中国数学奥林匹克赛前培训练习2

中国数学奥林匹克赛前培训练习2
1.已知圆内接四边形ABCD ，直线AD 和BC 交于点E ，且点C 在点B ，E 之间，对角线AC ，BD 交于F 。

设点M 为边CD 的中点，点N 是△ABM 的外接圆上的不同于M 的点，且满足AN ：BN=AM ：BM 。

证明：E ，F ，N 在一条直线上。

2. 设1,,0,3
a b c ab bc ca ≥++=，证明：
222
111
3111
a bc
b ca
c ab ++≤-+-+-+.
3、定义数列 ,,,,21n x x x 如下：)1,0[1∈x 且
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-+0
00]1[11n n n n
n x x x x x 若若 .1≥n
证明：对一切正整数,n 有132
2121++++<+++n n n f f f f f f x x x 其中{}n f 是斐波那契数列：.11
1221≥+===++n f f f f f n
n n
4. 设13
312211113,12,11===a a a ，且4,3221≥-+-=----n a a a a a n n n n n 求1414a 。

5.已知a ，b 是不同的正有理数，使得存在无穷多个正整数n ，n n b a -是正整数，求证：a 和b 也是正整数。

解答
1.已知圆内接四边形ABCD ，直线AD 和BC 交于点E ，且点C 在点B ，E 之间，对角线AC ，BD 交于F 。

设点M 为边CD 的中点，点N 是△ABM 的外接圆上的不同于M 的点，且满足AN ：BN=AM ：BM 。

证明：E ，F ，N 在一条直线上。

证明：延长DC ，AB 交于点P ，则直线EF 即为点P ，关于⊙O 的极线，欲证N 在直线EF 上只需证：N 对⊙O 的极线过P 点。

设△AMB 外接圆为⊙O '
∵AMBN 均在⊙O '上，且AM ：MB=AN ：NB
∴点M ，N 外的两条切线交于直线AB 上，设为R ，取AB 中点S 。

由每7题结题，点N 对⊙O 的幂等于点N 对△OSM 的幂。

过P 作PW ⊥ON 于W 。

则OMPWS 共圆。

∴N 对⊙O 的幂等于N 对△OWP 外接圆的幂 ∴P 点在N 关于⊙O 的极线上 ∴结论成立。

2、 设1,,0,3
a b c ab bc ca ≥++=，证明：
222
111
3111
a bc
b ca
c ab ++≤-+-+-+. 证 由已知条件知：21
1103
a bc -+≥-+>. 同理，221,10
b ca
c ab -+-+>. 另外，
0a b c ++>.令
222
111
a b c
M a bc b ca c ab =
++-+-+-+， ① 222
111
111
N a bc b ca c ab =++-+-+-+. ②
由柯西不等式
()()2
222(1)(1)(1)M a a bc b b ca c c ab a b c -++-++-+≥++，
故
2333()3a b c M a b c abc a b c ++≥++-+++2
22
1
a b c
a b c ab bc ca ++=++---+ 222
1
222a b c a b c ab bc ca a b c
++=
=+++++++. ③
由②式，结合已知条件知：
2223111
N ab bc ca bc ca ab ca ab bc a bc b ca c ab ++++++=++-+-+-+. ④ 另外，
222
1
()1111
ab bc ca a a b c a bc a bc a bc ++=+++--+-+-+， ⑤
2221
()1111bc ca ab b a b c b ca b ca b ca ++=+++--+-+-+，
⑥ 222
1
()1111
ca ab bc c a b c c ab c ab c ab ++=+++--+-+-+.
⑦
由①至⑦式，可得：
()33
N
M a b c N =+++-， 23()323N a b c
M a b c a b c
++=-++≤-=++， 故3N ≤. 这就是要证的结论.
另证 记,M a b c N ab bc ca =++=++，则
原不等式211
2a bc N N N
⇔≤
-++∑
1
21312221.
2N
aM N
N
aM N aM
aM N ⇔≤+-⎛⎫⇔+≥-+ ⎪+⎝⎭
⇔≥+∑
∑∑
由Cauchy 不等式，有
()
()
2
224
4
22222
22 1.2aM aM
aM N a M aM N M M
M a M N M M
≥++⋅=
==+⋅∑∑∑
∑
故原不等式成立．
3、定义数列 ,,,,21n x x x 如下：)1,0[1∈x 且
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-+0
00]1[11n n n n
n x x x x x 若若 .1≥n
证明：对一切正整数,n 有132
2121++++<+++n n n f f f f f f x x x 其中{}n f 是斐波那契数列：.111221≥+===++n f f f f f n
n n
证：用数学归纳法，1=n 时，)1,0[1∈x ∴2
1
11f f x =
<命题成立。

