难点详解鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形单元测试试卷(无超纲)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形单元测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点
F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：①PD =；②四边形PECF 的周长为8；③AP EF =；④
EF 的最小值为2222PB PD PA +=；⑥AP EF ⊥．其中正确结论有几个（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2、下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D ．对角线相等的四边形是矩形
3、如图已知：四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是 （ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是正方形D．当∠ABC=90︒时，它是矩形
4、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（）度
A．30°B．45°C．50°D．60°
5、如图，正方形ABCD的边长为8，对角线AC、BD相交于点G．K为AC上的一点，且
⊥于点E，交BD于点F，则AF的长为CK=BK并延长交CD于点H．过点A作AE BH
（）
A．B．4C．D．
6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（）
A B．2 C．1D．4
7、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：
①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（）
A．②③B．①②③C．②④D．①②④
8、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（）
A．80°B．90°C．100°D．110°
9、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF 沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（）
A ．1
B
C
D ．2
10、下列说法：①不可能事件发生的概率为0；②随机事件发生的概率为1
2；③事件发生的概率与实验次数无关；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是必然事件．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①④ 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A ，D 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，顶点
B 在x 轴的负半轴上，若OA ＝3OD ，S 菱形ABCD ＝
C 的坐标为______．
2、如图，在长方形ABCD 中，10AB =，8BC =，P 为AD 上一点，将ABP △沿BP 翻折至EBP △，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD ，则AP 的长为______．
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
符号语言：
Rt △ABC 中，
∵∠ABC ＝90°，OA ＝OC ，
∴BO ＝1
2AC ．
4、如图，菱形ABCD 中，12AB =，60ABC ∠=︒，点E 在AB 边上，且2BE AE =，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60︒至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为__．
5、如图，菱形ABCD 边长为4，∠B =60°，14DE AD =，14
BF BC =，连接EF 交菱形的对角线AC 于点O ，则图中阴影部分面积等于________________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、一次函数y＝﹣2
3
x+2的图象经过A（0，a）、B（b，0）两点．
(1)求a、b的值，并画出一次函数的图象；
(2)点C是第一象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线BC向左平移恰好经过点A时与x轴交于点D．求直线AD、AB与x轴所围成的三角形的面积．
2、在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（1，﹣3）和B（2，0）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，则点C的坐标为（直接写出答案）．
3、在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接DE，过点C作
DE 的垂线，垂足为F ，交AB 于点G ．
(1)点D 如图所示．
①请依题意在下图中补全图形；
②猜想DE 与CG 的数量关系，并证明；
(2)连接DG ，GE ，若AB =2，直接写出四边形CDGE 面积的最小值．
4、背景资料：在已知ABC 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC 三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC 内部，当
120APB APC CPB ∠=∠=∠=︒时，则PA PB PC ++取得最小值．
(1)如图2，等边ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB ∠的度数，为了解决本题，我们可以将ABP △绕顶点A 旋转到ACP '△处，此时ACP ABP '≌这样就可以利
用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠=_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，ABC 三个内角均小于120°，在ABC 外侧作等边三角形ABB '，连接CB '，求证：CB '过ABC 的费马点．
(3)如图4，在RT ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，点P 为ABC 的费马点，连接AP 、BP 、CP ，求PA PB PC ++的值．
(4)如图5，在正方形ABCD 中，点E 为内部任意一点，连接AE 、BE 、CE ，且边长2AB =；求AE BE CE ++的最小值．
5、如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AD 边的中点，连接BM ，CM ，且BM ＝CM ．
(1)求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)若△BCM 是直角三角形，直接写出AD 与AB 之间的数量关系．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，可说明四边形AMFD 为矩形，AM DF =，BM CF =，MPB △是等腰直角三角形，=BM PM ；①中PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒可得
