1.1 菱形的性质与判定

第一章特殊平行四边形
1．1菱形的性质与判定
第1课时菱形的性质
01基础题
知识点1菱形的定义
1．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．(请在括号内填上理由)
2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法正确(填“正确”或“不正确”)．
知识点2菱形的性质
3．(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D)
A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
4．(长沙中考)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是(C) A．1 B. 3 C．2 D．2 3
5．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形
的边长AB等于(D)
A．10 B.7 C．6 D．5
6．如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有(C)
A．3个B．4个
C．5个D．6个
7．(毕节中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形
ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)
A．3.5 B．4 C．7 D．14
8．(广州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且BO＝DO.
在Rt△AOB中，AB＝5，AO＝4，
由勾股定理，得BO＝3.
∴BD＝6.
9．(济南中考)如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠D＝∠B，DC＝BC.
∵CE＝CF，
∴DC－CF＝BC－CE.
∴DF＝BE.
∴△ADF≌△ABE.
∴AE＝AF.
02中档题
10．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于(A)
A．63米B．6米C．33米D．3米
11．(昆明中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；
②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是(D)
A．①②B．③④C．②③D．①③
12．(烟台中考)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(C)
A．28°B．52°C．62°D．72°
13．(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3∶1，
14．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD.
∴四边形BECD是平行四边形．
∴BD＝EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥EC.
∴∠ABO＝∠E＝50°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
15．(贵阳中考)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD
于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
解：(1)证明：连接AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC.
∴AE＝EC.
(2)点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.
∴AF是△ABC的角平分线．
又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.
∴点F是线段BC的中点．
03综合题
16．(河南中考)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)
A．(1，－1)
B．(－1，－1)
C．(2，0)
D．(0，－2)
第2课时菱形的判定
01基础题
知识点1有一组邻边相等的四边形是菱形
1．(钦州中考)如图，要使▱ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是(B)
A．AC＝AD B．BA＝BC
C．∠ABC＝90°D．AC＝BD
2．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定
四边形ACED为菱形的是(B)
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°
3．(长春中考)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC 交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．
证明：∵AF∥CD，FG∥AC，
∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG＝∠AFC.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACF＝∠FCG.
∴∠ACF＝∠AFC.∴AC＝AF.
∴四边形ACGF是菱形．
知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．(潍坊中考)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当
的条件OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
5．已知▱ABCD两对角线AC、BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，AD＝10 cm，则▱ABCD为菱形．
6．如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．
解：当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形．
证明：∵在▱ABCD 中，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ∥CD ， ∴∠AEO ＝∠CFO.
在△EBO 与△FDO 中，
⎩⎨⎧∠BEO ＝∠DFO ，∠EOB ＝∠FOD ，BO ＝DO ，
∴△EBO ≌△FDO(AAS)． ∴EO ＝FO. 又∵AO ＝CO ，
∴四边形AECF 是平行四边形．
∴当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形．
知识点3 四边相等的四边形是菱形
7．用直尺和圆规作一个以线段AB 为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是(B)
A ．一组邻边相等的四边形是菱形
B ．四边相等的四边形是菱形
C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
02 中档题
8．如图是一张平行四边形纸片ABCD ，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC ，作AC 的中垂线交AD 、BC 于E 、F ，则四边形AFCE 是菱形． 乙：分别作∠A 与∠B 的平分线AE 、BF ，分别交BC 于点E ，交AD 于点F ，则四边形ABEF 是菱形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(C)
A ．甲正确，乙错误
B ．甲错误，乙正确
C ．甲、乙均正确
D ．甲、乙均错误
9．(十堰中考)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长
线上，且DE ＝DF.给出下列条件：
①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.
从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是③(只填写序号)．
10．(荆门中考)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE ，AC 平分∠BAD.求证：四边形ABCD 是菱形．
证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAE ＝∠DCF. ∵DF ∥BE ， ∴∠BEC ＝∠DFA. ∴∠AEB ＝∠CFD.
在△AEB 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠DCF ，
AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，
∴△AEB ≌△CFD.∴AB ＝CD.
∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAF. ∵∠BAE ＝∠DCF ，∴∠DAF ＝∠DCF. ∴DA ＝DC.
∴四边形ABCD 是菱形．
11．(黔南中考改编)如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于E ，连接CE ，过点C 作CF 平行于BA 交PQ 于点F ，连接AF.求证： (1)△AED ≌△CFD ；
(2)四边形AECF 是菱形．
证明：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线， ∴AD ＝CD.
∵CF ∥AB ，
∴∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD. 在△AED 和△CFD 中，
⎩⎨⎧∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，
∴△AED ≌△CFD(AAS)．
(2)∵△AED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，AD ＝CD. ∴四边形AECF 是平行四边形．
又∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EF ⊥AC. ∴四边形AECF 是菱形．
03 综合题
12．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF.
(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ； (2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．
证明：(1)∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC. ∴∠BAC ＝∠DAC.
∵AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ， ∴△ABF ≌△ADF. ∴∠AFB ＝∠AFD.
又∵∠CFE ＝∠AFB ，∴∠AFD ＝∠CFE. (2)∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD.
又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.
又∵AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AB ＝CB ＝CD ＝AD. ∴四边形ABCD 是菱形．
第3课时 菱形的性质与判定的运用
01 基础题
知识点1 与菱形有关的计算
1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的长分别是8和6，则菱形的周长等于(C) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24
2．如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB ＝2，则▱ABCD 的周长为(C) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12
3．如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC ＝120°，则AC 的长为(A)
A ．4 3
B ．4
C ．2 3
D ．2
4．(枣庄中考)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于(A)
A.245
B.125
C ．5
D ．4
5．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点． (1)求证：四边形BDEF 是菱形；
(2)若AB ＝10 cm ，求菱形BDEF 的周长．
解：(1)证明：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点， ∴EF ＝1
2
BC ，EF ∥CB.
又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE ＝1
2AB ，DE ∥AB.
∴四边形BDEF 是平行四边形． 又∵AB ＝BC ，∴EF ＝DE.
∴四边形BDEF是菱形．
(2)∵F是AB的中点，∴BF＝1
2AB.
又∵AB＝10 cm，∴BF＝5 cm.
∵四边形BDEF是菱形，
∴BD＝DE＝EF＝BF.
∴四边形BDEF的周长为4×5＝20(cm)．
知识点2菱形的判定
6．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是(C)
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2
7．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(D)
A．AB∥DC B．AB＝DC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
8．如图，在△ABC中，AB＜BC＜AC，小华依下列方法作图：①作∠C的平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(A)
A．四边形CEDF为菱形
B．DE＝DA
C．DF⊥CB
D．CD＝BD
9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB ＝AD ，AC ⊥BD.
∴∠AOB ＝∠AOD ＝90°.
∵点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点， ∴OE ＝12AB ＝AE ，OF ＝1
2AD ＝AF ，AE ＝AF.
∴AE ＝OE ＝OF ＝AF.
∴四边形AEOF 是菱形． 02 中档题
10．(兰州中考)如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则△AEF 的面积是(B)
A ．4 3
B ．3 3
C ．2 3 D. 3
11．如图，在菱形ABCD 中，过对角线BD 上任一点P ，作EF ∥BC ，GH ∥AB ，下列结论正确的是①②④．(填序号)
①图中共有3个菱形；②△BEP ≌△BGP ；③四边形AEPH 的面积等于△ABD 的面积的一半；④四边形AEPH 的周长等于四边形GPFC 的周长．
12．如图，在▱ABCD 中，EF 垂直平分AC 交BC 于E ，交AD 于F. (1)求证：四边形AECF 为菱形；
(2)若AC ⊥CD ，AB ＝6，BC ＝10，求四边形AECF 的面积．
解：(1)证明：∵EF 垂直平分AC ， ∴FA ＝FC ，EA ＝EC.
∴∠AFE ＝∠CFE ，∠AEF ＝∠CEF. 又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.
∴∠AFE ＝∠CEF ＝∠AEF. ∴AF ＝AE.
