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二次函数易错题、重点题型汇总

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二次函数(易错30题7个考点)(解析版)-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》(人教版)

二次函数(易错30题7个考点)(解析版)-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》(人教版)

第2单元二次函数（易错30题7个考点）一．二次函数的性质（共1小题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0）、（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（）A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3D．当﹣1＜x＜3时，y＜0【答案】D【解答】解：A、对称轴为直线x＝＝1，正确，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项错误；C、一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3正确，故本选项错误；D、应为当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确．故选：D．二．二次函数图象与系数的关系（共3小题）2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣，下列结论中，正确的是（）A．abc＞o B．b2﹣4ac＜0C．2b+c＞0D．4a﹣2b+c＜0【答案】D【解答】解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＜0，b＞0，∴abc＞0，错误；B、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，错误；C、∵﹣＝﹣，∴b＝a，∵x＝1时，a+b+c＜0，∴2b+c＜0，错误；D、∵图象与x轴交于左边的点在﹣2和﹣3之间，∴x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，正确；故选：D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a﹣b+c ＞0；②2abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤3a+c＞0；⑥a﹣c＞0，其中正确的结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，所以①错误；抛物线开口向上，则a＞0；对称轴在y轴右侧，x＝﹣＞0，则b＜0；抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，则c＜0，于是abc＞0，所以②正确；当x＝﹣2，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，所以③正确；抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以④正确；x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而a﹣b+c＜0，则3a+c＜0，所以⑤错误；a＞0，c＜0，则a﹣c＞0，所以⑥正确．故选：C．4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤【答案】C【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故④错误；⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）5．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【答案】见试题解答内容【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．四．二次函数的最值（共1小题）6．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．五．抛物线与x轴的交点（共1小题）7．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．顶点坐标（﹣1，﹣4）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小C．线段AB的长为3D．当﹣3＜x＜1时，y＞0【答案】A【解答】解：由图可知，对称轴为﹣＝﹣1，b＝2；c＝﹣3，则函数解析式为y＝x2+2x﹣3．其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．由图可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1；x2＝﹣3．可知线段AB长为1﹣（﹣3）＝4，由图可知当﹣3＜x＜1时，y＜0．可见，只有A正确，故选：A．六．二次函数的应用（共4小题）8．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．∴设这条抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+6，∵抛物线过O（0，0），∴a（0﹣6）2+6＝0，解得a＝﹣，∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x．（0≤x≤12）（2）当x＝6﹣0.5﹣2.5＝3（或x＝6+0.5+2.5＝9）时y＝4.5＜5故不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆．（3）设点A的坐标为（m，﹣m2+2m）则OB＝m，AB＝DC＝﹣m2+2m根据抛物线的轴对称，可得：OB＝CM＝m，故BC＝12﹣2m，即AD＝12﹣2m令L＝AB+AD+DC＝﹣m2+2m+12﹣2m﹣m2+2m＝﹣m2+2m+12＝﹣（m ﹣3）2+15故当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．9．嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当6≤y≤10时可看成一条线段，当10≤y≤18时可看成抛物线P＝﹣y2+8y+m（1）写出y与x之间的函数关系式（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元，求此时的售价为多少元/件？（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额一总成本）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将点（18，6）、（6，18）代入一次函数表达式：y＝kx+b 得：，解得：，函数表达式为：y＝﹣x+24；（2）当6≤y≤10时，同理可得：P＝10y，由题意得：利润w＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24）＝45，解得：x＝15或19（舍去19），即：此时的售价为15；（3）①当6≤y≤10时，w1＝yx﹣P＝﹣（x﹣10）（x﹣24），当x＝17时，w1有最大值为49万元；②10≤y≤18时，把点（10，100）代入二次函数并解得：m＝40，w2＝yx﹣P＝（24﹣x）2+（24﹣x）（x﹣8）﹣40＝﹣x2+x﹣，当x＝﹣＝14时，w2的最大值为40万元，49＞40，故：x＝17元时，w有最大值为49万元．10．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；（2）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣20x+1800（60≤x≤80），W＝﹣20x2+3000x﹣108000；（2）4480元．【解答】解：（1）根据题意得，y＝200+（80﹣x）×20＝﹣20x+1800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1800（60≤x ≤80）；W＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣20x+1800）＝﹣20x2+3000x﹣108000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W＝﹣20x2+3000x﹣108000；（2）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，w＝﹣20x2+3000x﹣108000，对称轴为x＝﹣＝75，∵a＝﹣20＜0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，∴x＝76时，W有最大值，最大值＝（76﹣60）（﹣20×76+1800）＝4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．11．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“精准扶贫”优惠政策，使贫困户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【答案】（1）w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；过程见解答；（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元，过程见解答．【解答】解：（1）由题意得出：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．解得x1＝25，x2＝35．∵35＞30，∴x2＝35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．七．二次函数综合题（共19小题）12．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B 出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④【答案】C【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．13．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…A n的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，B1、B2、B3、…B n的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…A n（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…B n（n，﹣）；∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，…A nB n＝|n2﹣（﹣）|＝；∴＝1，＝，…＝．∴，＝1++…+，＝2[+++…+]，＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），＝2（1﹣），＝．故答案为：．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）求直线AB的解析式；＝3，如果存在，（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S△ABC 请求出C点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝﹣x+3；（3）C（1，4）或C（2，3）．【解答】解：（1）∵（1，4）是二次函数的顶点，∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4．又∵图象过点A（3，0），∴代入可得4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4或y＝﹣x2+2x+3；（2）由y＝﹣x2+2x+3可知，B为（0，3）．设直线AB的解析式为：y＝kx+t（k≠0），将A（3，0）和B（0，3）代入可得k＝﹣1，b＝3∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（3）∵C在直线AB上方的抛物线上，∴可设C（x，﹣x2+2x+3）其中x＞0，过C作CD∥y轴，交AB于D点．则D坐标为（x，﹣x+3），＝3，又∵S△ABC∴[（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）]×3＝3，解得x1＝1，x2＝，2，代入﹣x2+2x+3得4或3．∴C点坐标为（1，4）或（2，3）．15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x 轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝1；n＝3；（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）1，3；（3）E的坐标为（﹣1，2）；（4）点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；故答案为：1，3；（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，此时点E的坐标为（﹣1，2）；（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC＝3，分三种情况：①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）．16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是（1，0）．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）直线x＝﹣7，（﹣7，8）；（2）（1，0）；（3）y＝x2﹣4x+3；（4）a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，∴顶点坐标为（﹣7，8）；（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分两种情况：①当a＜0时，1+＜1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y＝0，而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；②当a＞0时，1+＞1，i）当1＜1+≤3时，即a≥，当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，∴a＝1，此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；ii）当1+＞3时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（4）分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，∴a＝，当a＝时，x2﹣x+＝0，解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），②当a＞0时，如图2，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴0＜a＜；③当a＜0时，如图3，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴﹣5＜a＜0；综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点M（1，2）；（3）点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点M（1，2）；（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PC＝CD时，则12+（t﹣3）2＝10，解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），∴P（1，6）；②当CD＝PD时，则10＝t2，解得：t＝±，∴P1（1，），P2（1，﹣）；③当PC＝PD时，则12+（t﹣3）2＝t2，解得：t＝，P（1，）；综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．18．如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P的横坐标为3，求△BPC的面积；（3）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC 面积的最大值，并写出此时P点坐标．（4）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；＝；（2）S△BPC的最大值为24，此时，点P的坐标为（2，6）；（3）S四边形ABPC（4）点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点B（4，0）、C（0，6），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+6，∵点P的横坐标为3，∴P（3，），如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E（3，），∴PE＝﹣＝，＝S△BPE+S△CPE＝××（4﹣3）+××3＝；∴S△BPC（3）∵y＝﹣x2+x+6，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点A和点B（4，0）关于直线x＝1对称，∴A（﹣2，0），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，∵C（0，6），∴OC＝6，＝AB•OC＝×6×6＝18，∴S△ABC如图2，过点P作PE∥y轴交BC于点E，设P（t，﹣t2+t+6），则E（t，t+6），∴PE＝﹣t2+t+6﹣（t+6）＝﹣t2+3t，＝S△PBE+S△PCE＝PE•（x B﹣x P）+PE•（x P﹣x C）＝×（﹣t2+3t）∴S△PBC×4＝﹣t2+6t，＝S△PBC+S△ABC＝﹣t2+6t+18＝﹣（t﹣2）2+24，∴S四边形ABPC∵﹣＜0，有最大值，最大值为24．