PDF ∆为等腰直角三角形，进而求PD ，由于四边形PECF 是平行四边形，=PF CE ，故可知
PD ==；②90BCD ∠=︒，四边形PECF 为矩形，进而可求矩形的周长；③证明ADP CDP △≌△，由全等可知AP PC =，进而可说明AP EF =；④==EF PC AP ，当AP 最小时，EF 最小，即AP BD ⊥时，AP 最小，计算即可；⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，勾股定理求得222PB PM MB =+，222PD PF FD =+将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H ，证明APM △FEP ≌，得MAP PFE ∠=∠，90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，，90PFE HPF ∠+∠=︒，=90PHF ∠︒进而可说明AP EF ⊥．
【详解】
解：如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，
由题意知FM AD DF AB ∥，∥
∴四边形AMFD 为平行四边形
∵90MAD ∠=︒
∴四边形AMFD 为矩形
∴AM DF AD MF ==，
∵BM AB AM CF CD DF =-=-，
∴BM CF =
∵4590ABD BMP ∠=︒∠=︒，
∴45MPB ∠=︒
∴MPB △是等腰直角三角形
∴=BM PM
①∵PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒
∴PDF ∆为等腰直角三角形
∴PD =
PE BC ⊥，PF CD ⊥
∴PE CD PF BC ∥，∥
∴四边形PECF 是平行四边形
∴=PF CE
∴PD =
故①正确；
②∵90BCD ∠=︒
∴四边形PECF 为矩形
∴四边形PECF 的周长222228CE PE CE BE BC =+=+== 故②正确； ③四边形PECF 为矩形
PC EF ∴=
∵在ADP △和CDP 中
∵45AD CD ADP CDP PD PD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴()ADP CDP SAS ≌△△
∴AP PC =
∴AP EF =
故③正确；
④∵EF PC AP ==
∴当AP 最小时，EF 最小
∴当AP BD ⊥
时，即1122
AP BD ==⨯=EF
的最小值等于故④正确；
⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，22222PB PM MB PM =+=，2222222PD PF FD FD AM ===+
∴22222222PB PD PM AM AP +=+=
故⑤正确；
⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H
∵在APM △和FEP 中
∵AP EF AM PF MP PE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴APM △()FEP SSS ≌
∴MAP PFE ∠=∠
∵90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，
∴90PFE HPF ∠+∠=︒
∴=90PHF ∠︒
AP EF ∴⊥
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
2、A
【解析】
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．
【详解】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故原命题是假命题；
C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形，以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，故原命题是假命题；
D、对角线相等的平行四边形才是矩形，故原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
3、C
【解析】
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选不项符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
4、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及HL判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，即可求∠EAF=45°
【详解】
解：在正方形ABCD 中，∠B =∠D =∠BAD =90°，AB =AD ，
∵AG ⊥EF ，∴∠AGF =∠AGE =90°，
∵AG =AB ，∴AG =AB=AD ，
在Rt △ABF 与Rt △AGF 中，
AB AG AF AF =⎧⎨=⎩
∴△ABF ≌△AGF ，
∴∠BAF =∠GAF ，
同理可得：△AGE ≌△ADE ，
∴∠GAE =∠DAE ；
∴∠EAF =∠EAG +∠FAG 1452
BAD ︒=∠=， ∴∠EAF =45°
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出△ABF ≌△AGF ．
5、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及已知条件求得OK 的长，进而证明AOF ≌BOK ，即可求得OF OK =，勾股定理即可求得AF 的长
【详解】
解：如图，设,AC BD 的交点为O ，
四边形ABCD 是正方形
AC BD ∴⊥，AC BD =,11,22
AO AC BO BD ==
∴AC ==
，12
OC AC == 90AOE BOK ∴∠=∠=︒，2390∠+∠=︒,AO BO =
CK =
OK OC CK ∴=-=
AE BH ⊥
∴1290∠+∠=︒
13∠∠∴=
在AOF 与BOK 中
13AO BO
AOF BOK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AOF ≌BOK
OF OK ∴
==在Rt AOF
中，
AF ===
故选C
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
如图，取AB的中点T，连接CT，DT．首先证明∠ADB=90°，求出CT，DT，根据CD≥CT-DT，可得结论．
【详解】
如图，取AB的中点T，连接CT，DT．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∵∠BAD=∠CBD，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AT=TB=4，
AB=4，CT=
∴DT=1
2
∵CD ≥CT -DT ，
∴CD ≥，
∴CD 的最小值为，
故选：D ．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出CT ，DT 的长．
7、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】
如图所示，
∵△ABC 是直角三角形，
∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；