∴AE ＝EC ＝CF ＝FA. ∴四边形AECF 是菱形． (2)∵AC ⊥CD ，AC ⊥EF ， ∴EF ∥CD.
又∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF.
∴四边形ABEF 为平行四边形． ∴EF ＝AB ＝6. ∵AC ⊥CD ， ∴AB ⊥AC.
在Rt △ABC 中，
由勾股定理，得AC ＝8.
∴四边形AECF 的面积为12AC ·EF ＝1
2×6×8＝24.
03 综合题
13．(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开；
第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时，得到线段BA′，EA ′，展开，如图1；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B′处，得到折痕EF ，同时得到线段B′F ，展开，如图2. 求证：(1)∠ABE ＝30°； (2)四边形BFB′E 为菱形．
证明：(1)∵第二步折叠，使点A 落在MN 上的点A ′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ， ∴∠AEB ＝∠A′EB.
∵第三步折叠，点B 落在AD 上的点B′处，得到折痕EF ，同时得到线段B′F ， ∴∠A ′EB ＝∠FEB′.
∵∠AEB ＋∠A′EB ＋∠FEB′＝180°， ∴∠AEB ＝∠A′EB ＝∠FEB′＝60°. ∴∠ABE ＝90°－∠AEB ＝30°.
(2)∵∠A′EB ＝∠FEB′＝60°，EB ′∥BF ， ∴∠A ′EB ＝∠FEB′＝∠BFE ＝∠EFB′＝60°. ∴△BEF 和△EFB′是等边三角形． ∴BE ＝BF ＝EF ＝EB′＝FB′. ∴四边形BFB′E 为菱形．
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形
1．下列命题中正确的是(C)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)
A．4 B．3 C．2 D．1
3．(娄底中考)如图，要使▱ABCD是矩形，则应添加的条件是答案不唯一，如：∠ABC＝90°或AC＝BD(添加一个条件即可)．
4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC.
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴AO＋CO＝BO＋DO，即AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
知识点2有三个角是直角的四边形是矩形
5．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(C)
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
6．(来宾中考)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是矩形．
7．如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是矩形．
8．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13.求证：四边形ABCD 是矩形．
证明：∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，
∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝90°.
又∵在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，
即△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°.
∴四边形ABCD 是矩形．
9．已知：如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 是矩形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.
∵AF ，DF 平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝∠BAE ＝1
2∠DAB ，
∠ADF ＝∠CDF ＝1
2
∠ADC.
∴∠FAD ＋∠ADF ＝90°. ∴∠AFD ＝90°.
同理：∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形．
02 中档题
10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 绕点C 旋转180°得到△FEC ，连接AE 、BF.当∠ACB 为60度时，四边形ABFE 为矩形．
11．(河南平顶山宝丰县期中)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形，AC 、DE 相交于点O.
(1)求证：四边形ADCE 是矩形；
(2)若∠AOE ＝60°，AE ＝4，求矩形ADCE 对角线的长．
解：(1)证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ＝DE ，BD ＝AE ，BD ∥AE. 又∵AB ＝AC ， ∴DE ＝AC.
又∵D 为BC 中点， ∴CD ＝BD.
∴CD ∥AE ，CD ＝AE.
∴四边形ADCE 是平行四边形． 又∵DE ＝AC ，
∴四边形ADCE 是矩形． (2)∵四边形ADCE 是矩形， ∴AO ＝EO. ∵∠AOE ＝60°，
∴△AOE 为等边三角形． ∴AO ＝AE ＝4.
∴AC ＝8，即矩形ADCE 对角线的长为8.
12．(巴中中考)如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连接BE ，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是EH ＝FH ，并证明； (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由． 解：(1)证明：∵点H 是BC 的中点， ∴BH ＝CH.
在△BEH 和△CFH 中，
⎩⎨⎧BH ＝CH ，
∠BHE ＝∠CHF ，EH ＝FH ，
∴△BEH ≌△CFH(SAS)．
(2)连接BF，CE.
