2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(人教A版全国通用)：阶段滚动检测四含解析

阶段滚动检测（四)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答,保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．(2016·吉林实验中学)已知集合A＝错误!，B＝错误!，则A∪（∁R B）等于(）
A．－1,0]B．1，2］
C．0,1]D．(－∞，1］∪2，＋∞）
2．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是1，＋∞)，命题q：函数y＝x－错误!的单调递增区间是1，＋∞）,则()
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题D．綈q是真命题
3．在平面四边形ABCD中，错误!＋错误!＝0,(错误!－错误!）·错误!＝0，则四边形ABCD是（）A．矩形B．梯形
C．正方形D．菱形
4．设函数f(x）＝错误!若函数y＝f(x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是(）A．(－∞，1］B．1，4]
C．4，＋∞) D．(－∞，1]∪4,＋∞)
5．设a＝错误!(sin17°＋cos17°）,b＝2cos213°－1,c＝错误!,则a,b，c的大小关系是（）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜b＜a
6．(2016·青岛一模)已知数列错误!为等差数列，其前n项和为S n,若a3＝6，S3＝12，则公差d等于() A．1 B．2
C．3 D。

错误!
7．在锐角三角形ABC中，若a＝7，b＝8，向量m＝(错误!，cos A），n＝(sin A，－错误!),且m⊥n，则△ABC的面积为(）
A．3错误! B.错误!
C．10错误!D．5错误!
8．已知数列错误!满足a1＝1,且a n＝错误!a n－1＋(错误!）n(n≥2且n∈N＊)，则数列错误!的通项公式为(）
A．a n＝错误!B．a n＝错误!
C．a n＝n＋2 D．a n＝（n＋2)3n
9．(2016·天津模拟)若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈（0,＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(）A．(－∞，0) B．(－∞,4］
C．（0，＋∞) D．4,＋∞)
10.已知函数f（x)＝2sin(ωx＋φ）（ω>0,且｜φ｜〈错误!)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是(）
A．－错误!，错误!］B．－错误!,－错误!]
C．－错误!，错误!] D．－错误!,错误!］
11．对于一切实数x，令x］为不大于x的最大整数,则函数f（x）＝x]称为高斯函数或取整函数．若a n＝f(错误!)，n∈N*，S n为数列错误!的前n项和，则S3n等于（）
A.错误!n2－错误!n B。

错误!n2＋错误!n
C．3n2－2n D.错误!n2－错误!n
12．（2016·长沙月考）已知f(x）是定义域为（－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2）＋f(2m－3)〉0，那么实数m的取值范围是(）
A。

错误! B.错误!
C．(1,3) D。

错误!
第Ⅱ卷(非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知集合A＝错误!，B＝错误!，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
14．(2016·云南省第一次统一检测)已知函数f(x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x－90）＝错误!则f（10）－f(－100)的值为________．
15．（2016·郑州一模）整数数列｛a n}满足a n＋2＝a n＋1－a n (n∈N＊)，若此数列的前800项的和是2013,前813项的和是2000，则其前2015项的和为________．
16．已知函数f（x）＝2sin2（错误!＋x）－错误!cos2x.若关于x的方程f（x)－m＝2在错误!，错误!]上有解，则实数m的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(10分)已知f(x）＝－3x2＋a(5－a）x＋b.
（1）当不等式f(x)＞0的解集为（－1,3)时，求实数a，b的值；
(2）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围．
18。

（12分)（2016·青岛模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝错误!，cos2A－cos2B＝错误!sin A·cos A－错误!sin B cos B．
（1)求角C的大小；
（2）若sin A＝错误!，求△ABC的面积．
19.（12分)（2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列错误!的前n项和为S n,且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
（1）求通项a n；
(2)求S n的最小值；
（3)若数列错误!是等差数列，且b n＝错误!,求非零常数c。

20.（12分)(2016·重庆巴蜀中学一模)已知函数f（x）＝A sin（ωx＋φ) （其中A〉0，ω>0，0<φ〈错误!，x∈R)的最小正周期为π，且图象上一个最低点为M错误!.
（1）求f（x）的解析式；
（2)当x∈错误!时,求f(x）的最值.
21.（12分)(2016·临沂模拟)已知a＝（cos错误!x,sin错误!x）,b＝A(cos2φ，－sin2φ),f(x）＝a·b（A＞0，｜φ|＜错误!)的部分图象如图所示，P,Q分别是该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），点R
的坐标为（1，0），△PRQ的面积为33 2。

(1)求A及φ的值；
（2)将f（x）的图象向左平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象,求函数g（x）的单调减区间．
22.（12分）（2016·辽宁重点中学协作体模拟考试）已知函数f（x)＝错误!.
（1）判断f(x）在（0，＋∞)上的单调性；
(2)若x＞0,证明：（e x－1)ln（x＋1)＞x2.
答案精析
1．D∁R B＝错误!＝错误!，
∴A∪（∁R B)＝错误!.］
2．D因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是1，＋∞），所以p是真命题；因为函数y＝x－错误!的单调递增区间是（－∞，0)和(0,＋∞)，所以q是假命题，所以p∧q为假命题,p∨q为真命题，綈p 为假命题，綈q为真命题，故选D。

