2023-2024学年江苏省扬州市高一下学期3月月考数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年江苏省邳州市高一下册第二次学情检测数学试题
一、单选题
1．下列说法正确的是（
）
A ．四棱台的侧棱长一定相等
B ．有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱
C ．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行
D ．三棱锥的四个面不可能全是直角三角形
【正确答案】C
【分析】根据简单几何体的结构特征逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】对于选项A ：只有正四棱台的侧棱长一定相等，其它四棱台的侧棱长不一定相等故，选项A 错误；
对于选项B ：四棱柱的两个平行侧面垂直于底面，该四棱柱不一定是直四棱柱，
如图平面11ABB A 和平面11DCC D 都垂直于底面ABCD ，但该四棱柱不是直四棱柱，故选项B 错误；
对于选项C ：圆柱的任意两条母线所在直线互相平行，故选项C 正确；
对于选项D ：三棱锥的四个面可能都是直角三角形，
如图：长方体中，三棱锥1C ABC 四个面都是直角三角形，故选项D 错误.故选：C.
2．下列说法正确的是（
）
A ．多面体至少有3个面
B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【正确答案】D
【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可．【详解】对于A ，多面体至少有4个面，故选项A 错误；
对于B ，有2个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B 错误；
对于C ，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C 错误；
对于D ，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D 正确.故选：D ．
3．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【详解】m α⊄，n ⊂α，所以当//m n 时，//m α成立，即充分性成立；当//m α时，//m n 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以//m n 是//m α的充分不必要条件，故选：A
4．下列说法正确的是（
）
A ．任意三点确定一个平面
B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点
C ．梯形一定是平面图形
D ．一条直线和一个点确定一个平面【正确答案】C
【分析】由平面的性质及确定平面的条件逐项判断即可得解.【详解】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错；B 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，B 错；
C 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，所以梯形一定是平面图形，C 对；
D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D 错.故选：C.
5．如图所示，用符号语言可表述为（
）
A ．m αβ= ，n ⊂α，m n A =
B ．m n m n A αβα⋂=∈⋂=，，
C ．m n A m A n αβα⋂=⊂⊂⊂，，，
D ．m n A m A n αβα⋂=∈∈∈，，，【正确答案】A
【分析】由题可知两平交于直线m ，直线n 在平面α内，两直线交于点A ，从而可得答案.【详解】由题可知平,αβ交于直线m ，直线n 在平面α内，两直线,m n 交于点A ，所以用符号语言可表示为m αβ= ，n ⊂α，m n A = ，故选：A.
6．若1i z =+，则2
z z -=（
）
A B ．1
C ．0
D ．2
【正确答案】A
【分析】根据复数乘方运算与模运算公式即可求解．【详解】由1i z =+得()()2
21i 1i 1i z z -=+-+=-+
所以21i z z -=-+==故选：A
7．若π
,0
2
α⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭=（
）
A ．sin cos αα+
B ．sin cos αα--
C ．sin cos αα
-D ．cos sin αα
-
【正确答案】D
【分析】由π
,02
α⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭，得到cos 0,sin 0αα><，再结合正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，
即可求解.
【详解】由π
,02
α⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭，可得cos 0,sin 0αα><，
cos sin αα==-.故选：D.
8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【正确答案】C
【分析】先依据条件222b c a bc +=+求得π3
A =，再利用2sin sin sin
B
C A =可以求得b c =，从而判断△ABC 的形状是等边三角形
【详解】△ABC 中，2
2
2
b c a bc +=+，则2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===
又0πA <<，则π
3
A =
由2sin sin sin B C A =，可得2a bc =，代入222b c a bc +=+则有222b c bc bc bc +=+=，则()2
0b c -=，则b c
=又π3
A =，则△ABC 的形状是等边三角形故选：C 二、多选题
9．下列说法正确的有（
）
A ．任意两个复数都不能比大小
B ．若()i ,z a b a R b R =+∈∈，则当且仅当0a b ==时，0
z =C ．若12,z z C ∈，且22
120z z +=，则120
z z ==D ．若复数z 满足1z =，则2i z +的最大值为3【正确答案】BD
【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.
