三 傅里叶变换培训课件

a b e n
n
an
2
an jbn an2 bn2
2
2
jtan1(bn )
e
an
Fn Fn ejn F n 是 n 的偶函数 n 是 n 的奇函数
bann
Fn j(Fn
Fn Fn
)
Fn
F n
1 2
c
n
cn Fn F n
3. 指数形式的信号频谱
Fn Fn ejn F n 是 n 的偶函数 n 是 n 的奇函数
2
实数
Fn
E
T1
Sa(n1
2
)
Fn
E
T1
Sa
n1
2
E
T1
Sa2
n1
n
0
或
, Sa
n1
2
0
, Sa
n1
2
0
Fn
E
T1
Sa(n1
2
)
2E c n
双边 频谱
Fn
E
T1
Sa2
n1
E
T1
T1
c0
E T1
单边 频谱
2
0 1
2
n
0 1
0 1
2
n
0 1
4
E T1
Fn
2
0 1
2
n
2 E { s i n [1 ( t T 4 1 ) ] 1 3 s i n [ 3 1 ( t T 4 1 ) ] 1 5 s i n [ 5 1 ( t T 4 1 ) ] }
2 E [ c o s (1 t) 1 3 c o s ( 3 1 t) 1 5 c o s ( 5 1 t) 1 7 c o s ( 7 1 t) ]
0 1
E Fn
T1
2
0 1
2
Fn
E
T1
Sa(n1
2
)
当Fn是实函数时，可 用Fn的正、负表示相
位的0、π，幅度谱和
相位谱合一。
当周期信号 f(t) 为
偶函数时, bn 0 ,
Fn
an 2
为实函数。
4. 周期信号的平均功率和傅里叶系数间的关系
P 1 t0T1 f 2(t)dt
T1 t0
T 1 1tt0 0 T 1 { a 0 n 1 [a nc o s (n1 t) b ns in (n1 t)]} 2 d t
a02 12n1(an2 bn2)
c02
1 2
n1
cn2
三 角 函
1
cos(n1t )
n 1, 2,
数 集
sin(n1t )
n 1, 2,
是一个正交函数集
Fn 2
n
复指数函数集 e jn1t
是一个正交函数集
例题：周期信号 f ( t ) 如图所示。
f (t)
1
（1）给出 f ( t ) 的三角形式傅里 -2 -1 0
f(t)a 0 [a nco ns 1 t)( b nsin n1 t) (]
n 1
c0 cncos(n1tn)
n1
其中
c0 a0,
cn an2 bn2,
n
tan1( bn an
)
an,bn,cn,n都是 n 1 的函数。
cn n1 关系曲线，称为信号的 幅度频谱。
n n1关系曲线，称为信号的 相位频谱。
4
4
8
8
cn
1
0 1
11 24 3 1 4 1
11
84
41 31
Fn
负频率的出现只是数学运
1
算的结果，并没有任何物 理意义。
11
48
0 1
3 1 4 1
n
0 1
3
4 1 3 1
2 3
2 3
31 41
3
n
0 1
3
4 1 3 1
2 3
例：周期矩形脉冲 f(t)E Sa(n1)ejn1t
T1 n
第三章 傅里叶变换
§3.1 引言 §3.2 周期信号的傅里叶级数分析 §3.3 典型周期信号的傅里叶级数 §3.4 傅里叶变换 §3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 §3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 §3.7 傅里叶变换的基本性质 §3.8 卷积定理 §3.9 周期信号的傅里叶变换 §3.10 抽样信号的傅里叶变换、抽样定理
a 0n 1(a n 2jb nejn 1 ta n 2jb nejn 1 t)
F0
[F nejn1t F nejn1t]
F e 记欧拉F 公 n式 F 0 aenjc s 0 2io n n j1 stb 1((n n nn (1 1 n tt1 )) F 1n , e 1 2 2,j2 n (j e(1)te jn jn 1 tn 1 t e 1F eaj n n n e jn 1 tjn 1 )tT 2 )1 1t tt00T n1fnn(t的的)奇c偶on函s函(数数nj n1t1t)dt
2. 奇函数
f(t)f(t)
a0
1 T1
T1
2
T21
f (t)dt
0
an
2 T1
