2025年高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7.7 向量法求空间角
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课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝
|u·v| |cos〈u，v〉|＝ |u||v| .
知识梳理
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线
AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
第七章
§7.7 向量法求空间角
课标要求
1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平 面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研 究空间角问题中的作用. 2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系 的判断和空间角的计算问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
θ＝|cos〈u，n〉|＝
u·n
|u||n|
|u·n|
＝ |u||n| .
知识梳理
3.平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角， 我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为 平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β 的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则
√B.7－2 3或 7＋2 3
C.19－4 3 D.19－4 3或 19＋4 3
以O为原点，OB所在直线为y轴，过点O作x轴 ⊥OB，圆台的轴为z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 作 DE⊥AB 于点 E，AE＝12AB－12CD＝1，
在 Rt△ADE 中，AD＝ 3，DE＝ AD2－AE2＝ 2，则 D(0，－1， 2)， A(0，－2,0)，C(0,1， 2)，A→D＝(0,1， 2)，
设P(2cos θ，2sin θ，0)，0≤θ<2π， O→P＝(2cos θ，2sin θ，0)， 由于异面直线 AD 与 OP(O 为下底面圆心)
所成的角为π3， →→
∴cos π3＝||OO→PP|·|AA→DD||＝|22×sin θ3|＝|sin3θ|＝12，
∴sin θ＝± 23，C→P＝(2cos θ，2sin θ－1，－ 2)， CP2＝|C→P|2＝4cos2θ＋4sin2θ－4sin θ＋1＋2＝
3.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)， 则直线l1和l2所成角的余弦值为
A.
2 4
B.12
√C.
2 2
D.
3 2
自主诊断
设直线l1与l2所成的角为θ，
因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以
cos
θ＝|cos〈s1，s2〉|＝||ss11|·|ss22||＝|－21×－32|＝
|n1·n2| cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ |n1||n2| .
常用结论
1.异面直线所成角的范围是0，π2；直线与平面所成角的范围是0，π2； 二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，π2. 2.若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β所成角为θ2，则 θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号.
自主诊断
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉 ＝－12 ，则直线l与平面α所成的角为
√A.30° B.60° C.120° D.150°
设直线l与平面α所成的角为θ， 则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12， 所以直线l与平面α所成的角为30°.
自主诊断
7－4sin θ＝7±2 3.
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0，π2 ，即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角 线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长 为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为成角的余弦值为
2 2.
自主诊断
4.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的
二面角为
π A.4
3π B. 4
√C.π4或34π
D.π2或34π
自主诊断
∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)， ∴m·n＝1，|m|＝1，|n|＝ 2， 若两平面所成的二面角为θ， 则|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝||mm|·|nn||＝ 22， ∴两平面所成的二面角为π4或34π.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
(×) (3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.( × ) (4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等.( × )
所以 cos θ＝|cos〈B→F，P→E〉|＝|B→→F·P→→E|＝ |BF||PE|
|－1＋3×2－3 2|＝ 93，
所以异面直线
BF
与
PE
所成角的余弦值为
3 9.
(2)(2023·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形 ABCD 为其轴截面，AB ＝2CD＝4，母线长为 3，P 为下底面圆周上一点，异面直线 AD 与 OP(O 为下底面圆心)所成的角为π3，则 CP2 的大小为 A.7－2 3
返回
第二部分
探究核心题型
题型一 异面直线所成的角
例1 (1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， 底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面 直线BF与PE所成角的余弦值为
A.－
3 9
√B.
3 9
C.－5 9 3
53 D. 9
如图，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直 线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝2 ，异面直线BF 与PE所 成的角为 θ，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C(2,2,0) ， D(0,2,0) ， 则E(1,2,0)，F(1,1,1)， 所以B→F＝(－1,1,1)，P→E＝(1,2，－2)，
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝
|u·v| |cos〈u，v〉|＝ |u||v| .
知识梳理
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线
AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
第七章
§7.7 向量法求空间角
课标要求
1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平 面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研 究空间角问题中的作用. 2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系 的判断和空间角的计算问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
θ＝|cos〈u，n〉|＝
u·n
|u||n|
|u·n|
＝ |u||n| .
知识梳理
3.平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角， 我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为 平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β 的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则
√B.7－2 3或 7＋2 3
C.19－4 3 D.19－4 3或 19＋4 3
以O为原点，OB所在直线为y轴，过点O作x轴 ⊥OB，圆台的轴为z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 作 DE⊥AB 于点 E，AE＝12AB－12CD＝1，
在 Rt△ADE 中，AD＝ 3，DE＝ AD2－AE2＝ 2，则 D(0，－1， 2)， A(0，－2,0)，C(0,1， 2)，A→D＝(0,1， 2)，
设P(2cos θ，2sin θ，0)，0≤θ<2π， O→P＝(2cos θ，2sin θ，0)， 由于异面直线 AD 与 OP(O 为下底面圆心)
所成的角为π3， →→
∴cos π3＝||OO→PP|·|AA→DD||＝|22×sin θ3|＝|sin3θ|＝12，
∴sin θ＝± 23，C→P＝(2cos θ，2sin θ－1，－ 2)， CP2＝|C→P|2＝4cos2θ＋4sin2θ－4sin θ＋1＋2＝
3.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)， 则直线l1和l2所成角的余弦值为
A.
2 4
B.12
√C.
2 2
D.
3 2
自主诊断
设直线l1与l2所成的角为θ，
因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以
cos
θ＝|cos〈s1，s2〉|＝||ss11|·|ss22||＝|－21×－32|＝
|n1·n2| cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ |n1||n2| .
常用结论
1.异面直线所成角的范围是0，π2；直线与平面所成角的范围是0，π2； 二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，π2. 2.若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β所成角为θ2，则 θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号.
自主诊断
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉 ＝－12 ，则直线l与平面α所成的角为
√A.30° B.60° C.120° D.150°
设直线l与平面α所成的角为θ， 则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12， 所以直线l与平面α所成的角为30°.
自主诊断
7－4sin θ＝7±2 3.
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0，π2 ，即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角 线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长 为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为成角的余弦值为
2 2.
自主诊断
4.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的
二面角为
π A.4
3π B. 4
√C.π4或34π
D.π2或34π
自主诊断
∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)， ∴m·n＝1，|m|＝1，|n|＝ 2， 若两平面所成的二面角为θ， 则|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝||mm|·|nn||＝ 22， ∴两平面所成的二面角为π4或34π.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
(×) (3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.( × ) (4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等.( × )
所以 cos θ＝|cos〈B→F，P→E〉|＝|B→→F·P→→E|＝ |BF||PE|
|－1＋3×2－3 2|＝ 93，
所以异面直线
BF
与
PE
所成角的余弦值为
3 9.
(2)(2023·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形 ABCD 为其轴截面，AB ＝2CD＝4，母线长为 3，P 为下底面圆周上一点，异面直线 AD 与 OP(O 为下底面圆心)所成的角为π3，则 CP2 的大小为 A.7－2 3
返回
第二部分
探究核心题型
题型一 异面直线所成的角
例1 (1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， 底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面 直线BF与PE所成角的余弦值为
A.－
3 9
√B.
3 9
C.－5 9 3
53 D. 9
如图，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直 线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝2 ，异面直线BF 与PE所 成的角为 θ，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C(2,2,0) ， D(0,2,0) ， 则E(1,2,0)，F(1,1,1)， 所以B→F＝(－1,1,1)，P→E＝(1,2，－2)，