∴当t＝2时，S四边形ABPC此时，点P的坐标为（2，6）；（4）由（2）知P（3，），B（4，0），∵点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，∴设M（m，0），N（n，﹣n2+n+6），当BP、MN为对角线时，BP与MN的中点重合，则，解得：，（此时点N与点P重合，舍去），∴M（8，0）；当BM、PN为对角线时，BM与PN的中点重合，则，解得：，，∴M（﹣，0）或（，0）；当BN、PM为对角线时，BN与PM的中点重合，则，解得：，（此时点N与点P重合，舍去），∴M（0，0）；综上所述，点M的坐标为（8，0）或（﹣，0）或（，0）或（0，0）．19．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线AD的解析式；（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．（2）FG的最大值为：；（3）或．【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，而点D和点C关于直线x＝1对称，∴D（2，3），设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（2，3）分别代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1；（2）记AD于y轴的交点为E，当x＝0时，y＝x+1＝1，则E（0，1），∴OA＝OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO＝∠AEO＝45°，过F作FN∥y轴交AD于N，∴∠FNG＝45°，∴△FGN为等腰直角三角形，∴，设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），∴，当时，FN有最大值，∴FG的最大值为：；（3）如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4），设直线AM的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2x+2＝2，则R（0，2），设P（0，y），而四边形APQM为矩形，∴∠RAP＝90°，∴（2﹣y）2＝12+y2+12+22，解得：，即，由平移的性质可得：；如图，当P在AM的左边，同理可得：（y﹣2）2＝（1﹣0）2+（4﹣2）2+（0﹣1）2+（y﹣4）2，解得：，即，由平移的性质可得：；综上：或．20．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标是m，矩形ABCD的周长为L，求L与m的关系式，并求出L的最大值；（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求F点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）当m＝1时，周长L有最大值10；（3）点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：（1）依题意得顶点P的坐标（2，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，把点M（4，0）代入解析式，解得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x．（2）∵点D的横坐标是m，∴点D的纵坐标是﹣m2+4m，BC＝4﹣2m，∴矩形ABCD的周长L＝2（﹣m2+4m+4﹣2m）＝﹣2（m﹣1）2+10，∴当m＝1时，周长L有最大值10．（3）①OM是平行四边形的边时：点F的横坐标：2﹣4＝﹣2，纵坐标：y＝﹣（﹣2）2+4×（﹣2）＝﹣12，此时，点F（﹣2，﹣12）；或点F的横坐标：2+4＝6，纵坐标：y＝﹣62+4×6＝﹣12，此时，点F（6，﹣12）．②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，∴EF都在抛物线的对称轴上，∴点F与点P重合，∴点F（2，4）．综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M 为顶点的四边形是平行四边形．21．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）P（﹣2，0）；（3）存在，P（1，0）或（3，0）．【解答】解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，得：，解得，∴解析式y＝x2﹣x+1．（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），∴P（﹣2，0）．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点P的坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；（3）△CBF的最大面积为4，E（2，1）．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在抛物线y＝x2+bx+c上，则，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在，理由：∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线对称轴为直线x＝，∴D（，0），且C（0，2），∴CD＝＝，∵点P在对称轴上，∴可设P（，t），∴PD＝|t|，PC＝，当PD＝CD时，则有|t|＝，解得t＝±，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；当PC＝CD时，则有＝，解得t＝0（与D重合，舍去）或t＝4，此时P点坐标为（，4）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（，4）；（3）当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），设直线BC解析式为y＝kx+s，由题意可得，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，∵点E是线段BC上的一个动点，∴可设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m2+m+2），∴EF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，＝×4•EF＝2[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴S△CBF∵﹣1＜0，有最大值，最大值为4，∴当m＝2时，S△CBF此时﹣x+2＝1，∴E（2，1），即E为BC的中点，∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为（2，1）．23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝x+3相交于点A和点B，点A 在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值；＝2S△ABP，若存在，（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m的值为2；（3）点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），当y＝0时，x+3＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把A（﹣3，0）和B（0，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），将抛物线向右平移m个单位，P对应点为（﹣1+m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，把B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），故m的值为2；＝S△APD+S梯形PDOB﹣S△AOB＝+×（3+4）×1﹣（3）∵S△ABP＝3，＝2S△ABP＝6，∴S△ABQ设点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），分两种情况：①如图1，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE ∥y轴交直线AB于E，＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，∴S△ABQ解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），∴Q（﹣4，﹣5）；②如图2，当Q在对称的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y 轴交直线AB于E，同理可得a＝1，∴Q（1，0），综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．24．如图1和图2，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴直线x＝﹣1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ＝45°，请求出点Q坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）点B的坐标为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1，故点A （﹣3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则AC交函数对称轴于点M，则点M为所求，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，故点M（﹣1，2）；（3）如图，设直线BQ交y轴于点H，作HG⊥BC于点G，tan∠OCB＝，∠CBQ＝45°，则设：BG＝HG＝x，则CG＝3x，则BC＝BG+CG＝4x＝＝，解得x＝，CH＝x＝，则点H（0，），由点B、H的坐标可得，直线BQ的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝1（舍去）或﹣，故点Q（﹣，）．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a （x+1）（x﹣3）．把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．a＝﹣1．故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．∵B（3，0），C（0，3），∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，∴BD2＝BC2+CD2．∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．∴S△BCD（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y），根据勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，又∵P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，解得x1＝，x2＝＜1（舍去），∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即点P坐标为（，）．②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；y＝x﹣3；（2），P（，﹣）；（3）（2，﹣1）或（，），【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；（2）如图1，作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，＝×3×（﹣m2+3m）∴S△P AB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，△PAB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图3，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，），27．矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A，C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx经过D，A两点，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P，O，M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的P点的坐标．【答案】（1）D（4，3）；（2）y＝﹣x2+x；（3）P1（3，0），P2（3，﹣4）．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∵直线y＝x与BC边相交于点D，∴点D的纵坐标为3，令y＝3，得3＝x，解得：x＝4，∴D（4，3）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3），A（6，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．∵CB∥OA，∴∠P1OM＝∠CDO，∵∠DCO＝∠OP1M＝90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．∵x＝﹣＝3，∴该点坐标为P1（3，0）．过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，∵对称轴平行于y轴，∴∠P2MO＝∠DOC，∴Rt△P2OM∽Rt△DCO．在△P2P1O和△DCO中，，，∴△P2P1O≌△DCO（AAS）．∴CD＝P1P2＝4，∵点P2位于第四象限，∴P2（3，﹣4）．∴符合条件的点P有两个，分别是P1（3，0），P2（3，﹣4）．28．已知一次函数y1＝﹣3x+3与x轴，y轴分别交于点A，B两点，抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）；（1）若抛物线经过点B，求出抛物线的解析式；（2）抛物线是否经过一定点，若经过定点，求出定点坐标，若不经过，请说明理由；（3）在（1）的条件下，第一象限一点M是抛物线上一动点，连接AM，BM，设点M的横坐标为t，四边形BOAM的面积为S，求出S与t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；（3）S＝﹣t2++（0＜t＜3），当t＝时，S有最大值是．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），将B（0，3）代入y2＝ax2﹣2ax+a+4中得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）抛物线y2＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x﹣1）2+4，当x＝1时，y2＝4，∴抛物线经过一定点，定点坐标为（1，4）；（3）如图，连接OM，当y＝0时，﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴A（1，0），由题意得：M（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），+S△AOM∴S＝S△OBM＝•OB•x M+•OA•y M＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）＝﹣t2++（0＜t＜3）＝﹣（t﹣）2+；∵﹣＜0，∴当t＝时，S有最大值是．29．已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y 轴交于点C．∠BAC的平分线AD交y轴于点D．过点D的直线l与射线AC、AB分别交于点M、N．（1）求抛物线的对称轴；（2）当实数a＞﹣2时，求二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值；（可用含a的代数式表示）（3）当直线l绕点D旋转时，试证明为定值，并求出该定值．【答案】（1）x＝；（2）当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；（3）证明见解答过程，定值是．【解答】解：（1）抛物线对称轴为：x＝＝；（2）①当a≤时，如图：此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝a时取得，最大值为y＝﹣a2+a+3，②当a＞时，如图：此时二次函数y＝﹣x2+x+3在﹣2＜x≤a时的最大值，在x＝时取得，最大值为y＝4，综上所述，当a≤时，最大值为﹣a2+a+3；当a＞时，最大值为4；（3）过M作ME⊥x轴于E，在y＝﹣x2+x+3中令x＝0得y＝3，令y＝0得x1＝﹣，x2＝3，∴A（﹣，0），B（3，0），C（0，3），∴OA＝，OC＝3，∴tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，即∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分线AD交y轴于点D，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，1），①当M在线段AC上时，如图：设AM＝a，AN＝b，则ON＝AN﹣OA＝b﹣，∴N（b﹣，0），设直线DN解析式为y＝kx+m，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：，解得，∴直线DN解析式为y＝x+1，在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，∴AE＝a，ME＝a，∴OE＝﹣a＝，∴M（，a），将M（，a）代入y＝x+1得：a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），∴a+b＝ab，∴＝+＝＝＝，∴为定值，是；②当M在线段AC延长线上时，如图：设AM＝a，AN＝b，则ON＝OA﹣AN＝﹣b，∴N（b﹣，0），设直线DN解析式为y＝tx+n，将D（0，1），N（b﹣，0）代入得：，解得，∴直线DN解析式为y＝x+1，在Rt△AME中，∠OAC＝60°，AM＝a，∴AE＝a，ME＝a，∴OE＝a﹣＝，∴M（，a），将M（，a）代入y＝x+1，得：a＝×+1，变形为：ab＝2（a+b），∴a+b＝ab，∴＝+＝＝＝，∴为定值，是；综上所述，直线l绕点D旋转时，为定值，该定值是．30．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得：，∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PD⊥x轴，OD＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正。

