第7章 (55)教材配套课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用柯西-许瓦兹不等式
Ex x y y 2 Ex x 2 Ey y 2
可知 xy 1。当 xy 1 时，说明x、y两变量是理想的线性相关；当 xy 1 时，也是理想的线性相关，只是直线的斜率为负；当 xy 0时，表示x、 y
dt
非周期信号：
Rx
xt
xt
dt
2. 自相关函数的性质
(1) 自相关函数为实偶函数，即 Rx Rx
证明
Rx
lim
T
1 T
T
0
xt xt
dt
lim
T
1 T
T
0
xt
xt
d t
Rxy
lim
T
1 T
T x t y t dt
0
时移为
的两信号 xt
和
yt
的相关系数为
xy
Rxy
x
xy
y
2. 互相关函数的性质
(1) 互相关函数是非奇非偶函数，且两信号的互相关函数与顺序有关，
即 Rx y和 Ry一x 般是不相等的，而满足 Rx y Ryx
(a)
(b)
图7-3 两随机变量的相关性
如图表示由两个随机变量 x 和 y 组成的数据点的分布情况。图a中
各点分布很散，可以认为变量 x 和变量 y 之间是无关的。图b中，x 和y
虽无确定关系，但从统计结果看，大体上具有某种程度的线性关系，因 此可以认为它们之间具有相关关系。
变量 x 和 y之间的相关程度用相关系数xy表示
x
lim 1 T T
T
xt
0
xt x t xt xt
xt dt
将分子展开，并利用xt和 x t 具有相同的均值和方差，即
lim 1
T T
T 0
xt
dt
x
因为所讨论的随机过程是平稳的，在时刻 t 从样本采样计算的互
相关函数和t 时刻从样本采样计算的互相关函数是一致的，即
Rxy
lim
T
1 T
T xtyt dt lim 1
0
T T
T xt ytdt
0
1
lim T T
T 0
yt xt
(2) 相关测速 工程中常用两个间隔一定距离的传感器进行非接触测量运动物体的
速度。图7-7是非接触测量热轧钢带运动速度的示意图，测速系统由性能 相同的两组光电池、透镜、可调延时器和相关器组成。当运动的热轧钢带
表面的反射光经透镜聚焦在相距为d 的两个光电池上时，反射光通过光电 池转换为电信号，经可调延时器，再经过互相关处理。当可调延时 等于
Rx
即 Rx Rx ，又因为 xt 是实函数，所以自相关函数是
的实偶函数。
(2)
自相关函数 Rx
的取值范围为
2 x
2 x
Rx
2 x
2 x
Rx
x
2 x
2 x
又因为xy 1
，所以
dt
1 T
T
0
x02
sint
Hale Waihona Puke sint
dt
式中，T 是正弦函数的周期，T 2
作变量替换，令t ，则 dt d ，则
Rx
x02
2
2 sin sin d x02 cos
0
2
可见正弦函数的自相关函数是同频率的余弦函数，在 0
时取最大值。它保留了原信号的幅值信息和频率信息，但丢
失了初始相位信息。
几种典型信号的自相关函数如表7-1所示。稍加对比就可以看出自相 关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。只有信号中含有周
期成分，其自相关函数在 很大时都不衰减，并具有明显的周期性。 不包含周期成分的随机信号，当 稍大时自相关函数就趋近于零。
T
0
xt
yt
dt
1 T
T
0
x0
sint
sint
dt
1 2
x0
y0
cos
由此可见，两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数 中保留了两个信号的角频率、幅值和相位差的信息。
例7-3 求两个不同频的正弦函数xt x0 sin1t 和 yt y0 sin2t
Rx
lim
T
1 T
T x t x t dt
0
则
x
Rx
2 x
2 x
应当指出，信号的性质不同，自相关函数具有不同的形式。对于周期
信号(功率信号)和非周期信号(能量信号)，自相关函数的定义分别为
周期信号：
Rx
1 T
T
0
xt
xt
