高中数学《指数与指数幂的运算》课件

2
11
2
a3)
•
1
a3
1
1
1 • a3
4b 3 2a 3b 3 a 3
a 3 2b 3
1
1
1
强讲
a 3 • a 3 • a 3 a.
课
人
：
邢 启
17
课堂小结
1、利用分数指
整数指数幂
根式
两个等式 数幂进行根式
运算时，其顺
序是先把根式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
化为分数指数 幂的运算性质
m
a n
1
m
a 0, m, n N *, 且n 1
an
7
学习新知
整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用,即对于任意有理数r， s，均有下面的运算性质：
(1)ar a s ars (a 0, r, s Q)
(2)(ar )s ars (a 0, r, s Q)
(3)(ab)r arbr (a 0, b 0, r Q)
a, (当n为奇数 )
n
an
|
a
|
a, a a, a
0, (当n为偶数 ) 0.
强讲
课
人
：
邢 启
5
典型例题
a, (当n为奇数 )
n
an
|
a
|
a, a a,
a
0, (当n为偶数 0.
)
例1 求下列各式的值 1. 3 (8)3 ;
(10)2 ;
2.
4 (3 )4 ;
3. 强讲 课 人 ： 邢 启
3 11 6 112 6 121, 又 121 123 125,
6 121 6 123 6 125.
强讲 课 人
所以 5 6 123 3 11.
：
邢 启
14
巩固练习
2.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
a2 3 a2
a 3 a
解：a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a3
8
a3
强讲
课
人
：
邢 启
8
典型例题
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a3 a, a2 3 a2 ,
a 3 a.
解：
a3
a
1
a3 a2
3 1
a 2
7
a2;
a2 3
a2
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a 3 a (a a3 )2 (a 3 )2 a 3 .
强讲
(a b)2 (a b).
解： 1. 3 (8)3 8;
(10)2 | 10 | 10;
2. 4 (3 )4 | 3 | 3;
3. (a b)2 a b(a b).
6
探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
(1 2 3
b ) 3 a
a
a 3 (a 8b)
2
11
2
4b 3 2a 3b 3 a 3
a3
2b 3
1
a3
1
a3
1
1
1
a 3 [(a 3 )3
2
1
(2b
1
3
)3 ]
2
•
1
a3
1
1
1 • a3
4b 3 2a 3b 3 a 3 a 3 2b 3
1
1
1
2
11
2
a 3 [(a 3 ) (2b 3 )](4b 3 2a 3b 3
进行计算。
(1)a r a s a rs (a 0, r, s R) (2)(a r )s a rs (a 0, r, s R) (3)(ab)r a rbr (a 0, b 0, r R)
强讲 课 人 ： 邢 启
2、计算结果不 强求用什么形 式来表示，但 结果不能同时 含有根号和分 数指数幂，也18
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有
意义.
2
33 aa22 a 3 (a 0),
1
bb b 2 (b 0),
5
c 强讲 课
44
c55 c 4 (c
0).
人
：
邢
启
我们规定正数的正分数指数幂的意义是 :
m
a n n am (a 0, m, n N *, 且n 1).
正数的负分数指数幂的意义是 :
课
人
：
邢 启
9
探究:
无理指数幂
在前面的学习中，我们已经把指数由正整
数推广到了有理数，那么，能不能继续推广
到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用 两个指数为p的不足近似值和过剩近似值构成 的有理数列无限逼近而得到(这个近似结果的 极限值就等于ap)，故ap是一个确定的实数.而且
有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也
1
4
41
2
a3 a a a3 a 3 (a 3 ) 2 a 3
3.若x
2 3
4
，求x.
1
强讲
8
课
人
：
邢 启
15
巩固练习
4.已知 a<b<0,n>1,n∈N*, 化简：2n (a－b)n+n (a+b)n
解：当 n 为偶数时
2n (a b)n n (a b)n 2 | a b | | a b | b 3a
强讲
课
人 ： 邢 启
适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围. 10
典型例题 例3.求值：
2
8 3 ＝4
1
25 2
1
5
16
3 4
27
81
8
1 5 2
＝32
强讲
课
人
：
邢 启
11
典型例题
例4.：计算下列各式（式中字母都是正数）
2 1
1 1
1 5
1. 2a 3 b 2 6a 2 b 3 3a 6 b 6
当 n 为奇数时
2n (a b)n n (a b)n 2(a b) (a b) 3a b
强讲
课
人
：
邢 启
16
巩固练习
4
1
练习5 : 化简
a 3 8a 3b
2
2
4b 3 2 3 ab a 3
(1 2 3
b ) 3 a
a.
4
1
1
1
1
解:
a 3 8a 3b
2
2
4b 3 2 3 ab a 3
an bn
(b
0).
另外，我们规定：
a0 1(a 0);
a n
1 an
.
邢 启
2
学习新知 根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其
中n＞1，且n∈N*.
xn a
x n a ; (当n是奇数)
x n a. (当n是偶数,且a＞0)
让我们认识一下这个式子:
根指数
根式
na
被开方数
强讲 课 人 ：
4a
2.
1 3 m4n 8
8
m2 n 3
强讲
课
人
：
邢 启
12
典型例题 例5.：化简下列各式
1. 3 25 125 4 25 1 56 5
2.
a2
(a 0)
a 3 a2
5
a6
强讲
课
人
：
邢 启
13
巩固练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
解 : 5 6 53 6 125,
指数与指数幂的运算
复习引入
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次
幂等于n个a的连乘积，即 an=a·a·····a
正整数指数幂的运算法则有五条：
n个
1.am·an=am+n；Βιβλιοθήκη 2.am÷an=am-n；
3.(am)n=amn；
4.(ab)n=an·bn；
5. 强讲 课 人 ：
( a )n b
由n次方根的意义，可得( n a )n a
邢 启
3
n次方根的性质
（1）当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的 n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个 数互为相反数。
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
强讲
课
人
：
邢 启
4
n an 表示an的n次方根,等式 n an a 一定成立吗? 如果不一定成立,那么 n an 等于什么?