第四部分线性规划模型

西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
一般地，设
a11 a 21 B a m1
a12 a22 am 2
a1m a2 m am m
a1, a2 ,am
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
z = c1x1+c2x2+…+cnxn 称为目标函数, 其中 cj ( j =1, 2,…, n ) 称为价值系数,
c = (c1, c2 ,…, cn)T, 称为价值向量, xj ( j =1, 2, …, n)为求解的变量。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
满足以上条件(2)、(3)、(4) 的数学模 型 称为线性规划的数学模型, 一般形式为：
max(min) z = c1x1+c2x2+…+cnxn
约束条件： a11x1+ a12 x2+ … +a1n xn (=, ) b1 ; a21x1+ a22 x2+ … +a2n xn (=, ) b2 ; ……………… am1x1+ am2 x2+ … +amn xn(=, ) bm.
x1, x2 ,, xn 0
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
简写为
min z c j x j
n
s.t.
a x
j 1 ij
n
j＝1
j
bi , i 1,2,, m
(2)
x j 0, j 1,2,, n
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
s. t .
(7) (8)
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
(1) 作出以x1、x2 为坐标轴的直角坐标系； (2) 将不等式 3x1+x2 16 转化为等式 3x1+x2＝16, 在坐标系中是一条直线 L1； 坐标(x1, x2)满足不等式3x1+ x2＜16 的点都在直线 L1 的左下方(左半平面)； (3) 坐标 (x1, x2 ) 满足不等式 5x1+x2 15 的点在坐标系中都在直线 L2 的左下方 (左半平面)；
若原问题是求 max z = cx, 则可等价地 转换成: min (-z) = -cx, 反之亦然。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
(2) 约束条件的转换: 若某一约束条件是线性不等式：
a x
j 1 ij
n
j
bi
或
a x
j 1 ij
n
j
bi
其中x1、x2 满足的条件为 3x1+x2 16 5x1+x2 15
x1 4 x1 0, x2 0,
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
相应的数学模型如下： max z = 5x1 +2 x2 3x1+x2 16 5x1+x2 15 x1 4 x1 0, x2 0, (6)
用向量形式表示为：
a x
j 1 j
m
j
b
j m 1
ax
j
n
j
(5)
方程组(4)的基是 B ，若设xB 是对应 于此基的基变量，即 xB = (x1, x2 , … , xm )T
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
若令(4)中的非基变量
xm+1= xm+2= …=xn = 0, 则可求得一个基解：
用矩阵形式表示为
min z c x
T
s.t. Ax b
x0
(3)
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
§4.2.2 线性规划问题解的概念
设 A是约束方程组 m n 维的系数 矩阵, 其秩为 m, B 是矩阵 A 中mm 阶非奇异子阵(即| B |0 ), 则称 B 是线 性规划问题的一个基。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
(3) 用决策变量的线性函数形式表示出所 要寻找求的目标,称为目标函数。按问题 的不同,要求目标函数在满足约束条件下 实现最大化或最小化；
(4) 用一组含有决策变量的等式或不等式 来表示在解决问题的过程中所必须遵循 的约束条件。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
在可行域 OABC 中找出一个点 x* = (x1*, x2*)T , 在该点处目标函数 z 的取值达到最大。 为求出目标函数 z = 5x1+2x2 的最大 值，可采用以下方法： (1) 求出目标函数 z z 的梯度向量z ： x1 z x 2
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
例1 某工厂生产甲乙两种产品,生产这 两种产品需要消耗某种原料。生产每吨 产品需要消耗的原材料及所占用设备时 间见表1.1。已知该厂每周能得到的原料 是16 吨,每周设备最多能开15 个台班, 且 根据市场需,甲种产品每周产量不应该超 过 4吨。已知该厂生产每吨甲乙两种产 品的利润分别为5万元和2万元。问该厂 应该如何安排两种产品的生产，才能使 得每周获得的利润最大？
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
1 线性规划的研究对象
(1) 在现有的资源条件下，研究如何合理地计 划、安排，可使某一目标 达到最大化； (2) 在任务确定后，研究如何合理地计划、排， 用最低限度的人、财等资源, 去实现任务。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
则可等价地转化为：
a x
j 1 ij
n
j
xn i bi
或xni 0ຫໍສະໝຸດ a xj 1 ij
n
j
xn i bi
xni 0
其中新引进的变量xn+i 称为松弛变量.
