2019-2020学年山东省济南市历城第二中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省济南市历城第二中学高一上学期期末
数学试题
一、单选题
1．设集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，则A B I 等于（ ） A ．{}5,8 B ．{}3,,6
C ．{}4,7
D ．{}3,5,6,8
【答案】A
【解析】集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，又集合A 与集合B 中的公共元素为5,8，{}5,8A B ∴⋂=，故选A.
2．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A ．x R ∃∈，210x x -+≤ B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．x R ∃∈，210x x -+> D ．x R ∀∈，210x x -+≥
【答案】A
【解析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．如果角α的终边经过点(P -，则cos α=（ ）
A ．1
2
-
B C ．D ．
12
【答案】A
【解析】依题意，可求得||2(OP O =为坐标原点），利用任意角的三角函数的定义即可求得cos α的值． 【详解】
解：Q 角α的终边经过点(P -，
2(OP O ∴=
为坐标原点）
， cos 2
1
α∴=-．
故选：A ． 【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．若函数()211
1x x f x lgx
x ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)=
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B 【解析】【详解】
因为101>，所以()10lg101f ==. 所以2
((10))(1)112f f f ==+=,故选B. 【点评】
对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.
5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2
2f x x x =+，则()1f -=（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】A
【解析】先通过给出的解析式求得(1)f 的值，接着因为奇函数的性质有，
(1)(1)f f -=-，从而求得(1)f -的值.
【详解】
Q 当0x ≥时，()22f x x x =+， 2(1)2113∴=⨯+=f ，又Q ()f x 是奇函数，
()()f x f x ∴-=-， (1)(1)3∴-=-=-f f .
故选：A 【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.
6．关于x 的不等式230x ax +-<，解集为3,1-（），则不等式230ax x +-<的解集
为（ ）
A ．1,2（）
B ．1,2-（）
C ．1
(,1)2
-
D ．()3,12
-
【答案】D
【解析】由不等式的解集可得2a =,则解出不等式2230x x +-<即可 【详解】
由题,3,1x x =-=是方程230x ax +-=的两根,可得31a -+=-,即2a =, 所以不等式为2230x x +-<,即()()2310x x +-<, 所以3
12
x -
<<, 故选：D 【点睛】
本题考查解一元二次不等式,考查方程的根与系数的关系,考查运算能力 7．当1a >时，x y a -=的图象与log a
y x =的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据指数函数和对数函数的图像与性质，选出正确选项. 【详解】
由于1a >，所以1x
x
a y a
-=⎛⎫= ⎪⎝⎭
在R 上递减，
且过()0,1.log a y x =在()0,∞+上递增，
且过()1,0，由此判断A 选项正确. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查指数函数、对数函数图像的识别，属于基础题. 8．已知2rad α=-，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】用角度和弧度的互化公式，将2弧度的角化成角度，再判断角的终边在第几象限. 【详解】
∵1801πrad ︒⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，∴3602 114.6πrad α︒
︒
⎛⎫=-=-≈- ⎪⎝⎭， 故角α的终边在第三象限．选C ． 【点睛】
本题考查象限角的概念和计算能力，属于基础题.
第一象限角的集合{
}
0000
270360360360,k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈， 第二象限角的集合{
}
0000
270360180360,k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈， 第三象限角的集合{
}
0000
180********,k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈， 第四象限角的集合{
}
000
90360360,k k k Z αα-+⋅<<⋅∈. 9．若函数x y a =(0a >,且1a ≠)在[]1,2上的最大值与最小值的差为2
a
，则a 的值为（ ） A ．
12
B ．
32
C ．
2
3
或2 D ．
12或32
【答案】D
【解析】按照1a >和01a <<两种情况分类讨论函数的单调性,可求得最值,根据已知列方程可解得. 【详解】
当1a >时, x
y a =在[]1,2上递增,y 的最大值为2a ，最小值为a,
故有2
2a a a -=
，解得3
2
a =或0a = (舍去).
当01a <<时，x y a =在[]1,2上递减,y 的最大值为a ,最小值为2a ，
故有2
2a a a -=
，解得1
2a =或0a =(舍去). 综上，32a =或1
2
a =.
故选D. 【点睛】
本题考查了指数函数的单调性和分类讨论思想.属于基础题.
10．已知0.22x =，2log 0.2y =，0.30.2z =，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z << B ．y z x <<
C ．z y x <<
D ．z x y <<
【答案】B
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】
∵x ＝20.2＞20＝1，
22log 0.2log 1y =<＝0， 0.3000.20.21z <=<=，
∴y ＜z ＜x ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，解决此类问题时经常利用“0或1”作为中间量进行比较，是基础题．
11．求函数2
3()log (23)f x x x =--的单调增区间（ ）
A ．(,-1)-∞
B ．(1)+∞，
C ．(,1-∞）
D ．(3+∞，
） 【答案】D
【解析】先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减，求得()f x 单调递增区间. 【详解】
由()()2
23310x x x x --=-+>，解得1x <-或3x >，也即()f x 的定义域为
()(),13,-∞-+∞U .由于3log y x =在定义域上是增函数，223y x x =--开口向上、
对称轴为1x =.根据复合函数单调性同增异减可知，()f x 的单调递增区间是()3,+∞.
故选：D. 【点睛】
本小题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查复合函数单调性的求法，属于基础题.
12．已知正数a ，b 满足19
10a b a b
+++=，则+a b 的最小值是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【解析】令a b x +=，用x 表示出()19a b a b ⎛⎫
++
⎪⎝⎭
，结合基本不等式可求得210160x x -+≤，结合,a b 为正数，即0x >可解出不等式的解，进而得到最小值.