T1 2
T21
f(t)cos(n1t)dt
0
bn
2 T1
T1 2
T21
f(t)sin(n1t)dt
4 T1
T1 2
0
f(t)sin(n1t)dt
三角级数只含有正弦项，不含有直流和余弦项。
Fn an2jbn
jbn 2
1 1 2 c o s (31 t 3 ) 1 4 c o s (41 t 2 3)
cn
1
11
24
0 1
3 1 4 1
n
3
0 1
4 1 3 1
2 3
周期矩形脉冲 f(t)E T 12 T E 1 n 1S a (n2 1)c o s(n1 t)
对比
f(t)c0c2nEc osc (n n1tn)
（2）谐波性 —— 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（3）收敛性 —— 幅度谱反映了信号 f(t) 中各频率分量的 大小，其谐波幅度随着 n而逐渐衰 减到零。
（二）指数形式的傅里叶级数
1. 由三角形式的傅里叶级数导出指数形式的傅里叶级数
f(t)a 0 [a nco n1 s t) (b nsin n1 t) (] n 1
例：周期矩形脉冲
E f (t)
T1 T 1
T1
T1
t
2 2 22
Fn
1 T1
2
Ee jn1t dt
2
E
T1
Sa( n1
2
)
f(t)E Sa(n1)ejn1t
T1 n
2
2. 两种形式的傅里叶级数系数之间的关系
（1） F0 c0 a0
（2）
Fn
an
jbn 2
Fn
an
jbn 2
2
2 jtan1(bn )
T1 2
T21
f
(t)dt
1 T1
T1 E 2
E 2
, bn 0
an
4 T1
T1 2
0
f(t)cos(n1t)dt
4 T1
0T21(E2TE 1 t)cos(n1t)dt
2E
n22
[1cos(n)]
0 4E
n2 2
, n为偶数 , n为奇数
f( t) E 2 4 E 2 [ c o s (1 t) 1 9 c o s ( 3 1 t) 2 1 5 c o s ( 5 1 t)]
则
Fn
an jbn 2
a n
2
jbn
bn
2
T1
t0T1 t0
f(t)sin(n1t)dt
f (t)
Fnejn1t
n
F nT 1 1tt0 0 T 1f(t)ejn 1 tdt ( n )
F0
a0
1 T1
t0T1 f(t)dt
t0
1 T1
t0T1 f (t)ej01tdt
t0
F nan 2jbnT 1 1 tt00T1f(t)ejn1tdt
§3.1 引言
（一）傅里叶分析发展的历史
◆ 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier) 提出“每一个周 期函数都可以表示成三角函数之和” ，奠定了傅里叶级数 的理论基础。
◆ 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的 方式给出傅里叶级数与积分存在条件的完整证明。
一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下，才可 以展开为傅里叶级数。
c0
E T1
n1
T1
cn
2E
T1
Sa
n1
2
E c0 T1
包络
2E
T1
Sa2
n1
0 1
2
4
n
0
,
S
a
n1 2
0
,
Sa
n1 2
0
n
0 1
3. 周期信号频谱的特点
（1）离散性 —— 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。
信号的周期T1决定着其离散频谱谱线的间隔大小。
T1 越大， 1 越小，谱线越密。
1. 偶函数
f(t)f(t)
an
2 T1
T1 2
T21
f(t)cos(n1t)dt
4 T1
T1 2
0
f(t)cos(n1t)dt
bn
2 T1
T1 2
T21
f(t)sin(n1t)dt
0
三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。
Fn
an
jbn 2
an 2
F n 为n 的实偶函数
例：
a0
1 T1
Fn ~ n1 幅度频谱
n ~ n1 相位频谱
双边频谱
1
1
2
