圆周率计算方法发展史_强春晨
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图1
这种精 加 工 方 法 的 效 果 是 奇 也是割圆术中最为精彩 妙的， 的部分。 令人遗憾的是， 由于 人们对 它 缺 乏 理 解 而 被 长 期 遗忘 了。 大 家 更 加 熟 悉 的 是 祖冲之的两大贡献： 其一是求 得圆周率 3． 1415926 ＜ π ＜ 3． 1415927［4］， 其二是， 得到 π 的 两个近似分数
第 31 卷 第 2 期 2012 年 6 月
延安大学学报（ 自然科学版） Journal of Yanan University （ Natural Science Edition）
Vol． 31 No． 2 Jun. 2012
DOI： 10. 3969 / J. ISSN. 1004 － 602X. 2012. 02. 042
2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文 槡 规定圆周 率 取 3 为 计 算 面 积 的 标 准， 后人称之为 “古率 ” 。“早期的人们还使用了其它的粗糙方法， 如古埃及、 古希腊人曾用谷粒摆在圆形上， 以数粒数 ， 与方形对比的方法取得数值 或用匀重木板锯成圆
［2 ］ 形和方形以秤量对比取值……” 。 在这一阶段， 人们主要通过一些常用的刻度尺
关键词： 圆周率； 实验获取； 几何算法； 分析算法； 计算工具 602X（ 2012 ） 02004205 中图分类号： O141. 4 文献标识码： A 文章编号： 1004圆周率 π 是一个驰名数学界的数， 取自希腊语 “周围— — —πúρωαπó” 的第一个字母， 它表示圆的周 圆周率就散发 长与直径的比值。 自有文字记载始， 着经久不衰的魅力， 以致在漫长的几千年的历史中 许多数学家都在寻找所谓的 π 值， 有的科学家几乎 。 为此付出了毕生的时间和心血 迄今为止， 人们知 这个符号的人， 是英格 道的最早在数学中使用“π ” 、 （ William Oughtred ， 1574 兰数学家 发明家奥特雷德 《数学指南》 － 1660 年） ［1］， 他在 1647 年出版的 中用 / （ ， ） π δ π 表示圆的周长 δ 表示直径 表示圆周 率。 至于第一个用 π 表示圆周 率 的 人， 有人说是牛顿 （ Newton Isaac， 1643 － 1727 年 ） ， 有人说是英国数学 ［1 ］ 家、 作家 威 廉 · 琼 斯 （ 1675 － 1749 年 ） ， 琼斯在 1706 年出版于伦敦的《新数学引论 》 一书中第 243 、 263 页中使用过 π 来表示圆周率， 但他的这一创新 并没有广泛流传开来。 人类对 π 的研究成果在一 定程度上反映出一个地区或一个时代的数学水平 ， 1845 － 1918 正如德国数学史家康托 （ Contor Georg， “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程 年） 说 度， 可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指 ［1 ］ ” 标。 就如同今天， 最大素数的求取水平， 代表了 某个公司或国家计算机研究发展的先进程度 。 纵观古今， 横览中外， 我们可以将圆周率计算方 法的发展史分为四个阶段： 实验获取阶段、 几何算法 分析算法阶段、 计算机时代圆周率的计算这四 阶段、
= 3． 1416 。而这一结果， 正如刘徽本人指出的， 如果 通过割圆计算得出这个结果， 需要割到 3072 边形，
44
30 上的改进， 利用这一改进， 只需算到 2 边形， 就可得 意大利罗马数学家格林贝 到 34 位 π 值。1630 年，
