四方台区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

四方台区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 给出以下四个说法：
①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
②线性回归直线一定经过样本中心点，；
③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）=；
④对分类变量X 与Y 它们的随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“与X 与Y 有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 已知x ，y 满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
3． 定义行列式运算：
．若将函数的图象向左平移m
（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
5． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3
6． 函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）
A ．（0，1）
B ．（2，1）
C ．（2，0）
D ．（0，2）
7． 已知直线34110m x y +-=：与圆22
(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）
A ． B.
C. D. 8． 已知函数()e sin x
f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828
=为自然对数的底数．当[0,
]2
x π
∈时，
函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．2
(,e )π
-∞ D ．2
(,e ]π-∞
【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 9． 设函数的集合
，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P 中函数
的图象恰好经过Q 中
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
10．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
11．已知双曲线的渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2
=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A ．（，+∞）
B ．（1，
） C ．（2．+∞）
D ．（1，2）
12．计算log 25log 53log 32的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
二、填空题
13．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）
的标准差是a = ．
14．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则
球表面积是_________.
15．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23
π，23c a -=，则a
与
c
的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 16．设f （x ）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f （﹣2）=0，则xf （x ）＜0的解集为 ．
17．已知点F 是抛物线y 2
=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．
18．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．
三、解答题
19．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2S n +1，等差数列{b n }满足b 3=3，b 5=9， （1）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）若对任意的n ∈N *
，
恒成立，求实数k 的取值范围．
20．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣19n+1，记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．
（1）求S n 的最小值及相应n 的值；
（2）求T n ．
21．本小题满分10分选修45-：不等式选讲 已知函数2()log (12)f x x x m =++--． Ⅰ当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；
Ⅱ若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．
22．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会
（Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3）随机抽取3名进行体检，设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有ξ名，求ξ的分布列和数学期望．
23．已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，
0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
24．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
四方台区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错；
②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确；
③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．2．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知A（a，a），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解
得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．【答案】C
【解析】解：由定义的行列式运算，得
=
==
=．
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，
所得图象对应的函数解析式为．
由该函数为奇函数，得，
所以，则m=．
当k=0时，m有最小值．
故选C．
【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．
4．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
5． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数， 则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f （x ）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B ， 故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m 的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
6． 【答案】D
【解析】解：令x=0，则函数f （0）=a 0
+3=1+1=2．
∴函数f （x ）=a x
+1的图象必过定点（0，2）．
故选：D ．
【点评】本题考查了指数函数的性质和a 0
=1（a ＞0且a ≠1），属于基础题．
7． 【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆
的面积为
1
||2
AB d '⋅=，选C ． 8． 【答案】B
【解析】由题意设()()e sin x
g x f x kx x kx =-=-，且()0g x ≥在[0,]2
x π∈时恒成立，而
'()e (sin cos )x g x x x k =+-．令()e (sin cos )x h x x x =+，则'()2e c o s 0x
h x x =≥，所以()h x 在[0,]2
π上递
增，所以2
1()h x e π≤≤．当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2
π上递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2
e k π
≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,]2
π
上递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21e k π
<<时，()g x '为一个递增
函数，而'(0)10g k =-<，2'()e 02
g k π
π
=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，
当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上
所述：k 的取值范围为(,1]-∞，故选B ．
9． 【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a ＝－时，不符；a ＝0时，y ＝log 2x 过点(，－1)，(1,0)，此时
b ＝0，b ＝1符合； a ＝时，y ＝log 2(x ＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b ＝0，b ＝1符合；
a ＝1时，y ＝log 2(x ＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时
b ＝－1，b ＝1符合；共6个 10．【答案】D
【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D ．
11．【答案】C
【解析】解：∵双曲线渐近线为bx ±ay=0，与圆x 2+（y ﹣2）2
=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即
＜1
∴3a 2＜b 2， ∴c 2=a 2+b 2＞4a 2，
∴e=＞2 故选：C ．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．
12．【答案】A
【解析】解：log 25log 53log 32==1．
故选：A ．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】2 【解析】
试题分析：第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ，
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=．
考点：方差；标准差． 14．【答案】649
π 【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 15．【答案】6
π
，18123+ 【解析】
16．【答案】（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减，∴f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，
即f（2）=0，
由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得xf（x）＜0⇔或，
解得x＜﹣2或x＞2，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
17．【答案】
．
【解析】解：∵F 是抛物线y 2
=4x 的焦点， ∴F （1，0），准线方程x=﹣1， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴|MF|+|NF|=x 1+1+x 2+1=6， 解得x 1+x 2=4，
∴△MNF 的重心的横坐标为，
∴△MNF 的重心到准线距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
18．【答案】3
π 【解析】
3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=2S n +1① 得a n =2S n ﹣1+1②，
①﹣②得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），
∴a n+1=3a n（n≥2）
又a2=3，a1=1也满足上式，
∴a n=3n﹣1；
b5﹣b3=2d=6∴d=3
∴b n=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；
（2），
∴对n∈N*恒成立，
∴对n∈N*恒成立，
令，，
当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，
，
所以实数k的取值范围是
【点评】已知数列的项与前n项和间的递推关系求数列的通项，一般通过仿写作差的方法得到数列的递推关系，再据递推关系选择合适的求通项方法．
20．【答案】
【解析】解：（1）S n=2n2﹣19n+1=2﹣，
∴n=5时，S n取得最小值=﹣44．
（2）由S n=2n2﹣19n+1，
∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16．
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．
由a n≤0，解得n≤5．n≥6时，a n＞0．
∴n≤5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=﹣2n2+19n﹣1．
n≥6时，T n=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+a n
=﹣2S5+S n
=2n2﹣19n+89．
∴T n=．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】Ⅰ当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集.[来 由于
1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨
-+--->⎩，或12
(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩， 或2(1)(2)70
x x x ≥⎧⎨++-->⎩. 所以3x <-，无解，或4x >.
综上，函数)(x f 的定义域为(,3)
(4,)-∞-+∞
Ⅱ若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--恒成立. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-
所以m 的取值范围是(,1]-∞-.
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M ， 则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，
根据题意可知P （）==
，
由对立事件的概率计算公式可得
，
故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为
．
（Ⅱ）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
，
P （ξ=1）==
，
P （ξ=2）==
，
P （ξ=4）=（）3=
，
则数学期望
．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
23．【答案】
【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．
∵右顶点为D（2，0），左焦点为，
∴a=2，，．
∴该椭圆的标准方程为．
（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得，解得．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴．
把（*）代入上式可得，可化为．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆．
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）．
∴|BC|=2，点A到y轴的距离为1，∴=1；
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）．
联立，化为（1+4k2）x2=4．解得，
∴．
∴|BC|==2=．
又点A到直线BC的距离d=．
∴==，
∴==，
令f（k）=，则．
令f′（k）=0，解得．列表如下：
又由表格可知：当k=时，函数f（x）取得极小值，即取得最大值2，即．
而当x→+∞时，f（x）→0，→1．
综上可得：当k=时，△ABC的面积取得最大值，即．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．
24．【答案】
【解析】
【专题】概率与统计．
【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株
数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概
率为=；
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46
【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．。