一维单原子链振动能与热容的研究

一维单原子链振动能与热容的研究
刘凤智
【摘要】对于一维晶格可以严格求出振动能和热容，将它们与爱因斯坦模型和德拜模型的结果进行比较，可以找出两种模型的成功与不足，如此可以加深对模型的理解，也有助于模型的完善.
【期刊名称】河南科学
【年(卷),期】2012(030)009
【总页数】5
【关键词】单原子链；振动能；热容；爱因斯坦模型；德拜模型
晶格振动理论是晶体的重要理论，从晶格振动理论可以推出晶体的物理性质，特别是晶格热容的计算.对于一维晶格振动，因为模型简单，常常可以得出严格解，而受到人们的重视，一维单原子链也是晶格振动理论的入门知识，在固体物理教学中占有重要的地位.晶格振动理论就是起源于对晶格热学性质的研究，而能量和热容是热学性质中很有代表性的物理量.对晶格热容和振动能的具体求解是一个比较复杂的问题，在一般的讨论中常采用爱因斯坦和德拜两个简化模型.因为一维单原子可以做严格意义上的理论研究，为了深刻理解模型的实质，可以对一维晶格进行对比研究，找出爱因斯坦和德拜模型的成功与不足，有利于对实际三维晶格的认识[1].本文首先从理论上将三种处理方法应用到一维单原子链，得出相应的振动能与热容，并得出极端情况下的极限值，随后用一个实际例子做了讨论，得出一些有意义的结论.
1 由爱因斯坦模型计算晶格振动能和等容摩尔热容
对于一维单原子链，假设原子数为N，晶格常数为a，晶格的力常数为β，原
子质量为m，只考虑最近邻原子的作用，可以得出晶格振动的色散关系[2]：
其中：ωm为晶格振动的截止频率；q为波矢，可以将它限制在第一布里渊区，即-π/a<q≤π/a.
进一步假设晶体为绝缘体（不考虑电子运动的贡献），则一维晶格振动能为：
如果采用爱因斯坦模型，即假设所有原子都以统一的频率ωE（称为爱因斯坦特征频率）振动，则一摩尔晶格振动能为：
其中为了方便可以引入一个特征温度，称为爱因斯坦温度：
爱因斯坦温度θE，一般由实验确定.
上述晶格振动能的极限情况：
由摩尔热容的定义可以从（3）式求出晶格的等容摩尔热容：
等容摩尔热容的极限情况：
2 由德拜模型计算晶格振动能和等容摩尔热容
将德拜方法用到一维晶格振动，首先考虑长波近似下的色散关系[3]：
此时可以求出频谱密度为：
还可以求出德拜截止频率：
由德拜模型可以求出一维晶格的摩尔振动能为：
其中称为德拜温度，一般需要由实验来确定：
对于德拜模型的一维晶格振动能的极限情况：
由德拜模型求出晶格的等容摩尔热容：
对于德拜模型一维晶格等容摩尔热容的极限情况：
3 由严格解法求晶格振动能和等容热容
对于一维晶格可以求出严格的频谱密度：
由（16）式和振动能公式可以得出一维晶格摩尔振动能：
其中为了方便还可以定义一个特征温度
由严格频谱密度求出晶格摩尔振动能的极限情况[4]：
由（17）式还可以求出相应的等容摩尔热容：
等容摩尔热容的极限情况：
4 讨论
4.1 三种振动能的比较
假设一维单原子链中振动截止频率为ωm=4.479×1013（rad/s），可分别计算出德拜模型的特征温度θD=535.3 K，严格计算中的特征温度θm=340.8 K.下面根据室温下，由爱因斯坦模型中的振动能（3）式和严格解法的振动能（17）式，二者能量应该相等，即有：
将θm=340.8 K和T=300 K，代入（21）式中，通过数值计算，可得下面的方程：
从（22）式可解得爱因斯坦温度：θE=232.4 K.