时间将 π 计算到 707 位。但在 1945 年， 福格森出于 用手工计算机对尚克斯的的 笃信 π 是简单正态数， 。“可怜 结果进行了核实， 发现从 528 位起是错的 ， ， 不仅几十年的心血大多打了“水漂 ” 最 的尚克斯” 主要的是， 他至死都不知道， 他已经出错了。在尚克 中国著名的数学家李善兰 斯的结果发表之后不久， 在用尖锥术求圆面积的时候得到了式子 1 1 1 5 1 1 × + × + …） ， π =4 －4（ × － 2 3 2 ×4 1 2 ×4 ×6 7 这个式子的发现， 足以证明我国在继祖冲之之后对 福格森 圆周率的探索仍然大有作为。1848 年 1 月，
和其他测量工具、 自制的圆探索圆周率。 不论从计 算方法还是计算工具上来看， 这一时期人们对圆周 但是广大数学爱 率的探求都是不科学和不准确的， 好者追求圆周率精确值的脚步并没有停止 。
第2 期
圆周率计算方法发展史
43
1. 2
几何算法阶段
凭直观推测或实物度量来计算， 实验阶段得到 π 值的结果是相当粗略的， 在众多数学家的努力下， — —几何算法阶段。 π 值的计算进入了科学的阶段— 1. 2. 1 圆内接、 外切多边形 阿基米 德 （ Archimedes， 公 元 前 287 － 公 元 前 212 ） 是科学地研究圆周率这一常数的第一个人， 开 创了几何计算 π 的阶段， 真正使圆周率计算建立在 科学的基础上， 他提出了一种能够借助数学过程 ， 把 π 的值精确到任意精度的方法。 由图 1 知， 圆周长大于内接 正四边形而小于外切正四边形， 2 ＜ π ＜ 4， 因此 2 槡 据说阿基米 德用到了正 96 边形才算出这个 这个例子虽然可行性不 值域， 强， 但它至少迈出了科学探索圆 周率的第一步。 阿基米德求圆
圆周率计算方法发展史
1， 2 1 1 强春晨 ， 刘兴祥 ， 岳育英
（ 1. 延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000 ； 2. 陕西省榆林市榆阳区 上盐湾中学，陕西 榆林 719000 ）
摘
要： 通过实验获取、 几何算法、 分析算法和电子计算机的使用四个阶段 ， 对圆周率的计算方法进 向读者阐明圆周率的发展史。 行介绍与分析，
［4 ］
图 2 割圆术不断地 利用勾股定理来计算 正 N 边形的边长
， 即约率为
22 355 ， 。 他算出 密率为 7 133
的 π 的 8 位可靠数字， 不但在当时是最精密的圆周 而且保持世界记录九百多年， 以致于有数学史家 率， 。 在这一时期， 提议将这一结果命名为“祖率 ” 数学 家们对圆周率精确值的探索颇有成就， 涌现出了大 量的伟人， 阿基米德、 祖冲之、 鲁道夫等， 他们都为圆 周率的计算做出了卓越的贡献。 但是， 用几何方法 计算量很大， 这样算下去， 穷数学家的一生 求其值， 也改进不了多少。古典方法已引导数学家们走了很 远， 到鲁道夫可以说已经登峰造极， 再向前推进， 必 须在方法上有所突破。 1. 3 分析算法阶段 17 世纪出现了数学分析这一锐利的工具， 使得 π 的计算 许多初等数学束手无策的问题迎刃而解， 历史也随之进入一个新的阶段。 1. 3. 1 π 的陈旧方法的突破— — —解析表达式的发 现 1579 年法国数学家韦达（ Francois Viete， 1540 － （ 《数学定律， 1630 ） 在 应用于三角形 》 中 ） 通过计算
0328 收稿日期： 2012作者简介： 张春晨（ 1988 —） ， 女， 陕西榆林人， 延安大学在读硕士研究生 。
个阶段。
1
1． 1
圆周率计算方法发展的四个阶段
实验获取阶段
通过实验对 π 值进行估算， 这是计算 π 的的第 ［1 ］ 一阶段。公元前 950 年前后， 基督教《圣经 》 中最 ， 早记载了圆周率为“3 ” 巴比伦、 印度、 中国等也长 期使用这个粗略而简单实用的数值 。我国的刘徽提
［1 ］ “圆径一而周三 ” ， 《周髀算经 》 出的 曾广泛流传 中， 就记载有这一结论， 木工师傅有两句从古流传下 ［1 ］ “周三径一， 方五斜七 ” ， 意思是说， 直径 来的口诀 为 1 的圆， 周长大约是 3 ， 边长为 5 的正方形， 对角 线之长约为 7 。这正反映了早期人们对圆周率 π 和
［9 ］