f( t ) 1 1 1 2 e c j 3 o e s j ( 3 3 1 t1 t 1 e 3 ) j 3 e 4 j c 3 o 1 t s ( 4 1 1 e t j2 3 3 e j ) 4 1 t 1 e j2 3 e j4 1 t
s213 125 12712
s2
2 8
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系
f (t)a0 [ancos(n1t)bnsin(n1t)] n1
Fnejn1t
n
四种对称形式：
偶函数： f(t)f(t)
奇函数： f(t)f(t) 奇谐函数： f(t)f(tT1)
2
偶谐函数： f (t) f (t T1) 2
4. 偶谐函数
f (tT1) f (t) 2
1
2 T1
,
周期全波余弦信号 f (t )
ETΒιβλιοθήκη T1T1 T1T1
t
24
1
2
T
12
f( t) 1 1 2 c o s ( 31 t 3 ) 1 4 s in (41 t 6 )
1 1 4 c o s ( 3 1 t) 4 3 s i n ( 3 1 t) 8 1 c o s ( 4 1 t) 8 3 s i n ( 4 1 t)
f( t) 1 1 2 c o s ( 31 t 3 ) 1 4 s in (41 t 6 )
12
t
叶级数； f( t) 1 2 [ s in (t) 1 s in ( 3t) 1 s in ( 5t)]
2
3
5
（2）利用（1）的结果和 f ( 1 ) 1 ，求下列无穷级数之和；
2
s1
1111 357
s1
4
（3）求出f ( t ) 的平均功率；
P1
2
（4）利用（3）的结果，求下列无穷级数之和。
3. 奇谐函数
f (t T1) f (t) 2
T1 2
f (t)
T1 2
T1
t
奇谐函数的傅里叶级数中，只含有奇次项，不含有直流和偶 次项。
（1） a0 0
（2） cos[n1(tT 2 1)]cos(n1tn)cocso(sn(n1t)1t)
,n为偶数 ,n为奇数
sin[n1(t
T1 2
)]
sinsi(nn(n1t)1t)
（二）本章主要内容
周期信号的傅里叶级数
信号的频域分析 非周期信号的傅里叶变换
建立信号频谱的概念。
第五章：系统的频域分析
例：周期矩形脉冲
E f (t)
T1 T 1
T1
T1
t
2 2 22
1
a0T1
T1
2 T1
2
f(t)dt1EE
T1
T1
bn
2 T1
T1
2 T1
2
f(t)sin(n1t)dt
f1 ( t) 2 E [ s in (1 t) 1 3 s in ( 31 t) 1 5 s in ( 51 t)]
例2：
E
f2 (t)
2
偶函数、奇谐函数，
T1 0
T1
T1
2
E 2
2
E f1 (t )
2
t 傅里叶级数只有 奇次余弦项。
T1
0
T1
T1
t
2
E2
2
f2(t)
f1(t
T1 ) 4
F n 为n 的虚奇函数
例：
a0 an 0
bn
4 T1
T1 2
0
f(t)sin(n1t)dt
4 T1
T1 2
0
TE1tsin(n1t)dt
E
n
cos(n)
E n
E
n
, n为 偶 数 , n为 奇 数
f(t) E [s in (1 t) 1 2 s in (21 t) 1 3 s in (31 t)]
,n为偶数 ,n为奇数
奇次项满足奇谐性，偶次项不满足奇谐性。
例1：
E f1 (t )
2
T1
0
T1
T1
t
2
E 2
2
奇函数、奇谐函数，傅里叶级数只有奇次正弦项。
a0 an 0
b nT 4 10 T 2 1E 2sin (n1 t)d tn E[1co s(n)]
0 2E n
,n偶 ,n奇
例：周期信号 f(t) 1 1 c o s (t) 1 s in (t) 2 4 34 3 6 求 f ( t的) 傅里叶级数并画出频谱图。
解：分量 1 cos( t的周期) 为
2 43
T1 8
分量 1 sin( t的周期) 为
4 36
T2 6
则 f ( t的) 周期为 T，2基4波角频率
0
an
2 T1
T1
2 T1
2
f(t)cos(n1t)dt
2 T1
2
Ecos(n1t)dt
2
4 T1
2 0
Ecos(n1t)dt
4E
n1T1
sin
n1
2
2E
T1
Sa
n1
2
f(t)E T 12 T E 1 n 1S a (n2 1)c o s(n1 t)
2. 周期信号的频谱