(专题精选)初中数学二次函数易错题汇编附答案解析

(专题精选)初中数学二次函数易错题汇编附答案解析

（专题精选）初中数学二次函数易错题汇编附答案解析一、选择题1．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求m ＜﹣2，即可求解． 【详解】∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点， ∴△＝4﹣4（﹣m ﹣1）＜0 ∴m ＜﹣2∴函数y ＝的图象在第二、第四象限， 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键．2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1． 所以答案为：D ． 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.4．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．5．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( ) A ．5 B ．52-C ．52D ．－5【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果． 【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=， 即8x =时，函数值等于5， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．6．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．12C ．43D ．45【答案】D 【解析】 【分析】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【详解】解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ， ∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)， ∴OC ＝k ， ∵△ABC 的面积＝12AB•OC ＝12AB•k ，△ABD 的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k ＝14(4﹣k)， 解得：k ＝45．故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．7．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ．考点：二次函数的图像与性质9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞﹣3b ；（3）7a ﹣3b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-2ba=2，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（2）正确；因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+2c ＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 2，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜x 2，故（5）正确．正确的共有3个. 故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．11．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确； ∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >．∴3204a->，∴a83>；∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．12．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（）A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】∵a*b＝ab﹣a+b，∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣x2＝﹣1B正确；∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；∵（x﹣2）*3＝5，∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，解得，x＝3，故选项D错误；故选D ． 【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.13．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y ＜3y B ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C 【解析】 【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可． 【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -， y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --， y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -， ∵-3m -＜m -＜5m -， ∴y 2＜y 1＜y 3． 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．15．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2﹣4ac ＞0②x ＝x 0是方程ax 2+bx +c ＝y 0的解③x 1＜x 0＜x 2④a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．②③【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b 2-4ac ＞0，①正确；②由点M （x 0，y 0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确；③分a ＞0和a ＜0考虑，当a ＞0时得出x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时得出x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M （x 0，y 0）在x 轴下方即可得出y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac ＞0，①正确；②∵图象上有一点M （x 0，y 0），∴a +bx 0+c=y 0，∴x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确；③当a ＞0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0）， ∴y=ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2），∵图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，∴y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确；故选B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．16．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．17．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．18．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质．19．已知二次函数y ＝a （x ﹣h ）2+k 的图象如图所示，直线y ＝ax +hk 的图象经第几象限（ ）A ．一、二、三B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象和性质可得a ＜0，h ＜0，k ＞0，以此判断一次函数的图象所经过的象限即可．【详解】解：由函数图象可知，y ＝a （x ﹣h ）2+k 中的a ＜0，h ＜0，k ＞0，∴直线y ＝ax +hk 中的a ＜0，hk ＜0，∴直线y ＝ax +hk 经过第二、三、四象限，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键．20．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-， 平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭， 即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．。

二次函数易错题汇编及答案

二次函数易错题汇编及答案

二次函数易错题汇编及答案一、选择题1.若二次函数y=x2-2x+2在自变量x满足mwxwm+l时的最小值为6,则m的值为( )A.V15,-<'5,1+<5,1-V12B. —J5,+5 +1C. 1D. —5,1—\ 5【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1,分m>1或m+1<1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6,则可得到关于m的方程，可求得m的值.【详解】*/y=x2 - 2x+2=(x - 1) 2+1,・••抛物线开口向上，对称轴为x=1,当m>1时，可知当自变量x满足m<x<m+1时，y随x的增大而增大，.,.当x=m时，y有最小值，二m2 - 2m+2 = 6,解得m = 1+*.：5 或m = 1 - <5 (舍去)，当m+1<1时，可知当自变量x满足m<x<m+1时，y随x的增大而减小，.,.当x=m+1时，y有最小值，/.(m+1) 2 - 2 (m+1) +2 = 6,解得m=。

5 (舍去)或m=- %：'5 ,综上可知m的值为1+ %区•或-、丐.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，用m表示出其最小值是解题的关键.2.抛物线y = -x2+bx+3的对称轴为直线x = -1.若关于x的一元二次方程—x2+bx+3 - t=0 (t为实数)在-2<x<3的范围内有实数根，则t的取值范围是( )A. - 12<t<3B. - 12<t<4C. - 12<t<4D. - 12<t<3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y=—x2-2x+3,将一元二次方程一x2 + bx+3-t=0的实数根看做是y=—x2-2x+3与函数y=t的交点，再由-2<x<3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：・・・y=—x2+bx+3的对称轴为直线x=-1,, b = -2,.*.y= —X2-2X+3,，一元二次方程一x2 + bx+3-t = 0的实数根可以看做是y=-X2-2X+3与函数y=t的交点，\•当x=-l 时，y=4；当x=3 时，y=-12,二函数y=—x2-2x+3 在-2Vx<3 的范围内一12<yW4,.,.-12<t<4,故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键.3.已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b (aM)的图象为下列图象之一，则a的值为()A. -1B. 1C. -3D. -4【答案】A【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0,其顶点坐标为(0, a2),与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0,根据顶点坐标有a2=3,由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a,所以a=-4,它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1, 0)代入解析式得到a-b+a2+b=0,解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2, 0) 和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值.【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax2+a2,其顶点坐标为(0,a2),而a2>0,所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax2+a2, a2=3,而当y=0时，x2=-a,所以-a=4, a=-4,所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=-1, y=0,则a-b+a2+b=0,所以a=-1；若二次函数的图形为第四个，令x=0, y=0,则a2+b=0①；令x=-2, y=0,则4a-2b+a2+b=0②，由①②得a=-2,这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a/0)的图象与系数的关系：a>0,开口向上；a<0,开口. ... ......................................... b 一，，，一、，b 4ac - b2, ........ ... ................. 向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为（-，--------- ）；也考查了点在抛物线2a 2a 4a上则点的坐标满足抛物线的解析式.4.已知二次函数y=ax2+bx+c （。

二次函数易错题汇编附解析

二次函数易错题汇编附解析

二次函数易错题汇编附解析一、选择题1．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ） A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移10个单位长度 D ．向右平移10个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离． 【详解】解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4， ∵4－（－6）＝10，∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-2ba=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-<⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点； ②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<； ③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-<⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1 当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0 则说法①正确此二次函数的对称轴为1212124ax a a-=-=-+ 0a <Q 1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12bx a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断． 【详解】解：Q 抛物线开口向上，0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误； Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =，即12ba-=， 20a b ∴+=，所以③正确； Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误． 综上所述：③正确；①②④错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．5．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可． 【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ，①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确； ②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确； ③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确； ⑤c−a=1−a ＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．7．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ，设新数与原数的差为y则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 故答案选：D ． 【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．8．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2ba->0， 又∵a>0， ∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．9．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ V 的面积为()2cmS ，则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论． 【详解】解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+， 可解得8AB =，6BC =，即6AD =，①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，S △APQ =211222AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确； ②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，S △APQ =118422AP AB t t =⨯=g ， 图像是一条线段，故选项D 不正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．10．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决． 【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0）， ∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点， ∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0， 故选：D ． 【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】 由图象可得， a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确， 当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0， 由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确，∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m ＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m ﹣1）＜0∴m ＜﹣2∴函数y ＝的图象在第二、第四象限，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键．13．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意. 综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D.【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.14．抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示： x… –2 –1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法错误的是A ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2，0)B ．抛物线与y 轴的交点坐标为(0，6)C ．抛物线的对称轴是直线x=0D ．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当x=-2时，y=0，∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），故A 正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6），故B 正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=12，故C 错误； 当x ＜12时，y 随x 的增大而增大， ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D 正确；故选C ．15．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．17．下列函数（1）y=x（2）y=2x﹣1 （3）y=1x（4）y=2﹣3x（5）y=x2﹣1中，是一次函数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y =x 是一次函数，符合题意；（2）y =2x ﹣1是一次函数，符合题意；（3）y =1x是反比例函数，不符合题意； （4）y =2﹣3x 是一次函数，符合题意；（5）y =x 2﹣1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B ．【点睛】 此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．18．在函数2y x=，3y x =+，2y x =的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】 y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x 2图象不是中心对称图形；只有函数2y x=符合条件． 故选：B ．【点睛】 本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --，当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-， 平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭， 即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2＝−a，∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。