由图可知2x y CE -==，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为144492
xy ⨯⨯+=，
即2449xy +=，故③正确；
由2449xy +=可得245xy =，
又∵2249x y +=，
两式相加得：2224945x xy y ++=+，
整理得：()2
94x y +=，
9x y +=≠，故④错误；
故正确的是①②③．
故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′，又∠ABE +∠A ′BE +∠DBC +∠DBC ′=180°，且∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′，继而即可求出答案．
【详解】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′，
又∵∠ABE +∠A ′BE +∠DBC +∠DBC ′=180°，
∴∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′=180°×1
2=90°．
故选B ．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出
∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
9、D
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴B'E=2AE，
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，
∴2（3-x）=x，
解得x=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，①必然事件发生的概率为1，即P （必然事件）1=；②不可能事件发生的概率为0，即P （不可能事件）0=；③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0P <（A ）1<，逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：①不可能事件发生的概率为0，说法正确；
②随机事件发生的概率为0到1，故说法错误；
③事件发生的概率与实验次数无关，故说法正确；
④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是随机事件，故说法错误．
正确的说法有：①③．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．
二、填空题
1、（－8）
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得出BC AD AB CD ===，即4BC OD =，4AB OD =，再根据勾股定理可求出OB 的长
度．设0OD x =>，则4AD x OB =，，列等式OB AD ⨯=2,8OD OB BC ===，则答案可解．
【详解】
3OA OD =
34AD AO OD OD OD OD ∴=+=+=，
四边形ABCD 为菱形，
BC AD ∴∥，BC AD AB CD ===，
即4BC OD =，4AB OD =，
90AOB ∠=︒，
OB ∴==．
设0,OD x => 则4AD x OB =，，
ABCD S =菱形OB AD ⨯=
4x ⋅=
解得1222x x ==-，（舍去）
2,8OD OB BC ∴===．
AD 在y 轴上,BC AD ∥，即BC y ∥轴，则BC x ⊥轴，
()
8C ∴--． 【点睛】
本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出OD 、OB 、BC 的长是解题的关键．
2、203##263
【解析】
【分析】
证明()ODP OEG ASA ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到OP OG =，PD GE =，根据翻折变换的性质用x 表示出PD 、OP ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，
90D A C ∴∠=∠=∠=︒，6AD BC ==，10CD AB ==，
由折叠的性质可知ABP EBP ∆≅∆，
EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，10BE AB ==，
在ODP ∆和OEG ∆中，
DOP EOG OD OE D E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，
OP OG ∴=，PD GE =，
DG EP ∴=，
设AP EP x ==，则8PD GE x ==-，DG x =，
10CG x ∴=-，10(8)2BG x x =--=+，
根据勾股定理得：222BC CG BG +=，
即222(10)(82)x x +-=+， 解得：203
x =， 203
AP ∴=， 故答案为：
203． 【点睛】
本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关
键是熟练掌握翻折变换的性质．
3、一半
【解析】
略
4、【解析】
【分析】
在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接EG ，EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ．证明120BGF ∠=︒，推出点F 在射线GF 上运动，根据垂线段最短可知，当点F 与H 重合时，AF 的值最小，求出AH 即可．
【详解】
解：在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接EG ，EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ．
60B ∠=︒，BE BG =，
ΔBEG ∴是等边三角形，
EB EG ∴=，60BEG BGE ∠=∠=︒，
PE PF =，60EPF ∠=︒，
ΔEPF ∴是等边三角形，
60PEF ∴∠=︒，EF EP =，
BEG PEF ∠=∠，
BEP GEF ∴∠=∠，
在ΔBEP 和GEF ∆中，
BE GE BEP GEF PE PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ΔΔBEP GEF SAS ∴≅，
60EGF B ∴∠=∠=︒，
120BGF ∴∠=︒，
∴点F 在射线GF 上运动，
根据垂线段最短可知，当点F 与H 重合时，AF 的值最小，
12AB =，2BE AE =，
8BE ∴=，4AE =，
60BEG EGF ∠=∠=︒，
∴GT //AB
∵BG //AT
∴四边形ABGT 是平行四边形，
8AT BG BE ∴===，60ATH B ∠=∠=︒，
∴30TAH ∠=︒
12
TH AH = 在Rt ATH ∆中，222AT TH AH +=
∴ 22218()2
AH AH +=
AH ∴=
AF ∴的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AD CD =，//AD BC ，60ABC ADC ∠=∠=︒，由“AAS ”可证AEO CFO ∆≅∆，可得AO CO =，由面积的和差关系可求解．
【详解】
解：连接CE ，
四边形ABCD 是菱形，
AD CD ∴=，//AD BC ，60ABC ADC ∠=∠=︒，
ADC ∴∆是等边三角形，DAC ACB ∠=∠，
2ADC S AD ∆∴=
