四川省广安中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学理试题

广安中学高2016级高二上期第二次月考
数学理科试卷
一．选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

请将选项涂在答题卡上)
1.设命题p ：∃n ∈N ，n n 2>2，则┓p 为 ( )
A ．∀n N ∈，n n 2>2
B ．∃n N ∈，n n 2≤2
C ．∀n N ∈，n n 2≤2
D ．∃n N ∈，n n 2=2
2.已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9 B ．2 C ． 3 D ． 4 3．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2
m ＋3＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
4．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且 ，则点P 的纵坐标是（ ）
A. 2
B. 1
C.
D.
5．设x R ∈，则2>x 的一个必要不充分条件是（） A ．1>x B . 1<x C 3>x D 3<x
6．一束光线从点(1,1)-P 出发，经x 轴反射到圆22:x 46120C y x y +--+=上的最短路程是( )
A ．4
B ．5 C
．1 D
．
7．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q
B ．┓p ∧q
C ．p ∧┓q
D ．┓p ∧┓q
8.圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
P 12
22
=+y x 1F 2F 2
3
21 9021=∠PF F
9.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4,则该椭圆的离心率为( ) A 13 B 12 C 23D 34
10.两圆222240+++-=x y px p 和2224140+--+=x y qy q 恰有三条公切线，若
∈p R ，∈q R ，且0≠pq ，则22
11
+p q
的最小值为( ) A.
49
B.
10
9
C. 1
D. 3
1112,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（）
12.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=,点M 到直线的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．3(0,]4
C ．
D ．3[,1)4
二．填空题(共4小题,每小题5分,共20分，答案填在答题卡上)
13．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为．
14．椭圆2
2192
y x +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为_________.
15．已知实数x ，y 满足y =，则m ＝
y ＋3
x ＋1
的取值范围是．
16.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，P 是线段1BC 上的动点，
给出下列命题：
①⊥1DB 平面1ACD ； ②//1BC 平面1ACD ；
③1BC 与1DB 所成的角为 60； ④三棱锥1ACD P 的体积为定值. 其中正确命题的序号是__________________.
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (10分) 已知命题p ：方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根，q ：不等式x 2
－2x ＋m>0的解集为R .若命题“p ∨q ”是假命题，求实数m 的取值范围．
18.(12分）已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.
(1)若直线l 过点P ,且被圆C 截得的线段长为43,求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 弦的中点的轨迹方程.
19．(12分)求与圆M ：x 2 +y 2 = 2x 外切,并且与直线x+3y=0相切于点Q(3,－3)的圆的方程的标准式.
20.(12分）
如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ； （II ）求二面角O -EF -C 的余弦值.
21．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)过点(－2，1)，长轴长为25，过点C (－1,0)且斜率
为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .
(1)求椭圆的方程；(2)若线段AB 中点的横坐标是－1
2，求直线l 的斜率．
22. (12分）设椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为1
2，E 上一点P
到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)
的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA OB ⋅
的取值范围．
广安中学高2016级高二上期第二次月考
数学理科试卷答案
一．选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.设命题p ：∃n ∈N ，n n 2>2，则┓p 为 ( C )
A ．∀n N ∈，n n 2>2
B ．∃n N ∈，n n 2≤2
C ．∀n N ∈，n n 2≤2
D ．∃n N ∈，n n 2=2
2.已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（C ） A ．9 B ．2 C ． 3 D ． 4 3．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2
m ＋3＝1表示椭圆”的( B ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
4．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且 ，则点P 的纵坐标是（B ）
A. 2
B. 1
C.
D.
5设x R ∈，则2>x 的一个必要不充分条件是（ A ）
(A)1>x （B ）1<x （C ） 3>x （D ）3
<x 6．一束光线从点(1,1)-P 出发，经x 轴反射到圆22
:x 46120C y x y +--+=上的最短路程是( A )
A ．4
B ．5 C
．1 D
．
7．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( B ) A ．p ∧q
B ．┓p ∧q
C ．p ∧┓q
D ．┓p ∧┓q
8．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
P 12
22
=+y x 1F 2F 2
3
21 9021=∠PF F
9.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4,则该椭圆的离心率为( B ) （A ）13（B ）12 （C ）23（D ）34
10.两圆222240+++-=x y px p 和2224140+--+=x y qy q 恰有三条公切线，若
∈p R ，∈q R ，且0≠pq ，则22
11
+p q
的最小值为( C ) A.
