重复一因素的三因素混合设计

重复测量一个因素的三因素实验设计：三因素混合设计
一、重复测量一个因素的三因素实验设计的基本特点
重复测量一个因素的三因素设计是混合因素设计的一种，它适合下列的研究条件：
1.研究中有三个自变量，每个自变量有两个或多个水平，其中有两个自变量是被试间变量，一个自变量是被试内变量。

2.如果实验中的三个自变量分别有p、q、r个水平，则研究中共有p×q×r个处理水平的结合。

重复测量一个因素的三因素设计的基本方法是，在两个被试间因素上，随机分配被试，每个被试接受
图6—1—1 三因素完全随机、混合和被试内实验设计中分配被试的比较从三种实验设计的图解中，我们可以清楚地看到由多变量所引起一系列问题。

在所举的2×3×2三因素实验中，如果使用完全随机设计，需要被试N=npqr=48人。

需要的被试量较大会使实验的实施费时费力。

如果使用完全被试内设计，需要的被试量可以大大减少，仅需要N=n=4人，但又会带来其它的问题。

除了以前提到的在有些变量大身是被试间变量或有些变量的施测对被试有长期效应时，不可能使用被试内设计外，顺序效的影响在多因素实验设计中会变得十分重要。

随着实验中因素、水平数的增加，每个被试重复测量的次数也会迅速增加，每个被试重复测的次数也会迅速增加，疲劳、练习等问题变得不容忽视。

在上面所举的例子中，使用被试内设计需要每个被试接受12个实验处理，当实验任务较复杂，费时较长时，会给实验的实施来来很多困难。

图解中可以看到，混合设计可以减少上述两种实验设计带来的问题。

在上面所举的例子中，如果使用重复测量一个因素的三因素设计，需要的被试数量是N=npr=16，每个被试接受3个实验处理，这是一个可行的方案。

因此，混合设计是一种非常有实用价值的实验设计。

二、重复测量一个因素的三因素实验设计与计算举例
(一)问题的提出与实施设计
在第五章中举例的文章生字密度、文章类型和平均句长对学生阅读理解影响的研究中，如果研究者将其中一个自变量一个文章类型为一个被试内因素，其余两个自变量——生字密度和平均句子长仍是被试间因素，这时可做一个2×2×2重复测量一个因素的三因素混合实验设计。

研究者仍然选择8篇特点不同的文章，然后将16名被试随机分为4组，分别是在a1c1、a1c2、a2c1、和a2c2四种情境中，每个被试阅读两篇文章：一篇说明文和一篇叙述文。

例如，一组中的被试阅读a1b1c1(生字密度为20:1、平均句长为20个词的说明文)和a1b1c2(生字密度为20:1、平均句长为20个词的叙述文)。

所有被试阅读两篇文章的顺序应以ABBA方式平衡。

(二)实验数据及其计算
1.计算表
表6—1—1 重复测量一个因素的三因素实验的计算表
2.各种基本量的计算
11112
2
1111
2221111
2
21
111
36202.000
()(202)[]1275.125
(4)(2)(2)(2)
[](3)(6)1544.000
()(7)[]2p q n r
ijkl
i j k k p
q
n
r
ijkl i j k k p
q
n
r
ijkl
i j k k q
ijkl p n r
k i j l Y
Y Y npqr
Y
ABCS Y ACS q
=================++======++
===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2
2
22
111
1
2
22
1111
2
111(12)1463.000
2
()(66)(136)[]1428.250
(4)(2)(2)(4)(2)(2)()(91)(111)[]1287.625
(4)(2)(2)(4)(2)(2)
()[]q
n
r
ijkl p
i k l j p
n
r
ijkl q
i j l k p
q
n
ijkl i j k Y A npr Y B npr Y C npq
==-===-====++
===+===+===∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑22
1(96)(106)1278.250
(4)(2)(2)(4)(2)(2)
r
l =+=∑
2
22
1111
2
22
1111
2
22
1111()(35)(56)[]1465.250
(4)(2)(4)(2)()(32)(34)[]1432.500
(4)(2)(4)(2)()(48)(48)[](4)(2)(4)(2)n
r
ijkl p
q
i l j k q
n
ijkl p r
i k j l p
n
ijkl q r
i j k l Y AB nr Y AC np Y BC np
==============++
==++
===+∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
2
22
1
111
1303.250
()(16)(32)[]1506.500
44
n
ijkl p
q
r
i j k l Y ABC n
====+
===++
=∑∑∑∑
3.平方和的分解与计算
(1)平方和的分解 SS 总变异=SS 被试间+SS 被试内
=(SSA+SSC+SSAC+SS 被试(AC))+(SSB+SSAB) +SSBC+SSABC+SS B ×被试(AC)) (2)平方和的计算
SS 总变异=[ABCS]-[Y]=268.875 SS 被试间=[ACS]-[Y]=187.875 SSA=[A]-[Y]=153.125 SSC=[C]-[Y]=3.125
SSAC=[AC]-[Y]-SSA-SSC=1.125
SS 被试(AC)=SS 被试间-SSA-SSC-SSAC=30.500
SS 被试内=SS 总变异-SS 被试间=81.000 SSB=[B]-[Y]=12.500
SSAB=[AB]-[Y]-SSA-SSB=24.500 SSBC=[BC]-[Y]-SSB-SSC=12.500
SSABC=[ABC]-[Y]-[SSA]-[SSB]-SSC-SSAB-SSAC-SSBC=24.500 SS B ×被试(AC)=SS 被试内-SSB-SSBC=SSABC=7.000
方差分析表中可以看出，被试间因素——文章生字密度(A 因素)的主效应是显著的(F(1,12))=60.24,P<.01)，平均句子长度(C 因素)的主效应是不显著的(F(1,12)=0.44,P>.05)。

