湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学(文)Word版含答案

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学(文科)
注意事项：
1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

2.考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足(2)34z i i +=-，则|z|＝ A.2 B.5 C.3 D.22
2.已知集合A ＝{x|(x －1)(x ＋2)<0}，B ＝{x|2x ≤1}，则A ∩B ＝ A.(－2，1) B.(－2，0) C.(－2，0] D.(－2，－1]
3.若{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，a n >0，a 2a 4＝4，S 3＝14，则其公比q 等于 A.
16 B.1
2
C.2
D.3 4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确．．．的是 A.他们健身后，体重在区间[90kg ，100kg)内的人数不变 B.他们健身后，体重在区间[100kg ，110kg)内的人数减少了4人 C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg)
D.他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg
5.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别是A ，B ，左右焦点分别是F 1，F 2。

若|AF 1|，| F 1F 2|，|F 1B|成
等差数列，则该椭圆的离心率为 A.
14 B.12 C.2
3
D.2 6.若等边△ABC 的边长为l ，点M 满足12
CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅u u u r u u u r ＝
A.3
B.2
C.23
D.0
7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角的正切值为 A.1 B.
22 C.32 D.33
8.某程序框图如图所示，若输出的S ＝41，则判断框内应填入
A.k>5?
B.k>6?
C.k>7?
D.k>8? 9.已知下列命题：
①“若x 2＋x －2≠0，则x ≠1”为真命题：
②命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则⌝p ：∃x 0∈R ，x 02＋1≤0； ③若2
k π
ϕπ=
+(k ∈Z)，则函数y ＝cos(2x ＋φ)为奇函数；
④若a b ⋅r r >0，则a r 与b r
的夹角为锐角。

其中，正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如右图所示，且A(
2
π
，l)，B(π，－1)，则φ的值为
A.
56π B.6π C.－56π D.－6
π
11.已知双曲线
2
21
24
y
x-=的左右焦点
分别是F1，F2，若双曲线右支上存在一点M，使得
()220
OM OF F M
+⋅=
u u u u r u u u u r u u u u r
，则1
2
F M
F M
=
A.
4
3
B.
5
3
C.2
D.
7
3
12.已知函数
2
1
1,0
()2
2,0
x
x
f x
x x x
⎧⎛⎫
-<
⎪ ⎪
=⎨⎝⎭
⎪+≥
⎩
，若f(x)－mx≥0，则实数m的取值范围是
A.[0.2]
B.[－1，2]
C.[－ln3，2]
D.[－ln2，2]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x3－
2
1
x
，则f(1)＝。

14.已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(
2
3
，a)，则cos2α＝。

15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来。

若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为(容器壁的厚度忽略不计)。

16.数列{a n}中，a1＝3，且
1
1
4
n n
n n
n
a a
a a-
-
=-+
-
(n≥2)，令
2
1
2(2)
n
n
b
a
=
-
，则数列{b n}的前2020项和S2020＝。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17题～第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必做题：60分。

17.(本题满分12分)在△ABC中，∠ABC＝
3
π
，点D在边AB上，BD＝2。

(1)若△BCD的面积为3，求CD；
(2)若cos∠BCA＝
5
5
cos∠DCA＝
310
10
，求CD。

18.(本题满分12分)某单位共有职工2000人，其中男职工1200人，女职工800人为调查2019年“双十一”购物节的消费情况，按照性别采用分层抽样的方法抽取了该单位100人在“双十一”当天网络购物的消费金额(单位：百元)，其频率分布直方图如下：
(1)已知抽取的样本中，有3名女职工的消费不低于1000元，现从消费不低于1000元的职工中抽取3名职工进行购物指导，求抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率；
(2)在“双十一”当天网络购物消费金额不低于600元者称为“购物狂”，低于600元者称为“理性购物者”。

已知在抽取的样本中有18名女职工消费不低于600元，请完成上图中的列联表，并判断能否有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关。

附：参考数据与公式
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.(本题满分12分)如图所示的几何体B －ACDE 中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，DC ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，点M 在线段BC 上，且AM ＝
125。