二次函数易错必考题简答题专训(含解析)

二次函数易错必考题简答题专训(含解析)

二次函数易错必考题简答题专训一．解答题（共50小题）1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣1，2）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）为顶点的矩形ABCD 的边与图象G有且只有三个公共点时，直接写出n的取值范围．2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n与x轴，y轴分别交于点B，点C，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣2，0），连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，且点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P到直线BC的距离；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y ＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．5．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；（3）当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．6．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝a（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，a）和点B（﹣1，﹣a）．（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．7．如图，对称轴为x＝1的抛物线经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△P AO＝2S△PCO，求出P点的坐标；（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B点的坐标为（2，0），动点M以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒．（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若△P AM≌△PDM，求点P的坐标；（3）当点M在CB上运动时，如图（2）过点M作ME⊥AD，MF⊥x轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB 的面积为2d，求点P的坐标．10．已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，抛物线G总与x轴有两个交点；（2）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．11．生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x （吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲＝﹣x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙＝﹣x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？12．在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”．已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．（1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法；（2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标；（3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A （x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．13．对于给定函数y＝a1x2+b1x+c1（其中a1、b1、c1为常数，且a1≠0），则称函数y＝（a1＝a2，b1+b2＝0，c1+c2＝0）为函数y＝a1x2+b1x+c1（其中a1，b1，c1为常数，且a1≠0）的“相关函数”，此“相关函数”的图象记为G．（1）已知函数y＝﹣x2+4x+2．①直接写出这个函数的“相关函数”；②若点P（a，1）在“相关函数”的图象上，求a的值；③若直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，直接写出m的取值范围；（2）设函数y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的相关函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出n的取值范围．14．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送花，感恩母亲，祝福母亲．今年节日前夕，某花店采购了一批康乃馨，经分析上一年的销售情况，发现这种康乃馨每天的销售量y（支）是销售单价x（元）的一次函数，已知销售单价为7元/支时，销售量为16支；销售单价为8元/支时，销售量为14支．（1）求这种康乃馨每天的销售量y（支）关于销售单价x（元/支）的一次函数解析式；（2）若按去年方式销售，已知今年这种康乃馨的进价是每支5元，商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为多少元？（3）在（2）的条件下，当销售单价x为何值时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大？并求出获得的最大利润．15．周师傅家的猕猴桃成熟上市后，她记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系为y＝﹣x+16，日销售量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：时间第x天135710日销量p（千克）320360400440500（1）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）在这10天中，哪一天销售额达到最大？最大销售额是多少元？（3）周师傅决定每销售1千克桃就捐款a（a＞1）元，且希望每天的销售额不低于1500元以维持各项开支，求a的最大值．16．已知：抛物线y＝x2﹣2x+m与y轴交于点C（0，﹣2），点D和点C关于抛物线对称轴对称．（1）求此抛物线的解析式和点D的坐标；（2）如果点M是抛物线的对称轴与x轴的交点，求MCD的周长．17．某公司生产的一种商品其售价是成本的 1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数：当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？（2）求出年利润与年推广费x的函数关系式；（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？18．某玩具厂安排30人生产甲、乙两种玩具，已知每人每天生产20件甲种玩具或12件乙种玩具，甲种玩具每件利润18元，当参与生产乙种玩具的工人为10人时，乙种玩具每件利润为40元，在10人的基础上每增加1人，每件乙种玩具的利润下降1元，设每天安排x人生产甲种玩具，且不少于10人生产乙种玩具．（1）请根据以上信息完善下表：玩具工人数（人）每天产量（件）每件利润（元）甲x18乙（2）请求出销售甲乙两种玩具每天的总利润y（元）关于x（人）的表达式；（3）请你设计合理的工人分配方案，使得每天销售甲乙两种玩具的利润最大化，并求出这个最大利润．19．已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；（3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF 不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．20．某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？21．平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点A（2，0）和点，直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．求该二次函数的表达式．22．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．24．如图，将抛物线y＝﹣x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x 轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝﹣x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．25．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠P AB＝∠ACB，求点P的坐标．28．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A （﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．29．如图，若m是正数，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A；直线a：y＝x+m与y轴交于点B；抛物线L：y＝x2+mx的顶点为C，且L与x轴左交点为D．（1）若AB＝12，求m的值，此时在抛物线的对称轴上存在一点P使得△OBP的周长最小，求点P坐标；（2）当点C在直线l上方时，求点C与直线l距离的最大值；（3）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出m＝2020和m＝2020.5时“美点”的个数．30．如图1，抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；（3）若a＝，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．（1）如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y＝x﹣1的距离为多少？（2）如图2，点P是反比例函数y＝在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d0，问是否存在点P，使d0＝？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m 的解析式．32．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．33．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．求△PBC面积最大值和此时m的值；（3）Q是抛物线上一点，若∠ABC＝∠CBQ，直线BQ与y轴的交点M，请直接写出M 的坐标．35．利用函数图象探究方程x（|x|﹣2）＝的实数根的个数．（1）设函数y＝x（|x|﹣2），则这个函数的图象与直线y＝的交点的横坐标就是方程x （|x|﹣2）＝的实数根．（2）分类讨论：当x≤0时，y＝﹣x2﹣2x；当x＞0时，y＝；（3）在给定的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图象．（4）在给定的坐标系中画直线y＝、观察图象可知方程x（|x|﹣2）＝的实数根有个．（5）深入探究：若关于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是．36．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．37．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+ax+a（a≠0）交x轴于点A和点B（点A在点B左边），交y轴于点C，连接AC，tan∠CAO＝3．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，D是第一象限的抛物线上一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90°，得到线段DE（点B与点E为对应点），点E恰好落在y轴上，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作x轴的垂线，垂足为H，点F在第二象限的抛物线上，连接DF交y轴于点G，连接GH，sin∠DGH＝，以DF为边作正方形DFMN，P为FM上一点，连接PN，将△MPN沿PN翻折得到△TPN（点M与点T为对应点），连接DT并延长与NP的延长线交于点K，连接FK，若FK＝，求cos∠KDN的值．38．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；（2）求M，N两点的坐标；（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△P AM的面积最大？若存在，求出△P AM的面积的最大值；若不存在，说明理由．39．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣+2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线在第一象限内的图象上，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AC于点E，连接PC，设点P的横坐标为m．①当△PCE是等腰三角形时，求m的值；②过点C作直线PD的垂线，垂足为F．点F关于直线PC的对称点为F′，当点F′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．41．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）若该二次函数的图象开口向下，对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2≥3时，均有y1≥y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．42．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．①试用含m的代数式表示线段PN的长；②求线段PN的最大值．43．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．44．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0，a≠c）与x轴交于点A（1，0），顶点为B．（Ⅰ）a＝1时，c＝3时，求抛物线的顶点B的坐标；（Ⅱ）求抛物线y1＝ax2+bx+c与x轴的另一个公共点的坐标（用含a，c的式子表示）；（Ⅲ）若直线y2＝2x+m经过点B且与抛物线y1＝ax2+bx+c交于另一点C（，b+8），求当x≥1时，y1的取值范围．45．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，求△BCD的面积；（2）如图2，P是抛物线BD段上一动点，连接CP并延长交x轴于E，连接BD交PC 于F，当△CDF的面积与△BEF的面积相等时，求点E和点P的坐标．46．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C．（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；（2）连接OA，求∠OAB的正弦值；（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．48．如图：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点P（m，n）是线段AB上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标．49．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OB ＝OC，点D（2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，km+1），m为任意实数，当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D到直线l的距离相等，求k的值；（3）M为抛物线在第一象限内一动点，若∠AMB＞45°，求点M的横坐标x M的取值范围．50．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二次函数简答题的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣1，2）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若Q（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）为顶点的矩形ABCD 的边与图象G有且只有三个公共点时，直接写出n的取值范围．【专题】535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用；69：应用意识．【分析】（1）先求出图象G1和G2的解析式，分点P分别在图象G1和G2上两种情况讨论，可求n的值；（2）①先求出图象G1和G2的解析式，分点P分别在图象G1和G2上两种情况讨论，可求t的值；②结合图象1，可求k的取值范围；（3）结合图象，分类讨论可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，∴顶点坐标为（2，n﹣4），∵将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），∴图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，若点P（﹣1，2）在图象G1上，∴2＝9+n﹣4，∴n＝﹣3；若点P（﹣1，2）在图象G2上，∴2＝﹣1+4﹣n，∴n＝1；综上所述：点P（﹣1，2）在图象G上，n的值为﹣3或1；（2）①当n＝﹣1时，则图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣5，图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+5，若点Q（t，1）在图象G1上，∴1＝（t﹣2）2﹣5，∴t＝2±，若点Q（t，1）在图象G2上，∴1＝﹣（t+2）2+5，∴t1＝﹣4，t2＝0②如图1，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣2时，y＝5，对于图象G1，在y轴右侧，当y＝5时，则5＝（x﹣2）2﹣5，∴x＝2+＞3，对于图象G2，在y轴左侧，当y＝﹣5时，则﹣5＝﹣（x+2）2+5，∴x＝﹣2﹣，∵当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为5，最小值为﹣5，∴﹣2﹣≤k≤﹣2；（3）如图2，∵图象G2的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，图象G1的解析式为：y＝（x﹣2）2+n﹣4，∴图象G2的顶点坐标为（﹣2，﹣n+4），与y轴交点为（0，﹣n），图象G1的顶点坐标为（2，n﹣4），与y轴交点为（0，n），当n≤﹣1时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD最多1交点，当﹣1＜n＜0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有3交点，当n＝0时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当0＜n≤1时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有1交点，当1＜n＜3时，图象G1与矩形ABCD有1个交点，图象G2与矩形ABCD有2交点，共三个交点，当3≤n＜7时，图象G1与矩形ABCD有2个交点，当3≤n＜5时，图象G2与矩形ABCD 有2个交点，n＝5时，图象G2与矩形ABCD有1个交点，n＞5时，没有交点，∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，∴n＝5，当n≥7时，图象G1与矩形ABCD最多1个交点，图象G2与矩形ABCD没有交点，综上所述：当n＝0，n＝5，1＜n＜3时，矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．【专题】16：压轴题；65：数据分析观念．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4，即可求解；（2）则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，即可求解；（3）设出点D、G、H的坐标，求出：DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3，即可求解；【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4，故a+4＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y＝2x+6；同理可得：直线AC的表达式为：y＝x+3；（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；。

