册亨县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

册亨县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2． 已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为，
M N 、2
4y x =F MN 2，则直线的方程为（ ）
||||10MF NF +=MN A ． B ． 240x y +-=240x y --= C ．
D ．20
x y +-=20
x y --=3． ∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是（ ）
A ．不存在x ∈R ，使∃x 2﹣2x+3≥0
B ．∃x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3＞04． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ）
A ．
B ．|a|＞|b|
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
5． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）A ．8πcm 2
B ．12πcm 2
C ．16πcm 2
D ．20πcm 2
6． 设集合，，则（ ）
{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B = A.
B.
C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}
2,1,1,2--{}
1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
7． 已知直线：过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆
l 2y kx =+)0(122
22>>=+b a b
y
a x B F 截得的弦长为，若的取值范围是（ ）224x y +=L L ≥
e （A ） （ B ） （C ） （
D ） ⎥⎦⎤
⎝⎛550，0⎛ ⎝
⎥⎦⎤ ⎝⎛5530，⎦⎤ ⎝
⎛5540，8． 记,那么
A
B C D
9． 年月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
20163名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为，，，按分
20350500150层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）A. B. C. D.56710【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.10．已知集合（其中为虚数单位），，则（ ）23111
{1,(),,}122
i A i i i i -=-+-+2{1}B x x =<A B =
A ．
B ．
C ． {1}-{1}{-
D ．11．函数f （x ）=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为（ ）
A ．，π
B ．，
C ．，π
D ．，
12．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．已知，为实数，代数式的最小值是
.
x y 2222)3(9)2(1y x x y ++
-++-+【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.14．设实数x ，y 满足
，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值为
．　
15．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
16．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．
17．= .
-2
331
1
+
log 6-log 4
2
（18．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．　
三、解答题
19．已知f （x ）=x 3+3ax 2+3bx+c 在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；
（2）若x ∈[1，3]时，f （x ）＞1﹣4c 2恒成立，求实数c 的取值范围．
20．（文科）（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
21．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f （x ）满足f （）=f （x 1）﹣f （x 2）．
（1）求f （1）的值；
（2）若当x ＞1时，有f （x ）＜0．求证：f （x ）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f （5）=﹣1，求f （x ）在[3，25]上的最小值．　
22．（本题满分14分）已知函数.
x a x x f ln )(2
-=
（1）若在上是单调递减函数，求实数的取值范围；
)(x f ]5,3[a （2）记，并设是函数的两个极值点，若，x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=)(,2121x x x x <)(x g 2
7≥b 求的最小值.
)()(21x g x g -
23．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC 在矩阵N 应对的变换作
用下得到矩形区域OA ′B ′C ′，如图所示．（1）求矩阵M ；
（2）求矩阵N 及矩阵（MN ）﹣1．
24．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.（1） 求()h x 的表达式；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
册亨县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A 【解析】解：∵sinC=2sinB ，∴c=2
b ，
∵a 2﹣b 2=
bc ，∴cosA=
=
=
∵A 是三角形的内角∴A=30°故选A ．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．　
2． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设，那么，，∴线段的中点坐标为
1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN .由，两式相减得，而
，∴，∴
(4,2)2114y x =2
224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-12
22
y y +=12121y y x x -=-直线的方程为，即，选D ．MN 24y x -=-20x y --=3． 【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是：∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0．故选：C ．
4． 【答案】D
【解析】解：若a ＞0＞b ，则
，故A 错误；
若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则|a|=|b|，故B 错误；若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则a 2＞b 2，故C 错误；函数y=x 3在R 上为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3，故D 正确；故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．　
5． 【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R ，
R=
，S=4πR 2=12π故选B
6． 【答案】D
【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.||2x ≤22x -≤≤{}|22A x x =-≤≤{}1,2A B = 7． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.
b k
c ==
设圆心到直线的距离为，则解得。

l d L =≥
216
5
d ≤又因为，所以解得。

d =2116,15k ≤+2
14k ≥
于是，所以解得故选B ．222
222211c c e a b c k
===++2
40,5e <≤05e <≤8． 【答案】B
【解析】【解析1】
,
所以
【解析2】
，
9． 【答案】C
10．【答案】D 【解析】
考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算11．【答案】B
【解析】解：y=cos 2x ﹣cos 4x=cos 2x （1﹣cos 2x ）=cos 2x •sin 2x=sin 22x=，
故它的周期为
=
，最大值为=．
故选：B．
12．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
二、填空题
13．.
【解析】
14．【答案】　6　．
【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．
若∥，
∴2x﹣y+m=0，
即y=2x+m，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+m，
由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．
由，
解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．
即m的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
15．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
16．【答案】　3x﹣y﹣11=0　．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
即有y 12=6x 1，y 22=6x 2，
相减可得，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=6（x 1﹣x 2），
即有k AB ====3，
则直线方程为y ﹣1=3（x ﹣4），
即为3x ﹣y ﹣11=0．
将直线y=3x ﹣11代入抛物线的方程，可得
9x 2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x ﹣y ﹣11=0．
故答案为：3x ﹣y ﹣11=0．
17．【答案】
332【解析】
试题分析：原式=。

23
3331334log log 16log 16log 1622+-=+=+=+=考点：指、对数运算。

18．【答案】　＞　
【解析】解：∵y=3x 是增函数，
又0.8＞0.7，
∴30.8＞30.7．
故答案为：＞
【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．
　三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意：f ′（x ）=3x 2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3；由已知所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
所以由f ′（x ）=3x 2﹣6x ＞0得心x ＜0或x ＞2；
所以当x ∈（0，2）时，函数单调递减；
当x ∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由（1）知，函数在x ∈（1，2）时单调递减，在x ∈（2，3）时单调递增；
所以函数在区间[1，3]有最小值f （2）=c ﹣4要使x ∈[1，3]，f （x ）＞1﹣4c 2恒成立
只需1﹣4c 2＜c ﹣4恒成立，所以c ＜
或c ＞1．故c 的取值范围是{c|c 或c ＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．
20．【答案】（1）；（2）万；（3）.
0.3a = 3.6 2.9【解析】
（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：
；
()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<月均用水量低于3吨的频率为：；
()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>则吨．10.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯
=⨯
考点：频率分布直方图．
21．【答案】
【解析】解：（1）令x1=x2＞0，
代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）．
由f（）=f（x1）﹣f（x2）得，
f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，
所以f（25）=﹣2．
即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.
（2）∵，x b x x x b x a x a x x g )1(2ln 2)1(2ln )2(ln )(2
2--+=--++-=
23．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，可得，
故，解得
所以矩阵M=；
（2）矩阵N 所对应的变换为
，故N=，
MN=
．
∵det （MN ）=
，∴=．
【点评】本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想．
24．【答案】（1） ()()210473h x x x =+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比，
所以可设：()13
k f x x =-，()()227g x k x =-，12.00k k ≠≠，，则()()()()21273
k h x f x g x k x x =+=+--则 ………………………………………2分
因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套
所以，()()521, 3.569h h ==，即12124212492694
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分所以，()()210473
h x x x =+-- （37x <<） ………………………………………8分（2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473
h x x x =+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分
考点：利用导数求函数最值。