福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试(九)数学(

高三数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.设全集U R =，集合，则集合()
U C A B =（ ）
A ．() 0-∞，
B ．(] 0-∞，
C ．()1 +∞，
D ．[)1 +∞， 2.要得到()()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向上平移1个单位
B ．向下平移1个单位
C ．向左平移1个单位
D ．向右平移1个单位
3.下列说法中，正确的是（ ）
A ．() sin sin sin R αβαβαβ∀∈+≠+，，
B ．命题2: 0p x R x x ∃∈->，，则2: 0p x R x x ⌝∀∈-<，
C ．在ABC △中，“0AB AC ⋅>”是“ABC △为锐角三角形”的必要不充分条件
D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”成立的充分不必要条件
4.已知正项数列{}n a 中，()22212111 2 22n n n a a a a a n +-===+≥，，，则6a =（ ）
A ．16
B ．4 C.．45
5.《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下，则共输出值是（ ）
A ．74
B ．75 C.76 D ．77
6.已知()x f x a =定义在R 上的单调减函数，且()()5
112
f f +-=
，则关于x
的方程()()25
00 12
abx b +=∈，有两个不同的实根的概率为（ ） A ．
12 B ．25 C.512 D ．13
7.已知单位向量a ，且 a b ，满足 4 2a b a b -=+=，，则b 在a 方向上的投影等于（ ）
A ．2-
B ．3- C.4- D ．5-
8.若函数ln y x =的图象上存在点() x y ，，满足约束条件10
220x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则实数m 的最大值
为（ ） A ．0 B ．
12 C.2
3
D ．2 9.已知函数211
x y x -=-的图象与函数y kx =的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是
（ ） A ．()()0 1 1 4，， B ．()()1 1 1 2-，， C.()()1 1 1 4-，， D ．()()0
1 1 2，
，
10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（
）
A
B
D 11.设双曲线()22
22:10 0x y C a b a b -=>>，右支上一动点P ，过点P 向此双曲线的渐近线做垂
线，垂足分别为点A 与B ，若 A B ，
始终在第一、四象限内，点O 为坐标原点，则此双曲线C
离心率e 的取值范围（ ）
A ．1e <≤
．13e <≤4 C.1e <≤．12e <≤
12.已知()()y f x x R =∈的导函数为()'f x ，若()()32f x f x x --=，且当0x ≤时，()23f x x ≤，
则不等式()()226128f x f x x x -->-+的解集是（ ） A ．12x >
B ．1x > C.3
2
x > D ．2x > 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在1
2
y x =
上，则tan 2θ= ． 14.() 1 21 2x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，
，
，则不等式()220x f x x +-≤的解集是 ．
15.对于实数x ，用表示不超过x 的最大整数，如0 5==，.若*n N ∈，4n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，n S 为数列{}
n a 的前n 项和，则20S = ．
16.已知：设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的点，F 为椭圆2
2:12x C y +=的右焦点，过
点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于 P Q ，
两点，PQ D 的方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
在ABC △中， a b c ，
，分别是角 A B C ，，的对边，且21cos22sin 2
B C
A +-=. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）当4a =时，求其面积的最大值. 18.（本小题满分12分）
某校N 名教职工开展“快乐步行，幸福人生”有奖评比活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示.
下表是年龄的频数分布表：
（1）求正整数 a b N ，
，的值及N 名教职工年龄的中位数； （2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加滨湖新区走进“红五月”宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率. 19.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥， E F ，分别为111 BB AC ，的中点.
（1）求证：1EF A BC ∥平面；
（2）若1AB AC AA ===E 到平面1A BC 的距离.
20.（本小题满分12分）
如图，等边ABC △的边长为():20E x py p =>上. （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）设点()4 4S -，
，过点()4 5N ，的直线l 交轨迹E 于 A B ，两点，设直线 SA SB ，的斜率分别为12 k k ，
， 证明：12k k 为定值，并求此定值.
21.（本小题满分12分） 已知函数()ln x f x x
=
. （1）求函数()f x 的极值；
（2）若()()x a g x xf x e +=-，试证明：当2a ≥-时，()0g x <.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.
