(易错题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(含答案解析)(4)

一、选择题
1．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）
A ．
1128
B ．
7128
C ．
21128
D ．
35128
2．已知随机变量X 的分布列 X a b c P
a
b
c
则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（ ）
A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()0,1
D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
3．若X ～B （20，0.3），则（ ）
A ．E （X ）＝3
B ．P （X ≥1）＝1﹣0.320
C ．
D （X ）＝4
D ．P （X ＝10）10
10
200.21C =⨯
4．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（ ）
X -1 0 1 P
12
13
m
A ．
73
B ．
53
C ．
13
D ．
16
5．元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项（其中有且只有1个正确）.游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分.某人答完20道题，并且会做其中10道题，其它试题随机答题，则他所得积分X 的期望值()E X =（ ） A ．25
B ．24
C ．22
D ．20
6．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件
=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则
()P B A =（ ）
A ．
712
B ．
512
C ．
12
D ．
1112
7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
8．如图所示,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”,事件B 表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于( )
A ．
18
B ．
14
C ．
12
D ．38
9．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>
10．若随机变量X 的分布列为（ ）
X
0 1
2
P
13
a
b
且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．
13
B ．0
C ．1
D ．
23
11．已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）
A ．0.84
B ．0.68
C ．0.34
D ．0.16
12．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则
(|)P B A =（ ）
A ．
13
B ．
518
C ．
1011
D ．
12
二、填空题
13．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______. 14．已知随机变量X 的分布列为：
X
－1 0 1
()P X q
13 16
则随机变量X 的方差()V X 的值为______．
15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________.
16．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________； 17．设01P <<，若随机变量ξ的分布列是：
则当P 变化时，()D ξ的极大值是______.
18．已知事件A 与B 互斥，且P (A )＝0.3，P (B )＝0.6，则P (A |B )＝________.
三、解答题
19．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A 、B 两地游玩，因目的地A 地近，B 地远，特制定方案如下：
若甲同学去A 地玩，乙、丙同学去B 地玩，选择出行方式相互独立． （1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率； （2）求三名同学总得分X 的分布列及数学期望EX ．
20．体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈
阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于*
()n n N ∈份血液样本，有以
下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验n 次.二是混合检验，将n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这n 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n 份血液检验的次数共为1n +次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为
)01p <<，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若8
9
p =
，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率; （2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案: 方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由. 21．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；
（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；
（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）
22．“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在
175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能
担任兼职主持人.
（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.
（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；
（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.
23．某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望．
24．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有
20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）两次取出的零件均为一等品的概率．
25．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验
反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，
()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .
26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为1
3
，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能
参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解. 【详解】
小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为
1
2
，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2
5
27
112122128
P C ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C. 【点睛】
本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.
2．B
解析：B 【分析】
由题易得2
2
2
()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得
22
2
2
()1
33
a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由
2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后
得出()E X 的取值范围. 【详解】
由随机变量的期望定义可得出2
2
2
()E X a b c =++， 因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，
所以2222
22222a b ab
a c ac
b
c bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩
，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，
故
2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，
即22
2
2
()1
33
a b c a b c ++++>=，
所以2()1
()33
a b c E X ++>=，
又因为2
()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，
所以
1
()13E X <<. 故选：B . 【点睛】
本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
3．D
解析：D 【分析】
根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可. 【详解】
因为20,0.3n p ==，所以()200.36E X =⨯=，()()200.310.3 4.2D X =⨯⨯-=
()()()20
2020110110.310.7P X P X C ≥=-==--=- ()()10
101010102020100.310.30.21P X C C ==-=⋅
故选：D 【点睛】
本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果． 【详解】
由随机变量X 的分布列得：
11
123
m ++=， 解得16
m =
，
()1111
1012363
E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，
23Y X =+，
()()27
23333
E Y E X ∴=+=-+=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．A
解析：A 【分析】
设剩余10题答对题目为Y 道,则可表示出总的得分情况为202X Y =+.由二项分布可先求得()E Y ,即可得所得积分X 的期望值()E X 【详解】
设剩余10题答对题目为Y 个,
有10道题目会做,则总得分为202X Y =+,且1~10,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
由二项分布的期望可知()1
10 2.54
E Y =⨯
= 所以()()2202 2.52025E X E Y =+=⨯+= 故选:A 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的简单应用,二项分布的数学期望求法,属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
利用条件概率公式得到答案. 【详解】
336
()1616P AB +=
= 412()11616
P A =-
= ()()1
()2
P AB P B A P A =
= 故答案选C 【点睛】
本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.
7．C
解析：C 【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()
P B A =
()
()
P AB P A 可计算出结果． 【详解】
事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()316612
==⨯P AB ， 由古典概型的概率公式可得()3162
P A ==， 由条件概率公式得()
()()
11
2126
P AB P B A P A ==
⨯=，故选C. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
8．B
解析：B 【分析】
由几何概型概率计算公式可得P(A)=2
π
，再根据条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】
由几何概型概率计算公式可得P(A)=
S 2
S π
=正圆；事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 则P(AB)=2
EOH
11
S
12.S π2π
圆
⨯==由条件概率的计算公式可得P(B|A)=1P(AB)12π2P(A)4π
==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了几何概型及其概率的计算，以及条件概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理利用几何概型及其概率的计算公式和条件概率的计算公式，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．B
解析：B 【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】
1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()141411999
P ξ==--=， 故123E ξ=
，2
2214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯==
=⨯，()22122
1323
P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=
，2
221242013399
D ξ=⨯+⨯-=, 故12
E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
10．D
解析：D 【解析】
分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .
详解：由题得1
113
,,13021
3
a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨
⎪⨯++=⎪⎩ 所以2
2
2
1112()(01)(11)(21).3
3
33
D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值
的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋2
22()x E p ξ-⋅＋…＋
2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期
望．
11．C
解析：C 【解析】
分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得
() 0P ξ≤=0.34.
详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-=
所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34. 故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.
12．A
解析：A 【解析】
分析：利用条件概率求(|)P B A .
详解：由题得22
65()30,()3010,n A A n AB A ===-=
所以(|)P B A =
()101
.()303
n AB n A ==故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =
, (|)P B A =()
()
n AB n A . 二、填空题
13．【分析】先确定随机变量的取值再分别计算对应的概率最后利用期望的计算公式即得结果【详解】依题意设取出红球的个数为则而口袋中有红球3个其他球4个故故故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步
解析：9
7
【分析】
先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】
依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故
()3
4374035C P C ξ===，()12343718
135C C P C ξ===，
()21343712235C C P C ξ===，()33375
31
3C C P ξ===，
故()418121459012335353535357
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97
. 【点睛】 方法点睛：
求离散型随机变量的期望的步骤：
（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；
（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===； （3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.
14．【分析】由分布列求出然后由方差公式计算方差【详解】由题意故答案为：【点睛】本题考查随机变量的概率分布列考查随机变量的方差根据分布列计算出期望再由方差公式计算即得考查了学生的运算求解能力
解析：
65216
【分析】 由分布列求出q ，然后由方差公式计算方差． 【详解】 由题意1111362q =-
-=， 111
()11263
E X =-⨯+⨯=-，
222111111165
()(1)(0)()2333663216
V X =⨯-++⨯++⨯+=．
故答案为：65
216
． 【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查随机变量的方差．根据分布列计算出期望，再由方差公式计算即得．考查了学生的运算求解能力．
15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有
解析：1
3
【分析】
利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n =3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率. 【详解】
一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的， 基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女}, 已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n =3 , 这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，
∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13
m p n =
=， 故答案为：13
【点睛】
本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.
16．【分析】设事件A 表示第一张抽到奇数事件B 表示第二张抽取偶数则P （A ）P （AB ）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依次抽出2 解析：
12
【分析】
设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P （A ）35
=，P （AB ）323
5410
=
⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率． 【详解】
解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，
设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，
则P （A ）35=
，P （AB ）3235410
=⨯=， 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：
P （A|B ）()()3P AB 1
103P A 25
=
==． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．
17．【解析】分析:先求出再求利用二次函数的图像求的极大值详解:由题得所以所以当时的极大值是故答案为点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力(2) 解析：
12
【解析】
分析:先求出()E ξ,再求()D ξ,利用二次函数的图像求()D ξ的极大值. 详解:由题得113()0122222
p p E p ξ-=⨯
+⨯+⨯=-,
所以2222311111()()()()(01)2222224
p p D p p p p p p ξ-=-+-++=-++<< 所以当12p =时,() D ξ的极大值是12
. 故答案为
12
. 点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，
2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211
()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2
()n n x E p ξ-⋅
18．075【解析】由A 与B 互斥知P(A)＝P(A)所以P(A|)＝＝＝＝075故答案为075
解析：0.75 【解析】
由A 与B 互斥，知P (A B )＝P (A )，所以P (A |B )＝()()
P AB P B ＝
()
()
P A P B ＝
0.3
10.6
-＝0.75. 故答案为0.75
三、解答题
19．（1）736；（2）分布列见解析，12
25=EX ． 【分析】
（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公式求解；（2）根据题意得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，列出分布列，代入公式求解EX . 【详解】
（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率
2
12311127
4343336
P C ⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭．
（2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：
1111(0)43336P X ==⨯⨯=；
1
231112173(1)433436
3==⨯⨯+⨯⨯⨯=P X C ；
2
1
221124(2)439
3343⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭P X C ；
3221
(3)4333
==⨯⨯=P X ．
故X 的分布列为：
所以360123369312
=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ． 【点睛】
本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问题.