初中数学《二次函数》重难点题型汇编含解析

初中数学《二次函数》重难点题型汇编含解析

二次函数重难点题型汇编【题型01：二次函数的概念】【题型02：二次函数的条件】【题型03：列处二次函数关系式】【题型04：特殊二次函数的图像和性质】【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】【题型09：二次函数的平移变换】【题型10：二次函数的交点个数问题】【题型01：二次函数的概念】1下列函数是关于x的二次函数的是()A.y=x2+1x2B.y=x1-xC.y=x+12-x2 D.y=ax2+bx+c【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．【详解】解：A、y=x2+1x2的分母含有自变量，不是y关于x的二次函数，故A不符合题意；B、y=x1-x=-x2+x，是y关于x的二次函数，故B符合题意；C、y=x+12-x2=2x+1，不是y关于x的二次函数，故C不符合题意；D、y=ax2+bx+c，当a=0时不是二次函数，故D不符合题意；故选：B．2下列各式中，是二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=2x2-1x【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．【详解】解：A、y=2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；B、y=-2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；C、y=x2+2，是二次函数，故本选项符合题意；D、y=2x2-1x，右边中-1x不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意．故选：C．3下列函数解析式中，y是x的二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=-5x+1C.y=-23x2+x-34D.y=2x2-1x【答案】C【分析】根据：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，不符合题意；B、y=-5x+1，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；C、y=-23x2+x-34，是二次函数，符合题意；D、y=2x2-1x，不是二次函数，不符合题意；故选C．4如图，分别在正方形ABCD边AB、AD上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形．已知DF= 3,BE=5．设正方形ABCD的边长为x，阴影部分的面积为y，则y与x满足的函数关系是()A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系【答案】A【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出AE、AF的长度，再结合阴影部分的面积等于以AE、AF的长的正方形的面积之差可得y=4x-16，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．【详解】解：由题意可得：AE=AB-BE=x-5，AF=AD-DF=x-3，则阴影部分的面积为y=x-32-x-52=x2-6x+9-x2+10x-25=4x-16，即：y=4x-16，为一次函数，故选：A．【题型02：二次函数的条件】5抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，那么a的值等于()A.0B.1C.-1D.35【答案】C【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把(0,0)代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键．【详解】解：∵抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，∴a≠0-a-1=0，解得：a=-1，故选C．6已知y=m-1x m2+1-2x+5是二次函数，则m的值为()A.1或-1B.1C.-1D.0【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2即可求解．【详解】解：根据二次函数的定义：m2+1=2，且m-1≠0，解得：m=1或m=-1，又∵m≠1，∴m=-1，故选：C．7已知二次函数y=m-2x m2-2+3x+1，则m=．【答案】-2【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，得到m-2≠0，m2-2=2，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．【详解】解：∵函数y=m-2x m2-2+3x+1是二次函数，∴m-2≠0，m2-2=2，∴m=-2．故答案为：-2．【题型03：列处二次函数关系式】8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为()A.y=91+x2 B.y=9+9x+x2C.y=9+91+x+91+x2 D.y=91+x2【答案】C【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，今年一季度新产品的研发资金y=9+91+x+91+x2，故选：C．9已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是()A.y=6x2-36xB.y=-6x2+36xC.y=x2+36xD.y=6x2+36x【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答．【详解】根据题意有：y=6x+32-6×32=6x2+36x，故选：D．10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件(7.5<x<13.5)时，获取利润y元，则y与x的函数关系为()A.y=x-7.5500+xB.y=13.5-x500+200xC.y=x-7.5500+200xD.以上答案都不对【答案】D【分析】当销售价为x元/件时，每件利润为(x-7.5)元，销售量为[500+200×(13.5-x)]，根据利润=每件利润×销售量列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得w=(x-7.5)×[500+200×(13.5-x)]，故选：D．【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．11正方形边长3，若边长增加x，增加后正方形的面积为y，y与x的函数关系式为．【答案】y=x+32/y=3+x2【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．【详解】解：依题意，y=x+32，故答案为：y=x+32．【题型04：特殊二次函数的图像和性质】12已知函数y=-(x-2)2的图象上有A-32,y1，B3,y2，C4,y3三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y 1<y 2<y 3B.y 2<y 1<y 3C.y 1<y 3<y 2D.y 2<y 3<y 1【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．【详解】解：∵函数y =-(x -2)2，∴图象开口向下，对称轴为直线x =2，∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，2--32=72，3-2 =1，4-2 =2，∵1<2<72，∴y 1<y 3<y 2，故选：C ．13对于二次函数y =2x -1 2+3，下列说法正确的是()A.开口方向向下B.顶点坐标(1，-3)C.对称轴是y 轴D.当x =1时，y 有最小值【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质：根据抛物线的性质，由a =2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3，再进行判断即可．【详解】解：二次函数y =2(x -1)2+3的图象开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3．故选项D 正确，故选：D14下列抛物线中，对称轴为直线x =12的是()A.y =x -122B.y =12x 2C.y =x 2+12D.y =x +122-3【答案】A【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式：x =-b2a．利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴，然后即可确定选项．【详解】解：A 、y =x -122的对称轴为直线x =12，故选项符合题意．B 、y =12x 2的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．C 、y =x 2+12的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．D、y=x+122-3的对称轴为直线x=-12，故选项不符合题意．故选：A．15在二次函数y=-x-12+3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是()A.x>-1B.x<-1C.x>1D.x<1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题可知，函数图象开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；在对称轴左侧，y随x 的增大而增大，据此即可得到答案．【详解】解：由二次函数的解析式得，抛物线开口向下，对称轴为x=1，当x>1时，y 随 x 的增大而减小．故选：C ．16抛物线y=-2x+12+2的顶点的坐标是．【答案】(-1,2)【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为h,k，即可求解．【详解】解：抛物线y=-2x+12+2的顶点坐标是(-1,2)，故答案为：(-1,2)．17点A-3,y1，B2,y2均在二次函数y=-x2+2的图象上，则y1y2．(填“>”或“<”)【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为y=-x2+2，∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，∴离对称轴越远函数值越小，∵0--3=3>2-0=2，∴y1<y2，故答案为：<．【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】18如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=-12x2的图象，则阴影部分的面积是()A.4πB.2πC.πD.无法确定【答案】B【分析】据函数y =12x 2与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【详解】解：∵C 1是函数y =-12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，且当x 相等时，两个函数的函数值互为相反数，∴函数y =12x 2的图象与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：12π×22=2π．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．19如图，已知点A 1,A 2,...,A 2024在函数y =2x 2位于第二象限的图像上，点B 1,B 2,...,B 2024在函数y =2x 2位于第一象限的图像上，点C 1,C 2,...,C 2024在y 轴的正半轴上，若四边形O 1A 1C 1B 1,C 1A 2C 2B 2,...,C 2023A 2024C 2024B 2024都是正方形，则正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长为()A.1012B.10122C.20232D.202322【答案】B【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 1与y 轴的夹角为45°，然后表示出OB 1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B 1的坐标，然后求出OB 1的长，再根据正方形的性质求出OC 1，表示出C 1B 2的解析式，与抛物线联立求出B 2的坐标，然后求出C 1B 2的长，再求出C 1C 2的长，然后表示出C 2B 3的解析式，与抛物线联立求出B 3的坐标，然后求出C 2B 3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．