已知直线112:x t l y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线12cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（Ⅰ）设l 与1C 相交于 A B ，
两点，求AB ； （Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
2C ，
设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值. 23.已知()48 f x mx mx m R =--+∈，. （Ⅰ）当4m =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()f x b ≤恒成立，求b 的取值范围.
福州市外国语学校2016-2017学年上学期阶段性考试（九）
高三数学（文科）试题参考答案
一、选择题
1-5:BDCBB 6-10:BBADC 11、12：CB 二、填空题 13.
43
14.{}2x x < 15.45 16.()()22
112x y -+-=和()()2
2
112x y -++=
三、解答题
17.（Ⅰ）由已知得：2
1cos22cos 2
A A -=， 2
224sin cos cos 222
A A A =， ∵0A π<<，∴022A π<<，cos 02A ≠，sin 02
A
>， ∴1
sin
22
A =， ∵0A π<<，∴022
A π<<， ∴3
A π
=
.
（Ⅱ）2222cos a b c bc A =+-， 2216b c bc +-=， 16bc ≥，
故三角形的面积1sin 2S bc A ==
≤ 当且仅当b c =时等号成立.
18.解：（1）由题中的频率分布直方图可知，25a =，且0.08
251000.02
b =⨯
=，总人数25
2500.025
N =
=⨯，中位数是38.75.
（2）因为第1，2，3组共有2525100150++=（人），利用分层抽样在150名员工中抽取6
人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=（人），第2组的人数为2561150⨯=（人），第3组的人数为100
64150
⨯=（人），
所以第1，2，3组分别抽取1人、1人、4人.
由可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234 C C C C ，
，，，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()()()()()1234 A B A C A C A C A C ，，，，，，，，，，()1 B C ，
，()2 B C ，，()3 B C ，，()()()()()()41213142324 B C C C C C C C C C C C ，
，，，，，，，，，，，()34 C C ，，共15种. 其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：
()()()()()()()()12341234 A C A C A C A C B C B C B C B C ，
，，，，，，，，，，，，，，，共8种.
所以恰有1人年龄在第3组的概率为8
15
. 19.（1）略
（2）连结1 EC A E ，
，则11E A BC C A EB V V --=，
∵1AB AC AA ===AB AC ⊥，E 是1BB 的中点，
∴111
3
C A EB A EB V S C
D -=⋅=△，………………9分
设() B x y ，
，则sin30x OB =︒=
cos3012y OB =︒=.
因为点()
12B ，
在22x py =上，
所以(2
212p =⨯，解得2p =，
故抛物线E 的方程为24x y =.
（Ⅱ）由题可知直线l 的斜率一定存在， 设点()()1122 A x y B x y ，，，，
则联立()2454y k x x y ⎧=-+⎪
⎨=⎪⎩得2416200x kx k -+-=，
所以12124 1620x x k x x k +==-，， 12121244811
443244
y y k k k x x k ---+=
⋅==-++-. 21.（Ⅰ）∵()ln 0x
f x x x
=>，， ∴()2
1ln 'x
f x x
-=
， 令()'0f x =，解得x e =，
当()'0f x >时，即0x e <<，函数()f x 单调递增， 当()'0f x <时，即x e >，函数()f x 单调递减， ∴当x e =时，函数有极大值，极大值为()1
f e e
=
，无极小值. （Ⅱ）证明：当2a ≥-时，2x a x e e +-≥，2ln ln x a x x e x e +--≤-， 只需证明()2ln 0x t x x e -=-<， ∵()2
1'x t x e x
-=
-， 由()'0t x =得
21
x e x
-=，方程有唯一解()0 1 2x ∈，
， ∴()00 x x ∈，
时，()'0t x >，()t x 在()00 x ，内单调递增， ()0 x x ∈+∞，时，()'0t x <，()t x 在()0 x +∞，内单调递减，
∴()0200max 0
1
ln 2x t x x e x x -=-=-+-
，
∵()0 1 2x ∈，， ∴00
1
2x x +
>， ∴()max 0t x <，
综上，当2a ≥-时，()0g x <. 22.
（Ⅰ）AB ；
)
1.
23.（Ⅰ）[)1 -+∞，； （Ⅱ）[]12 +∞，.。