【详解】解：对于A 选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A 不正确；对于B 选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B 正确；
对于C 选项，当121,i z z ==，满足22
120z z +=，但120z z ==，所以C 不正确；
对于D 选项，复数z 满足1z =，则复数z 在复平面内的轨迹为单位圆，则2i z +的几何意义，是单位圆上的点到()0,2-的距离，它的最大值为3，所以D 正确；故选：BD.
10．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（）
A ．12l l ⊥，2313l l l l ⊥⇒∥
B ．12l l ⊥，2313
l l l l ⇒⊥∥C ．1231l l l l ⇒∥∥，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点1l ⇒，2l ，3l 共面
【正确答案】ACD
【分析】根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.【详解】解：由12l l ⊥，23l l ⊥，则1l 、3l 平行、异面都有可能，故A 错误；由12l l ⊥，23l l ∥得13l l ⊥，故B 正确；
当123l l l ∥∥时，1l ，2l ，3l 不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C 错误；当1l ，2l ，3l 共点时，1l ，2l ，3l 不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D 错误；故选：ACD.
11．三角形有一个角是60︒，这个角的两边长分别为8和5，则（）．A ．三角形另一边长为7B ．三角形的周长为20C ．三角形内切圆周长为3πD ．三角形外接圆面积为
493
π
【正确答案】ABD
【分析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断AB 选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断C 选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断D 选项的正确性.
7=，三角形的周长为20，则A 正确，B 正确；设内切圆半径为r ，
则11
(875)85sin 6022
r ++=⨯⨯︒，
则r =，
则内切圆周长为2r π=，则C 不正确；设外接圆半径为R ，则72sin 60R =︒
，R =其面积为2493
R π
π=，则D 正确．故选：ABD.
本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内切圆，外接圆有关计算.属于较易题.12．下列等式成立的是（）
A
．22cos 15sin 15︒-︒=
B
．sin
cos
8
8
4
π
π
=
C
．1sin 40cos 40sin 7022
︒+︒=︒
D
．tan152︒=【正确答案】ABD
【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】对于A ，(
)22cos 15sin 15cos 1515cos 302
︒︒-︒=︒+︒==，故A 正确；对于B
，1sin
cos
sin 8
8
244
π
π
π=
=
，故B 正确；对于C
，1sin 4040sin 40cos 60sin 60cos 402︒︒︒+︒=︒+︒
()sin 4060sin100sin 80︒︒=︒+=︒=，故C 错误；
对于D ，()
tan15tan 4530︒=-
1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒
︒
︒︒-==-+，故D 正确.
故选：ABD 三、填空题
13．已知向量(3,2)a = ，(2,1)b =- ，若()a b b λ+⊥
，则λ=___________.
【正确答案】
4
5
##0.8
【分析】根据向量坐标的加法运算，可得()a b λ+ 的坐标，再根据()a b b λ+⊥
，所以()0a b b λ+⋅= ，
再根据数量积的坐标运算，建立方程，即可求出结果.
【详解】因为向量(3,2)a = ，(2,1)b =- ，所以
()()32,2a b λλλ+=-+
，又()a b b λ+⊥
，所以()
()()32,22,14620a b b λλλλλ+⋅=-+⋅-=-++= ，
所以4=
5
λ.故答案为.
45
14．若2
sin 3
x =-，则cos 2x =__________．
【正确答案】
19
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】2
2281cos 212sin 12(1399
x x =-=-⨯-=-=.
故答案为.
1
9
本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
15．设,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，已知5,6,7a b c ===，则AB BC ⋅=
______．
【正确答案】19
-【分析】由余弦定理可得19
cos 35
B =
，再由向量的数量积定义得||||cos AB BC BA BC AB BC B ⋅=-⋅=-⋅⋅
，即可得答案.
