切线方程的通用解法为：
先求切点，然后根据导数的几何意义“切线的斜率等于曲线在切点处的导数”求出切线的斜率，最后根据直线的点斜式方程写出切线方程.。