(1)证明：AM ⊥平面BCD ；
(2)若点F 为线段BE 的中点，且三棱锥F －BCD 的体积为1，求CD 的长度。

20.(本题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点(0，2)作直线l 交抛物线于A 、B 两点。

(1)证明：OA ⊥OB ；
(2)若直线l 的斜率为1，过点A 、B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，若直线l 1，l 2，相交于点P ，直线l 1，l 2交x 轴分别于点M ，N ，求△MNP 的外接圆的方程。

21.(本题满分12分)已知函数2
()ln a f x x x x x
=
-+。

(1)若函数f(x)在定义域内是增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ∈[1，e)时，求方程()2
a
f x ax =-
的根的个数。

(二)选考题：10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，直线C 1
的参数方程为222
x y t ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数)。

以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

(1)写出直线C 1的极坐标方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx(k>0)与C 1，C 2分别交于点M 、N ，求ON
OM
的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分) 已知函数f(x)＝|x －2|。

(1)求不等式f(x)≤2x ＋5的解集；
(2)已知a>0，记函数g(x)＝f(x ＋1)－f(－x ＋5)，且g(x)的最大值为M ，求证：21
3Ma a
+≥。

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．2
14．19
- 15 16．
2020
2021
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
解：（1）Q 1
sin 2
BCD S BD BC B ∆=
⋅⋅ ∴4BC = …………………………………………………………………… 3分 在BCD ∆中，由余弦定理可得 2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅
∴ CD = ………………………………………………………………… 6分 （2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠
∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ ……………… 8分
Q cos BCA ∠=
cos DCA ∠=
∴sin 5
BCA ∠=，sin 10
DCA ∠=，………………………………………9分
∴ sin BCD ∠=
………………………………………………………… 10分 在BCD ∆中，由正弦定理可得
sin sin CD BD
B BCD
=
∠，
∴ sin sin BD B
CD BCD
⋅=
∠ ………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）消费不低于1000元的共有0.0252100=5⨯⨯ 人， ……………………………1分
其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b .从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：
（,,A B C ），（,,A B a ），（,,A B b ），（,,A C a ），（,,A C b ），（,,B C a ），（,,B C b ）（,,A a b ），（,,B a b ），（,,C a b ）共10种情况.………………3分
其中至少有两名女职工包括7种情况. …………………………………………4分 所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率7
10
P = . …………6分 （2）应抽取男职工：1201000=602000⨯
人，抽取女职工：800
100=402000
⨯人，
8分
（注：按表格前两行，一行数据全对时得1分）
2(48182212)100
7.14360407030
k ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯， …………………………………………10分
因为7.143 6.635>
所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. ………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）Q DC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，
∴AM DC ⊥ ………………………………………………………………………1分
Θ在ABC ∆中，AC AB ⊥，4AB =，3AC =，
∴5BC =
由222
3cos 25
AC CM AM ACM AC CM +-∠=
=⋅得2
2
1293565CM CM ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
∴9
5
CM =……………………………………………………………………………3分
∴222
AM CM AC +=
AM CM ∴⊥，即AM BC ⊥………………………………………………………5分
ΘBC DC C =I ，BC ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD
∴AM ⊥平面BCD …………………………………………………………………6分
（2）取AB 的中点N ，BM 的中点P ,连接FN ，PN ,
∴AM PN //，16
25
PN AM ==， ……………………………………………7分
Θ点F 为线段BE 中点，
∴//FN EA . ………………………………………………………………………8分
ΘDC ⊥平面ABC ， EA ⊥平面ABC ，
∴//DC EA ，DC BC ⊥，…………………………………………………………9分 ∴//FN DC .
ΘFN ⊄平面BCD ，DC ⊂平面BCD
∴//FN 平面BCD