【详解】解：∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OB 1与y 轴的夹角为45°，∴OB 1的解析式为y =x ，联立方程组得：y =xy =2x 2 ，解得x 1=0y 1=0 ，x 2=12y 2=12．∴B 点的坐标是：12，12，∴OB 1=122+122=22=1×22；同理可得：正方形C 1A 2C 2B 2的边长C 1B 2=2×22；⋯依此类推，正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长是为2024×22=10122．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．20如图，正方形OABC 有三个顶点在抛物线y =14x 2上，点O 是原点，顶点B 在y 轴上则顶点A 的坐标是()A.2,2B.2,2C.4,4D.22,22【答案】C【分析】连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，根据正方形的性质可得OD =12m ,AD =12m ，从而得到A 12m ,12m，再代入y =14x 2，即可求解．【详解】解：如图，连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，∵四边形OABC 是正方形，∴OD =12OB ,CD =AD ,AC ⊥y 轴，∴OD =12m ,AD =12m ，∴A 12m ,12m，∵A 在抛物线y =14x 2上，∴12m =14×12m 2，解得m =0(舍去)或8，∴点A 的坐标为4,4 ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．21如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．若抛物线y =ax 2的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是．【答案】116≤α≤4【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a 的值即可解决问题．【详解】解：∵正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．∴D 4，1 ，当抛物线经过点B 1,4 时，则a =4，当抛物线经过D4,1时，a=1 16，观察图象可知，抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是116≤α≤4，故答案为：116≤α≤4．【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】22将抛物线y=x2-4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为()A.y=x2+4x-3B.y=-x2+4x+3C.y=-x2-4x-3D.y=-x2+4x-3【答案】C【分析】本题考查了二次函数的旋转变换，熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题的关键．设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，则P 是在旋转后的抛物线上，然后代入化简即可解答．【详解】解：设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，由题意可知：P -x,-y是在抛物线y=x2-4x+3上，即：-y=x2+4x+3，化简得：y=-x2-4x-3．故选C．23直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；故选：D．24已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x⋯-4-2035⋯y ⋯-24-80-3-15⋯则下列关于这个二次函数的结论正确的是()A.图象的开口向上B.当x >0时，y 的值随x 的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x =1【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得4a -2b +c =-8c =09a +3b +c =-3 ，解得a =-1c =0b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x =-x -1 2+1，∵a =-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 不符合题意；图象的对称轴是直线x =1，故选项D 符合题意；当0<x <1时，y 的值随x 的值增大而增大，当x >1时，y 的值随x 的值增大而减小，故选项B 不符合题意；∵顶点坐标为1,1 且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C 不符合题意；故选：D ．25如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P ，Q 都在x 轴上，平行于x 轴的直线与两条抛物线相交于A ，B ，C ，D 四点，若AB =10，BC =5，CD =6，则PQ 的长度为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，得四边形PMNQ 是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【详解】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，∴四边形PMNQ 是矩形，∴MN =PQ ，∵AB=10，BC=5，CD=6，∴MA=MC=12AC=12AB+BC=152，BN=ND=12BD=12CD+BC=112，∴MN=AD-AM-ND=AB+BC+CD-AM-ND，=21-112-152=8，∴PQ=8，故选B．26二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是()A.只有一个实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，首先根据二次函数的图象得到a<0，b>0，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，∴a<0，-b2a>0∴b>0∴方程x2-bx+a=0的判别式Δ=b2-4ac=-b2-4×1×a=b2-4a>0∴关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是有两个不相等的实数根．故选：C．27抛物线y=x2+14x+54的顶点坐标是()A.7,5B.7,-5C.-7,5D.-7,-5【答案】C【分析】依据题意，由抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，从而可以判断得解．本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．【详解】解：由题意，∵抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，∴顶点为-7,5．故选：C．28用配方法将二次函数y=-x2-2x-3化为y=a x-h2+k的形式为()A.y=-x-12-2 D.y=x-12+22-4 C.y=-x+12+3 B.y=x+1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．运用配方法即可将其化为顶点式．【详解】解：y=-x2-2x-3=-x2+2x+1-2=-x+12-2故选：C．29如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为-1,0，则点Q的坐标为()A.0,-1D.3,0C.4,0B.2,0【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求解．【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，∴点Q的坐标为3,0，故选：D．【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】30已知抛物线y=-x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，求此时t的值为()A.1或-2B.2或-2C.3或-1D.-1或-2【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵y=-x2+2x+1=-x-12+2，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，∵t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，分两种情况：①当t-1≤t+2-1时，即：t≥0时，当x=t+2时，y=-t+22+2t+2+1=-7，解得：t=-4(舍去)或t=2；②当t-1>t+2-1时，即：t<0时，当x=t时，y=-t2+2t+1=-7，解得：t=4(舍去)或t=-2；综上：t的值为2或-2；故选B．31已知二次函数y=x2-2x-1≤x≤t-1，当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是()A.0<t≤2B.0<t≤4C.2≤t≤4D.t≥2【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由y=x2-2x=x-12-1，可知图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y =3，即-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，由当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，可得1≤t-1≤3，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵y=x2-2x=x-12-1，∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y=3，∴-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，∵当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故选：C．32已知抛物线y=x2+(2a-1)x-3，当-1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为()A.-12B.-13C.-12或-13D.-1或-13【答案】D【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：∵y=x2+(2a-1)x-3，∴图象开口向上，对称轴为直线x=-2a-12，∵-1≤x≤3，∴当-2a-12≤1时，即a≥-12，x=3时有最大值1，∴9+(2a-1)×3-3=1，∴a=-13，当-2a-12≥1时，即a≤-12，x=-1时有最大值1，∴1+(2a-1)×(-1)-3=1，∴a=-1，∴a=-1或-13，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．33已知二次函数y=x-m2-1(m为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最小值为3，则m的值为()A.0或3B.0或7C.3或4D.4或7【答案】B【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．【详解】解：∵y=x-m2-1，∴当x=m时，y的最小值为-1．当m<2时，在2≤x≤5中，y随x的增大而增大，∴2-m2-1=3，解得：m1=0，m2=4(舍去)；当2≤m≤5时，y的最小值为-1，舍去；当m>5时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小，∴5-m2-1=3，解得：m1=3(舍去)，m2=7．