]
3．D错误!＋错误!＝0⇒错误!＝－错误!＝错误!⇒四边形ABCD是平行四边形，
（错误!－错误!）·错误!＝错误!·错误!＝0⇒错误!⊥错误!，
所以平行四边形ABCD是菱形．]
4．D如图,画出f(x)＝错误!的图象,若使函数y＝f（x）在区间(a，a＋1）上单调递增，则a＋1≤2或a≥4，解得实数a的取值范围是（－∞，1］∪4,＋∞），故选D.]
5．A由已知得a＝sin（17°＋45°）＝sin62°，b＝cos26°＝sin64°，c＝错误!＝sin60°.
又y＝sin x在0°，90°］上是增函数，
所以c＜a＜b,故选A。

］
6．B在等差数列错误!中，S3＝错误!＝错误!＝12，解得a1＝2,又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d ＝2,故选B.］
7．C因为m⊥n，所以1
2sin A－错误!cos A＝0。

又0°＜A＜90°，所以cos A≠0，则有tan A＝错误!，
因此A＝60°.由正弦定理错误!＝错误!，且a＝7，b＝8，A＝60°,知sin B＝错误!sin60°＝错误!，又△ABC
为锐角三角形，所以cos B＝错误!。

因为sin C＝sin（A＋B）＝sin A cos B＋cos A sin B＝错误!×错误!＋
错误!×错误!＝错误!，所以S
△ABC
＝错误!ab sin C＝10错误!.故选C。

]
8．B由a n＝错误!a n－1＋（错误!)n（n≥2且n∈N＊）得3n a n＝3n－1a n－1＋1,3n－1a n－1＝3n－2a n－2＋1，…，32a2＝3a1＋1，以上各式相加得3n a n＝n＋2，故a n＝错误!.]
9．B2x ln x≥－x2＋ax－3,则a≤2ln x＋x＋错误!，设h(x）＝2ln x＋x＋错误!(x〉0）,则h′（x）＝错误!.当x∈（0,1）时，h′(x)<0，函数h（x)单调递减；当x∈（1,＋∞)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,所以h（x)min＝h(1）＝4，所以a≤h(x)min＝4。

故a的取值范围是(－∞，4］．]
10．D由函数的图象可得错误!T＝错误!π－错误!π，
∴T＝π，则ω＝2.
又图象过点(错误!π，2),∴2sin(2×错误!π＋φ)＝2,
∴φ＝－错误!＋2kπ,k∈Z，
∵｜φ|<错误!,
∴取k＝0，则φ＝－错误!，即得f(x）＝2sin（2x－错误!），
其单调递增区间为kπ－错误!，kπ＋错误!］,k∈Z，取k＝0,即得选项D。

]
11．A由题意,当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2时均有a n＝f（错误!）＝错误!］＝k，所以S3n＝0＋0＋2＋2＋错误!＋…＋(n－1)＋（n－1)＋(n－1错误!＋n＝3×错误!×（n－1)＋n＝
＋1＋1＋1，
3个
错误!n2－错误!n.]
12．A∵f（x）是定义域为（－1，1)的奇函数，
∴－1〈x〈1,f（－x）＝－f(x)．
∴f(m－2）＋f（2m－3）〉0可转化为
f(m－2)>－f(2m－3）,
∴f（m－2)>f（－2m＋3)，
∵f(x)是减函数，
∴m－2〈－2m＋3,
∵错误!
∴1<m<错误!。

]
13．（2，3）
解析因为A＝错误!,B＝错误!，因为A∩B＝∅，所以错误!解得2＜a＜3。

14．－8
解析因为f(10）＝f（100－90）＝lg100＝2，
f（－100)＝f(－10－90）＝－（－10）＝10，
所以f（10)－f（－100）＝2－10＝－8.
15．－13
解析由a n＋2＝a n＋1－a n，得a n＋2＝a n－a n－1－a n＝－a n－1，易得该数列是周期为6的数列，且a n＋2＋a n－1＝0，S800＝a1＋a2＝2013，S813＝a1＋a2＋a3＝2000，
∴错误!∴错误!
∴错误!依次可得a5＝－1000，a6＝13，
由此可知a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＋a n＋4＋a n＋5＋a n＋6＝0，
∴S2015＝S5＝－13。

