2021年福建省福州市第四中学桔园洲中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年福建省福州市第四中学桔园洲中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．
【解答】解：由题意
．
故选C．
2. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩?U B={1，2}，?U（A∪B）={4}，则集合B为（）
A．{3} B．{3，5} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}
参考答案：
B
【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．
【分析】利用已知条件求出A∪B，通过A∩?U B={1，2}，即可求出B．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，?U（A∪B）={4}，
可得A∪B={1，2，3，5}
∵A∩?U B={1，2}，
∴A={1，2，3}，
则B={3，5}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，交、并、补的求法，考查计算能力．
3. i是虚数单位，复数z满足，则复数z所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
D
4. 若关于方程有两个不相等的正实根，则实数的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
5. 已知集合A={x∈N|x≤3}，B={x|x2+6x﹣16＜0}，则A∩B=（）
A．{x|﹣8＜x＜2} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．
【解答】解：集合A={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，
B={x|x2+6x﹣16＜0}={x|﹣8＜x＜2}，
A∩B={0，1}．
故选：C．
6. 在的展开式中，含项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（）
A．第11项 B．第13项 C．第18项 D．第20项
参考答案：
D
略
7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（）.
A． 7 B． 6 C． 5 D． 3
参考答案：
A
8. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 已知分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在一点P,满足了
，且直线PF1与圆相切,则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）
参考答案：
A
【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】数形结合；运动思想．
【分析】由函数f（x）=x3﹣3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．
【解答】解∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），
当x＜﹣1时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0，
∴当x=﹣1时f（x）有极大值．
当x=1时，
f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．
只需，解得﹣2＜a＜2．
故选A．
【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，体现了数形结合和运动的思想方法，属中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在?ABCD中， =， =， =3，M为BC的中点，则= （用a ，b 表示）．参考答案：
﹣+
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】本题是一个用一组基底表示向量的问题，根据两个向量之间的关系，表示出和两个向量，要求的向量是这两个向量之和，用向量的减法运算得到结果．
【解答】解：由=3（+），
即=（+），
又∵=+，
∴=（+）﹣（+）=﹣+．
故答案为：﹣+
12.
为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右，根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是__________．
参考答案：
答案：40
13. 在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________.
参考答案：
14. 抛物线的焦点坐标是________.
参考答案：15. 函数的图像上关于原点对称的点有（）对
A.0
B.2
C.3
D.无数个参考答案：
C
略
16. 求值：
= ．
参考答案：
1
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值．
【解答】解： =
==1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
17. 设全集已知实数、满足则的最小值为 .参考答案：
做出约束条件表示的可行域，如图中的三角形，三角形内（包括边）到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y=x 的距离，所以的最小值为。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足：a n＝＋＋＋…＋，求数列{b n}的通项公式；
(3)令c n＝(n∈N*)，求数列{c n}的前n项和T n.
参考答案：
(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n.19. 已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；
（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）通过函数f（x），得f′（x），然后结合f′（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；
（2）对a的正负进行讨论：当a＜0时，f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a＞0时，由题结合（1）得ab≤2a2﹣a2lna，设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可．
解答：解：（1）由函数f（x）=e x﹣ax+a，可知f′（x）=e x﹣a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，
故当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；
（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴f （x）≥b不可能恒成立；
当a=0时，此时ab=0；
当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤f min（x），
∵f min（x）=2a﹣alna，∴b≤2a﹣alna，∴ab≤2a2﹣a2lna，
设g（a）=2a2﹣a2lna （a＞0），则g′（a）=4a﹣（2alna+a）=3a﹣2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得，故，
当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．
所以，即当，时，ab的最大值为．
点评：本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20. 已知函数的部分图象如下图，其中分别是的角
所对的边.
（1）求的解析式；
（2）若，求的面积.
参考答案：
解：（1）由图象可知：
得，…………………………………………………………2分
函数的最小正周期，得…………………3分
由得…………………4分
，
……………………………………………………………5分故…………………………………………………6分
（2）由得，，……7分
即……………………………………………………………8分
又，得…………………………10分
由得，，……………………………………………………11分
故……………………………………………………………13分
略
21. 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了苏俄生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：
（1）求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程=x+（精确到0.1）．若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一
位高于120分的概率．（参考公式： =， =﹣）
（参考数据：902+852+742+682+632=29394，90××125+74×110+68×95+63×90=42595）
参考答案：
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用方程，x=80分，即可预测他的数学成绩；
（2）利用对立事件的概率公式，即可得出结论．
【解答】解：（1）=76， =130，∴ ==≈﹣13.2，
=﹣=130﹣（﹣13.2）×76≈1133.2，
∴=﹣13.2x+1133.2，x=80， =77；
（2）从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，有=10种方法，选中的学生的数学
成绩至少有一位高于120分的概率为1﹣=．
【点评】本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．22. 某校一课题小组对郑州市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50人，他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．
2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率．
参考答案：
【考点】概率与函数的综合．
【分析】（1）各组的频率分别0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，所以图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，画出直方图，填表即可；
（2）设收入（单位：百元）在[15
，25）的被调查者中赞成的分别是A1，A2，A3，A4，不赞成的是B，列出选出两人的所有结果，和满足条件的情形，根据古典概型的公式进行求解即可．
【解答】解：（1）各组的频率分别0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，所以图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01
1，A2，A3，A4，不赞成的是B，从中选出两人的所有结果有10种：（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A1B），（A2A3），（A2A4），
（A2B），（A3A4），（A3B），（A4B）
其中选中B的有4种：（A1B），（A2B），（A3B），（A4B）
所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是P==。