6月23日-2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练解直角三角形

2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练
解直角三角形
1.在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sin A=23,则边AC的长是()
A.5
B.3
C.43
D.13
【解析】A.∵sinA= =23,BC=2,∴AB=3,
∴AC= 2- 2=32-22=5.
2.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB的值为()
A.23
B.13
C.22
D.3
【解析】选B.由勾股定理可求出:BC=22,AC=25,DF=10,DE=2,∴ =22, =22, =22,
∴ = = ,∴△FDE∽△CAB,
∴∠DFE=∠ACB,∴tan∠ACB=tan∠DFE=13.
3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为________(参考数据:sin37°≈
0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)()
【解析】选A.如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,
则∠EHG=∠HEF=90°,
∵∠AEF=143°,
∴∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,
∠EAH=37°,
在△EAH中,∠EHA=90°,∠EAH=37°,AE=1.2米,
∴EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(米),
∵AB=1.2米,
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米.
4.在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tan∠ABM=________.
【解析】如图,延长MN交BC的延长线于点T,设MB的中点为O,连接TO,则OT⊥BM,
∵∠ABM+∠MBT=90°,
∠OTB+∠MBT=90°,
∴∠ABM=∠OTB,则△BAM∽△TOB,
∴ t =t ,即 t t = ,
即MB2=2AM·BT①
由N是DC的中点,四边形ABCD是正方形,
易得△MND≌△TNC,∴MD=CT.
令DN=1,CT=MD=k,则AM=2-k,BM=4+(2- )2,BT=2+k,
代入①中得:4+(2-k)2=2(2-k)(2+k),
解方程得:k
1=0(舍去),k
2
=43.
∴AM=2-43=23. tan∠ABM= t =232=13.答案:13
5.一艘轮船在小岛A的北偏东60°距小岛80海里的B处,沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为________海里/时.
【解析】如图所示,设该船行驶的速度为x海里/时,2小时后到达小岛的北偏西45°的C处,由题意得:AB=80海里,BC=2x海里,在直角三角形ABQ中,∠BAQ=
60°,∴∠B=90°-60°=30°,∴AQ=12AB=40,BQ=3AQ=403,在直角三角形AQC中,∠CAQ=45°,∴CQ=AQ=40,
∴BC=40+403=2x,解得:x=20+203.即该船行驶的速度为(20+203)海里/时.
答案:(20+203)
6.如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2km,从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为________km(精确到0.1).
【解析】在CD上取一点E,使BD=DE,设BD=DE=x.
∵BD=DE,
∴∠EBD=45°,
由题意可得∠CAD=45°,
∴AD=DC,
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向,
∴∠BCE=∠CBE=22.5°,
∴BE=EC,
∵AB=AD-BD=2km,
∴EC=BE=DC-DE=2km,
∵BD=DE=x,∴CE=BE=2x,
∴2+x=x+2x,解得x=2.
∴DC=(2+2)≈3.4(km)
答案:3.4
7.校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道L上确定点D,使CD与L垂直,测得CD的长等于24米,在L上点D的同侧取点A,B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.
(1)求AB 的长(结果保留根号).
(2)已知本路段对校车限速为45千米/时,若测得某辆校车从A 到B 用时2秒,这辆校车是否超速?请说明理由.(参考数据:3≈1.73,
2≈1.41)
【解析】(1)由题意得,
在Rt△ADC 中,AD=
30°==243(米),
在Rt△BDC 中,BD= 60°==83(米),则AB=AD-BD=163(米).
(2)超速.理由:∵汽车从A 到B 用时2秒,
∴速度为16×1.73÷2=13.84(米/秒),13.84×3.6=49.824(千米/时)>45(千米/时).∴此校车在AB 路段超速.