1939. 5. 18 － ） 利用斯涅 格（ Peter Andreas Grünberg， 耳的方法得到 40 位。 这也是利用多边形周长算 π 的最后的重要结果。 1. 3. 2 — —反正切函数 π 的计算方法的最大突破— 表达式 1669 年， 牛顿在在他的《分析学 》 中提出后， 苏 1911 格兰数学家詹姆斯 · 格雷戈里 （ James Gregory， － 2002 ） 公开了牛顿的 arctanx 的级数展开式［5］ x3 x5 x7 arctanx = x = x － + － + … （ － 1 ≤ x ≤1） 3 5 7 只可惜， 没有发现只需令式 x = 1 中， 就可以得到 π 4
和雷恩奇联合发表了经过检验的正确的 π 的 808 位。1949 年， 英国数学家列维 · 史密斯和雷恩奇算 是人工算 π 的最高记录。 这一时 出 π 的 1121 位， 期， 人们对圆周率的计算可以说是有相当大的进展 ， 学会使用解析表达式来计算 π 的值， 而且， 有了计 — — π 的反正切函数表达式的 算方法的最大突破— 这个公式层出不穷， 为计算 π 的更精确的值 发现， 提供了有力的科学依据。 随着人们对圆周率探索的发展， 计算工具也在 不断的改进， 最开始自制的不精确的工具逐渐被淘 手盘和算盘成了大多人计算的工具 ， 计算量不断 汰， 这两种计算工具已经不能满足数学家们的计 增大， 算要求。此时， 台式机械计算机出现了， 它为数学家 们的计算提供了方便。但人们并没有停止对计算工 具的研究和更新， 脚步依然在前进。 1. 3. 3 概率方法的使用 关于 π 的值， 历史上还有一种几何与分析思想 之外 的 方 法， 那 就 是 18 世 纪 法 国 科 学 家 蒲 丰 （ Buffon， 1707. 9. 7 － 1788. 4. 16 ） 创造的“投针求的
来画 π
［5 ］
2 90° 90° 90° = cos（ ） cos（ ） cos（ ） = 2 4 8 π + + + . 2槡 2 2槡 2槡 2 2槡 2 2槡 2 槡 1 1 1 1 1 1 1 1 1
这个式子给科学家们指出了一个崭新的计算 π 的 思路， 这是分析法计算圆周率时代的第一个解析表 达式。这个公式的优美至今令我们赞叹不已， 它仅 仅借助数 2 ， 通过一系列的加、 乘、 除和开平方就可 算出 π 值， 且将 π 计算到了第九位。 这一时期， 是 几何算法与分析算法“共同繁荣 ” 的时期， 在 1621 年德国 － 荷兰物理学家、 数学家斯涅耳 （ Willebrod Snell， 1580 － 1626 ） 对原来古典方法作出了一些三角
10 ［3］ ” ， 而且提供了误差的估计方法及计算。 重要 71 的是， 这种方法从理论上而言， 能够求得圆周率的更 准确的值。到公元 150 年左右， 希腊天文学家托勒 密（ Ptolemy， 公元 90 － 公元 168 ） 得出 π = 3． 1416 ， 这 是自阿基米德以来取得的巨大进步 。 1. 2. 2 割圆术的应用 割圆术（ 图 2 ） 是我国的数学家刘徽提出的， 他 是我国最早运用科学方法 计 算 π 值 的 人， 在公元 263 年前后， 他就用此方法得出 π = 3． 14 ， 后人称之 “徽率” ， 为 他指出这是不足近似值。 虽然他提出割 圆术的时间比阿基米德晚一些， 但其方法确有着更 美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆 周率的上、 下界， 比阿基米德同时用内接和外切正多 边形的方法简捷得多。 另外， 有人认为在割圆术中 刘徽提供了一种绝妙的精加工方法， 以致于他将割 到 192 边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平 竟然获得具有 4 位有效数字的圆周率 π = 均， 3927 1250
16 圆的正 6 × 2 = 393216 边形， 得出 3． 1415926535 ＜ π ＜ 3． 1415926537 ， 同时他利用分析式和级数乘积
体现在他的一篇论文 周率的更精确近似值的方法， 《圆的测定》 之中。在这一书中， 阿基米德第一次使 用上、 下界来确定 π 的近似值， 他用几何方法证明 “圆 周 长 与 圆 直 径 之 比 小 于 3 + 了 1 而大于 3 + 7
