几类常系数非齐次线性差分方程解的研究

几类常系数非齐次线性差分方程解的研究
劳智
【摘要】In this paper, we discuss several types of k-order non-homogeneous linear difference equations with constant coefficients. According to the character of the equations, we transfer them to higher order homogeneous linear difference equations by the operator method and some lemmas. By the representation of general solutions of the higher order homogeneous linear difference equations, we obtain a special solution of the original nonhomogeneous linear difference equation, and then the general solutions of the non-homogeneous linear difference equation are obtained.%文章讨论了几类A阶常系数非齐次线性差分方程，并根据非线性项的特征，利用算子方法及其相关引理将其化为更高阶齐次线性差分方程．通过相应高阶齐次线性差分方程的通解形式，获得其特解的简单表达形式，从而获得非齐次线性差分方程通解形式．
【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(011)004
【总页数】4页(P14-17)
【关键词】非齐次;常系数差分方程;特解;算子
【作者】劳智
【作者单位】广东海洋大学寸金学院,广东湛江524094
【正文语种】中文
【中图分类】O151
引进算子:
其中:用 I表示恒等算子，即 Iyn=
引理 1 (E －λI)(Pα(n)λn)=Pα－1(n)λn+1［2］，
其中Pα(n)为n的α次多项式.
引理 2 (E －λI)α+1(Pα(n)λn)=0［2］.
定理A 设y*(n)是k阶常系数非齐次线性差分方程
的一个特解，y1(n)是与方程(1)对应的齐次方程
的一个解，那么
也是方程(1)的一个解［3］.
定理B 设方程(1)右端是几个函数之和，如
而)分别是方程
的特解，则就是原方程(3)的特解.
证明把(n)代入方程(3)的左边，得
定理1 k阶常系数非齐次线性差分方程有形如
的特解，其中:
b不是特征方程(5)的根时，s=0;
b是特征方程(5)的αj重实根时，s=αj.
证明设yn=λn为方程(2)的解，则
将上式称为方程(2)的特征方程，记为方程(5).设方程(5)可以分解为其中α1+α2+… +αm=k.
引进算子E，方程(2)可以写成
由方程(6)可知，方程(7)可以写成:
故方程(4)可化为
由引理2(E －λI)α+1(Pα(n)λn)=0可知:
若为方程(*)的解，则一定有
若b不是特征方程(4)的根，则可以表示为
是方程(*)对应的齐次方程(2)的解.
故由定理A可知
是方程(*)的一特解.
因此，方程(*)有形如
的特解.
即
若b是特征方程(5)的根，不妨设b=λ1是方程(5)的α1重根.方程(*)变为故可以表示为
由定理A可知，
也是方程(*)的解.
因此，方程(*)有形如
的特解.
即
定理2 k阶常系数非齐次线性差分方程
有形如
的特解，其中:
且为 t=max{h，l}次待定系数多项式.
证明方程(8)可化为
其中α1+α2+… +αm=k.
由欧拉公式，得
若beiω是j重特征根，由定理1，可设特解
其中 t=max{h，l}.
显然，
满足
由定理B可知:为方程(＆)的解.
且
则方程(＆)有形如
的特解.
若beiω不是特征根，可设特解
此时，方程(＆)有形如
的特解.
在文献［4］中，作者利用比较系数法，推出一阶常系数非齐次线性差分方程
及
特解的一般公式.在文献［5］中，作者给出了二阶常系数差分方程
和
特解的一种新的公式化求解方法.在文献［5］中，作者总结出二阶常系数非齐次线性差分方程
及
特解的设法.
本文则利用算子及相关性质将文献［4］、［5］、［6］中的一、二阶差分方程的特解推广到k阶差分方程
的特解形式，并给出了简单的证明，因此更具有广泛意义.
例1 求差分方程
一特解.
解:该方程的特征方程为
其根为:λ1=1，λ2，3=2
由于b=2是二重特征根，可设原方程一特解为
代入原方程，得:
故原差分方程的一特解为
例2 求差分方程
一特解.
解:该方程的特征方程为
其根为:
由于
不是特征根，
故可设原方程一特解为
代入原方程，得
故原方程的一特解为
参考文献:
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4(1):91-93.
［5］赵士银.一类二阶常系数差分方程特解的简单求法［J］.河南教育学院学报:
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【责任编辑:陈钢】
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