∴点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离 …………………10分 ΘAM ⊥平面BCD ，
∴PN ⊥平面BCD .
设CD a =，则116
51325
F BCD V a -=
⨯⨯⨯=三棱锥 ∴1a =，即CD 长为1. …………………………………………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y
联立222y kx x y
=+⎧⎨=⎩得2
240x kx --=，……………………………………………2分
∴ 2
4160k ∆=+>，122x x k +=，124x x =- ………………………………3分
∴ 2
121212121()04
OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=u u u r u u u r ，……………………………4分
∴ OA OB ⊥ …………………………………………………………………5分 （2）Q 1k =
∴ 122x x +=，124x x =-
Q y x '= ∴切线1l ：111()y y x x x -=-即21112
y x x x =-
同理可得切线2l ：2
2212
y x x x =-
……………………………………………6分 令0y =，则11(,0)2M x ，21
(,0)2
N x
联立2112
22
12
12
y x x x y x x x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，点(1,2)P - ……………………………………………8分
设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++= 令0y =，则20x Dx F ++=
∴ 由韦达定理可得1211+22x x D =-，121
4x x F =， ………………………10分
∴ 1D =-，1F =-且520D E F +-+= ∴ 3
2
E =
，………………………………………………………………………11分 则圆的方程为：22
3102x y x y +-+-=即2
2
13292416x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …12分
21．（本小题满分12分） 解：（1）定义域：(0,)+∞
由题意知211
()1+=
0ax x f x ax x x
-+'=-≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，………1分 即2
10ax x -+≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，………………………………………2分
所以(0,)x ∈+∞时，2max
1x a x -⎛⎫
≥
⎪
⎝⎭ ……………………………………………3分 由于2221111111()244x y x x x x -=
=-=--+≤，所以1
4
a ≥
……………………5分
（2）设()()2a g x f x ax =-+
=2+ln 22
a a x ax x x --+ 21(1)1(1)(1)
()1ax a x ax x g x ax a x x x
-++--'=--+==，…………………6分
①当1a =时，()0g x '≥，()g x 在()0,+∞是单调递增，
()110g =-<Q ，()1
4ln 402
g =+
>， 所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =,即方程()2
a
f x ax =-只有一个根. ……8分 ②当(1,)a e ∈时，则101a <
<，令()0g x '=，有1
x a
=或1x =. 所以()g x 在1
(0,)a
上是增函数，在1
(1)a
，上是减函数，在(1+)∞，
上是增函数 ()g x 的极大值为1111
()1ln ln 12222a a g a a a a a a
=---+=---.……………9分
设1
()ln 122a h a a a
=
---，其中(1,)a e ∈ 则2
22
111(1)()+0222a h a a a a
-'=-=> 所以()h a 在(1,)a e ∈上是增函数， 所以1()()2022e h a h e e <=
--<，即1
()0g a
<， 所以()g x 在()0,1上无零点.………………………………………………………10分 又(1)=1<0g -，991
(4)=4ln 44+ln 4ln 40222
a g -+>-=+>， 所以(1)(4)0g g ⋅<，
又()y g x =在(1,+)∞单调递增，所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =. 即方程()2
a
f x ax =-
只有一个根.…………………………………………………11分 综上所述，当[1,)a e ∈时，方程()2
a
f x ax =-
有且只有一个根. ……………12分 22.（本小题满分10分）
解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………………………………2分
将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得
sin cos 2ρθρθ+= ，即sin()4
π
ρθ+= ……………………………5分
（2）依题意可设直线l 的极坐标方程为=0<<)2
π
θαα（，
设12(,),(,)M N ραρα， …………………………………………………………6分
则212sin sin()1=)42ON OM π
ααρπαρ+=-+， ……………………8分 由02
π
α<<
,有324
4
4
π
π
π
α-
<-
<
,……………………………………………9分 当sin(2)=14π
α-时，ON OM
的最大值为
2
. ……………………………10分 23.（本小题满分10分）
解：（1）当2x ≥时，原不等式即225x x -≤+，解得2x ≥； …………………………2分 当2x <时，原不等式即225x x -≤+，解得12x -≤<， ……………………4分
∴不等式52)(+≤x x f 的解集为[)+∞-,1. ……………………………………5分
（2）Q ()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=………………7分
（当且仅当3≥x 时等号成立）
∴2=M
∴22211123Ma a a a a a a +
=+=++≥=. ……………………………9分
当且仅当2
1
a a =
，即1=a 时等号成立.…………………………………………10分。