(1) 相关滤波 互相关函数是在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段。对一 个线性系统激振，所测得的振动信号中常常含有大量的噪声干扰。根据线性 系统的频率保持性，只有和激振频率相同的成分才可能是由激振而引起的响 应，其他成分均是干扰。因此，只要将激振信号和所测得的响应信号进行互 相关就可以得到由激振而引起的响应，消除了噪声的干扰。这种应用相关分 析来消除信号噪声干扰、提取有用信息的处理方法叫相关滤波。
图7-6 互相关函数的性质
(4) 两个不同频率的周期信号，其相关函数为零。
例7-2 求两个同频率的正弦函数 xt x0 sint 和 yt y0 sint
的互相关函数。
解 周期信号可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均
值，故
Rxy
1 T
(2) 上或下包络线代表低频分量，包络线内的波形为高 频分量；
(3) 包络线本身的峰谷在1s内交替变化的次数为低频分量 的频率数，其峰-峰值即为低频分量的参量幅值。1s内高频分 量的振动次数为高频分量的频率值，由包络线宽度可计算高 频分量的参量幅值；
(4) 若两包络线近似为正弦波，但反相，即其间高频分量 呈拍形。
Xp X rms
这里， X rms 、X av 分别代表信号的有效值和平均绝对值， Ft 、Fc 反映了时域波形的形状特征。
7.1.2 包络分析
有些合成波比简单波形复杂，但其波形变化有一定的规 律，它的包络线有一定的趋向，这时可用包络线法进行分析 处理。分析方与步骤如下：
(1) 若上下包络线形状相同，相位一致，则属于简单情 况，包络线内只有一个高频分量；
宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的自相关 函数则具有较慢的衰减特性。
正弦 波
正弦 波加 随机 噪
窄带 随机 噪声
宽带 随机 噪声
表7-1 典型信号的自相关函数
时间历程
自相关函数
7.2.3 信号的互相关分析
1. 互相关函数的概念
对于各态历经随机过程，两个随机信号 xt 和yt 的互相关函数 Rxy 定义为：
钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间 d 时，互相关函数为最大。所
xy
xy x y
E x x y y
E x x 2 E
y y
2
式中 xy ——随机变量x、y 的协方差；
x y ——随机变量 x 、y 的均值；
x y——随机变量 x、y的标准差；
E ——求随机变量的数学期望。
第7章 测试信号分析与处理
测试工作的目的是获取反映被测对象的状态和特征的信息， 测试中所获得的各种动态信号包含着丰富的有用信息，同时，由 于测试系统内部和外部各种因素的影响，必然在输出信号中混有 噪声，有用的信号总是和各种噪声混杂在一起，有时本身也不明 显，难以直接识别和利用，必须对所测量的信号进行必要的分析 与处理，才能比较准确地提取测得信号中所包含的有用信息。
间变化的最基本信息。因此，在大型回转机械监测和故障诊断
中普遍受到重视和广泛的应用。
时域波形是描述信号的时间历程，以周期振动信号为例，
其数学表达式为
xt xt kT
(1)
它反应振动信号随时间变化的情况，如是否稳定、是否叠加 有高频或低频分量及通频振动的大小情况。
机械系统中，回转体不平衡引起的振动往往也是一直周 期性运动。例如，图7-1所示是某钢厂减速机振动测点布置图， 图7-2所示是减速机测得的振动信号波形(测点3)，可以近似地 看作是周期信号。
x 0
Rx
2 x
自相关函数的上述4个性质可以用图7-5来表示。
图7-5 自相关函数的性质
(5) 周期函数的自相关函数为同频率的周期函数。
例7-1 求正弦函数 xt x0 sint 的自相关函数。
解
Rx
1 T
T
0
xt
xt
两变量之间完全无关。
7.2.2 信号的自相关分析
1. 自相关函数的概念
xt 是某各态历经随机过程的一个样本记录，xt 是xt 时移后
的样本，如图7-4所示。
图7-4 各态历经随机过程的样本记录
两个样本的相关程度可以用相关系数来分析。若将
成x ，则有
xt xt 简写
2 x
2 x
Rx
2 x
2 x
(3) 自相关函数 Rx 在 0 时取最大值，并等于该随机信
号的均方值
2 x
。
根据自相关函数定义可知
Rx
0
lim
T
1 T
T
0
x2
t
dt
2 x
2 x
2 x
(4) 当 时，xt 和xt 之间不存在内在联系，彼此无关，即
的互相关函数。
解
Rxy
1 T
Txt 0