16．0，1]
解析f(x)＝2sin2(错误!＋x)－错误!cos2x
＝1－cos（错误!＋2x）－错误!cos2x
＝1＋sin2x－错误!cos2x
＝2sin（2x－错误!）＋1，
又x∈错误!,错误!],所以2x－错误!∈错误!，错误!]，sin（2x－错误!）∈错误!，1]，所以f(x）的值域为2,3］,而f(x)＝m＋2,所以m＋2∈2，3]，则m∈0，1］．
17．解(1)f(x）＞0,即－3x2＋a(5－a）x＋b＞0，
所以3x2－a(5－a)x－b＜0，
所以错误!
解得错误!或错误!
（2）f(2)＜0，即－12＋2a（5－a）＋b＜0，
即2a2－10a＋(12－b）＞0对任意实数a恒成立,
所以Δ＝100－8(12－b)＜0恒成立，
所以b＜－错误!.
所以实数b的取值范围为(－∞,－错误!）．
18．解(1）由题意得错误!－错误!＝错误!sin2A
－错误!sin2B，即错误!sin2A－错误!cos2A
＝错误!sin2B－错误!cos2B，
即sin(2A－错误!)＝sin(2B－错误!）．
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈（0，π)，
得2A－错误!＋2B－错误!＝π，
即A＋B＝错误!，所以C＝错误!.
（2)由c＝错误!，sin A＝错误!,错误!＝错误!，得a＝错误!。

由a＜c，得A＜C,从而cos A＝错误!,故sin B＝sin（A＋C)
＝sin A cos C＋cos A sin C＝错误!,
所以△ABC的面积为S＝错误!ac sin B＝错误!.
19．解(1)因为数列错误!为等差数列,
所以a3＋a4＝a2＋a5＝22。

又a3·a4＝117,所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个实根，又公差d＞0，所以a3＜a4，
所以a3＝9,a4＝13，
所以错误!
所以错误!
所以通项a n＝4n－3。

（2）由(1)知，a1＝1，d＝4，
所以S n＝na1＋错误!×d＝2n2－n
＝2（n－1
4）
2－错误!。

所以当n＝1时，S n最小,
最小值为S1＝a1＝1.
（3)由(2)知，S n＝2n2－n，
所以b n＝错误!＝错误!，
所以b1＝错误!，b2＝错误!，b3＝错误!.
因为数列错误!是等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，
即错误!×2＝错误!＋错误!，
所以2c2＋c＝0，
所以c＝－错误!或c＝0（舍去），故c＝－错误!。

20．解（1)由T＝错误!＝π，得ω＝2。

因为图象上一个最低点为M错误!，
所以A＝2且2sin错误!＝－2,sin错误!＝1。

因为0<φ〈π
2，所以φ＝错误!，
所以f（x)的解析式为f（x)＝2sin错误!.
(2)由0≤x≤错误!,得错误!≤2x＋错误!≤错误!，
所以当2x＋错误!＝错误!，即x＝0时，f（x）＝2sin错误!取得最小值f（0）＝1；当2x＋错误!＝错误!，
即x＝π
12时，f（x)＝2sin错误!取得最大值f错误!＝错误!. 21．解(1)因为f（x）＝a·b
＝A cos π
3x cos2φ－A sin错误!x sin2φ＝A cos （错误!x＋2φ），
所以函数f（x)的周期T＝错误!＝6。

如图，设直线PQ与x轴的交点为M，则点M是函数f（x)的图象与x轴的一个交点，
由题意得｜RM|＝1
4T＝错误!，|PR|＝A，
所以S△PRQ＝2·S△PRM＝2×错误!×错误!×A＝错误!，
即A＝错误!,
所以P(1，错误!），f(x)＝错误!cos(错误!x＋2φ），
f(1）＝错误!cos（错误!＋2φ）＝错误!，
即cos（错误!＋2φ)＝1，
所以错误!＋2φ＝2kπ(k∈Z），
即φ＝－错误!＋kπ（k∈Z）．
因为｜φ｜＜错误!，所以φ＝－错误!。

综上，A＝错误!，φ＝－错误!.
（2）由(1)得f（x)＝错误!cos(错误!x－错误!)．
由题意得g（x）＝3cos错误!(x＋2）－错误!]
＝错误!cos(错误!x＋错误!),
由2kπ≤错误!x＋错误!≤π＋2kπ（k∈Z)，
得6k－1≤x≤6k＋2（k∈Z)，
即函数g（x）的单调减区间为6k－1，6k＋2](k∈Z)．22．(1）解函数f(x)的定义域是(－1,0)∪（0，＋∞)．
对f(x)求导得f′(x)＝错误!，
令g(x)＝错误!－ln（x＋1)，则
当x＞0时,g′（x)＝错误!－错误!＝－错误!＜0。

故g(x）是（0，＋∞)上的减函数，所以g(x)＜g(0)＝0。

所以f′(x）＜0，所以函数f（x)是(0，＋∞）上的减函数．（2）证明将不等式(e x－1)ln（x＋1)＞x2等价为错误!＞错误!。

因为错误!＝错误!＝错误!,
学必求其心得，业必贵于专精
故原不等式等价于错误!＞错误!，
由(1）知，f(x)＝错误!是(0，＋∞）上的减函数,
故要证原不等式成立，只需证明：当x＞0时，x＜e x－1。

令h(x)＝e x－x－1,则
h′（x）＝e x－1＞0,h(x)是（0，＋∞）上的增函数，
所以h(x)＞h（0)＝0，即x＜e x－1,故f（x)＞f(e x－1）,
即ln(x＋1)
x＞错误!＝错误!。

故原不等式得证．。