这种精 加 工 方 法 的 效 果 是 奇 也是割圆术中最为精彩 妙的， 的部分。 令人遗憾的是， 由于 人们对 它 缺 乏 理 解 而 被 长 期 遗忘 了。 大 家 更 加 熟 悉 的 是 祖冲之的两大贡献： 其一是求 得圆周率 3． 1415926 ＜ π ＜ 3． 1415927［4］， 其二是， 得到 π 的 两个近似分数
第 31 卷 第 2 期 2012 年 6 月
延安大学学报（ 自然科学版） Journal of Yanan University （ Natural Science Edition）
Vol． 31 No． 2 Jun. 2012
DOI： 10. 3969 / J. ISSN. 1004 － 602X. 2012. 02. 042
2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文 槡 规定圆周 率 取 3 为 计 算 面 积 的 标 准， 后人称之为 “古率 ” 。“早期的人们还使用了其它的粗糙方法， 如古埃及、 古希腊人曾用谷粒摆在圆形上， 以数粒数 ， 与方形对比的方法取得数值 或用匀重木板锯成圆
［2 ］ 形和方形以秤量对比取值……” 。 在这一阶段， 人们主要通过一些常用的刻度尺
关键词： 圆周率； 实验获取； 几何算法； 分析算法； 计算工具 602X（ 2012 ） 02004205 中图分类号： O141. 4 文献标识码： A 文章编号： 1004圆周率 π 是一个驰名数学界的数， 取自希腊语 “周围— — —πúρωαπó” 的第一个字母， 它表示圆的周 圆周率就散发 长与直径的比值。 自有文字记载始， 着经久不衰的魅力， 以致在漫长的几千年的历史中 许多数学家都在寻找所谓的 π 值， 有的科学家几乎 。 为此付出了毕生的时间和心血 迄今为止， 人们知 这个符号的人， 是英格 道的最早在数学中使用“π ” 、 （ William Oughtred ， 1574 兰数学家 发明家奥特雷德 《数学指南》 － 1660 年） ［1］， 他在 1647 年出版的 中用 / （ ， ） π δ π 表示圆的周长 δ 表示直径 表示圆周 率。 至于第一个用 π 表示圆周 率 的 人， 有人说是牛顿 （ Newton Isaac， 1643 － 1727 年 ） ， 有人说是英国数学 ［1 ］ 家、 作家 威 廉 · 琼 斯 （ 1675 － 1749 年 ） ， 琼斯在 1706 年出版于伦敦的《新数学引论 》 一书中第 243 、 263 页中使用过 π 来表示圆周率， 但他的这一创新 并没有广泛流传开来。 人类对 π 的研究成果在一 定程度上反映出一个地区或一个时代的数学水平 ， 1845 － 1918 正如德国数学史家康托 （ Contor Georg， “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程 年） 说 度， 可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指 ［1 ］ ” 标。 就如同今天， 最大素数的求取水平， 代表了 某个公司或国家计算机研究发展的先进程度 。 纵观古今， 横览中外， 我们可以将圆周率计算方 法的发展史分为四个阶段： 实验获取阶段、 几何算法 分析算法阶段、 计算机时代圆周率的计算这四 阶段、
= 3． 1416 。而这一结果， 正如刘徽本人指出的， 如果 通过割圆计算得出这个结果， 需要割到 3072 边形，
44
30 上的改进， 利用这一改进， 只需算到 2 边形， 就可得 意大利罗马数学家格林贝 到 34 位 π 值。1630 年，
时间将 π 计算到 707 位。但在 1945 年， 福格森出于 用手工计算机对尚克斯的的 笃信 π 是简单正态数， 。“可怜 结果进行了核实， 发现从 528 位起是错的 ， ， 不仅几十年的心血大多打了“水漂 ” 最 的尚克斯” 主要的是， 他至死都不知道， 他已经出错了。在尚克 中国著名的数学家李善兰 斯的结果发表之后不久， 在用尖锥术求圆面积的时候得到了式子 1 1 1 5 1 1 × + × + …） ， π =4 －4（ × － 2 3 2 ×4 1 2 ×4 ×6 7 这个式子的发现， 足以证明我国在继祖冲之之后对 福格森 圆周率的探索仍然大有作为。1848 年 1 月，
