通用版2019高考数学二轮复习解答题通关练8不等式选讲文[含答案】

8.不等式选讲
1.已知函数f (x )＝|x －2a |＋|x －3a |.
(1)若f (x )的最小值为2，求a 的值；
(2)若对∀x ∈R, ∃a ∈[－2,2]，使得不等式m 2－|m |－f (x )<0成立，求实数m 的取值范围.
解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，
当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，
故f (x )的最小值为|a |,
∴a ＝±2.
(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，
故∃a ∈[－2,2]，
使m 2－|m |<|a |成立，
即m 2－|m |<2，
∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，
∴－2<m <2.
2.(1)已知x ∈R ，求f (x )＝|x ＋1|－|x －2|的最值；
(2)若|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，求a 的取值范围.
解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||
≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
∴－3≤f (x )≤3，
∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.
(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，
∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.
∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .
又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，
∴a ≥4.
∴a 的取值范围是[4，＋∞).
3.已知函数f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R ).
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)若函数f (x )恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12
，
由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12
，－x －4≥0
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12
，3x －6≥0，
解得x ≤－4或x ≥2，
故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.
(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，
则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).
4.已知函数f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |(m >0).
(1)当m ＝2时，求不等式f (x )≥1的解集；
(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|恒成立，求m 的取值范围.
解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，
3m ，x ≤－m ，
当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12
， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，
所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，
即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，
∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5，
∴3m ≤5，
又m >0，∴0<m ≤53
.。