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
第四部分线性规划模型在20世纪30年代未苏联数学家康托洛维奇首先提出了线性规划模型并于1947年由美国人丹捷格提出了线性规划的单纯形算法较好地解决了线性规划的求解问题从而奠定了线性规划作为一个学科的基石
第四部分 线性规划模型
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
b1 a1,m 1 a1n b a a 2 2,m 1 x 2 n x (4) m 1 n bm am ,m 1 amn
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
min z c1x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t. (1) am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
表1.1
每吨产品 的消耗量 原料(吨)
甲 3 乙 2 1
每周资 源总量
16
15
设备(台班) 5
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
解 设该厂每周安排生产甲乙两种产品的 产量各为x1和 x2, 则每周所能获得的总利 利润为 z = 5x1+2x2
使得目标函数值最大化或最小化 的可行解称为该 线性规划的最优解，
此目标函数值称为最优目标函数值， 简称最优值。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
§4.2.1 线性规划问题的标准形式
线性规划问题： 在一组线性的等式或不等式的约束之 下，求一个线性函数的最大值或最小值的 问题，其标准形式为：
3. 变量的非负约束:
若 xk 为无约束变量, 则 令
xk xk xk ,
xk 0, xk 0;
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
线性规划模型的应用举例
(一) 图解法
对于只包含两个决策变量的线性 规划问题，可以用图解法求解： 在以 x1, x2 为坐标轴的直角坐标系 任意一点的坐标表示了决策变量 x1、 x2 的任意一组取值，也就是一个具体的 决方案。 策
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
(4) 坐标 (x1, x2 ) 满足不等式 x1 4 的点在 坐标系中是一条直线 L3 的左半平面；
(5) 满足非负约束 x10, x2 0的点 (x1, x2 ) 为坐标系的第一象限； 满足上述 5 个约束条件的点 (x1, x2 ) 应该 在上述 5 个半平面的交集, 即图中四边形 区域OABC：
列向量 b = (b1,b2, … ,bn )T : 为右端向量； 条件 xj 0 (j=1,2,… ,n ) : 非负约束；
一个向量 x = (x1,x2, … ,xn )T
满足约束条件, 称为可行解或可行点， 全部可行点的集合称为可行区域, 记为D。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
由系数组成的矩阵：
a11 a 21 A am1
称为约束矩阵；
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
x ( x1, x2 ,xm ,0,0,,0)
基可行解:
T
满足非负约束条件的基解 x ； 可行基: 对应于基可行解的基向量.
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
在实际中碰到的各种线性规划问题 的数学模型均可通过变换变成标准形式, 下面简述将问题标准化的方法： (1) 目标函数的转换:
称 aj 是基向量，它是一个线性无关的 向量组，与基向量 aj 对应的变量 xj 称 为基变量，其余变量称为非基变量。
A a1, a2 ,am , am1, am2 ,, an
基向量
非基向量
基变量
非基变量
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
§4.1
线性规划问题
在20世纪30年代未，苏联数学家康托洛维 奇首先提出了线性规划模型，并于1947年由美 国人丹捷格提出了线性规划的单纯形算法，较 好地解决了线性规划的求解问题，从而奠定了 线性规划作为一个学科的基石。 随着计算技术的不断发展，使成千上万个 约束条件和决策变量的线性规划问题能够迅速 地求解，为线性规划在经济等各领域的广泛应 用创造了有利的条件。
若约束方程组 (2) 中的系数矩阵的 秩为 m, 由 m<n 可知方程组 (2) 有无穷 多组解, 即 假设前 m 个变量的系数列向量是
线性无关的, 则约束方程组 (2) 可改写
为：
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
a 11 a 12 a 1m a a a 21 x 22 x 2 m x 1 2 m a m1 a m2 a mm
说明： 线性规划中研究的问题要求目标函数与约束 条件函数均是线性的，或者说或以转化为线 性的。
西 南 民 族 大 学 经 济 学 院 毛 瑞 华 经 济 数 学 模 型
2 线性规划建模型的过程
(1) 理解需要解决的问题, 明确模型条件 以及要达到的目标；
(2) 针对问题定义一组决策变量, 用 x =(x1, x2, …, xn)T 表示某一方案。 这组决策变量的值就代表一个具 体 方案, 通常这些变量的取值是非负的;