感悟“RMI 原理”

感悟“RMI 原理”
蒋亮
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2012(000)007
【总页数】5页(P6-10)
【作者】蒋亮
【作者单位】象山县教育局浙江象山315700
【正文语种】中文
“化归”是转化和归结的简称，化归方法是数学解决问题的基本方法．高中数学中有许多种化归是通过寻找恰当的映射来实现的，徐利治教授把这类通过寻找恰当映射实现化归的策略进一步形式化地抽象为关系映射反演原理，简称RMI(relation ship mapping inversion)原理，此原理可以表述如下：
给定一个含有目标原象x的关系结构系统S，如果能找到一个定映映射φ，将S映入或映满另一个关系结构系统S*，在S*中，通过一定的数学方法，将目标映象
x*=φ(x)确定出来，再通过反演，即逆映射φ-1，把目标原象x=φ-1(x*)确定出来，从而使原问题获解．
利用“RMI原理”解决问题的框图如下：
“RMI原理”为我们探索和研究数学对象提供了一种较为有用的思想方法．用“RMI原理”审视高中数学教学，笔者有几点感悟，仅供一线教学的同行参考和
启迪．
在解决数学问题时，我们有时会通过“转化”的途径，将要解决的陌生问题转化为
熟悉问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽象深奥的问题转化为具体浅显的问题．这种通过“转化”来解决数学问题的思想方法，就是我们通常所说的“数学化归”．
“数学化归”就其涉及到的学科知识论域而言，可以归纳为3类：
(1)同一个论域内同一组对象之间的化归．例如在几何证明中，要证明某2条直线平行，可以化归为证明同位角相等，或者化归为某个三角形的中位线与底边的关系等等．这类问题的化归局限于同一课程同一研究对象内部之间的转化，属于化归的第一层次．
(2)同一个论域内不同对象之间的化归．例如在解析几何中，通过换元的方法，将直线与椭圆的相交问题，转化为直线与圆的相交问题．这类问题涉及同一课程不同研究对象之间的化归，属于化归的第二层次．
(3)不同论域之间或不同学科之间的化归．例如通过坐标法可以将曲线的相交问题(几何)化归为方程组的求解问题(代数)．这种涉及数学的不同分支之间，亦或不同学科之间的化归，属于化归的第三层次．
感悟“RMI原理”与“数学化归”，笔者认为：“RMI原理”体现了化归的较高层次，即“RMI原理”实现了不同数学分支之间、不同数学对象之间的转化．这种转化能够洞察原关系结构系统和新关系结构系统之间的对应关系，并通过关系结构系统，使得原问题的解决变得更加直观、浅显，解题的思维变得更加优化、精深．因此，“RMI原理”是一种化归，而且是化归的较高层次．
例1 已知直线l：Ax+By+C=0，椭圆τ：+=1，试探究直线l与椭圆τ的位置关系．
分析考虑到直线与圆的位置关系为我们所熟知，因此，可以通过压缩变换(选定映射φ)，将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系(选定象集S*)．
令实质是建立定映映射φ)，则直线l：Ax+By+C=0，对应为直线l′：
椭圆τ：+=1，对应为圆τ′：
圆τ′的圆心到直线l′的距离
比较d与1的大小，即能确定直线l′与圆τ′的位置关系．注意到定映映射φ的可
逆性，即这样，直线与椭圆的相交性和直线与圆的相交性保持不变．于是，由直线l′与圆τ′的位置关系便可得出直线l与椭圆τ的位置关系：
当(aA)2+(bB)2=C2时，直线l与椭圆τ相切；
当(aA)2+(bB)2<C2时，直线l与椭圆τ相离；
当(aA)2+(bB)2>C2时，直线l与椭圆τ相交．
例1解题的精髓是通过换元法将直线与椭圆的位置关系转化为我们熟知的直线与
圆的位置关系，是解析几何中不同对象之间的转化，属于化归的第二层次．例1
解法之简捷，得益于“RMI原理”的实践，其结果完全可以作为一种判别式，用
来判断直线与椭圆的位置关系．务必指出，“RMI原理”作为一种化归，其定映映射φ必须保持某种不变性，例如用割补法把平行四边形面积化为矩形面积计算时，需要保证图形运动时面积不变．本例中的定映映射φ，保证了直线与椭圆的
相交性和直线与圆的相交性不变．
例2 已知：a,b,c∈R+，求证：
分析此题若用代数方法证明，需要经过多次平方，算式之复杂，计算之繁琐，会
让学生碰得头破血流．最后迫使他们改用三角形两边之和大于第三边的几何思考方法来解决此题，从而使原问题变得简易浅显、一目了然．
构造四边形ABCD,如图1所示.设E为AD的中点，且AE=DE=a，BE=b，CE=c，∠AEB=∠BEC=∠CED=60°,则
AB=,BC=,
CD=．
这样，在代数与几何之间便建立了一个对应关系(映射φ)：
↔AB,↔BC,
↔CD.
