天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题（含答案）
第一章 概述(包括凸规划)
一、 判断与填空题
1
)].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2
{}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯
3 设.:R R D f n →⊆ 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为
最优化问题
)(min x f D x ∈的全局最优解. ⨯
4 设.:R R D f n →⊆ 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D
x ∈的严格局部最
优解. ⨯
5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √
6 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √
7 非空集合n
R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √
8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯
9 函数R R D f n →⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √
10 设R R D f n →⊆:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯
11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。

√
12 设{}k
x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，
则对{} ,2,1,0∈∀k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .
13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。

√
15 函数R R D f n →⊆:在点k
x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的
步长k α，则其搜索公式为 .
16 函数R R D f n →⊆:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的
步长k α，则=+∇k T k k k d d x f )(α 0 .
17 设}0{\n k R d ∈为点n k R D x ⊆∈处关于区域D 的一个下降方向，则对于0>∀α，),0(αα∈∃使得.D d x k k ∈+α ⨯
二、 简述题
1 写出Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。

2 怎样判断一个函数是否为凸函数.
（例如: 判断函数2122212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数）
三、 证明题
1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 判断0 ..2
1)(min ≥=++=x b
Ax t s b x c Gx x x f T T （其中G 是正定矩阵）是凸规划.
2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.
第二章 线性规划
考虑线性规划问题：
,0,..min )(≥=x b Ax t s x
c LP T
其中，m n m n R b R A R c ∈∈∈⨯,, 为给定的数据，且rank .,n m m A ≤=
一、 判断与选择题
1 (LP)的基解个数是有限的. √
2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √
3 (LP)的解集是凸的. √
4 对于标准型的(LP)，设{}
k x 由单纯形算法产生，则对{} ,2,1,0∈k ，有
.1+>k T k T x c x c ×
5 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √
6 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B =的基可行解，与基变量
m x x ,,1 对应的规范式中，若存在0<k σ，则线性规划(LP)没有最优解。

×
7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.
8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. ×
二、 简述题
1 将以下线性规划问题化为标准型：
.0,0,
2,
1242,
6..32)(max 323213213213
21≥≥≥+-≥++≤+++-=x x x x x x x x x x x t s x x x x f
2 写出以下线性规划的对偶线性规划：
.0,,,,
3342,
6342..423)(max
4321432143214321≥≥+++-=++++++=x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f
三、 计算题
熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）.
见书本：
例2.5.1 (利用单纯形表求解);
例2.6.1 (利用大M 法求解);
例2.6.2 (利用二阶段法求解).
四、 证明题
熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。

第三章 无约束最优化方法
一、 判断与选择题
1 设n n R G ⨯∈为正定矩阵，则关于G 共轭的任意1+n 向量必线性相关. √
2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. ×
3 经典Newton 法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. ×
4 PRP 共轭梯度法与BFGS 算法都属于Broyden 族拟Newton 算法. ×
5 用DFP 算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭
代方向一定线性无关. √
6 FR 共轭梯度法、PRP 共轭梯度法、DFP 算法、及BFGS 算法均具有二次
收敛性. ×
7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP 算法以及BFGS 算法都具有二次终止性. √ 8 函数R R f n →:在k x 处的最速下降方向为 .
9 求解)(min x f n
R x ∈的经典Newton 法在k x 处的迭代方向为=k p .
10 若)(x f 在*x 的邻域内具有一阶连续的偏导数且0)(*=∇x f ，则*x 为的局
部极小点. ×
11 若)(x f 在*x 的某邻域内具有二阶连续的偏导数且*x 为)(x f 的严格局部
极小点，则)(*2
*x f G x ∇=正定. ×
12 求解)(min x f n
R x ∈的最速下降法在k x 处的迭代方向为=k p .
13 求解)(min x f n
R x ∈的阻尼Newton 法在k x 处的迭代方向为=k p .
14 用牛顿法求解)(2
1min n n n T T R x R G R b x b Gx x n ⨯∈∈∈+，时，至多迭代一次可达其极小点. ×
15 牛顿法具有二阶收敛性. √
16 二次函数的共轭方向法具有二次终止性. ×
17 共轭梯度法的迭代方向为：_____________________.
二、证明题
1 设R R f n →:为一阶连续可微的凸函数，n R x ∈*且0)(=∇*x f ，则*
x 为)(min x f n R x ∈的全局极小点.
2 给定n R b ∈和正定矩阵n n R G ⨯∈. 如果n k R x ∈为求解
x b Gx x x f T T R x n +=
∈21)(min 的迭代点， {}0\n k R d ∈为其迭代方向，且),0[∞+∈k α为由精确一维搜索所的步长，则.)()(k T k k
T k k Gd
d d x f ∇-=α 3 试证：Newton 法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点.
四、 简述题
1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.
2 简述共轭梯度法的基本思想.
五、 计算题
1 利用最优性条件求解无约束最优化问题. 例如：求解121222122
123)(min x x x x x x f --+= 2 用FR 共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本：例3.4.1.
3 用PRP 共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本：例3.4.1. 例如：01.0,)0,0( 22
123)(min 01212221==--+=
εT x x x x x x x f 其中
第四章 约束最优化方法
考虑约束最优化问题：
{}{},,,2,1,0)(,,,2,1,
0)(..)
(min )(m l l I i x c l E i x c t s x f NLP i i ++=∈≥=∈=
其中，.:),,2,1(,R R m i c f n i →=
一、判断与选择题
1 外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT. ×
2 使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP ）时，得到的近似最优解往往
不是（NLP ）的可行解. ×
3 在求解（NLP ）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数
为 .
4 在（NLP ）中0=l ，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数
为 .
5 在（NLP ）中0=l ，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为
=+i k )(1λ ，对{
}m i ,,1 ∈.
6 在（NLP ）中l m =，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange 函数
为：_________________________________
7 对于(NLP)的KT 条件为：_______________
二、计算题
1利用最优性条件(KT条件)求解约束最优化问题.
2用外罚函数法求解约束最优化问题.
见书本：例4.2.1；
例4.2.2.
3用内罚函数法求解约束最优化问题.
见书本：例4.2.3.
4用乘子法求解约束最优化问题.
见书本：例4.2.7；
例4.2.8.
三、简述题
1简述SUMT外点法的优缺点.
2简述SUMT内点法的优缺点.
四、证明题
利用最优性条件证明相关问题.
例如：Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划
b
x
A
t s
a
x
c
Qx
x
x
f
P
=
+ +
= T
T T
..
2
1 )
(
min
)
(
的最优解，并证明解是唯一的.
第五章 多目标最优化方法
一、判断与选择题
1 求解多目标最优化问题的评价函数法包
括 .
2 通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题. √
3 设m n R R D F →⊆:，则F 在D 上的一般多目标最优化问题的数学形式
为 .
4 对于规划T m R D x x f x f x F V n
))(,),(()(1m in =-⊆∈，设D x ∈*，若不存在D
x ∈使得)()()()(**≠≤x F x F x F x F 且，则*x 为该最优化问题的有效解. √
5 一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解. √
6 对于规划T m R D x x f x f x F V n
))(,),(()(1m in =-⊆∈，设i w 为相应于
),,2,1(m i f i =的权系数，
则求解以上问题的线性加权和法中所求解优化的目标函数为 .
7 利用求解T m R D x x f x f x F V n
))(,),(()(1m in =-⊆∈的线性加权和法所得到的
解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解. √
二、简述题
1简单证明题
☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.
●第5.2节中几个主要结论的证明.
2简单叙述题
★简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想.
●简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想.
★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.
●简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的
基本思想.
3 .
4
●。