当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．
理由：∵BH＝CH，EH＝FH，
∴四边形BFCE是平行四边形．
又∵BH＝EH，
∴BC＝EF.
∴平行四边形BFCE为矩形．
03综合题
13．(张家界中考)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.
设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.
∴OF＝OC.
同理：OC＝OE.∴OE＝OF.
(2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.
∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13.
∴OC＝1
2EF＝13 2.
(3)连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．理由：由(1)知OE＝OF，
当点O移动到AC中点时，OA＝OC，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形．
第3课时矩形的性质与判定的运用
01基础题
知识点矩形的性质与判定的运用
1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝(C) A．8 B．10 C．12 D．18
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D) A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
3．下列说法正确的是(A)
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的四条边相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是(A) A．AC⊥BD B．AC＝BD
C．BO＝DO D．AO＝CO
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A 表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是(A)
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
6．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝3，则OE ＝(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC
＝25°．
8．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”)．
9．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝2∶1，求∠BDE的度数．
解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°.
∵∠ADE∶∠EDC＝2∶1，
∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°.
又∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°－30°＝60°.
根据矩形的性质可得OC＝OD，
∴∠DOC＝180°－2∠DCE＝180°－2×60°＝60°.
∴∠BDE＝90°－∠DOC＝30°.
10．(聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝DC.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AC，BE＝AD.
又∵AD＝DC，∴DC＝BE.
∴四边形BECD是平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴四边形BECD是矩形．
02中档题
11．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有(A)
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF ＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M 是BC 边的中点，则∠AFE 的度数为15°．
13．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝20 cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3 cm/s 和2 cm/s ，则最快4s 后，四边形ABPQ 成为矩形．
14．(郑州校级模拟)如图，已知矩形ABCD ，P 为BC 上的一点，连接AP ，过D 点作DH ⊥AP
交AP 于H ，AB ＝22，BC ＝4，当△CDH 为等腰三角形时，则BP
15．如图，在▱ABCD 中，点P 是AB 边上一点(不与A ，B 重合)，CP ＝CD ，过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，连接CQ.
(1)若∠BPC ＝∠AQP ，求证：四边形ABCD 是矩形； (2)在(1)的条件下，当AP ＝2，AD ＝6时，求AQ 的长．
解：(1)证明：∵∠BPQ ＝∠BPC ＋∠CPQ ＝∠A ＋∠AQP ， 又∵∠BPC ＝∠AQP ， ∴∠CPQ ＝∠A. ∵PQ ⊥CP ，
∴∠CPQ ＝∠A ＝90°.
又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠CPQ ＝90°.
在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，⎩
⎨⎧CQ ＝CQ ，
CD ＝CP ，
∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ(HL)．
∴DQ ＝PQ.
设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝6－x. 在Rt △APQ 中，AQ 2＋AP 2＝PQ 2. ∴x 2＋22＝(6－x)2. 解得x ＝8
3.
∴AQ 的长是8
3
.
03 综合题
16．如图，已知在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 在AB 上(不与A 、B 重合)，过P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，M 为EF 的中点． (1)请判断四边形PECF 的形状，并说明理由；
(2)随着P 点在边AB 上位置的改变，CM 的长度是否也会改变？若不变，求CM 的长度；若有变化，求CM 的变化范围．
解：(1)四边形PECF 是矩形．理由：在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AB 2. ∴∠ACB ＝90°.
∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，
∴∠PEC ＝∠CFP ＝90°. ∴四边形PECF 是矩形． (2)CM 的长度会改变．
理由：连接PM ，由(1)证得四边形PECF 是矩形， ∴EF ＝PC ，CM ＝1
2
CP.
过点C 作CD ⊥AB ，当CD ＝PC 时PC 最小， ∴PC ＝AC·BC AB ＝12
5
＝2.4.
∵点P 在斜边AB 上(不与A 、B 重合)， ∴PC ＜BC ＝4.
∴PC 的范围是2.4≤PC ＜4， 即EF 的范围是2.4≤EF ＜4. ∴CM 的范围是1.2≤CM ＜2.。