【详解】解：因为5,6,7a b c ===，
所以22219
cos 235
a c
b B a
c +-==，
所以||||cos AB BC BA BC AB BC B ⋅=-⋅=-⋅⋅ =19
751935
-⨯⨯=-.
故答案为.19
-16．已知复数z 满足1i 2z --=，则z 的最大值为______.
【正确答案】2+2
+【分析】设()i,,z a b a b R =+∈，由已知条件求出复数i z a b =+对应的点(),a b 的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.
【详解】设()i,,z a b a b R =+∈，由1i 2z --=，可得()11i 2a b -+-=，
2=，即()()2
2
114a b -+-=，
复数i z a b =+对应的点(),a b 的轨迹是以()1,1A 为圆心，半径2r =的圆，而z 表示复数z 对应的点到坐标原点O 的距离，
所以z 的最大值就是22OA r +=+=
故答案为.2四、解答题
17．已知向量,,a b c
在同一平面上，且(2,1)a =- .（1）若// a c ，且25c = ，求向量c
的坐标﹔
（2）若()3,2b = ，且ka b -
与2a b + 垂直，求k 的值.
【正确答案】（1）(c =-r 或c =- ；（2）22
3
k =-.
（1）由条件设(2),c a λλλ-== 25，求出λ，即可得出答案.
(2)由条件可得()23,2ka b k k -=--- ，()24,5a b +=
，则
()()
20ka b a b -⋅+= ，由此可得答案.【详解】（1）//a c
，设(2)
,c a λλλ-==
25c =
25
25=.
λ∴=
，λ∴=±
(c =-r
或c =- .
（2）()23,2ka b k k -=--- ，()
24,5a b +=
()()
2ka b a b -⊥+
，()()
20ka b a b ∴-⋅+= ，即423()20
)(5k k -+--=即322,k -=则223
k =-
18．已知1sin sin 32παα⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，1cos 3β=，α，()0,βπ∈，
（1）求α的值；（2）求()cos 2αβ+的值.
【正确答案】(1)2
π
α=
(2)9
-
【分析】(1)由题意整理所给的三角函数式求得sin 3πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值，然后结合角的范围即可确定α的
值；
(2)首先由同角三角函数基本关系求得sin β的值，然后结合(1)中的结论和诱导公式、二倍角公式即可确定()cos 2αβ+的值.
【详解】（1）sin sin 3παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭11cos sin sin 2232πααα⎛
⎫=+=+= ⎪⎝
⎭.因为()0,απ∈，所以4,333π
ππ
α⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，所以536ππα+=
，所以2πα=.
（2）因为1cos 03β=
>，()0,βπ∈，所以0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3
β=
()cos 2cos 22πβαβ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭sin 22sin cos 9
βββ=-=-=-.
本题主要考查同角三角函数基本关系，二倍角公式与诱导公式的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．在ABC 中，内角,,A B C
的对边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a B b A c B +=，b .（1）求B ；
（2）若2a c -=，求ABC 的面积.
【正确答案】（1）
3π；（2）4
.（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得sin()2sin cos A B C B +=，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.
（2）根据余弦定理求出3ac =，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=，sin()2sin cos A B C B +=，
因为,(0,)A B C C ππ+=-∈，
所以sin 2sin cos C C B =，由sin 0C ≠，故1
cos 2
B =.因为(0,)B π∈，所以3
B π=
.（2）由余弦定理及2a c -=知2222cos b a c ac B =+-.
227a c ac ∴+-=，2
()7a c ac ∴-+=，
47ac ∴+=，3ac ∴=
.
11sin 32224
ABC S ac B ∴=
=⨯⨯=
.20．已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别为1i z m m =-，()22
2212i z m m =-+-（m ∈R ），设
AB
对应的复数为z .