和其他测量工具、 自制的圆探索圆周率。 不论从计 算方法还是计算工具上来看， 这一时期人们对圆周 但是广大数学爱 率的探求都是不科学和不准确的， 好者追求圆周率精确值的脚步并没有停止 。
第2 期
圆周率计算方法发展史
43
1. 2
几何算法阶段
凭直观推测或实物度量来计算， 实验阶段得到 π 值的结果是相当粗略的， 在众多数学家的努力下， — —几何算法阶段。 π 值的计算进入了科学的阶段— 1. 2. 1 圆内接、 外切多边形 阿基米 德 （ Archimedes， 公 元 前 287 － 公 元 前 212 ） 是科学地研究圆周率这一常数的第一个人， 开 创了几何计算 π 的阶段， 真正使圆周率计算建立在 科学的基础上， 他提出了一种能够借助数学过程 ， 把 π 的值精确到任意精度的方法。 由图 1 知， 圆周长大于内接 正四边形而小于外切正四边形， 2 ＜ π ＜ 4， 因此 2 槡 据说阿基米 德用到了正 96 边形才算出这个 这个例子虽然可行性不 值域， 强， 但它至少迈出了科学探索圆 周率的第一步。 阿基米德求圆
圆周率计算方法发展史
1， 2 1 1 强春晨 ， 刘兴祥 ， 岳育英
（ 1. 延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000 ； 2. 陕西省榆林市榆阳区 上盐湾中学，陕西 榆林 719000 ）
摘
要： 通过实验获取、 几何算法、 分析算法和电子计算机的使用四个阶段 ， 对圆周率的计算方法进 向读者阐明圆周率的发展史。 行介绍与分析，
［4 ］
图 2 割圆术不断地 利用勾股定理来计算 正 N 边形的边长
， 即约率为
22 355 ， 。 他算出 密率为 7 133
的 π 的 8 位可靠数字， 不但在当时是最精密的圆周 而且保持世界记录九百多年， 以致于有数学史家 率， 。 在这一时期， 提议将这一结果命名为“祖率 ” 数学 家们对圆周率精确值的探索颇有成就， 涌现出了大 量的伟人， 阿基米德、 祖冲之、 鲁道夫等， 他们都为圆 周率的计算做出了卓越的贡献。 但是， 用几何方法 计算量很大， 这样算下去， 穷数学家的一生 求其值， 也改进不了多少。古典方法已引导数学家们走了很 远， 到鲁道夫可以说已经登峰造极， 再向前推进， 必 须在方法上有所突破。 1. 3 分析算法阶段 17 世纪出现了数学分析这一锐利的工具， 使得 π 的计算 许多初等数学束手无策的问题迎刃而解， 历史也随之进入一个新的阶段。 1. 3. 1 π 的陈旧方法的突破— — —解析表达式的发 现 1579 年法国数学家韦达（ Francois Viete， 1540 － （ 《数学定律， 1630 ） 在 应用于三角形 》 中 ） 通过计算
0328 收稿日期： 2012作者简介： 张春晨（ 1988 —） ， 女， 陕西榆林人， 延安大学在读硕士研究生 。
个阶段。
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1． 1
圆周率计算方法发展的四个阶段
实验获取阶段
通过实验对 π 值进行估算， 这是计算 π 的的第 ［1 ］ 一阶段。公元前 950 年前后， 基督教《圣经 》 中最 ， 早记载了圆周率为“3 ” 巴比伦、 印度、 中国等也长 期使用这个粗略而简单实用的数值 。我国的刘徽提
［1 ］ “圆径一而周三 ” ， 《周髀算经 》 出的 曾广泛流传 中， 就记载有这一结论， 木工师傅有两句从古流传下 ［1 ］ “周三径一， 方五斜七 ” ， 意思是说， 直径 来的口诀 为 1 的圆， 周长大约是 3 ， 边长为 5 的正方形， 对角 线之长约为 7 。这正反映了早期人们对圆周率 π 和
［9 ］
