广东广州2019年高三1月调研测试数学文试题

广东广州2019年高三1月调研测试数学文试题
广州市2018届高三年级调研测试
数 学〔文 科〕 2018.1
本试卷共4页，21小题， 总分值150分、考试用时120分钟、
本卷须知1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型〔A 〕填涂在答题卡相应位置上. 2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分、在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项符合题目要求的.
1、复数1+i 〔i 为虚数单位〕的模等于
A
B 、1 C
、
2
D 、12
2、集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，那么=B A
A 、}0{
B 、}4,0{
C 、}4,2{
D 、}4,2,0{ 3、函数
()20
30
x
x x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 那么
14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值是
A 、9
B 、19
C 、9-
D 、
19
- 4、等差数列}{n a 的前n 项和为n
S ，假设
34512a a a ++=，那么7S 的值为 A 、56 B 、42 C 、28 D 、14 5、e 为自然对数的底数，函数y x =e x 的单调递增区间是
A .
)
1,⎡-+∞⎣ B 、
(1,⎤-∞-⎦ C 、)1,⎡+∞⎣ D 、(1,⎤-∞⎦
A 、αα//,//,//n m n m 则若
B 、βαγβγα//,,则若⊥⊥
C 、n m n m //,//,//则若αα
D 、n m n m ⊥⊥则若,//,αα
7、如图1，程序结束输出s 的值是
图2
A 、30
B 、55
C 、91
D 、140 8、函数
()()212f x x x
cos cos =-⋅，x ∈R ，那么
()
f x 是
A 、最小正周期为2
π的奇函数B 、最小正周期为π的奇函数
C 、最小正周期为2
π的偶函数D 、最小正周期为π的偶函数
9、在区间
15,⎡⎤⎣⎦
和
24,⎡⎤⎣⎦
分别取一个数,记为a b ,,
那么方程2
2221x y a b +=表示焦点在
x 轴上且离心率小于2
的 椭圆的概率为
A 、12
B 、1532
C 、1732
D 、3132
10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗假设对任意2x >，不等式
()
2x a x a -⊗≤+
都成立，那么实数a 的取值范围是
A.
17,⎡⎤-⎣⎦
B.
(3,⎤-∞⎦
C.
(7,⎤-∞⎦D.
()
17,,⎤
⎡-∞-+∞⎦⎣
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分.
〔一〕必做题〔11～13题〕 11、
()
f x 是奇函数,
()()4g x f x =+,()12
g =,那么
()
1f -的值是.
12、向量a ，b 基本上单位向量，且a b
12
=，那么2-a b 的值为. 13、设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n
的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，假设
ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=，那么sin A 的值是.
〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕
14.〔几何证明选讲选做题〕
如图2，AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，
PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，假设4AP =
，2PB =，
侧视
D
C
B
A
P 图3
6
2
5
x 06
11y 119
889
67乙甲那么PC 的长是.
15、〔坐标系与参数方程选讲选做题〕 圆C 的参数方程为
2x y cos ,
sin ,
θθ⎧=⎨
=+⎩(θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=,那么直线l 截圆C 所得的弦
长是.
三、解答题：本大题共6小题，总分值80分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、〔本小题总分值12分〕 函数
2f x x x
()sin sin π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
.
〔1〕求函数)(x f y =的单调递增区间； 〔2
〕假设
43
f ()π
α-=
，求)42(πα+f 的值.
17、〔本小题总分值12分〕
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩〔总分值100分〕的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. 〔1〕求x 和y 的值；
〔2〕计算甲班7位学生成绩的方差2s ；
〔3〕从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生， 求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式：方差
()()()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤
=-+-+⋅⋅⋅+-⎢
⎥⎣⎦， 其中
12
n x x x x n
++
+=.
18、(本小题总分值14分)
四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. 〔1〕求证：AD PC ⊥；
〔2〕求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.
19、〔本小题总分值14分〕
数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比
中项.
〔1〕求数列}{n a 的通项公式；
〔2〕求数列
{}n
na 的前n 项和n
T
.
20.〔本小题总分值14分〕
()
f x 是二次函数，不等式
()0
f x <的解集是
()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线
与直线610x y ++=平行. 〔1〕求
()
f x 的解析式；
〔2〕是否存在t ∈N *，使得方程
()370f x x
+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数 根？假设存在，求出t 的值；假设不存在，说明理由. 21.〔本小题总分值14分〕 椭圆
()22122:10x y C a b a b
+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,
椭圆1
C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,
53
PF =
.
(1)求椭圆1
C 的方程；
(2) 假设过点
()
1,0A -的直线与椭圆1
C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立
的动点R 的轨迹方程；
(3) 假设点R 满足条件〔2〕，点T 是圆
()
2
2
11
x y -+=上的动点，求
RT
的最大值.
