二轮复习 新定义型、创新型、应用型试题突破 学案

第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．
核心知识回顾
1.新定义型问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题
创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．
3．实际应用型问题
将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．
热点考向探究
考向1 新定义型问题
例1(1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝e x}；M4＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．其中是“互垂点集”集合的为() A．M1B．M2C．M3D．M4
答案 D
解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合M1，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝x22＋1＝0不成立，所以集合M1不是“互垂点集”．对于集合M2，x>0，当x1＝1时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0不成立，所以集合M2不是“互垂点集”．对于集合M3，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝e x2＝0
不成立，所以集合M 3不是“互垂点集”．排除A ，B ，C.故选D.
(2)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎨⎧
2，x <0，
－x 3＋6x 2
－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．0 答案 B
解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知a ＝2 时有两个解．
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
1．若数列{a n }满足1a n ＋1－p
a n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦
想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92
的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 答案 B
解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3·…·b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．
2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新
运算：x*y＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c ＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是() A．②B．①②C．②③D．①②③
答案 D
解析根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b ＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.
考向2 创新型问题
例2(1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π的值约为()
A.22
7 B.
47
15 C.
51
16 D.
60
17
答案 B
解析(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需
满足的条件为
⎩
⎨
⎧x＋y>1，
x2＋y2<1，
0<x<1，
0<y<1，
作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有
102
360＝
π
4－
1
2
1×1
，解得π＝
47
15.
(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为()
A.23
B.25
C.12
D.15 答案 C
解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C 25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰
是相克关系的概率为P ＝1
2，故选C.
高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．
1．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12 答案 C
解析 由已知得1⊕x ＝⎩
⎨⎧
1(x ≤1)，x 2(x >1)，
2⊕x ＝⎩⎨⎧
2(x ≤2)，x 2(x >2)，
所以f (x )＝⎩⎨⎧
x －2(x ≤1)，
x 3－2(1<x ≤2)，
x 3－x 2(x >2)，
可求出当x ≤1时，函数的最大值是－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是6.
所以当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于6，选C.
2．把数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k
行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫12n －1中的项1
287应记为________．
答案 A (8,17)
解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1
287是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫12n －1的第144项，由S 7＝
27－12－1＝127⇒A (8,17)．
考向3 实际应用型问题
例3 (1)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )
A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q 答案 D
解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.
(2)(2019·湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企
业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)＝1
2x
2＋2x＋20(万元)，商品的
售价是每件20元，为获取最大利润(利润＝收入－成本)，该企业一个月应生产该商品的数量为()
A．9万件B．18万件
C．22万件D．36万件
答案 B
解析由题意可得，获得最大利润时的收入是20x万元，成本是1
2x
2＋2x＋
20，所以此时的利润为M＝20x－1
2x
2＋2x＋20＝－
1
2x
2＋18x－20＝－
1
2(x－18)
2＋
142≤142，当且仅当x＝18时，取最大值．故选B.
求解应用题的一般步骤(四步法)
(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．
1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
M1 (R＋r)2＋
M2
r2＝(R＋r)
M1
R3.
设α＝r
R.由于α的值很小，因此在近似计算中
3α3＋3α4＋α5
(1＋α)2
≈3α3，则r的近
似值为()
A. M2
M1R B.
M2
2M1R
C.
33M 2M 1R D.
3M 23M 1R
答案 D
解析 由α＝r R 得r ＝αR ，代入M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1
R 3，整理得
3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.又∵3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴3α3≈M 2
M 1，∴α≈
3M 23M 1，∴r ＝αR ≈ 3M 23M 1R .故选D.
2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x 的函数关
系为L (x )＝a
x 2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )
A ．1元
B ．2元
C ．3元
D ．4元 答案 D
解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝a
x 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎨⎧
L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 42＋
b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝32，
b ＝1
8
，
所以L (x )＝32x 2＋1
8，故函数L (x )的表达式为 L (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2.125，1≤x ≤4，32x 2＋1
8
，4<x ≤20.
故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x
8
，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x
＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x
8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元时，月销售额可以达到最大值，故选D.
真题
押题
『真题模拟』
1．(2019·重庆模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案 B
解析 依题可知e i x 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.
2．(2019·钦州市高三三模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变，剩余质量为原来的1
4.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 B
解析 设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的1
4，两年后变为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，依此类推，得到n 年后质量是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，只需要⎝ ⎛⎭⎪⎫
14n ≤1100⇒n >3，
故选B.
3．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cos A sin A 1＝cos B sin B 1＝cos C
sin C 1＝1，则称△ABC 为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足( )
A ．有一个内角为30°
B ．有一个内角为45°
C ．有一个内角为60°
D ．有一个内角为75° 答案 B
解析 由对称性，不妨设A 1和B 1为锐角，则A 1＝π2－A ，B 1＝π
2－B ，所以A 1＋B 1＝π－(A ＋B )＝C ，于是cos C ＝sin C 1＝sin(A 1＋B 1)＝sin C ，即tan C ＝1，解得C ＝45°，故选B.
4．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③ 答案 C
解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 2
2，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.
5．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”． (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M-数列”；
(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前
n 项和．
①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数．若存在“M-数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．
解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，
所以a 1≠0，q ≠0.
由⎩⎨⎧ a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎨⎧
a 21q 4＝a 1q 4
，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，
解得⎩⎨⎧
a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M-数列”．
(2)①因为1S n ＝2b n －2
b n ＋1
，所以b n ≠0.
由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2
b 2，则b 2＝2.
由1S n ＝2b n －2
b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n ).
当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得 b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n
2(b n －b n －1)，
整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.