49
B.
10
9
C. 1
D. 3
1112,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（D ）
12.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=,点M 到直线的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（B ）
A ．
B ．3(0,]4
C ．
D ．3[,1)4
二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为25．
14.椭圆2
2192
y x +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为______1200___
15.已知实数x ，y 满足y ，则m ＝
y ＋3x ＋1
的取值范围是m ≤－32或m ≥3
4
16.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，P 是线段1BC 上的动点， 给出下列命题：
①⊥1DB 平面1ACD ； ②//1BC 平面1ACD ；
③1BC 与1DB 所成的角为 60； ④三棱锥1ACD P -的体积为定值. 其中正确命题的序号是____①__ ②____④________.
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17：（10分）若方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根，则m 2
－4≥0.∴m ≤－2或m ≥2.
若不等式x 2
－2x ＋m>0的解集为R ，则4－4m<0.∴m>1.又“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都是假
命题．∴⎩
⎪⎨⎪⎧－2<m<2，m ≤1.∴－2<m ≤1.所以实数m 的取值范围为{m|－2<m ≤1}．
18(12分）已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.
(1)若直线l 过点P ,且被圆C 截得的线段长为43,求l 的方程；
(2)求过P 点的圆C 弦的中点的轨迹方程.
解 (1)如图所示,|AB |＝43,设D 是线段AB 的中点,则CD ⊥AB , ∴|AD |＝23,|AC |＝4.在Rt △ACD 中,可得|CD |＝2.
设所求直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为：y －5＝kx ,即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋1
＝2,得k ＝3
4,
此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又∵直线l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x ＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝0,或3x －4y ＋20＝0.
(2)设过P 点的圆C 弦的中点为D (x ,y ),则CD ⊥PD ,所以k CD ·k PD ＝－1, 即y －6x ＋2·y －5
x
＝－1,化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 19、解：设所求圆的方程为C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为C(a,b),∵圆C 与直线x+3y=0相切于点Q(3,－3) ∴CQ ⊥直线x+3y=0, ∴K CQ =
3
3
-+a b 即b= 343-a ,r= |CQ|=22)3()3(++-b a =2|a-3|, 由于圆C 与圆M 外切,则有|CM|=22)1(b a +-=1+r=1+2|a-3|,
即|3|21)4(3)1(22-+=-+-a a a
（1）当a≥3时,得a=4,b=0,r=2 .圆的方程为(x －4)2 +y 2= 4 ；
（2）当a<3时,可得a=0,b=－43,r=6, 圆的方程为x 2 + (y+43)2 =36 ∴所求圆的方程为(x －4)2 +y 2= 4或 x 2 + (y+43)2 =36 .
20(12分）
如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.
（I ）求证：EG ∥平面ADF ；（II ）求二面角O -EF -C 的余弦值；
21(12分)解析 (1)∵椭圆长轴长为25，∴2a ＝2 5.∴a ＝ 5.
又∵椭圆过点(－2，1)，代入椭圆方程，得(－2)25＋1b 2＝1.∴b 2＝5
3
.
∴椭圆方程为x 25＋y 2
5
3
＝1，即x 2＋3y 2＝5.
(2)∵直线l 过点C (－1,0)且斜率为k ，∴设直线方程为y ＝k (x ＋1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋3y 2＝5，y ＝k (x ＋1)，
得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.∵直线与椭圆相交， ∴Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，即12k 2＋5>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∵线段AB 中点的横坐标是－12，则x 1＋x 2＝2×(－1
2)＝－1.即x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1
＝－1，解
得k ＝±3
3
.
22设椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为1
2，E 上一点P 到右焦点距离的最小值
为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求O AO B
⋅
的取值范围．
②当k 存在时，设直线方程为2y kx =+，则有222,
1,4
3y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩整理得
22(34)1640k x kx +++=， ∴1221634k x x k +=-
+，12
2
4
34x x k =+，（i） 又12121212(2)(2)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+++
21212(1)2()4k x x k x x =++++
222
1322424143434k k k +-=+-+++225
334k =-++，（ii） 2225616(43)0k k ∆=-+>，从而21
4
k >
，（iii） （iii）代入（ii）中2513
3314
OA OB ⋅≤-+
=+ ， ∴13
(,]4
OA OB ⋅∈-∞ ．。