2=n 时，01=x 显然成立，设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=-=
∈111211]1
[1)1,0(x x x x x （ⅰ）若21
01≤<x ，则3221112112
11f f f f x x x x +=+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+
（ⅱ）若
12
1
1<<x ，则.11]1[11112-=-=x x x x ∴111121-+=+x x x x
令]12
1
[1
)(⋅∈+
=t t t t f 则)(t f 减函数
∴3
221112123
1)21(1)(11f f f f f x f x x x x i +==-<-=-+
=+故2=n 时命题成立。

假设1,+=k k n 时命题成立，则当2+=k n 时，由归纳假设
1
32
21243+++++<
+++k k k f f f f f f x x x ①
2
132
21232++++++<
+++k k k f f f f f f x x x ② （1）若321++≤
k k f f x ，则由②得，323221221++++++≤+++k k k f f f f
f f x x x （2）若321++>
k k f f x ，且2
1
32>++k k f f ∴.1)(1)(11
2
13223323211121+++++++++++=-+=<-=-+
=+k k k k k k k k k k f f f f f f f f f f f x f x x x x 于是由①式可得3
22121
221++++++++<
+++k k k k k f f f f f f x x x 4.设13
312211113,12,11===a a a ，且4,3221≥-+-=----n a a a a a n n n n n 求1414a 。

解：对于2≥n ，定义1--=n n n a a b ，则对于32121,,-----+=+=n n n n n n b b a b b a n 于是
311----=-=n n n n n b b a a b 又0≥n b 。

故如果{}T b b b n n n ≤++21,,max ，则对所有T b n m m ≤≥,。

特别地，有序列{}n b 有界，下面证明如下命题：
如果对于某个{}2,,m ax ,21≥=++T b b b i i i i ，则{}.1,,m ax 876-≤+++T b b b i i i
用反证法，如果以上结论不成立，则对于6,,2,1,+++=i i i i j ，均有{}
2,,max 21≥=++T b b b j j j ，对于1,+i i 或T i =+2，相应地取1,+=i i j 或2+i ，于是序列 ,2,1,++j j j 有 ,,,,y T y x T -的形式，其中{}T y T y x T y x =-≤≤,,m ax ,,0因此，T x =或T y =或0=y 。

①如果T x =，则序列有 ,,,,y T y x T -的形式。

因此{}T y T y x =-,,m ax ∴T y =或0
②如果T y =，则序列有 y y T y x T ,,,,-的形式，∴{}T x T x =-,,0m ax ，则0=x 或T 。

③如果0=y ，则序列有x x T x T x T T x T ,,,,,0,,---的形式 则T x =或0
在上述每一种情况中T x =或0且，T y =或0，则T 一定整除21,,++j j j b b b 中的每一项，由于
{}T b b b b ==3432,,max ，则对于4≥n ，均有n b T 。

但是31213114121311b b =-<=，因此43b b ，
矛盾，所以命题成立。

设13
14
13
,14==N M ，则{
}.,,m a x 432N b b b ≤由此可知{}14)1(,3)1(,2)1(m a x 666≤+-+-+-N S N S N S ，因为1a 为奇数，2a 为偶数，3a 为奇数，4a 为
偶数，5a 为偶数，6a 为奇数，7a 为奇数，8a 为奇数，9a 为偶数，10a 为奇数…，因此)2(mod 7+≡n n a a ，
所以相邻的三个i b 不能都是0，于是{}14)1(,3)1(,2)1(m ax 666=+-+-+-N b N b N b
特别地，当2)1(+-≥N n 时，有0=n b 或1，故当4)1(6+->≥N M n 时，
{}2,1,021∈+=--n n n b b a 特别地，当0=M a ，1或2，由于M 是7的倍数，则)2(m od 7a a M ≡则1=M a 。