yt
dt
1 T
T
0
x0
y0
sin1t
sin2 t
dt
根据三角函数系的正交性，可知
Rx y 0
可见，两个不同频的周期信号是不相关的。
3. 互相关分析的工程应用案例
在测试技术中，互相关技术得到了广泛的应用，下面介绍一些典型 工程应用案例。
1
lim T T
T 0
xt
dt
x
xt xt x
xt xt x
从而得
lim 1
x T T
T 0
xt
xt
dt
2 x
2 x
对各态历经随机信号定义自相关函数 Rx 为
7.1.3 统计分析
根据输入的原始数据及给定的概率区间求出代表信号特征 的概率密度，以直方图的形式给出，同时求出信号的峰峰值、 均方值、均值、峭度指标等。
7.2 信号的相关分析
7.2.1 相关系数
在测试信号分析中，相关是一个非常重要的概念，在振动测试分 析、雷达测距、声发射探伤等都要用到相关分析。所谓相关，是指变 量之间的线性关系，对于确定性信号而言，两个变量之间可用函数关 系来描述，两者存在一一对应的确定关系。对于随机变量而言，两者 不存在这种确定关系，但是如果两个变量之间具有某种内涵的物理联 系，那么，通过大量统计就能发现它们之间还是存在着某种虽不精确 却具有相应的表征其特性的近似关系。
因此，测试信号分析与处理的目的是：①剔除信号中的噪声 和干扰，提高信噪比；②消除测量系统误差，修正畸变的波形； ③强化、突出有用信息，削弱信号中的无用部分；④将信号加工、 处理、变换，以便更容易地识别和分析信号的特征，解释被测对 象所表现的各种物理现象。
7.1 信号的时域分析
7.1.1 波形分析
时域波形分析是时域分析的基本方法，它能提供信号随时
dt
Ryx
因为 Rxy xy x y x y
又因为xy 1 ，所以
2 x
2 x
Rx
2 x
2 x
(3) Rx 的峰值不在 0 处，其峰值偏离原点的位置0 反映了两个信
号的时移，相关程度最高。
图7-1某钢厂减速机振动测点布置图 图7-2 某钢厂减速机测点3振动信号波形
对于式(1)所表示的周期振动，可用以下时域特征值来描述 其振动波形特征。
峰-峰值：指最大波峰到最小波谷之间的距离。
幅值X p ：指波形上相对于零线的最大偏离值。
波形系数 Ft：
Ft
X max X av
波峰系数 Fc：
Fc
Ex x y y 2 Ex x 2 Ey y 2
可知 xy 1。当 xy 1 时，说明x、y两变量是理想的线性相关；当 xy 1 时，也是理想的线性相关，只是直线的斜率为负；当 xy 0时，表示x、 y
dt
非周期信号：
Rx
xt
xt
dt
2. 自相关函数的性质
(1) 自相关函数为实偶函数，即 Rx Rx
证明
Rx
lim
T
1 T
T
0
xt xt
dt
lim
T
1 T
T
0
xt
xt
d t
Rxy
lim
T
1 T
T x t y t dt
0
时移为
的两信号 xt
和
yt
的相关系数为
xy
Rxy
x
xy
y
2. 互相关函数的性质
(1) 互相关函数是非奇非偶函数，且两信号的互相关函数与顺序有关，
即 Rx y和 Ry一x 般是不相等的，而满足 Rx y Ryx
(a)
(b)
图7-3 两随机变量的相关性
如图表示由两个随机变量 x 和 y 组成的数据点的分布情况。图a中
各点分布很散，可以认为变量 x 和变量 y 之间是无关的。图b中，x 和y
虽无确定关系，但从统计结果看，大体上具有某种程度的线性关系，因 此可以认为它们之间具有相关关系。
变量 x 和 y之间的相关程度用相关系数xy表示
x
lim 1 T T
T
xt
0
xt x t xt xt
xt dt
将分子展开，并利用xt和 x t 具有相同的均值和方差，即
lim 1
T T
T 0
xt
dt
x
因为所讨论的随机过程是平稳的，在时刻 t 从样本采样计算的互
相关函数和t 时刻从样本采样计算的互相关函数是一致的，即
Rxy
lim
T
1 T
T xtyt dt lim 1
0
T T
T xt ytdt
0
1
lim T T
T 0
yt xt
(2) 相关测速 工程中常用两个间隔一定距离的传感器进行非接触测量运动物体的
速度。图7-7是非接触测量热轧钢带运动速度的示意图，测速系统由性能 相同的两组光电池、透镜、可调延时器和相关器组成。当运动的热轧钢带
表面的反射光经透镜聚焦在相距为d 的两个光电池上时，反射光通过光电 池转换为电信号，经可调延时器，再经过互相关处理。当可调延时 等于