于是，要证的不等式就化归为证明AB+BC>CD．因为AB+BC>AC，而AC>CD，所以结论成立．
构建一个合适的模型，通过对这个模型的考察研究来完成解题，是“RMI原理”
建立定映映射φ的常见手段．例2解题的关键是构建了四边形ABCD(映射φ)，
从而改变了原问题的外部形式和内部结构，使代数问题和几何问题得以相互转化，属于化归的第三层次．
特别强调的是，在高中数学中，有许多数学方法，如解析法、复数法、换元法、向量法、构造模型法、几何(代数)变换法等，它们都是“RMI原理”的具体应用．在平常的教学中，若能从“RMI原理”的高度来认识和统一上面所提到的这些常见
的数学思想方法，定能优化学生的知识结构，提高学生的思维水平．
“RMI原理”的核心思想是利用2个系统之间的联系、关系与相似性来解决问题，因此，能否合理、巧妙地引进定映映射φ，是运用“RMI原理”解决问题的关键．感悟“RMI原理”与映射原则，笔者特别强调，在选取映射φ时应该遵循的
以下几条原则：
(1)简单化原则．在选择定映映射φ以及将原关系结构系统S映射至新关系结构系统S*时，必须坚持S*较之S，问题的解决变得更容易、更简单、更具体、更直观．即遵循由难变易、由繁变简、由非标准型变为标准型的基本原则．
(2)可逆性原则．一般来说，选择定映映射φ时，必须同时考虑到反演φ-1是否合乎问题需要，即是否可通过反演φ-1把原象目标x确定出来．通常，在2个具有
运算关系的结构系统S和S*中，选择映射φ时，应该考虑φ是否为同构映射或同态映射．如果建立在2个系统间的定映映射φ不是一一对应的，那么利用这样的
映射反演解题后，必须做一些必要的弥补工作．
(3)高观点原则．“RMI原理”是高层次的化归，因此，我们在选择映射φ时，应该坚持视角独特、构思新颖、方法巧妙等高观点原则．从而使得在映射φ下，从
S到S*的过程是原始计算向创新算法的优化过程(例如2个数的乘除运算可化归为对数的加减运算)；是低级思维向高级思维的发展过程(例如函数在[a,b]上的单调性关系可化归为导函数的正负值关系)．
(4)和谐性原则．“RMI原理”涉及的系统可大可小，情况多种多样．关键在于通
过映射φ，使得2个结构系统间的某类问题建立对应，以利于指导解题．
例3 对数与同构.
我们知道，全体正实数集R+关于乘法运算来说构成一个群，全体实数集R关于加法运算也构成一个群．在R+与R之间我们选定定映映射φ=logc(其中c>0且
c≠1)，在φ下，对于任意的a,b∈R+，都有a→logca,b→logcb.当a≠b时，有logca≠logcb．于是，定映映射φ就是R+到R上的一一映射．又因为
ab→logc(ab)=logca+logcb，所以，对于R+上的乘法运算和R上的加法运算来说，定映映射φ=logc是一个同构映射．
若要求出a·b(a>0,b>0)，不妨设x=a·b，乘法是原象间的关系，在同构映射φ下，要找映象x*，只需根据映象间的关系——加法来写出：
再作反演(反对数)，即得原象x．
一个同构映射，能将繁难的乘法关系映成简易的加法关系，这正是对数的价值所在．学习对数的主要之点，正是关系的转化，发现φ=logc是R+到R上的同构映射．
由于在平面上建立了直角坐标系，平面上的点与有序实数对之间便建立了一一对应关系(定映映射φ)，这样，函数与图像、方程与曲线、复数与向量等不同结构系统之间便构建了一定的对应关系，这便是我们常说的“数形结合思想”．数形结合的思想方法是“RMI原理”最集中的体现，它能给抽象的数量关系以形象的几何直
观，也能把粗犷的几何问题转化为细腻的数量关系．
在高中数学中，将几何问题转化为代数问题进行研究的典范是解析几何，通过几何直观来注释代数关系的经典内容则是矩阵与变换[1]．在平常的教学中，教师过多地从“数”的角度去理解“形”的特征，却淡化了给抽象的数量关系寻找形象的几何直观．事实上，数学是有“形”的，因为数学中的基本元素、概念等都是从现实世界中提炼和抽象出来的．感悟“RMI原理”与数形结合思想，笔者认为：要抓住矩阵和变换的教学机遇，给学生补上“以形助数”这一课，让抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，让抽象思维与形象思维统一起来．
例4 利用矩阵的几何意义直观认识矩阵的运算和运算律.
