律师界最高产的数学家——凯莱

律师界最高产的数学家——凯莱
凯莱(Arthur Cayley)是英国数学家。

1821年8月16日
生于英国里士满，1895年1月26日卒于剑桥。

凯莱的父亲在俄国经商，凯莱的童年在俄国度过，8
岁时随双亲返回英国。

14岁进入国王学校学习，数学才华
出众，擅长大数运算。

17岁时他的老师说服他父亲送他进
入剑桥大学三一学院深造，而不要让凯莱操持家务。

凯莱
随后在剑桥的数学会考中得第一名，并获史密斯奖。

凯莱聪敏好学、兴趣广泛，除数学外还喜欢历史、文学、语言学和小说。

毕业后留校任研究员和助理导师，几年内发表论文数十篇，1846年因不愿意担任圣职而离开了剑桥大学，转学法律，三年后成为律师。

缜密的思维、冷静沉着的判断使其工作成效卓著，在其律师工作之余仍潜心研究数学，连续发表近200篇论文，并结识了数学家西尔威斯特开始了长期的友谊合作。

1863年他被聘为剑桥大学纯粹数学的第一个萨德勒(Sadler)教授，除去1882年受西尔威斯特之聘在霍普金斯大学以外，他一直在剑桥，直到1895年逝世。

凯莱一生中得到过那个时代的数学家可能得到的许多重要荣誉，例如，他得到过牛津、爱丁堡、格丁根等七个大学的荣誉学位，被选为许多国家的研究院、科学院的院士或通讯院士，他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、皇家天文学会的会长。

1883年荣获伦敦皇家学会的科普利奖章。

如今，在剑桥大学三一学院安放着一尊凯莱的半身雕像。

凯莱涉足多个数学分支，是一位成果丰产的数学家，共发表论文近1000篇,其中有不少是奠基之作。

凯莱和西尔维斯特同是不变量的奠基人。

不变量这个名词来自西尔维斯特。

凯莱改进了n次齐次函数不变量的计算方法，他称这些不变量为“导数”，后又称为“超行列式”，他利用黑塞和艾森斯坦的行列式思想，得出“导数”的一套技巧。

他从1854-1878年在《哲学汇刊》上发表了十篇关于代数形式的论文，代数形式是他用来称2个、3个或多个变量的齐次多项式的名词。

凯莱对不变量的兴趣极大，以致使他竟然为不变量而研究不变量。

他还创造了一种处理不变量的符号方法。

他证明了艾森斯坦对二元三次式和他自己对二元四次式所求得的不变量与协变量，分别是两种情况下的完备系。

凯莱的工作开创了19世纪下半叶研究不变
量理论的高潮。

凯莱用分析方法来研究几维几何，他曾说“无须求助于任何形而上学的概念”。

1845年，他在《剑桥数学杂志》发表了“n维解析几何的几章”，这个著作给出了n个变量的分析结果。

凯莱详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提出佐证。

他还与克莱茵进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何乃至非欧几何的度量性质，明确了欧氏几何与非欧几何都是射影几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路，凯莱还得到了角的射影测度的概念。

凯莱是矩阵理论的创立者。

他首先引进了矩阵的一些概念和简化记号，他定义了零矩阵和单位矩阵，定义了两个矩阵的和，讨论了矩阵性质，得到了现在以他的姓氏命名的凯莱-哈密顿定理。

他1858年的论文中建立了把超复数当作矩阵来看待的思想，矩阵是他手中极为有效的工具。

他还通过将n m
矩阵方面的工作类比于几何中的概念，从而实现了高维空间的解释。

他曾说:“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达方程组的方便方法而来”。

他1841年创造了表示行列式的两竖线符号。

凯莱对群论也有建树，他1849年就提出过抽象群，但这个概念的价值当时没有被人们认识到。

1878年他又写了四篇关于有限抽象群的论文，跟他1849年和1854年的论文一样，在这些论文中强调，一个群可以看作一个普遍的概念，毋须只限于置换群，抽象群比置换群包含更多的东西，他指出矩阵在乘法下，四元数在加法下都构成群。

他还提出了抽象群进一步发展的问题：找出具有给定阶的群的全体。

在图论中，关于“四色问题”，凯莱于1878年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇文章“论地图着色”，他认为这不是一个可以等闲视之的问题,他的这篇文章发表后，激起了不少人的兴趣，当时掀起了一场四色问题热。

另外，凯莱在研究饱和碳氢化合物(C,Hzn+2)同分异构体的数目时，独立地提出了“树”的概念，他把这一类化合物的计数问题抽象为计算某类树的个数问题，这一问题是图的计数理论的起源。

常微分方程的奇解的完整理论是19世纪发展起来的，而是凯莱和达布在1872年把它进化成现代的形式。

凯莱的论文收集在博大精深有14卷的《凯莱数学论文集》中，他还有一本
专著《椭圆函数专论》在数学中以他的姓氏命名的有：凯莱代数、凯莱变换、凯莱曲线、凯莱曲面、凯莱数、凯莱型、凯莱表、凯莱定理、凯莱方程等。