Rx
即 Rx Rx ，又因为 xt 是实函数，所以自相关函数是
的实偶函数。
(2)
自相关函数 Rx
的取值范围为
2 x
2 x
Rx
2 x
2 x
Rx
x
2 x
2 x
又因为xy 1
，所以
dt
1 T
T
0
x02
sint
Hale Waihona Puke sint
dt
式中，T 是正弦函数的周期，T 2
作变量替换，令t ，则 dt d ，则
Rx
x02
2
2 sin sin d x02 cos
0
2
可见正弦函数的自相关函数是同频率的余弦函数，在 0
时取最大值。它保留了原信号的幅值信息和频率信息，但丢
失了初始相位信息。
几种典型信号的自相关函数如表7-1所示。稍加对比就可以看出自相 关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。只有信号中含有周
期成分，其自相关函数在 很大时都不衰减，并具有明显的周期性。 不包含周期成分的随机信号，当 稍大时自相关函数就趋近于零。
T
0
xt
yt
dt
1 T
T
0
x0
sint
sint
dt
1 2
x0
y0
cos
由此可见，两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数 中保留了两个信号的角频率、幅值和相位差的信息。
例7-3 求两个不同频的正弦函数xt x0 sin1t 和 yt y0 sin2t
Rx
lim
T
1 T
T x t x t dt
0
则
x
Rx
2 x
2 x
应当指出，信号的性质不同，自相关函数具有不同的形式。对于周期
信号(功率信号)和非周期信号(能量信号)，自相关函数的定义分别为
周期信号：
Rx
1 T
T
0
xt
xt
(1) 相关滤波 互相关函数是在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段。对一 个线性系统激振，所测得的振动信号中常常含有大量的噪声干扰。根据线性 系统的频率保持性，只有和激振频率相同的成分才可能是由激振而引起的响 应，其他成分均是干扰。因此，只要将激振信号和所测得的响应信号进行互 相关就可以得到由激振而引起的响应，消除了噪声的干扰。这种应用相关分 析来消除信号噪声干扰、提取有用信息的处理方法叫相关滤波。
图7-6 互相关函数的性质
(4) 两个不同频率的周期信号，其相关函数为零。
例7-2 求两个同频率的正弦函数 xt x0 sint 和 yt y0 sint
的互相关函数。
解 周期信号可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均
值，故
Rxy
1 T
(2) 上或下包络线代表低频分量，包络线内的波形为高 频分量；
(3) 包络线本身的峰谷在1s内交替变化的次数为低频分量 的频率数，其峰-峰值即为低频分量的参量幅值。1s内高频分 量的振动次数为高频分量的频率值，由包络线宽度可计算高 频分量的参量幅值；
(4) 若两包络线近似为正弦波，但反相，即其间高频分量 呈拍形。
Xp X rms
这里， X rms 、X av 分别代表信号的有效值和平均绝对值， Ft 、Fc 反映了时域波形的形状特征。
7.1.2 包络分析
有些合成波比简单波形复杂，但其波形变化有一定的规 律，它的包络线有一定的趋向，这时可用包络线法进行分析 处理。分析方与步骤如下：
(1) 若上下包络线形状相同，相位一致，则属于简单情 况，包络线内只有一个高频分量；
宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的自相关 函数则具有较慢的衰减特性。
正弦 波
正弦 波加 随机 噪
窄带 随机 噪声
宽带 随机 噪声
表7-1 典型信号的自相关函数
时间历程
自相关函数
7.2.3 信号的互相关分析
1. 互相关函数的概念
对于各态历经随机过程，两个随机信号 xt 和yt 的互相关函数 Rxy 定义为：
钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间 d 时，互相关函数为最大。所
xy
xy x y
E x x y y
E x x 2 E
y y
2
式中 xy ——随机变量x、y 的协方差；
x y ——随机变量 x 、y 的均值；