14DE AD =，14
BF BC =， AE CF ∴=，
在AEO ∆和CFO ∆中，
AOE COF EAC BCA AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，
AO CO ∴=， 14
DE AD =，
14CDE ADC S S ∆∆∴=
ACE S ∆= AO CO =，
AOE COE S S ∆∆∴==
∴
阴影部分面积=
．
【点睛】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)2a =，3b =，图见解析
(2)55(,)22
C (3)135
【解析】
【分析】
（1）分别将点,A B 代入一次函数的解析式即可得,a b 的值，再利用描点法画出函数图象即可；
（2）分点C 在直线AB 上方和点C 在直线AB 下方两种情况，作CM x ⊥轴于点M ，作CN y ⊥轴于点N ，先根据三角形全等的判定定理证出ACN BCM ≅，根据全等三角形的性质可得
,AN BM CN CM ==，再根据正方形的判定与性质可得ON OM =，然后结合点C 是第一象限内一点即可得出答案；
（3）先利用待定系数法分别求出直线,BC AD 的解析式，从而可得点D 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得．
(1)
解：将点(0,)A a 代入223
y x =-+得：2a =， 将点(,0)B b 代入223
y x =-+得：2203b -+=，解得3b =， 利用描点法画出函数的图象如下所示：
(2)
解：如图，当点C 在直线AB 上方时，作CM x ⊥轴于点M ，作CN y ⊥轴于点N ，
则四边形OMCN 是矩形，
90MCN ∴∠=︒，
90ACN ACM ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90BCM ACM ∴∠+∠=︒，
ACN BCM ∴∠=∠， ABC 是等腰直角三角形，
AC BC ∴=，
在ACN △和BCM 中，90ACN BCM ANC BMC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ()ACN BCM AAS ∴≅，
,AN BM CN CM ∴==，
∴矩形OMCN 是正方形，
ON OM ∴=，
OA AN OB BM OB AN ∴+=-=-，
由（1）可知，(0,2),(3,0)A B ，
2,3OA OB ∴==，
23AN AN ∴+=-， 解得12
AN =， 52
OM ON OA AN ∴==+=， ∴此时点C 的坐标为55
(,)22
C ； 如图，当点C 在直线AB 下方时，
同理可得：此时点C 的坐标为11(,)22
C -， 点C 是第一象限内一点，
11(,)22
C ∴-不符题意，舍去， 综上，点C 的坐标为55(,)22
C ． (3)
解：设直线BC 的解析式为y kx m =+， 将点55(3,0),(,)22B C 代入得：30552
2k m k m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得515k m =-⎧⎨=⎩， 则直线BC 的解析式为515y x =-+，
由一次函数图象的平移性质可设直线AD 的解析式为5y x n =-+，
将点(0,2)A 代入得：2n =，
则直线AD 的解析式为52y x =-+，
当0y =时，520x -+=，解得25x =，即2(,0)5D ， 213355BD ∴=-
=， 则所求的三角形的面积为11131322255
BD OA ⋅=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定定理与性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
2、 (1)y ＝3x ﹣6
(2)（1，3）
【解析】
【分析】
（1）设一次函数解析式为y ＝kx +b ，利用待定系数法求解；
（2）直角坐标系中描出点A 、B ，得到OA ＝AB ，确定以O 、A 、B 、C 为顶点的菱形的对角线为OB 和AC ，根据菱形的性质及轴对称的性质得到答案．
(1)
解：设一次函数解析式为y ＝kx +b ，
把A（1，﹣3）、B（2，0）代入得
3
20
k b
k b
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
3
6
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
所以一次函数解析式为y＝3x﹣6；
(2)
解：如图，因为OA＝AB，
所以以O、A、B、C为顶点的菱形的对角线为OB和AC，
因为OB与AC互相垂直平分，
所以点C与点A关于y轴对称，
所以C点坐标为（1，3）．
故答案为（1，3）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，菱形的性质，轴对称的性质得到点坐标，在直角坐标系中描点，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
3、(1)①作图见解析；②DE=CG，证明见解析；
(2)12
【解析】
【分析】
（1）①按照题意作图即可；②如图1过点D 作DH ⊥AC 交AB 于H ，连接CH 交DE 于O ，连接EH ，∠A =∠B =45°，∠ADH =90°，∠A =∠DHA =45°，DA =DH = CE ，四边形DHEC 是平行四边形，
∠DCE =90°，四边形DHEC 是矩形，矩形对角线相等且互相平分可知，DE =CH ，OD =OC ，∠ODC =∠OCD ，证明∠CDE =∠BCG =∠ACH ，△ACH ≌△BCG ，进而可说明DE =CG ．
（2）如图2，由（1）可知DE =CG ，CG ⊥DE ，S 四边形CDGE 12=•DE •CG 12
=•CG 2；可知面积最小即CG 的值最短；根据垂线段最短可知，当CG ⊥AB 时，CG 的值最短，由AG =GB ，∠ACB =90°，可知CG 1
2=
AB =1，进而可求四边形面积的最小值．
(1)
解：①图形如图1所示．
②结论：DE =CG ．
证明：如图1中，过点D 作DH ⊥AC 交AB 于H ，连接CH 交DE 于O ，连接EH ．
∵AC =BC ，∠ACB =90°
∴∠A =∠B =45°
∵AD ⊥DH
∴∠ADH =90°
∴∠A =∠DHA =45°
∴DA =DH
∵AD =CE
∴DH =CE
∵∠ADH =∠ACB =90°
∴DH ∥BC
∴四边形DHEC 是平行四边形
∵∠DCE =90°
∴四边形DHEC 是矩形
∴DE =CH ，OD =OC =OE =OH
∴∠ODC =∠OCD
∵CG ⊥DE
∴∠CDE +∠DCG =90°，∠DCG +∠BCG =90°
∴∠CDE =∠BCG =∠ACH
在△ACH 和△BCG 中
∵45ACH BCG CA CB A B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴△ACH ≌△BCG （ASA ）
∴CH =CG
∴DE =CG ．
(2)
解：如图2
由（1）可知DE =CG ，CG ⊥DE
∴S 四边形CDGE 12=•DE •CG 12
=•CG 2 根据垂线段最短可知，当CG ⊥AB 时，CG 的值最短
∵CA =CB ，CG ⊥AB
∴AG =GB
∴CG 12
=AB =1 ∴四边形CDGE 的面积的最小值为12．
【点睛】
本题考查了垂线段，矩形的判定与性质，三角形全等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
4、 (1)150°；
(2)见详解；
【解析】
【分析】