∴m的值为0或7．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．34已知二次函数y=mx2-2mx+2(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-2，则m=()A.-4或-12B.4或-12C.-4或12D.4或12【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线x=1，进而分m>0和m<0两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2-2mx+2(m≠0)，∴二次函数对称轴为直线x=-2m-2m=1，当m>0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=1时，y=m-2m+2=-2，∴m=4；当m<0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=-2时，y=4m+4m+2=-2，∴m=-12；综上所述，m=4或m=-1 2，故选：B．35已知二次函数y=-x2-2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是()A.m≥-1B.m≤2C.-3≤m≤-1D.0≤m≤2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=-x2-2x+2=-x+12+3，可得当x=-1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故m≤-1≤m+2，进而计算可以得解．【详解】解：由题意，∵y=-x2-2x+2=-x+12+3，∴当x=-1时，y取最大值是3．又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，∴m≤-1≤m+2．∴-3≤m≤-1．故选：C．【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】36已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象如图所示，对称轴为x=32，且经过点-1,0，下列结论：①ab<0；②8b-3c=0；③若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．由对称轴为x =32即可判断①，由抛物线经过点-1,0 ，得出a -b +c =0，对称轴x =-b 2a =32，得出a =-13b ，代入即可判断②；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断③．【详解】解：∵对称轴x =-b 2a =32，∴b =-3a ，∴ab =-3a 2<0，①正确；∵经过点-1,0 ，∴a -b +c =0，∵对称轴x =-b 2a =32，∴a =-13b ，∴-13b -b +c =0，∴3c =4b ，∴4b -3c =0，故②错误；∵对称轴x =32，∴点0,c 的对称点为3,c ，∵开口向上，∴y ≤c 时，0≤x ≤3．故③正确；综上所述，正确的有2个．故选：C ．37二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，下列结论错误的是()A.y有最小值B.当-1<x<2时，y<0C.a+b+c>0D.当x<-1时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了抛物线的图像及其性质，根据性质，结合图像判断解答即可.【详解】解：A、由图像可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线可知当-1<x<2时，y<0，故正确；C、当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故错误；D、由图像可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确.故选：C.38二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为-1,0，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③a+c2-b2<0；④a+b≤m am+b(m为实数)．其中结论正确的为()A.①④B.②③④C.①②④D.①②③④【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与y轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到b=-2a，再结合当x=-1时，y= 0，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，∴a>0，a、b异号，c<0，∴b<0，∴abc>0，①结论正确；∵抛物线对称轴是直线x=1，=1，∴-b2a∴b=-2a，由图象可知，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=a--2a+c=3a+c=0，②结论错误；由图象可知，当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，又∵a-b+c=0，∴a+ca+c-b=0，③结论错误；2-b2=a+c+b∵当x=1时，y=a+b+c为最小值，∴a+b+c≤am2+bm+c，∴a+b≤m am+b，④结论正确，故选：A．39已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.abc>0B.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-2，x2=3C.a+b=c-bD.a+4b=3c【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，c>0，∵对称轴为x=-b=1，2a∴b>0，∴abc <0，故A 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为-1,0 ，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-1，x 2=3；故B 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，-1,0 ，对称轴为直线x =1，∴b =-2aa -b +c =09a +3b +c =0，解得：b =-2ac =-3a ，∴∵a +b =a -2a =-a ，c -b =-3a --2a =-a ∴a +b =c -b ，故C 符合题意；∴a +4b =a +-8a =-7a ≠-9a ；∴a +4b =3c 错误，故D 不符合题意；故选：C ．40如图，二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的图象与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线x =1，下列四个结论：①bc <0；②3a +2c <0；③ax 2+bx ≥a +b ；④若-2<c <-1，则-83<a +b +c <-43，其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c =-3a ，进一步得到13<a <23，又根据b =-2a 得到a +b +c =a -2a -3a =-4a ，即可判断④.【详解】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a >0；∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴b <0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴-b2a=1，∵b=-2a，∴x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵-2<c<-1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=-1×3=-3=c a，∴c=-3a，∴-2<-3a<-1，∴1 3<a<23，∵b=-2a，∴a+b+c=a-2a-3a=-4a，∴-83<a+b+c<-43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C【题型09：二次函数的平移变换】41将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为()A.y=2(x+3)2-4B.y=2(x+3)2-2C.y=2(x-1)2-2D.y=2x-1【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：y=2 (x+1-2)2-3+1，即y=2(x-1)2-2．故选：C．42将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为()A.y=-3(x-1)2-3B.y=-3(x-1)2-1C.y=-3(x+1)2-3D.y=-3(x+1)2-1【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位所得直线解析式为：y=-3(x+1)2+2；再向下平移3个单位为：y=-3(x+1)2+2-3，即y=-3(x+1)2-1．故选：D．【题型10：二次函数交点的个数问题】43如图所示，已知函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点，则b的取值范围是()A.-14≤b≤2 B.b>-14C.-14≤b<2 D.-14<b<2【答案】D【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，首先根据题意画出图象，然后求出A2,4，代入y2=x+b求出b=2；然后得到当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，得到x2-x-b=0的Δ=b2-4ac=0，进而求出b=-14，然后根据图象求解即可．【详解】解：如图所示，当x=2时，函数y=x2=22=4，∴A2,4，当一次函数y2=x+b的图象经过点A时，∴4=2+b，解得b=2；当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，∴x2=x+b，即x2-x-b=0，∴Δ=b2-4ac=0，∴-12-4×1×-b=0，解得b=-1 4，∴由图象可得，当-14<b<2时，函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点．故选：D．44如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A.14<m<-3 B.254<m≤1 C.-2<m<1 D.-3<m<-2【答案】D【分析】如图所示，过点B作直线y=x+m，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解【详解】解：在y=-x2+x+2中，当y=0，0=-x2+x+2，解得x1=-1，x2=2，A-1,0，B2,0，当x=0时，y=2，∴原抛物线与y轴交点坐标为0,2，∴翻折后与y轴的交点坐标为0,-2，如图，当直线y=x+m经过点B时，直线y=x+m与新图有3个交点，把B2,0代入y=x+m中，得m=-2，∵抛物线y=-x2+x+2翻折到x轴下方的部分的解析式为：-y=-x2+x+2，∴翻折后的部分解析式为：y=x2-x-2-1<x<2，当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-2-1<x<2只有一个交点C时，直线y=x+m与图象有3个交点，把y=x+m代入y=x2-x-2-1<x<2中，得到方程x+m=x2-x-2有两个相等的实数根，整理得x2-2x-2-m=0，∴Δ=-22-4×1×-2-m=0，解得m=-3，∴当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是-3<m<-2．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键．45抛物线y=-x2+kx+k-54与x轴的一个交点为A(m,0)，若-2≤m≤1，则实数k的取值范围是()A.-214≤k≤1 B.k≤-214或k≥1 C.-5≤k≤98D.k≤-5或k≥98【答案】B【分析】根据抛物线有交点，则-x2+kx+k-54=0有实数根，得出k≤-5或k≥1，分类讨论，分别求得当x=-2和x=1时k的范围，即可求解．。