5.已知a ，b 是不同的正有理数，使得存在无穷多个正整数n ，n n b a -是正整数，求证：a 和b 也是正整数。

证明：设2
211,p q
b p q a ==
，其中i i q p -是 的正整数，.2,1=i 设正整数n 使n n b a -是正整数。

则n n n
n n n n
n p p q p p q p q p q 2
121212211⋅⋅-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛是正整数。

∴n n n n n n q p p q p p 2
12121⋅-⋅⋅ n n
n p q p 211⋅且n
n n q p p 212⋅ 又),(,1),(2211q p q p = ∴n n p p 21且n n
p p 12
∴21p p =，由题意只需证121==p p 假设121>=p p ，设p 是1p 的一个素因子。

则p q a 1=
'和p
q
b 2='也是满足条件的一个数对。

设d 是使d
d q q p 21-的最小正整数（注意)(mod 01211p q q p p ≡---故存在正整数k 使k
k q q p 2
1-） 我们说若)(21+∈-N m q q p m
m ，则m d （否则若m d ，设+∈+<<N k d k m kd ,)1(，设r kd m +=，则+∈N r ，且d r <<0则r
kd r kd q q p ++-2
1而kd kd q q 21-是d q q q 21-的倍数，则)(mod 21p q q kd kd ≡则)(212212r r kd r kd r kd q q q q q q p -=-⋅+，而)1,(2=p q ∴r
r q q p 2
1-，这与d 的最小性矛盾！）
所有无穷多个正整数n 使nd
nd nd q q p 21-，记22
11,r q r q d d ==，则n n n r r p 21-且21r r p -. 设αp l r r ⋅=-21（++∈∈N N l α,且l p ） 设βp h n ⋅=（N N h ∈∈+β,且l p ） 当p 为奇素数时，n n r r p 21-+βα 注意到n n n n r p l r r r 2221)(-⋅+=-α
k
n n
k k C p l ⋅⋅=∑=1)(α k n n
k k C p l n p l ⋅⋅+⋅⋅=∑=2
)(αα
而当2≥k 时，k n k C p l ⋅⋅)(α是1++βαp 的倍数。

（这是因为11--⋅=⋅k n k n C n C k 是β
p 的倍数，设
N r k p r ∈,，则r k
n
p C p ⋅β ∴k n k C p ⋅⋅)1(α至少是r k p -+βα的倍数，则只用证1)1(1+≥-⇔++≥-+r k r k αβαβα，当0=r 时，11)1(+≥≥-r k α当+∈N r 时，
r r r p k 21)21(+≥+≥≥ ∴121)1(+≥≥-≥-r r k k α，得证。

）
又n p ⋅⋅α1不是1++βαp 的倍数。

∴n n r r p 21-+βα，由已知有无穷多个正整数n 使βα+p p n ，而βp h n ⋅=∴n ≥+βα，则
αβ-≥n ∴)(21)21(αααα-+≥+≥≥⋅≥---n p p h n n n n 则12-≤αn ，故n 只有有限个，矛盾。

当p =2时，则n n r r 212-，这里满足22212r r -θ 事实上，此时α221⋅=-l r r （+∈N α，l 为奇数）
β2⋅=h n （N ∈β，n 为奇数）
则
(
)
12222232122221)1(212221222121)()()()()()(----⋅⋅++⋅+⋅+-=-=-h n h h h h n n r r r r r r r r r r r r β
ββββββ
βββ 注意上式中个乘式是奇数 个奇数相加，故只用证β
β
θβ22212r r - 当0=β时，212221r r r r -=-β
β
，而21212122212),)((r r r r r r r r ++-=- ∴212r r -θ即ββ
β
θ22
21
2
r
r
-+
当1≥β时，)())((1
1
22212122212221--++-=-βββ
βϕϕr r r r r r r r
而)1,,2,1(22221+=+β j r r j
j
∴βββθ22
21
1
2
r
r
--+ ∴βββ
θ22
21
2
r
r
-+
而有无穷多个n 使n n n r r 212- 则βθ+<n 而β2≥n ∴θ-+=>n n )11(2
当θ>-1n 时，2
)
1)((1)(1)11(2
---+
-+=+-+≥+--θθθθθθn n n C n n n
2
1θ
θ-+
-+≥n n
∴2
)
(31θ-+
≥n n 则13-≤θn ，这与n 有无穷多个矛盾。

综上，121==p p ，即a 和b 都是正整数。