20．（1）
19；（2）当0p <<1p <<时，方案一更“优”； 当
36p =
或36
p =+时，方案一、二一样“优”；当3366p +<<时，方案二更“优”. 【分析】
（1）根据题意，3人混检样本为阴性的概率为3
8
9
=，故根据对立事件得答案； （2）采取方案一，检验次数记为X ，可能取值为1,7，进而列概率分布列，求期望
()276E X p =-；采取方案二，记检验次数为Y ，可能取值为2,5,8，进而列概率分布
列，求期望得()86E Y p =-，再作差分情况讨论即可得答案. 【详解】
解：(1)该混合样本阴性的概率是3
8
9
=， 根据对立事件可得，阳性的概率为81
199
-
= (2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为X ，则X 的可能取值为1,7
()()6
221;71P X p P X p ==
===-，其分布列为:
则76E X p =-，
方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1,
概率为
3
p =，若阳性，则检测次数为4，概率为1p -，
方案二的检验次数记为Y ，则Y 的可能取值为2,5,8，
()()()()()()2
21
22;5121;81P Y p P Y C p p p p P Y p ====-=-==-;
其分布列为:
则
()()2
2
2522818
6E Y p p p
p p =+-+-=-，
()()()2286766
61E Y E X p p p p =--
-=-+-，
当306p <<
或316
p +
<<时，可得()()E X E Y <，所以方案一更“优” 当p =或p =时，可得()()E X E Y =，所以方案一、二一样“优” p <<
()()E Y E X <，所以方案二更“优”. 【点睛】
本题考查随机事件的概率分布列与数学期望，考查知识迁移与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意写出方案一与方案二的概率分布列，求解对应事件的概率是难点，理解并应用独立事件的概率求解是解决概率的基本方法，进而根据分布列求期望，并作差分类讨论. 21．（1）1
2
；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】
（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ
⎛⎫
⎪⎝⎭
，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】
（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，
由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为23241
2
C P C ==；
（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为
34
，
这样摸球4次，则34,4B ξ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以，()4
110=4256
P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3
143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，
()2
2243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()3
34312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭
，()4
38144256
P ξ⎛⎫===
⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 22．（1）168.5cm ；（2）7
10；（3）分布列见解析，98
. 【分析】
（1）根据茎叶图得到文学院志愿者身高，再根据中位数的定义可求得结果；
（2）根据分层抽样得到5人中“高个子”和“非高个子”的人数，再根据对立事件的概率公式可求得结果；
（3）ξ的可能取值为0、1、2、3，根据超几何分布的概率公式可得ξ的可能取值的概率，从而可得分布列和数学期望. 【详解】
（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：
158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181，
其升高的中位数为：
168169
168.52
+=cm ； （2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯
=人，“非高个子”为125320
⨯=人，
则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率23257
110
C P C =-=；
（3）由题可知：文学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0、1、2、3，
故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====，21533
83015
(1)5628C C P C ξ⋅====， 12533815(2)56C C P C ξ⋅===，03533
81
(3)56
C C P C ξ⋅===， 即ξ的分布列为：
所以19()0123282856568
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
关键点点睛：掌握中位数的定义、分层抽样的特点以及超几何分布的概率公式是本题的解题关键. 23．（1）1728；（2）分布列见解析，()34
E X =. 【分析】
（1）先求出抽出的3人都不满意的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解； （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3则13,4X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，利用二项分布的概率公式求出每一个
X 的取值对应的概率，即可列出X 的分布列求出数学期望.
【详解】
（1）16人中满意的有4人，不满意的有12人，
设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，
则抽出的3人都不满意的概率为()312031611
28
C P A C ==，
所以()()01117112828
P A P A =-=-
=， （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3
16人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为41164
=， 所以13,4X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，
所以()3
3270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，
()2
13
1327
14464
P X C ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭， ()2
23139
24464
P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
()3
33
113464
P X C ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭.
所以X 的分布列为
所以()1236464644
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算） 24．（1）7
15
；（2）0.22. 【分析】
（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3，记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，利用条件概率和全概率公式可求得所求事件的概率； （2）求出()
121P B B A 、()122P B B A 、()
123P B B A ，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】
（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3， 记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，
由题意知1A 、2A 、3A 构成完备事件组，且()()()12313
P A P A P A ===
，
()11200.450P B A =
=，()12120.430P B A ==，()13240.640
P B A ==， 由全概率公式得
()()()()()()()()111121231317
0.40.40.6315
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯++=
；
（2）因为()22012125038245C P B B A C ==，()2121222
3022
145C P B B A C ==，()2
2412324023
65
C P B B A C ==，
由全概率公式得()()()()()()()
12112121223123P B B P A P B B A P A P B B A P A P B B A =++
13822230.22324514565⎛⎫=⨯++≈ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
易错点点睛：本题考查利用条件概率和全概率公式计算事件的概率，解本题的关键在于确定一等品是从哪个箱子里取出的，再结合相应的知识求解.
25．
19
218
【分析】
根据条件概率和全概率公式可求得结果. 【详解】
因为()|0.95P A C =，所以()
|1P A C =-()
|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，
所以由全概率公式可得()()()()()
||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()
0.950.00519
0.950.0050.050.995218
|()|()
P A C P C P A C P C P A C P C ⨯==
=⨯+⨯+.
【点睛】
关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键. 26．（1）2227
；（2）分布列见解析，217
81. 【分析】
（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率P ，则至少能参加一个给药周期的概率为1P
-
；
（2）先计算出一个给药周期内至少出现3次F 症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量X 的可能取值，分别计算每一个X 值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.。