知道了特征温度，通过数值计算可以分别求出各自的振动能，其振动能随温度的变化曲线如图1所示.由三条能量曲线看，在温度较高时，能量与温度基本成线性增长，随着温度的增长，三条能量曲线趋于重合，与经典能均分定理的结论一致，量子效应消失，这也说明在高温区，三种模型都能很好地描述晶格振动能.
由图1所示，在低温区，三条曲线差异较大.由爱因斯坦模型得出的能量在75 K以下的低温区偏离严格解法所得能量，在20 K左右就基本接近零点能了，不
过二者的零点能相差只有7%左右.对于德拜模型与严格解法二者的曲线在低温区差异较大，特别是在零点能，二者差距达到23%之多，这是由于德拜近似将截止频率抬高了的缘故，由于德拜近似主要用来计算晶格比热，对于振动能不太关注，但有时在计算结合能时，会用它来计算零点振动能，此时会有较大误差，应该引起重视.
顺便提及，由数值计算得出的零点能与各个低温极限所给出的结果完全相符，这也说明各个极限公式是正确的.
4 .2 三种等容摩尔热容的比较
确定了各自的特征温度，也可以通过数值计算来研究等容摩尔热容与温度的关系.计算所得等容摩尔热容随温度变化的曲线如图2所示.我们依然将严格解法所得的结果作为准确值，用它来比较爱因斯坦和德拜模型.
如图2所示，在高温区，德拜模型与爱因斯坦模型都与严格解相同，说明在高温情况下，二种模型都能给出正确的晶格热容，也与经典物理理论相符.在低温区，爱因斯坦模型与严格解相差较大，在100 K左右开始偏离，在20 K左右就基本下降为零了，下降速度远快于温度的一次方.这与爱因斯坦模型过于简单有关，爱因斯坦模型认为所有振动都以一个单一频率ωE进行，没有考虑频率的分布.
在温度很低时德拜模型与严格解法都得出等容摩尔热容与温度呈线性下降，这段温区很小，从表1可以看出，较严格的线性关系在10 K左右（误差在0.5%以内），这与文献［5］的说法相符（从一维的结论来推知三维的实际晶体，在低温时热容与温度的3次方下降的规律可能只在很小的一个温区成立），大约为θD/50的量级.从比热随温度变化的数据曲线上来看，虽然高温极限与低温极限
德拜模型都与严格解相符，但在中低温区，二者有较大的差异，这也可能是在实际晶体中德拜模型计算热容相差较大的原因.
在高温区爱因斯坦等容摩尔热容曲线是在德拜等容摩尔热容曲线的上方，这一点与文献［5］的说法不同.
5 结论
我们从一维单原子为研究对象，将爱因斯坦模型和德拜模型与严格解进行了比较，清晰地指出了两种常见模型的成功与缺陷，主要得出以下几个结论：
1）可以用能量相等的方法来确定爱因斯坦温度.
2）用德拜模型来求零点能会产生较大的误差.
3）对于一维单原子链，晶格热容随温度线性下降的温区比预料的要小得多. 4）在高温区，爱因斯坦热容曲线在德拜曲线的上方，在低温区则在下方.
5）尽管德拜热容曲线在极低温与高温区与严格解相符，但在中温区曲线下移，这有可能是导致与实际热容偏差的原因.
参考文献:
［1］张海峰，徐文兰.几种一维原子链晶格振动特性比较研究［J］.中国科学院研究生院学报，1995，12（1）：86－90.
［2］方俊鑫，陆栋.固体物理学：上册［M］.上海：上海科学技术出版社，1981.
［3］胡安，章维益.固体物理学［M］.北京：高等教育出版社，2005.
［4］刘丹.基于德拜模型讨论晶格比热［J］.湖北教育学院学报，2007，24（8）：10－12.
［5］（美）德克尔A J.固体物理学［M］.高联佩，译.北京：科学出版社，
1965.
（编辑张继学）
基金项目:辽宁石油化工大学科研基金项目（80040067）。