【详解】 设a b x +=，则
19
10x a b
+=-
()()199********a b x x a b a b b a ⎛⎫
∴-=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当
9a b
b a
=，即3b a =时取等号） 210160x x ∴-+≤且0x >，解得：28x ≤≤，即28a b ≤+≤
a b ∴+的最小值为2
故选：A 【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够通过整体构造的方式求得+a b 整体满足的不等关系，进而通过解不等式求得取值范围.
二、填空题
13．已知14,28,a b <<<<则2a b -的取值范围为_________. 【答案】(15,0)-
【解析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】
28b <<Q 1624b ∴-<-<-
2116441205a b a b ∴---<⇒<-<-<
故答案为：(15,0)- 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，属于中等题.
14．若函数())(0)f x x =
ω+ϕω>的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω
的值为 ． 【答案】1 【解析】略
15．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是
________. 【答案】（0,1）
【解析】结合零点的概念,可得ln m x =,然后由()1,e x ∈,可求得ln x 的取值范围,进而可得到m 的取值范围. 【详解】
由题意,令()ln 0f x x m =-=,得ln m x =, 因为()1,e x ∈,所以()ln 0,1x ∈,故()0,1m ∈. 故答案为:()0,1. 【点睛】
本题考查了函数的零点,利用参变分离及对数函数的性质是解题的关键,属于基础题. 16．给出下列四个命题： ①()sin 24f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称轴为3,28
k x k Z ππ=
+∈；
②函数()sin f x x x =+的最大值为2； ③(0,),sin cos x x x π∀∈>； ④函数()sin 23f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增．
其中正确命题的序号为__________． 【答案】①②
【解析】对①，由正弦型函数的通式求解即可；
对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断； 对③，由特殊函数值可判断错误；
对④，先结合诱导公式将函数化为()sin 23f x x ⎛
⎫
=-- ⎪⎝
⎭
π，
由0,3x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
π求出23x π-的范围，再结合增减性判断即可 【详解】 令2,4
2
x k k Z -
=
+∈⇒π
π
π3,28
k x k Z ππ
=
+∈，故①正确；
()sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，故该函数的最大值为2，故②正确；
当4
x π
=
时，sin cos x x =，故③错误；
由0,
2,3333x x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎥⎝⎡⎤∈⇒⎢⎣⎭⎦⎣⎦
ππππ，故()sin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故④错误． 故答案为：①② 【点睛】
本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题
三、解答题
17．计算：（1）7log 2
3log lg252lg27+-；
（2）已知()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫
+=+
⎪⎝⎭
，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+． 【答案】（1）
3
2；（2）16
- 【解析】（1）根据对数的运算法则和对数恒等式，即可求解；
（2）根据诱导公式，由已知可得sin 2cos αα=，代入所求式子，即可求解. 【详解】
（1）原式3
2
3log 32(lg 2l 332222
g5)2=
=++-=+-； （2）∵()3sin 3sin 2sin 2cos 2ππαααα⎛⎫
+=-=+=-
⎪⎝⎭
，∴sin 2cos αα=，
故
sin 4cos 2cos 4cos 1
5sin 2cos 10cos 2cos 6
αααααααα--==-++．
【点睛】
本题考查对数计算，考查诱导公式，以及三角求值，属于基础题. 18．设全集为R ，{}24A x x =≤<，{}
3782B x x x =-≥-． (1)求()
R A B ⋃ð；
(2)若{}
13C x a x a =-≤≤+，A C A =I ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|4x x <；（2）[]1,3.
【解析】（1）根据并集与补集的定义，计算即可；
（2）根据A∩C=A 知A ⊆C ，列出不等式组求出实数a 的取值范围． 【详解】
（1）全集为R ，{}
24A x x =≤<，{}{}
37823B x x x x x =-≥-=≥，
{}3R B x x =<ð， (){}4R A B x ∴⋃=<ð；
（2）{}
13C x a x a =-≤≤+，且A C A ⋂=，知A C ⊆，
由题意知C ≠∅，31
3412
a a a a +≥-⎧⎪
∴+≥⎨⎪-≤⎩
，解得13a a ≥⎧⎨≤⎩，
∴实数a 的取值范围是[]1,3a ∈．
【点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
19．有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.
【答案】当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，()2
max 3600S m =
【解析】设每个小矩形的长为x ，宽为y ，依题意可知43240x y +=，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值. 【详解】
设每个小矩形的长为x ，宽为y ，依题意可知43240x y +=，
()()2
6032404460436002x x S xy x x x x +-⎛⎫
==-=-≤⋅= ⎪⎝⎭
，
当且仅当30x =取等号， 所以30x =时，()2
max 3600S m =.
【点睛】
本题主要考查函数最值的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力.
20．已知函数4()log (41)x
f x =-
（1）求函数()f x 的定义域；
（2）若122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
，求()f x 的值域. 【答案】（1）()0,∞+；（2）[]
40,log 15.
【解析】（1）根据对数函数的真数大于零，得到不等式，解得；
（2）令41x t =-根据122x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
求出t 的取值范围，即可求出函数()f x 的值域. 【详解】
解：（1）4()log (41)x
f x =-Q
第 11 页 共 11 页 410x ∴->解得0x >
故函数()f x 的定义域为()0,∞+.
（2）令41x t =-，
122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
Q ， []115t ∴∈，
[]44()log 0,log 15f t t ∴=∈
[]4()0,log 15f x ∴∈
即函数()f x 的值域为[]
40,log 15
【点睛】
本题考查对数函数的定义域值域的计算问题，属于基础题.。