因为数列{c n }为“M-数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ， 其中k ＝1,2,3，…，m (m ∈N *)． 当k ＝1时，有q ≥1；
当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln k
k －1.
设f (x )＝ln x
x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：
因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33，
所以f (k )max ＝f (3)＝ln 3
3.
取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k ≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成
立．因此所求m 的最大值不小于5.
若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6.
综上，所求m 的最大值为5.
『金版押题』
6．已知一族双曲线E n ：x 2－y 2＝n 2019(n ∈N *，n ≤2019)，设直线x ＝2与E n
在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，记△A n B n C n 的面积为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝________.
答案 5052
解析 设A n (x 0，y 0)，可得x 20－y 20＝n 2019.
双曲线E n ：x 2－y 2＝n 2019(n ∈N *，n ≤2019)的渐近线方程为
x －y ＝0，x ＋y ＝0.
由点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，不妨设B n 在第一象限内，可得|A n B n |＝|x 0－y 0|2
， |A n C n |＝|x 0＋y 0|2
，易知双曲线E n 的两条渐近线互相垂直，可得A n B n ⊥A n C n ， 则△A n B n C n 的面积a n ＝12|A n B n |·|A n C n |＝12·|x 0－y 0|2·|x 0＋y 0|2
＝x 20－y 204＝18076n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝18076×12×2019×2020＝5052.
配套作业
一、选择题
1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )
A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510
B ．y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋410
C ．y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋310 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 答案 C
解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，
所以D 不正确，故选C. 2.(2019·黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )
A ．7000
B ．7500
C ．8500
D ．9500
答案 C
解析 参加工作时就医费为7000×15%＝1050，设目前晓文同学的月工资为x ，则目前的就医费为10%·x ，因此10%·x ＝1050－200＝850，∴x ＝8500.故选
C.
3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：
甲说胡老师不是上海人，是福州人；
乙说胡老师不是福州人，是南昌人；
丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．
听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )
A ．一定是南昌人
B ．一定是广州人
C ．一定是福州人
D ．可能是上海人
答案 D
解析 若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意； 若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；
若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意；
若胡老师是广州人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．
4．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，
a ∨
b ＝⎩⎨⎧
b ，a ≤b ，a ，a >b ，
若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2
C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2
D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2
答案 C
解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.
5．某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )
A ．逆时针方向匀速前跑
B ．顺时针方向匀速前跑
C ．顺时针方向匀速后退
D ．静止不动
答案 C
解析 令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次
学生B 观察的位置C 26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生
A 的运动是顺时针方向匀速后退的．
6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(e ，＋∞)
D ．[1，＋∞)
答案 B
解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，即y 1＝e x 1－a ，y 2＝e x 2－a ，因为关于原点对称，所以e x 1－a ＝－e x 2＋a ，即2a ＝e x 1＋e x 2≥2e x 1·e x 2＝2e 0＝2，因为
x 1≠x 2，所以a >1，故选B.
7．若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③
答案 B
解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即
2ax ≤－a 2
－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，
∴|x |＋a ≤|x |＋b 2
＋2b |x |，则|x |≥a －b 2
2b ，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.
8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05)
A ．2018年
B ．2019年
C ．2020年
D ．2021年
答案 D
解析 设从2017年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，
由已知得130×(1＋12%)n >200，∴1.12n >200130，两边取常用对数得n lg 1.12>lg 200130，
∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥4，故选D.
9．(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )
A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B ．月跑步平均里程逐月增加
C ．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
答案 D
解析 根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选
D.
二、填空题
10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．
答案 3800
解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎨⎧ 0，0≤x ≤800，
(x －800)×14%，800<x ≤4000，
11%·x ，x >4000.
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应
在800～4000元之间， ∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.
11．(2019·北京市东城区高三综合练习)设A ，B 是R 上的两个子集，对任意
x ∈R ，定义：m ＝⎩⎨⎧ 0，x ∉A ，1，x ∈A ，n ＝⎩⎨⎧
0，x ∉B ，1，x ∈B .
(1)若A ⊆B ，则对任意x ∈R ，m (1－n )＝________；
(2)若对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则A ，B 的关系为________．
答案 (1)0 (2)A ＝∁R B
解析 (1)∵A ⊆B .则当x ∉A 时，m ＝0，m (1－n )＝0.
当x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m (1－n )＝0.
综上可得m (1－n )＝0.
(2)对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即当x ∈A 时，必有x ∉B 或x ∈B 时，必有x ∉A ，
∴A ，B 的关系为A ＝∁R B .
12．(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________．
答案 3
解析 ∵A 完成后，C 才可以开工；B ，C 完成后，D 才可以开工，完成A ，C ，D 需用时间依次为2，x,4天，
且A ，B 可以同时开工，又∵该工程共需9天，
∴2＋x max ＋4＝9⇒x max ＝3.
13．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2－x ，x ≤0，－x 2＋4x ，x >0，则f [f (－1)]＝________，若实数a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．
答案 4 (2,4]
解析 f [f (－1)]＝f (21)＝－4＋8＝4，因为a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，所以－2<a ≤0<b <2<c ，b ＋c ＝4，因此a ＋b ＋c ＝a ＋4∈(2,4]．
14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，
点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值范围为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 解析 ∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ，∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝
x (0<x <1)，则EF ＝x ，F A ＝2－x ，∴S ABCEF ＝S ABCD －S △DEF ＝12×(1＋2)×1－12x 2＝
12
(3－x 2)， ∴五棱锥P －ABCEF 的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x ＝16(3x －x 3)，
V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当0<x <1时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，
故V (0)<V (x )<V (1)，即V (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13， 故答案为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13.。