广州市2018届高三年级调研测试 数学〔文科〕试题参考答案及评分标准
说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的要紧知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依照试题要紧考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数、
2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视妨碍的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分、
2018-1-10
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、
4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分、
【一】选择题：本大题要紧考查差不多知识和差不多运算、共10小题，每题5分，总分值50分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C A D C C B C 【二】填空题：本大题要紧考查差不多知识和差不多运算、本大题共5小题，考生作答4
小题，每题5分，总分值20分、其中14～15题是选做题，考生只能选做一题、
11、2
1
14.
【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、〔本小题总分值12分〕 (本小题要紧考查三角函数性质、同角三角函数的差不多关系、二倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：
2f x x x
()sin sin π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
x x cos sin =+……………1分
x x sin cos ⎫=
+⎪⎪⎝⎭
4x sin π⎛⎫
=
+ ⎪
⎝
⎭.……………3分
由
222
4
2
k x k ,
π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+……………4分
解得
32244
k x k k ,ππ
ππ-+≤≤+∈Z .……………5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是
32244
k k k [,],ππ
ππ-++∈
Z .…………6分 〔2〕解：由〔1〕可知
)
4sin(2 )(π+
=x x f ，
∴
4
3
f ()sin π
αα-
=
=
，得
13sin α=.……………8分 ∴
)
42(πα+
f
=
22sin πα⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭……………9分
2cos α=
……………10分
()
212sin α
=
-……………11分
9
=
.……………12分 17、〔本小题总分值12分〕
(本小题要紧考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必定的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 〔1〕解：∵甲班学生的平均分是85， ∴92968080857978
85
7
x +++++++=.……………1分
∴5x =.……………2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =.……………3分
〔2〕解：甲班7位学生成绩的方差为
2
s ()()()22222221675007117
⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=.……5分 〔3〕解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ，……………6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E .……………7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
()()(),,,,,,A B A C A D
()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E .……………9分
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：
()()(),,,,,,A B A C A D
()()()(),,,,,,,A E B C B D B E .……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件M ，那么
()710
P M =
.
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710
.
……………12分
18、〔本小题总分值14分〕
F
E D C
B
A
P
〔本小题要紧考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力〕
〔1〕证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ， 那么PE ⊥平面ABCD .……………2分 ∵AD ⊂平面ABCD ， ∴AD PE ⊥.……………3分 ∵AD CD ⊥，CD
PE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ，
∴AD ⊥平面PCD .……………5分 ∵PC ⊂平面PCD ， ∴AD PC ⊥.……………6分
〔2〕解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在Rt △PED
中，
PE =
=
7分
过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，
∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB PE ⊥.……………8分
∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E =， ∴AB ⊥平面PEF .……………9分
∵PF ⊂平面PEF ，
∴AB PF ⊥.……………10分
依题意得2EF AD ==.……………11分 在Rt △PEF
中，
3PF =
=，……………12分
∴△PAB 的面积为
1
6
2
S AB PF ==. ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6.……………14分
19、〔本小题总分值14分〕
(本小题要紧考查数列、数列求和等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 〔1〕解：∵}1{+n
S 是公比为2的等比数列，
∴
11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S .……………1分
∴
12)1(11-⋅+=-n n a S .
从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a .……………3分
∵2a 是1a 和3
a 的等比中项 ∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a .……………4分
当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列，……………5分
∴=1a 1. ∴
12-=n n S .……………6分
当2n ≥时，
112--=-=n n n n S S a .……………7分 ∵11=a 符合
12-=n n a ， ∴
12-=n n a .……………8分
〔2〕解：∵1
2n n na n -=，
∴
1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯+
+.①……………9分 21231222322n
n
T n =⨯+⨯+⨯+
+.②……………10分
①-②得
2112222n n
n T n --=+++
+-……………11分
12212
n n
n -=--……………12分 =
()12
1
n
n --.……………13分
∴
()121
n n T n =-+.……………14分
20.〔本小题总分值14分〕
(本小题要紧考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) 〔1〕解法1：∵()
f x 是二次函数，不等式
()0
f x <的解集是
()05,，
∴可设()()
5f x ax x =-，0a >.……………1分
∴
25f x ax a /()=-.……………2分
∵函数()
f x 在点
()
(
)
11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，
∴
()16
f /=-.……………3分
∴256a a -=-，解得2a =.……………4分 ∴
()()225210f x x x x x
=-=-.……………5分
解法2：设
()2f x ax bx c
=++，
∵不等式()0
f x <的解集是
()05,，
∴方程20ax bx c ++=的两根为05,. ∴02550c a b ,=+=.①……………2分 ∵2f x ax b /()=+.
