普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷2

普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷2
很好
2022年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分共24分）1、lim 111
n
1 6
6 11
111 16
(5n 4)(5n 1) 等于
A、1
B、
116
C、
5
1,x 02、设f(x)
0,x 0，则x 0为f(x)的
1,x 0A、连续点B、无穷间断点
C、可去间断点3、直线
x 1y 2z 22
5
与平面4x 3y z 0的关系是A、直线与平面垂直B、直线在平面上
C、直线与平面无公共点
D、直线与平面相交于一点
4、设z x2y，则dz等于
A、2yx2y 1dx 2x2y
lnxdy
B、2yx2y 1dx 2x2y
dy
C、x2ydx 2x2ydy
D、x2ydx x2ydy
5、设区域（）为
2
≤x2
y2
≤ 2
，则
cos
x
2
4
d 等于( x2 y
2
)
A、0
B、2
C、2
6、级数sin
2
n
n 1
A、发散
B、其部分和Sn无界
C、是交错级数二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、函数f(x) x1 x
的定义域是2、曲线y
2xlnx
的垂直渐近线是3、d( f(1
x
)dx) 4、过点2, 1,2 且与直线
y 1
z2
垂直的平面方程为5、微分方程y 3y 2y 0的通解为D、
14
D、跳跃间断点D、3
D、收敛
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6、lim
x 0
sintdt
x
x
2
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、求lim x 0
cosx 1
x
3/2
1 2
xsin,x 0
2、设f(x) ，求f (x) x
3、求
a xa x
12
2
，(a 0).
4、计算xarctanxdx
5、求方程
6、计算
xdx1 y
3
ydy1 x
0满足y(0) 1的特解
xy
( )
d
，其中（）是由直线y 2,y x及y轴围成的三角区域n
7、判别级数
n 1
2n!n
n
的敛散性
（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
1、求心形线a(1 cos )(a 0)所围成的平面图形的面积
2、求函数f(x,y) x xy y x y的极值五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
x
1、试证：当x 0时，e 1 x
2
2
2
2、设e a b e，试证：lnb lna
22
4e
2
(b a).
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[Level 2] 2022年普通高校“专转本”统一考试
高等数学模拟卷7参考答案
一、选择题
1-6 C D B A C D 二、填空题1、1,1
5、y C1e2x C2ex 三、计算题1、0
11
2、f'(x) __
x 0x 0
2、x 1 6、
12
3、f()dx
x
1
4、x y 2z 7 0
（简单的分类讨论思想）
3、原式aln(x
4、原式
4 12
a x)
22
a x
22
C
5、解：分离变量后得x(1 x)dx y(1 y)dy；
56
由y(0) 1知C ；特解为
12
2
13
x
3
y
2
2
y
3
3
56
，即2(x3 y3) 3(x2 y2) 5 0.
6、重要式：2x
22
16 16
x .
3 2
4 0
n 1
7、解：lim lim
x
x
(n 1)
12 lim2 lim2 1，nnx x e2n! n 1 1
1
n
n
n
n
n
由此可知所给级数收敛.
8、分析：待求平面的法矢量为n {2,4, 1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面z x y切平面的法矢量与n {2,4, 1}平行确定.
22
详解：令F(x,y,z) z x y，则Fx 2x，Fy 2y，Fz 1.
22
设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为{ 2x0, 2y0,1}，其与已知平面2x 4y z 0平行，
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因此有
2y0
4
1 1
22
，可解得x0 1,y0 2，相应地有z0 x0 y0 5.
故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0，即2x 4y z 5. 四、综合题1、S 2
12
a(1 cos )d 8a
'
222
3 1 32
a 4 222
2、fx' 2x y 1，fy 2y x 1
f
''
yy
2，f
''xy
1，f
'
fx 2x y 1 0
得驻点(1,1) 2；令'
fy x 2y 1 0
在驻点(1,1)处有B2 4AC 1 4 3 0,A 2 0 故f(x,y)在点(1,1)取得极小值f(1,1) 1. 五、证明题
1、证明：设f(x) ex 1 x，f'(x) ex 1
f(x)在0, 上连续，在0, 内f(x) 0，因此
'
f(x)在0, 为单调递增，从而x 0时，f(x) f(0)
由于f(0) 0，故f(x) f(0) 0，即ex 1 x 0 亦即x 0时，ex x 1.
2、（致远提醒本题至少有三种证法，这里给出其中一种）证明：对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日定理，得
lnb lna
lntt
2
22
2ln
(b a), a b；
1 lntt
2
设(t) ，则(t) ，
当t e时，(t) 0, 所以(t)单调减小，从而( ) (e)，即ln lnee
22
2。