x y——随机变量 x、y的标准差；
E ——求随机变量的数学期望。
第7章 测试信号分析与处理
测试工作的目的是获取反映被测对象的状态和特征的信息， 测试中所获得的各种动态信号包含着丰富的有用信息，同时，由 于测试系统内部和外部各种因素的影响，必然在输出信号中混有 噪声，有用的信号总是和各种噪声混杂在一起，有时本身也不明 显，难以直接识别和利用，必须对所测量的信号进行必要的分析 与处理，才能比较准确地提取测得信号中所包含的有用信息。
间变化的最基本信息。因此，在大型回转机械监测和故障诊断
中普遍受到重视和广泛的应用。
时域波形是描述信号的时间历程，以周期振动信号为例，
其数学表达式为
xt xt kT
(1)
它反应振动信号随时间变化的情况，如是否稳定、是否叠加 有高频或低频分量及通频振动的大小情况。
机械系统中，回转体不平衡引起的振动往往也是一直周 期性运动。例如，图7-1所示是某钢厂减速机振动测点布置图， 图7-2所示是减速机测得的振动信号波形(测点3)，可以近似地 看作是周期信号。
x 0
Rx
2 x
自相关函数的上述4个性质可以用图7-5来表示。
图7-5 自相关函数的性质
(5) 周期函数的自相关函数为同频率的周期函数。
例7-1 求正弦函数 xt x0 sint 的自相关函数。
解
Rx
1 T
T
0
xt
xt
两变量之间完全无关。
7.2.2 信号的自相关分析
1. 自相关函数的概念
xt 是某各态历经随机过程的一个样本记录，xt 是xt 时移后
的样本，如图7-4所示。
图7-4 各态历经随机过程的样本记录
两个样本的相关程度可以用相关系数来分析。若将
成x ，则有
xt xt 简写
2 x
2 x
Rx
2 x
2 x
(3) 自相关函数 Rx 在 0 时取最大值，并等于该随机信
号的均方值
2 x
。
根据自相关函数定义可知
Rx
0
lim
T
1 T
T
0
x2
t
dt
2 x
2 x
2 x
(4) 当 时，xt 和xt 之间不存在内在联系，彼此无关，即
的互相关函数。
解
Rxy
1 T
Txt 0
yt
dt
1 T
T
0
x0
y0
sin1t
sin2 t
dt
根据三角函数系的正交性，可知
Rx y 0
可见，两个不同频的周期信号是不相关的。
3. 互相关分析的工程应用案例
在测试技术中，互相关技术得到了广泛的应用，下面介绍一些典型 工程应用案例。
1
lim T T
T 0
xt
dt
x
xt xt x
xt xt x
从而得
lim 1
x T T
T 0
xt
xt
dt
2 x
2 x
对各态历经随机信号定义自相关函数 Rx 为
7.1.3 统计分析
根据输入的原始数据及给定的概率区间求出代表信号特征 的概率密度，以直方图的形式给出，同时求出信号的峰峰值、 均方值、均值、峭度指标等。
7.2 信号的相关分析
7.2.1 相关系数
在测试信号分析中，相关是一个非常重要的概念，在振动测试分 析、雷达测距、声发射探伤等都要用到相关分析。所谓相关，是指变 量之间的线性关系，对于确定性信号而言，两个变量之间可用函数关 系来描述，两者存在一一对应的确定关系。对于随机变量而言，两者 不存在这种确定关系，但是如果两个变量之间具有某种内涵的物理联 系，那么，通过大量统计就能发现它们之间还是存在着某种虽不精确 却具有相应的表征其特性的近似关系。
因此，测试信号分析与处理的目的是：①剔除信号中的噪声 和干扰，提高信噪比；②消除测量系统误差，修正畸变的波形； ③强化、突出有用信息，削弱信号中的无用部分；④将信号加工、 处理、变换，以便更容易地识别和分析信号的特征，解释被测对 象所表现的各种物理现象。
7.1 信号的时域分析
7.1.1 波形分析
时域波形分析是时域分析的基本方法，它能提供信号随时
dt
Ryx
因为 Rxy xy x y x y
又因为xy 1 ，所以
2 x
2 x
Rx
2 x
2 x
(3) Rx 的峰值不在 0 处，其峰值偏离原点的位置0 反映了两个信
号的时移，相关程度最高。
图7-1某钢厂减速机振动测点布置图 图7-2 某钢厂减速机测点3振动信号波形
对于式(1)所表示的周期振动，可用以下时域特征值来描述 其振动波形特征。
峰-峰值：指最大波峰到最小波谷之间的距离。
幅值X p ：指波形上相对于零线的最大偏离值。
波形系数 Ft：
Ft
X max X av
波峰系数 Fc：
Fc