又函数()
f x 在点
()(
)
11
f ,处的切线与直线610x y ++=平行，
∴
()16
f /=-.
∴26a b +=-.②……………3分
由①②,解得2a =,10b =-.……………4分 ∴
()2210f x x x
=-.……………5分
〔2〕解：由〔1〕知，方程
()37
f x x
+=等价于方程32210370x x -+=. ……………6分
设
()h x =3221037
x x -+，
那么()()
26202310h x x x x x /=-=-.……………7分
当
1003x ,⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
时，
()0
h x /<，函数
()
h x 在
1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减；………8分
当
103x ,⎛⎫∈+∞ ⎪
⎝⎭
时，
()0
h x />，函数
()
h x 在
103,⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.…9分
∵
()()101
3100450
327h h h ,,⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭
，……………12分
∴方程
()0
h x =在区间
1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
1043,⎛⎫ ⎪⎝⎭
内分别有唯一实数根，在区间
()03,,
()4,+∞内没有实数根.……………13分
∴存在唯一的自然数3t =，使得方程
()370
f x x
+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根.……………14分
21.〔本小题总分值14分〕
(本小题要紧考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，
设点P 的坐标为
()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF
=，得01x +53
=，解得023x =. ……………1分
∵点P 在抛物线2
C 上，且在第一象限，
∴
2
02443y x ==⨯
，解得03
y =
.
∴点P
的坐标为
2,33⎛ ⎝⎭
.……………2分
∵点P 在椭圆
22
122:1x y C a b
+=上，∴2248193a b +=.……………3分 又1c =，且22221a b c b =+=+，……………4分 解得224,3a b ==. ∴椭圆1
C 的方程为2
2
143
x y +=.……………5分 解法2:抛物线
22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，
设点P 的坐标为
()00x y ,,00
00x y ,>>.
∵
53
PF =
, ∴
()
2
20
2519
x
y -+=
.①……………1分
∵点P 在抛物线22:4C y x =上,
∴
200
4y x =.②
解①②得
023x =
,03
y =
.
∴点P
的坐标为
2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.……………2分
∵点P 在椭圆
22
122:1
x y C a b
+=上，∴2248193a b +=.……………3分 又1c =，且22221a b c b =+=+，……………4分 解得224,3a b ==. ∴椭圆1
C 的方程为2
2
143
x y +=.……………5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，
那么()()()
11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.
∴
()
12122,FM FN x x y y +=+-+.
∵FM FN FR +=,
∴121221,x x x y y y +-=-+=.①……………6分
∵M 、N 在椭圆1
C 上，∴2
22211221, 1.4343
x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()
1212
12120
4
3
x x x x y y y y +-+-+
=.②
把①式代入②式得()()()
12
1210
4
3
x x x y y y +--+=.
当12
x x ≠时，得
()1212
314x y y x x y
+-=-
-.③……………7分 设FR 的中点为Q ，那么Q 的坐标为
1,22x y +⎛⎫
⎪⎝
⎭.
∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴
MN AQ k k =,即
1212213
12
y
y y y x x x x -==
+-++.④……………8分 把④式代入③式，得
()3134x y
x y
+=-+，
化简得
()2243430
y x x +++=.……………9分
当12x x =时，可得点R 的坐标为
()3,0-， 经检验，点
()
3,0R -在曲线
()2243430
y x x +++=上.
∴动点R 的轨迹方程为
()2243430
y x x +++=.……………10分
解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()
1y k x =+， 由
()22
114
3y k x x y ,
,⎧=+⎪⎨+=⎪
⎩消去y ，得
(
)
22223484120
k x k x k +++-=.
设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，
那么
2122
834k x x k +=-
+, ()()()1212122
611234k y y k x k x k x x k +=+++=++=
+.…6分
∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.
∴
()
12122,FM FN x x y y +=+-+.
∵FM FN FR +=,
∴121221,x x x y y y +-=-+=.
∴
2122
8134k x x x k +=+=-
+,① 2
634k y k =
+.②……………7分
①÷②得
()314x k y
+=-
，③……………8分 把③代入②化简得
()2243430
y x x +++=.(*)……………9分
当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-, 依题意,可得点R 的坐标为()3,0-，
经检验，点
()
3,0R -在曲线
()2243430
y x x +++=上.
∴动点R 的轨迹方程为
()2243430
y x x +++=.……………10分
(3)解:由(2)知点R
()
x y ,的坐标满足
()2243430
y x x +++=,
即
()
224343y x x =-++,
由
20y ≥,得()
23430x x -++≥,解得31x -≤≤-.……………11分
∵圆()2
211
x y -+=的圆心为
()
10F ,,半径1r =,
∴
RF =
=
12
=……………12分
∴当3x =-时,
4
RF max
=,……………13分
如今,415
RT max =+=.……………14分。