（1）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；
（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）12m =-
；（2）1
22
m -<<-.【分析】（1）求出21z z z =-，z 是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；（2）根据z 的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.
【详解】点A ，B 对应的复数分别为()22
12i,212i z m m z m m =-=-+-，
AB ∴ 对应的复数为z ，22
2121(2)z z z m m m m i ∴=-=--++-，
（1）复数z 是纯虚数，22210
20m m m m ⎧--=∴⎨+-≠⎩
，
解得11
221m m m m ⎧
=-=⎪⎨⎪≠-≠⎩或且，
12
m ∴=-；
（2）复数z 在复平面上对应的点坐标为22(21,2)m m m m --+-，位于第四象限，2221020m m m m ⎧-->∴⎨+-<⎩，即1
1
221
m m m ⎧-⎪⎨⎪-<<⎩或，
1
22
m ∴-<<-.
本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.
21．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -
中，1AA =1AB =，2AD =，E 为BC 的中点.
(1)求证：平面1A DE ⊥平面1A AE ；
(2)求异面直线1A E 与CD 所成的角.
【正确答案】(1)证明见解析(2)3
π
【分析】（1）证明DE ⊥平面1A AE ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）取AD 的中点F ，连接1A F 、EF ，分析可知异面直线1A E 与CD 所成角为1A EF ∠或其补角，推导出1EF A F ⊥，计算出1A F 、EF 的值，可求得1tan A EF ∠的值，即可得解.
【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，2BC AD ==，1AB CD ==，
E 为BC 的中点，则1BE =，则222AE AB BE =+=，同理可得2DE ，
所以，222AE DE AD +=，DE AE ∴⊥，
1AA ⊥ 平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，1DE AA ∴⊥，
1AE AA A = ，DE ∴⊥平面1A AE ，
DE ⊂ 平面1A DE ，因此，平面1A DE ⊥平面1A AE .
（2）解：取AD 的中点F ，连接1A F 、EF ，
因为ABCD 为矩形，则//AD BC 且AD BC =，
E 、
F 分别为BC 、AD 的中点，//DF CE ∴且DF CE =，
所以，四边形CDFE 为平行四边形，则//EF CD 且1EF CD ==，
所以，异面直线1A E 与CD 所成角为1A EF ∠或其补角，
CD ⊥ 平面11AA D D ，则EF ⊥平面11AA D D ，
1A F ⊂ 平面11AA D D ，1EF A F ∴⊥，且1A F =
所以，11tan A F A EF EF ∠==13
A EF π∠=.因此，异面直线1A E 与CD 所成的角为3
π.22．如图，在多面体ABCDE 中，AEB ∆为等边三角形，//AD BC ，BC AB ⊥，2BC AD =，点F 为边EB 的中点.
（1）求证：//AF 平面DEC .
（2）在BC 上找一点G 使得平面//AFG 平面DCE ，并证明.
【正确答案】(1)证明见解析(2)点G 为BC 的中点.证明见解析
【分析】（1）取EC 中点M ，连接FM ，DM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题意，确定点G 为BC 的中点；再给出证明：连接FG ，AG ，根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】（1）取EC 中点M ，连接FM ，DM ，
∵////AD BC FM ，12
AD BC MF ==，∴ADMF 是平行四边形，∴//AF DM ，
∵AF ⊄平面DEC ，DM ⊂平面DEC ，∴//AF 平面DEC .
（2）点G 为BC 的中点.
证：连接FG ，AG ，
因为G 、F 分别是BC ，BE 的中点，所以//GF CE ，
又GF ⊄平面DCE ，CE ⊂平面DCE ，所以//GF 平面DCE ，
又因为//AD BC ，12
AD BC =，所以//AD GC 且AD GC =，即四边形ADCG 是平行四边形，所以//DC AG ，
因为AG ⊄平面DCE ，所以//AG 平面DCE .
又因为AG GF G = ，所以平面//AFG 平面DCE .
本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.。