1939. 5. 18 － ） 利用斯涅 格（ Peter Andreas Grünberg， 耳的方法得到 40 位。 这也是利用多边形周长算 π 的最后的重要结果。 1. 3. 2 — —反正切函数 π 的计算方法的最大突破— 表达式 1669 年， 牛顿在在他的《分析学 》 中提出后， 苏 1911 格兰数学家詹姆斯 · 格雷戈里 （ James Gregory， － 2002 ） 公开了牛顿的 arctanx 的级数展开式［5］ x3 x5 x7 arctanx = x = x － + － + … （ － 1 ≤ x ≤1） 3 5 7 只可惜， 没有发现只需令式 x = 1 中， 就可以得到 π 4
和雷恩奇联合发表了经过检验的正确的 π 的 808 位。1949 年， 英国数学家列维 · 史密斯和雷恩奇算 是人工算 π 的最高记录。 这一时 出 π 的 1121 位， 期， 人们对圆周率的计算可以说是有相当大的进展 ， 学会使用解析表达式来计算 π 的值， 而且， 有了计 — — π 的反正切函数表达式的 算方法的最大突破— 这个公式层出不穷， 为计算 π 的更精确的值 发现， 提供了有力的科学依据。 随着人们对圆周率探索的发展， 计算工具也在 不断的改进， 最开始自制的不精确的工具逐渐被淘 手盘和算盘成了大多人计算的工具 ， 计算量不断 汰， 这两种计算工具已经不能满足数学家们的计 增大， 算要求。此时， 台式机械计算机出现了， 它为数学家 们的计算提供了方便。但人们并没有停止对计算工 具的研究和更新， 脚步依然在前进。 1. 3. 3 概率方法的使用 关于 π 的值， 历史上还有一种几何与分析思想 之外 的 方 法， 那 就 是 18 世 纪 法 国 科 学 家 蒲 丰 （ Buffon， 1707. 9. 7 － 1788. 4. 16 ） 创造的“投针求的
来画 π
［5 ］
2 90° 90° 90° = cos（ ） cos（ ） cos（ ） = 2 4 8 π + + + . 2槡 2 2槡 2槡 2 2槡 2 2槡 2 槡 1 1 1 1 1 1 1 1 1
这个式子给科学家们指出了一个崭新的计算 π 的 思路， 这是分析法计算圆周率时代的第一个解析表 达式。这个公式的优美至今令我们赞叹不已， 它仅 仅借助数 2 ， 通过一系列的加、 乘、 除和开平方就可 算出 π 值， 且将 π 计算到了第九位。 这一时期， 是 几何算法与分析算法“共同繁荣 ” 的时期， 在 1621 年德国 － 荷兰物理学家、 数学家斯涅耳 （ Willebrod Snell， 1580 － 1626 ） 对原来古典方法作出了一些三角
10 ［3］ ” ， 而且提供了误差的估计方法及计算。 重要 71 的是， 这种方法从理论上而言， 能够求得圆周率的更 准确的值。到公元 150 年左右， 希腊天文学家托勒 密（ Ptolemy， 公元 90 － 公元 168 ） 得出 π = 3． 1416 ， 这 是自阿基米德以来取得的巨大进步 。 1. 2. 2 割圆术的应用 割圆术（ 图 2 ） 是我国的数学家刘徽提出的， 他 是我国最早运用科学方法 计 算 π 值 的 人， 在公元 263 年前后， 他就用此方法得出 π = 3． 14 ， 后人称之 “徽率” ， 为 他指出这是不足近似值。 虽然他提出割 圆术的时间比阿基米德晚一些， 但其方法确有着更 美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆 周率的上、 下界， 比阿基米德同时用内接和外切正多 边形的方法简捷得多。 另外， 有人认为在割圆术中 刘徽提供了一种绝妙的精加工方法， 以致于他将割 到 192 边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平 竟然获得具有 4 位有效数字的圆周率 π = 均， 3927 1250
16 圆的正 6 × 2 = 393216 边形， 得出 3． 1415926535 ＜ π ＜ 3． 1415926537 ， 同时他利用分析式和级数乘积
体现在他的一篇论文 周率的更精确近似值的方法， 《圆的测定》 之中。在这一书中， 阿基米德第一次使 用上、 下界来确定 π 的近似值， 他用几何方法证明 “圆 周 长 与 圆 直 径 之 比 小 于 3 + 了 1 而大于 3 + 7