2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析)

第八单元解析几何
第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考试说明 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
考情分析
考点考查方向考例考查热度
直线的
斜率
倾斜角、斜率的值或范围2016全国卷Ⅱ20 ★☆☆
直线的方程截距,求直线方程
2016全国卷Ⅲ20,2014全
国卷Ⅰ20,2013全国卷
Ⅱ12
★★☆
直线方
程的
综合应用与基本不等式相结合求
最值问题,直线方程与平
面向量的综合
2014全国卷Ⅰ20 ★★☆
真题再现
■ [2017-2013]课标全国真题再现
[2013·全国卷Ⅱ]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()
A.(0,1)
B.
C.D.
[解析] B方法一:易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-;当a=时,易得b=;当a=1时,易得b=-1>.故选B.
方法二:(直接法)?y=,y=ax+b与x轴交于,结合图形与a>0,××=? (a+b)2=a(a+1)>0?a=.
∵a>0,∴>0?b<,当a=0时,极限位置易得b=1-,故答案为B.
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
[2017·浙江卷节选]如图,已知抛物线x2=y,点A,B, 抛物线上的点P(x,y)-<x<.过点B 作直线AP的垂线,垂足为Q.求直线AP斜率的取值范围;
解:设直线AP的斜率为k,则k==x-.
因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)0°(2)0°≤α<180°
2.(1)正切值tan α(2)不存在
3.y-y0=k(x-x0)y=kx+b =+=1Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
对点演练
1.-1135°[解析] 因为直线AB的斜率为=-1,所以k=tan α=-1,所以α=135°,即直线AB的倾斜角
为135°.
2.6x-y+15=0[解析] 由题意知该直线的斜率为6,所以该直线的方程为y-3=6(x+2),即6x-y+15=0.
3.x-y+1=0或x-y-1=0[解析] 设直线l在两坐标轴上的截距分别为a,b,则解得或
故直线l的方程为x-y+1=0或x-y-1=0.
4.∪[解析] 设直线l的倾斜角为α,则有tan α==1-m2≤1.又因为0≤α<π,所以0≤α≤或<α<π.
5.[解析] ∵Ａ(2,2),B(-1,3),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,∴边界直线PA的斜率k PA==1,边界直线PB的斜率k PB==-1,∴直线PA的倾斜角为,直线PB的倾斜角为.∵直线l与线段AB总有公共点,∴直线l的倾斜角α的取值范围为,.
6.2x+y=0或x+y-2=0[解析] 当直线过原点时,斜率为=-2,故直线的方程为y=-2x,即2x+y=0;当直线不
过原点时,设直线的方程为x+y+m=0,把(-2,4)代入直线的方程,得m=-2,故所求的直线方程为x+y-2=0.综上,满足条件的直线方程为2x+y=0或x+y-2=0.
【课堂考点探究】
例1[思路点拨] (1)根据倾斜角与斜率间的关系确定直线的斜率的取值范围;(2)分sin θ=0与sin θ≠0两种情况进行求解.
(1)∪[1,+∞)(2)A[解析] (1)∵直线l的倾斜角为α,且≤α≤,∴ｋ≥1或k≤-,∴直线l的斜率k的取值范围是-∞,-∪[1,+∞).
(2)设α为直线l的倾斜角,当sin θ=0时,直线l的斜率不存在,直线的倾斜角α=.当sin θ≠0时,直线的斜率k=tan α=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以直线的倾斜角的取值范围是,∪,.综上所述,α∈,,故选A.
变式题(1)∪(2)(-∞,-4]∪,+∞[解析] (1)由题意知cos θ≠0,则斜率k=tan
α==-cos θ∈[-1,0)∪(0,1],那么直线AB的倾斜角的取值范围是0,∪,π.
(2)因为k PM==-4,k PN==,所以k的取值范围为(-∞,-4]∪,+∞.
例2[思路点拨] (1)利用截距式求解,注意不要遗漏截距为0的情况,也可考虑利用直线的点斜式方程求解;(2)根据条件,利用正切的二倍角公式,求得倾斜角的正切值,代入点斜式即得所求直线方程.
解:(1)方法一:设直线l在x轴、y轴上的截距均为 a.
若a=0,则l过点(0,0)和(3,2),∴ｌ的方程为y=x,即2x-3y=0.
若a≠0,则设l的方程为+=1,
∵ｌ过点(3,2),∴+=1,∴a=5,∴ｌ的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二:由题意知,所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),
令y=0,得x=3-,令x=0,得y=2-3k,
由已知,得3-=2-3k,解得k=-1或k=,
∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
(2)设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α=3,∴tan 2α==-.
又直线l经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),
即3x+4y+15=0.
变式题(1)B(2)B[解析] (1)由于直线l1:x-y+-1=0的斜率为1,所以它的倾斜角为45°,故旋转后得到的直线l2的倾斜角为45°+15°=60°,所以直线l2的斜率为tan 60°=,所以直线l2的方程为
y-=(x-1),即x-y=0,故选B.
(2)∵m+2n-1=0,∴m+2n=1.∵mx+3y+n=0,∴(mx+n)+3y=0,当x=时,m+n=,∴3y=-,∴y=-,故直线过定点
,-,故选B.
例3[思路点拨] (1)首先根据直线的一般式方程求出直线的横截距与纵截距,然后利用三角形面积公式结合基本不等式求解;(2)由两直线的位置关系得出a,再结合直角三角形的性质直接求线段AB的长.
(1)x-2y+4=0(2)12[解析] (1)易知k≠0.当x=0时,y=1+2k;当y=0时,x=-.因为直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,所以k>0,所以S△OAB=(1+2k)×==2k++2≥2+2=4,当且仅当2k=,即k=时,等号成立,此时直线l的方程为x-y+2=0,即x-2y+4=0.
(2)由两直线垂直,得2-a=0,所以a=2,所以P(0,5).由2x-y-1=0和x+2y+2=0,得两直线的交点为Q(0,-1).由直角三角形的性质,得线段AB的长为2|PQ|=12.
变式题(1)-1≤k≤1且k≠0(2)D[解析] (1)直线不过原点,所以k≠0.令x=0,则y=k,令y=0,则x=-2k,故三角形面积为··=k2≤1,解得-1≤k≤1.综上,k的取值范围是-1≤k≤1且k≠0.
(2)直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,所以a+b=4,即4≥2?ab≤4?ab≤2,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是2,故选D.
【备选理由】例1考查直线的倾斜角与斜率和三角形间的关系,难度加大了一点;例2为直线的斜率与线性规划的综合.
1[配合例1使用] 直线l1与直线l2交于一点P,且l1的斜率为,l2的斜率为2k,直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,则正实数k的所有可能的取值为.
[答案] 或
[解析] 设直线l1与直线l2的倾斜角分别为α,β,因为k>0,所以α,β均为锐角.由于直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,则有以下两种情况:(1)当α=2β时,tan α=tan 2β,有=,因为k>0,所以k=;(2)当β=2α时,tan β=tan 2α,有2k=,因为k>0,所以k=.故k的所有可能的取值为或.
2[配合例3使用] [2017·襄阳五中三模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()
A.B.
C.D.∪(0,+∞)
[解析] D设P(x1,y1),Q(x2,y2),则得x0+3y0+2=0,即M(x0,y0)在直线x+3y+2=0上.又因为y0<x0+2,所以M(x0,y0)位于直线x+3y+2=0与直线x-y+2=0交点的右下部分的直线上.设两直线的交点为
F,易得F(-2,0),而可看作点M与原点O连线的斜率,数形结合可得的取值范围为-∞,-∪(0,+∞).故选D.。