被试内因素——文章类型(B 因素)的主效应是显著的(F(1,12)=21.44,P<.01)。

文章类型一另外两个因素的交互作用也是显著的，其中文章类型与生字密度的交互作用(AB)是显著的(F,(1,12)=42.02,P<.01)，文章类型与平均句子长度的交互作用(BC)是显著的(F(1,12)=21.44,P<0.1)，文章类型与生字密度、平均句长的三次交互作用也是显著的(F(1,12)=42.02,P<.01)。

表中还可以看出，被试间因素及其交互作用的F 检验使用误差项MSe=2.542，而被试内因素及其有关的交互作用使用另一个误差项MSe=0.583。

4.方差分析表
015.平方和与自由度的分解图解 、BC 、ABC
SSB —被试内因素—B 因素的处理效应。

SSAB —A 因素与B 因素的两次交互作用。

SSBC —B 因素与C 因素的两次交互作用。

SSABC —A 因素、B 因素与C 因素的三次交互作用。

SS B ×被试(AC)—误差变异，其次方用作B 因素的处理效应及AB 、BC 、ABC 交互作用的F 检验的误差项。

(2)SS 被试(AC)和SS B ×被试(AC)的实质：
如果我们利用直接计算法重新计算SS 被试(AC)和SS B ×被试(AC)两个误差变异，会发现与在两因素混合设计中的两个误差项相似，重复测量一个因素的三因素设计的两个误差项中，SS 被试(AC)对应于完全随机设计中的SS 单元内，SS B ×被度(AC)对应于单因重复测量(或随机区组)设计中的SS 残差。

我们首先计算SS 被试(AC)，如果我们忽略被试内因素B ，则可以得到一个两因素完全随机设计，它的计算表如下：
2
2
2
2
2
122222
22
2
2
2
2
42 3 42
2
2
2
2
3(32)SS =(7+12+8+5)-=26.0004(34)SS =(9+12+8+5)-=25.004
(72) 4.0004
(64)SS =(17+17+16+14)-=6.0004
SS =(17+19+17+17)-SS =SS +SS +SS +SS =61.000
=组组组
组内1组组组组组 如果把SS 组内除以2，正好等同于SS 被试(AC)：
()30.5002
AC SS SS =
=组内被试
因此SS 被度(AC)相当一个两因素完全随机设计中的误差平方和。

我们再通过直接计算看看SS B ×被试(AC)的实质。

我们把它分解为在a 1c 1、a 1c 2、a 2c 1、a 2c 2、四个处理结合中的BS 表直接计算SS B ×被试(AC)：
[BS 11]=(3)2+(6)2
+……=142.000
[B 11]=(16)2/4+(16)2
/4=128.00
[S 11]=(7)2/2+(12)2
/2+……=141.000
[Y 11]=(32)2
/8=128.000
SS 残差(a1c1)=[BS 11]-[B 11]-[S 11]+[Y 11]=1.000
[BS12]=(5)2+(7)2+……=162.000
[B12]=(19)2/4+(15)2/4=146.00
[S12]=(9)2/2+(12)2/2+……=157.000
[Y12]=(34)2/8=144.500
SS残差(a1c1)=[BS12]-[B12]-[S12]+[Y12]=3.000
[BS21]=(8)2+(9)2+……
[B21]=(32)2/4+(32)2/4=512.00
[S21]=(17)2/2+(17)2/2+……=515.000
[Y21]=(64)2/8=512.500
SS残差(a1c1)=[BS21]-[B21]-[S21]+[Y21]=1.000
[BS22]=(5)2+(6)2+……
[B22]=(24)2/4+(48)2/4=720.00
[S21]=(17)2/2+(19)2/2+……=650.000
[Y22]=(72)2/8=648.000
SS残差(a1c1)=[BS22]-[B22]-[S22]+[Y22]=2.000
SS B×被试(AC)=SS残差(a1c2)+SS残差(a2c1)+SS残差(a2c2)=7.000
可以看出，SS B×被度(AC)相当于嵌套在a1c1、a1c2、a2c1、和a2c2、处理结合内的四个单因素重复测量(或随机区组)实验的残差平方和之和。