（1）根据旋转性质得出ABP △≌ACP '△，得出∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC 为等边三角形，得出∠BAC =60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP =3，∠AP′P =60°，根据勾股定理逆定理222223425PP P C PC ''+=+==，得出△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，可求∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°即可；
（2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB ≌△AB′P′，AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，根据两点之间线段最短得出点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，点P 在CB′上即可；
（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB ≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，根据
PA PB PC PP P B PC '''++=++，可得点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小
=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB =2AC =2，根据勾股定理BC
==求BB′=AB =2，根据∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt △CBB′中，B′C =
==
（4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，得出△BCE ≌△CE′B′，BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，AE BE CE AE EE E B '''++=++，得出点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB =BC =2，∠ABC =90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直
角三角形性质得出BF =1121
22
BB '=⨯=，勾股定理BF ==AF =AB +BF =2+
AB′ (1)
解：连结PP′，
∵ABP △≌ACP '△，
∴∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC =60°
∴∠PAP ′=∠PAC +∠CAP ′=∠PAC +∠BAP =60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP =3，∠AP′P =60°，
在△P′PC 中，PC =5，
222223425PP P C PC ''+=+==，
∴△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，
∴∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°，
∴∠APB =∠AP′C =150°，
故答案为150°；
(2)
证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB ≌△AB′P′，
∴AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP ，
∵PA PB PC PP P B PC '''++=++，
∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，
∴点P 在CB′上，
∴CB '过ABC 的费马点．
(3)
解：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB ≌△AP′B′，
∴AP′=AP ，AB′=AB ，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，
∵PA PB PC PP P B PC '''++=++
∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，
∵90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，
∴AB =2AC =2，根据勾股定理BC ==∴BB′=AB =2，
∵∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C =
∴PA PB PC ++最小=CB′
(4)
解：将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，
∴△BCE ≌△CE′B′，
∴BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，
∵AE BE CE AE EE E B '''++=++，
∴点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB =BC =2，∠ABC =90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F ⊥AF ，
∴BF =112122
BB '=⨯=，BF
∴AF=AB+BF
∴AB′=
++最小=AB′
∴AE BE CE
【点睛】
本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
5、 (1)见解析
(2)AD=2AB，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出
∠A=90°，即可得出结论；
（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出
AB=AM，即可得出结果．
(1)
证明：∵点M 是AD 边的中点，
∴AM =DM ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =DC ，AB ∥CD ，
在△ABM 和△DCM 中，
AM DM AB DC BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△ABM ≌△DCM （SSS ），
∴∠A =∠D ，
∵AB ∥CD ，
∴∠A +∠D =180°，
∴∠A =90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形；
(2)
解：AD 与AB 之间的数量关系：AD =2AB ，理由如下： ∵△BCM 是直角三角形，BM =CM ，
∴△BCM 是等腰直角三角形，
∴∠MBC =45°，
由（1）得：四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∠A =90°，
∴∠AMB =∠MBC =45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB=AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD=2AM，
∴AD=2AB．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．。