因为所以矩阵对应的变换是关于x轴的反射变换．同理，矩阵对应的变换是关于直线y=x的反射变换．由平面几何知识可知，将平面上一点P先作关于x轴的对称，再作关于直线y=x的对称，得到的点P′正好是将点P绕原点逆时针旋转90°所得．而逆时针旋转90°所对应的变换矩阵是正好是矩阵和矩阵的乘积.这正是矩阵乘法的几何意义，即2个矩阵相乘表示连续2次实施变换，据此，不难理解矩阵乘法满足结合律．这一特例同时也可帮助学生认识“旋转变换可以由连续2次反射变换来实现”这一性质．
将一个顶点为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形，先逆时针旋转90°，再将靠近y轴的方向压缩一半得到的结果(图2)，与先将靠近y轴的方向压缩一半，再逆时针旋转90°得到的结果(图3)作比较，让学生认识到交换变换顺序得到的结果一般是不同的，即
因此，矩阵的乘法不满足交换律．
根据投影变换的特点，把一个顶点为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形先作关于原点O的对称变换，再向x轴作投影变换得到的结果(图4)，与先作y轴的反射变换，再向x轴作投影变换得到的结果(图5)是一样的,即
但因为所以矩阵的乘法不满足消去律．
数学中存在各种结构系统，它们大多是独立发展起来的，后来，数学家发现其中某些结构系统之间有着密切的联系，甚至还可以一一对应，即将一个结构系统内成立的问题结论对应到另一个结构系统内，它的相应问题的结论也成立，于是便自觉地去寻找这类系统间的对应关系．这样，一种重要的数学思想方法——“RMI原理”便逐渐形成了．感悟“RMI原理”与数学创新，笔者认为：在定映映射φ下，2
个结构系统S与S*之间便构建了某种联系，通常将一个结构系统内成立的结论对
应到另一个结构系统内，它的相应结论也成立．这样，借助于对象集S*(或原集S)的探究，往往能反演出许多令人惊喜的创新硕果．
例5 三角函数与双曲函数的探究.
如图6所示，在单位圆中，点A(1,0)，向量由绕原点旋转而得．设点P(x,y)，扇形OAP的面积为，则∠AOP=α,x=cosα，y=sinα．
考虑到角α∈R，我们规定：当由绕原点逆时针旋转所得时，面积取正值；顺时针旋转所得时，面积取负值(显然，这里的面积是数量，已不是通常的面积概念了)；按逆(顺)时针每旋转一周，面积相应的增(减)2π．
同样的方法，实施到双曲线上，如图7所示，在等轴双曲线x2-y2=1中，点
A(1,0)，设P′(x,y)是双曲线上一点，曲边△OAP′的面积为．
因为曲边△ABP′的面积为
S= dt=
(t-ln|t+|
(x-ln|x+|),
且
所以 =-(x-ln|x+|)．
由
得
这便是通常所说的双曲函数．
在单位圆和等轴双曲线之间构建定映映射φ：使得单位圆上的点P对应于等轴双曲线上的点P′，两者保持曲边△OAP的面积和曲边△OAP′的面积相等(图6和图7)．显然，在定映映射φ下：cosα↔coshα，sinα↔sinhα．这样，人们把coshα和sinhα分别称作双曲余弦、双曲正弦就可以理解了．
观察双曲函数，coshα和sinhα均可用一个基本函数eα来表示．不妨称eα为双曲函数的中心函数，记为f(α)=eα．于是，
类似地，在三角函数中，cosα和sinα是否也存在一个中心函数g(α)？
分析双曲函数的中心函数，由于
其中x，y满足x2-y2=1,因此在三角函数中，若令x′=cosα，y′=isinα，则x′,y′也满足x′2-y′2=1．这样，猜想中心函数
这便是数学家欧拉的伟大发现．由此可得
现在提出一个问题：不脱离实数域，能否将cosα和sinα类似地简化为用一个基本函数来表示？
从射影几何的观点来看图形(图8和图9)，这是可能的．考虑单位圆和通过点G(-1,0)的直线束y=λ(x+1)，其中λ是参数(如图8所示)．容易解得圆对应于λ的射线的交点P的坐标为
因为
所以
即
这种通过tan对c osα和sinα作单值表示的公式，就是通常所说的万能公式．
观察双曲函数的中心函数f(α)，有性质f(α+β)=f(α)f(β)．对于三角函数的中心函数g(x)而言，是否也有性质g(α+β)=g(α)g(β)?
如图9，设P′(cosα,sinα)，P(cos(α+β),sin(α+β)),则是绕原点逆时针旋转角β所得,即
又g(α)g(β)=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=
(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ),
故对于中心函数g(x)而言，也有性质
由该性质可得
这就是两角和公式．
限于篇幅，我们不再探索，但事实足以说明，通过对象集S*的不断探究，定能反演出原集S的更多性质(反之亦可)，这些性质如果不是“RMI原理”的实践，恐怕很难观察出来．可以这样说，“RMI原理”为我们提供了一种探究的方法、一条创新之道.它的应用，能锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，能提高学生的数学创新能力．
如果谁能对一些十分重要的关系结构S，巧妙地引进非常有用且具有能行性反演φ-1的可定映映射φ，谁就作出了较为重要的贡献[2].
文章得到导师张奠宙先生的悉心指导，在此谨表谢意！
【相关文献】
[1] 普通高中课程标准实验教科书数学(选修4-2)[M]．北京：人民教育出版社，2008．
[2] 徐利治．数学方法论选讲[M]．武汉:华中工学院出版社，1983．
[3] 张奠宙．数学方法论稿[M]．上海：上海教育出版社，1996．。