南开高三期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(1, -2)$，则下列哪个选项是正确的？
A. $a > 0, b = -2, c = -2$
B. $a > 0, b = 2, c = -2$
C. $a < 0, b = -2, c = -2$
D. $a < 0, b = 2, c = -2$
2. 在直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 1$的对称点为$B$，则点
$B$的坐标是：
A. $(-2, -1)$
B. $(-1, -2)$
C. $(1, -2)$
D. $(-1, 2)$
3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 + a_3 + a_5 = 18$，$a_2 + a_4 + a_6 = 24$，则数列$\{a_n\}$的公差$d$等于：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 函数$y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$的图像与直线$y = x + 1$的交点个数是：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，$BC = 6$，$AD$为高，且$AD = 4$，则
$\angle BAC$的度数是：
A. $30^\circ$
B. $45^\circ$
C. $60^\circ$
D. $90^\circ$
6. 设$a, b, c$为等比数列的前三项，且$a + b + c = 6$，$ab + bc + ca = 9$，则该等比数列的公比$q$是：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 2
7. 在平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$到直线$x + 2y - 4 = 0$的距离是：
A. $\frac{3}{2}$
B. 2
C. $\frac{5}{2}$
D. 3
8. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$在$x = 1$处取得极值，则该极值是：
A. 2
B. 0
C. -2
D. -4
9. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$|z + 1| = |z - 1|$，则实数$a$和$b$的关系是：
A. $a = b$
B. $a = -b$
C. $a + b = 0$
D. $a - b = 0$
10. 在三角形$ABC$中，$AB = AC$，$BC = 4$，$AD$为高，且$AD = 2\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积是：
A. $4\sqrt{3}$
B. $8\sqrt{3}$
C. $6\sqrt{3}$
D. $12\sqrt{3}$
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_3 = 18$，$S_6 = 72$，则$a_1 = \quad$，$d = \quad$。

12. 函数$f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$的定义域是$\quad$。

13. 二项式$(a + b)^5$展开式中，$a^3b^2$的系数是$\quad$。

14. 若复数$z$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是$\quad$。

15. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = -1$处取得极小值，则$a, b, c$的
关系是$\quad$。

16. 在直角坐标系中，点$P(3, 2)$到直线$y = 2x + 1$的距离是$\quad$。

17. 若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_2 + a_3 + a_4 = 27$，则数列$\{a_n\}$的公比$q$是$\quad$。

18. 在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，$BC = 5$，$AD$为高，且$AD =
\frac{5\sqrt{2}}{2}$，则$\angle BAC$的度数是$\quad$。

19. 函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$的图像与直线$y = x$的交点个数是$\quad$。

20. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$和$b$的关系是$\quad$。

三、解答题（本大题共3小题，共100分）
21. （20分）已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$。

（1）求函数$f(x)$的极值；
（2）求函数$f(x)$的拐点；
（3）求函数$f(x)$的单调区间。

22. （30分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 + a_3 + a_5 = 18$，$a_2 + a_4 + a_6 = 24$。

（1）求等差数列$\{a_n\}$的公差$d$；
（2）求等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$；
（3）求等差数列$\{a_n\}$的第10项$a_{10}$。

23. （50分）在平面直角坐标系中，已知点$A(1, 1)$，$B(3, 5)$，$C$为线段$AB$上的一点，且$\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$。

（1）求点$C$的坐标；
（2）求直线$AC$的方程；
（3）求直线$AC$与圆$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$的交点个数。

注意：本试卷满分为200分，考试时间为120分钟。

考生需在规定时间内完成所有题目。