8.在一节数学实践课上,老师给出了这样一道题,如图1,在锐角三角形ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c,请用a,c,∠B 表示b 2.同学们经过思考后,
甲同学说:要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏∠B,因此可以过点A,作AD⊥BC 于点D,如图2,大家认同;
乙同学说要想得到b 2
要在Rt△ABD 或Rt△ACD 中解决;
丙同学说那就要先求出AD=________,BD=________;(用含c,∠B的三角函数表示)
丁同学顺着他们的思路,求出b2=AD2+DC2=____________(其中
sin2α+cos2α=1);请利用丁同学的结论解决如下问题:
如图3,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,AB=4,AD=5,求AC的长.
【解析】∵sin B= ,cos B= ,
∴AD=AB·sin B=c·sin B,
BD=AB·cos B=c·cos B,
CD=BC-BD=a-c·cos B,
则b2=AD2+DC2=(c·sin B)2+(a-c·cos B)2
=c2sin2B+a2+c2cos2B-2ac·cos B
=c2(sin2B+cos2B)+a2-2ac·cos B
=a2+c2-2ac·cos B.
答案:c·sin B c·cos B a2+c2-2ac·cos B
如图3所示,延长BC,AD交于点E,
∵∠B=90°,∠BAD=60°,AB=4,
∴AE=2AB=8,∠E=30°,∵AD=5,
∴DE=3,
∵∠ADC=∠CDE=90°,∴CE=23,∴AC2=CE2+AE2-2CE·AEcos30°=12+64-2×23×8×32=28,
∴AC=27.
9.如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B 的北偏东60°方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30°方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为752海里.
(1)求B点到直线CA的距离.
(2)执法船从A到D航行了多少海里?(2≈1.414,3≈1.732,结果精确到0.1海里)
【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H(如图),
∵∠EBC=60°,
∴∠CBA=30°,
∵∠FAD=30°,
∴∠BAC=120°,
∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°,
∴BH=BC×sin∠BCA=150×12=75(海里).
答:B点到直线CA的距离是75海里.
(2)∵BD=752海里,BH=75海里,
∴DH= 2- 2=75(海里),
∵∠BAH=180°-∠BAC=60°,
在Rt△ABH中,tan∠BAH= =3,
∴AH=253,
∴AD=DH-AH=75-253≈31.7(海里).
答:执法船从A到D航行了31.7海里
10.如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角β=60°,求树高AB(结果保留根号)
【解析】作CF⊥AB于点F,设AF=x米,
在Rt△ACF中,tan∠ACF= ,
则CF= ∠ = = 30°=3x,
在直角△ABE中,AB=x+BF=4+x(米),
在直角△ABE中,tan∠AEB= ,则BE= ∠ = +4 n60°=33(x+4)米.∵CF-BE=DE,即3x-33(x+4)=3.
解得:x=33+42,
则AB=33+42+4=33+122(米).
答:树高AB是33+122米.
11.如图,AB是长为10m,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数).
(参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34,sin65°≈910,tan65°≈157)
【解析】作BF⊥AE于点F.则BF=DE.
在直角△ABF中,sin∠BAF= ,
则BF=AB·sin∠BAF≈10×35=6(m).
在直角△CDB中,tan∠CBD= ,
则CD=BD·tan65°≈10×157≈21(m).
则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27(m).
答:大楼CE的高度是27m.
12.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处(参考数据:3≈1.732,结果精确到0.1).
【解析】如图,作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,
在Rt△APC中,
∵AP=20(海里),∠APC=60°,
∴PC=AP·cos60°=20×12=10(海里),
AC=AP·sin60°=20×32=103=10×1.732≈17.3(海里).
在Rt△BPC中,∵∠BPC=45°,
∴BC=PC=10(海里).
∴AB=AC-BC=17.3-10=7.3(海里).
答:它向东航行7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处.
13.如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面10米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
【解析】由题意得,AH=10米,BC=10米,
在Rt△ABC中,∠CAB=45°,
∴AB=BC=10,
在Rt△DBC中,∠CDB=30°,
∴DB= ∠ =103,
∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)
=10-103+10=20-103≈2.7(米),
∵2.7米<3米,
∴该建筑物需要拆除.。