易错压轴01 二次函数(十大易错压轴题型+举一反三+易错题通关)(解析版)

易错压轴01 二次函数(十大易错压轴题型+举一反三+易错题通关)(解析版)

易错压轴01二次函数易错压轴一：二次函数的图象与性质例1．已知二次函数2(1)5y x =--+，当a x b ≤≤且0ab <时，y 的最小值为2a ，最大值为2b ，则a b +的值为（）A ．2B ．12C ．3D ．32【答案】B【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，由题意可得0a <，0b >，则y 的最小值为2a 为负数，最大值为2b 为正数．最大值为2b 分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出 2.5b =，结合图象最小值只能由x a =时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x b =求出，最小值只能由x a =求出．【详解】解：二次函数2(1)5y x =--+的大致图象如下：①当01a x b <≤≤<时，当x a =时，y 取最小值，即2215()a a =--+，例2．已知Rt ABC △的直角顶点C 与原点O 重合，点A ，B 都落在抛物线24y x =上，则AB 与y 轴的交点为；若OD AB ⊥于点D ，则点D 到点()1,0的最大距离为．则24AM m =，MO m =-，BN =90MAO MOA ∠+∠=︒ ，MOA ∠MAO BON ∴∠=∠，AMO ONB ∴∽ ，AM ON MO NB ∴=，即：2244m n m n=-，1OD AB ⊥ ，14OE =，F 为OE 中点，在Rt DOE △中，1128DF OE ==，练习1．定义：把二次函数()2y a x m n =++与()2y a x m n =---（0a ≠，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数212y x bx =+-与2214y x cx c =--+（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（）A ．2c =-；B ．14b c =；C ．当x t =时，12y y t +=-；D ．不论x 取何值，120y y +=练习2．若关于x 的方程2230x kx k -+-=的一个实数根13x ≥，另一个实数根20x ≤，则关于x 的二次函数223y x kx k =-+-图象的顶点到x 轴距离h 的取值范围是．练习3．已知二次函数()(2y ax a b x b a =-++、b 是常数，0).a ≠(1)若(4)(0),M m m ->在该二次函数的图象上，当0a <时，试判断代数式a b +的正负性；(2)已知对于任意的常数a 、(0)b a ≠，二次函数的图象始终过定点P ，求证：一次函数()()2331y k x k x =++≥图象上所有的点都高于点.P 【答案】(1)a b +为正(2)见解析【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关1．已知二次函数()240y ax ax c a =++>图象上的两点()15,y -和()22,x y ，若12y y >，则2x 的取值范围是（）A ．25x >-B ．22x <-C ．251x -<<D ．252x -<<-2．已知抛物线2y ax bx =+，当3y ≥-时，自变量x 的取值范围是2x m ≤-或2(0)x m m ≥+>，若点(),9P n 在对称轴左侧的抛物线上，则n 的取值范围是．3．已知二次函数223y x x =+-．(1)将223y x x =+-写成()2y a x h k =-+的形式，并写出它的顶点坐标；(2)当40x -<<时，直接写出函数值y 的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线y n =有两个交点A ，B ，若6AB >，直接写出n 的取值范围．【答案】(1)()214y x =+-，顶点坐标为()1,4--(2)45y -≤<(3)5n >【分析】（1）利用完全平方公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标；易错压轴二：二次函数的图象与系数的关系例1．对于二次函数2y ax bx c =++，定义函数()()2200ax bx c x y ax bx c x ⎧++≥⎪=⎨---<⎪⎩是它的相关函数．若一次函数1y x =+与二次函数24y x x c =-+的相关函数的图象恰好两个公共点，则c 的值可能是（）A．1-B．0C．1D．22例2．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线=1x -，且过点(1,0)，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③80a c +>；④直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x ，，则12125x x x x ++=-．其中结论正确的是．练习1．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于(2,0)-，()1,0x ，其中101x <<．有下列五个结论：①0abc >；②0a b c -+>；③20a c +>；④()(2)0a b a b -->；⑤若m ，()n m n <为关于x 的一元二次方程()1(2)10a x x x +-+=的两个根，则21m n -<+<-．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象与各项系数的符号，根据二次函数图象判断式子的符号，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象与性质是解题的关键，注意数形结合．根据抛物线开口方向、对称轴的位置及抛物线与y 轴交点位置，可确定a 、b 、c 的符号，练习2．如图，二次函数²y ax bx c =++的图像与x 轴交于点(30)，，对称轴为直线1x =，下列结论∶①<0abc ；②420a b c -+>；③30a c +=；④抛物线上有两点11(,)M x y 和22(,)N x y ，若121x x <<，且122x x +>，则12y y >，其中正确的是．(只填写序号)【答案】①③④【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像判断式子的符号，数形结合是本题最大特点．由图像的开口方向、对称轴及图像与y 轴的交点位置可分别确定a 、b 、c 的符号，从而可判定①；由抛物线的对称性可确定当1x <-时，图像位于x 轴下方，从而当2x =-时练习3．已知二次函数()2210y ax ax a =-+≠，图象经过点()1,m -，()1,n ，()3,p ．(1)当2m =-时．①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而增大；(2)若在m ，n ，p 这三个实数中，只有一个是正数，求证：13a ≤-．【答案】(1)①221y x x =-++；②1x <.(2)见解析.【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.（1）①利用待定系数法即可解决问题；②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题；（2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．【详解】（1）①当2m =-时，将点()1,2--代入函数解析式得，1．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的一个交点为()4,0，其对称轴为直线1x =，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①0abc <；②240b ac -<；③930a b c ++=；④80a c +=；⑤若关于x 的方程21ax bx c ++=-有两个实数根12,x x ，且满足12x x <，则12x <-，24x >．其中正确结论的个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线1x =，下列论中∶①0a b c -+=；②若点()()()1233,,2,,4,y y y -均在该二次函数图象上，则123y y y <<；③若m 为任意实数，则24am bm c a ++≤-；④方程210ax bx c +++=的两实数根为12,x x ，且12x x <，则121,3x x <->．正确结论的序号为．∴与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，2(0)y ax bx c a =++<的图象向上平移一个单位长度，即为21y ax bx c =+++的图象，∴21y ax bx c =+++的图象与x 轴的两个交点一个在(1,0)-的左侧，另一个在(3,0)的右侧，∴若方程210ax bx c +++=的两实数根为12,x x ，且12x x <，则121,3x x <->，故④正确；综上可知，正确的有①③④，故答案为：①③④3．在平面直角坐标系中，设二次函数22y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．(1)若2a =时，图象经过点()11，，求二次函数的表达式．(2)写出一组a ，b 的值，使函数22y ax bx =++的图象与x 轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．(3)已知，二次函数22y ax bx =++的图象和直线4y ax b =+都经过点()2m ，，求证：2212a b +≥．易错压轴三：根据二次函数的对称性求函数值例1．如图，抛物线21y a x =与抛物线22y a x bx =+相交于点()1,P m -，过点P 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M ，N ，若点M 是PN 的中点，则12a a 的值是（）A ．12B ．2C ．13D ．3将()1,P m -，代入1y a x =则12a a b =-，∴()1222a a a =--，∴123a a =，∴123a a =，故选：D ．例2．已知二次函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)A -和(0,1)C ．（1）若此抛物线的对称轴是直线12x=，点C与点P关于直线12x=对称，则点P的坐标是．（2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t a b c=++，则t的取值范围是．练习1．设二次函数24y kx kx c =-+（k ，c 为实数）的图象过点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 三点，且3212x x x <<<，13x x =，124x x +>，下列结论正确的是（）A ．若0k >，则312y y y =>B ．若0k >，则321y y y >>C ．若0k <，则123y y y >>D ．若0k <，则213y y y >>练习2．已知22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，则当x m n =+时，多项式的值为.【答案】2【分析】本题考查了二次函数的性质，令246y x x =++，可知对称轴为直线2x =-，根据题意，求出2x m n =+=-，即可求解．【详解】解：∵()224622y x x x =++=++，练习3．自变量x 的函数值我们通常记作()f x ，()f n 表示自变量x n =时，函数()f x 的函数值，已知函数()23f x x ax =-+，其中a 为常数．(1)若2a =，求()5f 的值；(2)若存在唯一一个自变量x 的值，使得另一个函数()()g x f x =，()2g x x =+，试求满足条件的a 的值；(3)若存在实数m 且12m -<≤，使得()()223f m f m =-+，试求实数a 的取值范围．1．设函数()y f x =对一切实数不均满足(5)(5)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为（）A ．10B ．12C ．18D ．30【答案】D【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是看出函数的图象关于直线5x =对称，得到函数的零点是成对出现的．根据函数()f x 满足(5)(5)f x f x +=-，可得函数的图象关于5x =对称，从而得到方程()0f x =的6个实数解中有3对，每一对的和为10，由此可得结论．【详解】解：对于任意实数，函数()f x 不均满足(5)(5)f x f x +=-∴函数的图象关于5x =对称，∴函数的零点关于5x =对称，∴方程()0f x =的根关于5x =对称，∴方程()0f x =的6个实数解中有3对，∴成对的两个根之和等于2510⨯=，6∴个实根之和是10330⨯=，故选：D ．2．已知关于直线1x =对称的抛物线2y x bx c =++经过()123,A n y +，()21,B n y -两点，且点A ，B 分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是（填A 或B ），若此时12y y <，则n 的取值范围是．【答案】B 10n -<</01n >>-【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为1x =，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B 在对称轴的左侧；根据12y y <，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解： 抛物线2y x bx c =++关于直线1x =对称，经过()123,A n y +，()21,B n y -两点，且点A ，B 分别位于拋物线对称轴的两侧，若点A 位于对称轴左侧，则23123111n n n n +<-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得412n n n <-⎧⎪<-⎨⎪>⎩，不等式组无解，不符合题意；若点B 位于对称轴左侧，则23123111n n n n +>-⎧⎪+>⎨⎪-<⎩，解得412n n n >-⎧⎪>-⎨⎪<⎩，∴不等式组的解为12n -<<；此时12y y <，()()11231n n ∴-->+-，解得：0n <，∴10n -<<，综上，12y y <时，则n 的取值范围是10n -<<，故答案为：B ，10n -<<．3．设二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的图象为f ．【特例感悟】（1）当2m =，30x -≤≤时，二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的最小值是______、最大值是______；【类比探索】（2）当直线()0y m m =-<与图象f 在第一象限内交A 、B 两点（点A 在点B 的左边），A 点横坐标a ，点B 的横坐标b ，7a b =，求在a x b ≤≤范围内二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的最大值与最小值的差；【纵深拓展】（3）①不论m 为何实数时，图象f 一定会经过一个定点，求出这个定点坐标；②当02x ≤≤时，二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的最大值为9，那么图象f 的对称轴与x 轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离．【答案】（1）51-，-；（2）最大值与最小值的差为9；（3）①定点坐标为()1,4；②当02x ≤≤时，图象f 的对称轴与x 轴的交点横坐标不能大于0小于2．理由见详解，定点()1,4分别到直线=1x -、3x =的距离都是2．【分析】（1）函数的对称轴为直线2x =-，则2415y x x =+-=-，当0x =时，2411y x x =+-=-，即可求解；（2）由28273a m a m=-⎧⎨=-⎩，整理得2716480m m +-=，得到图象f 的对称轴为4x =，进而求解；（3）①222232(1)3y x mx m x m x =+-+=+-+，当1x =时，无论m 为何实数，都有4y =，即可求解；②当02m ≤-≤时，抛物线开口向上，在0x m ≤≤-时，y 随x 的增大而减小，函数在2m x -≤≤时y 随x 的增大而增大，即可求解；当对称轴为2x m =->时，函数在02x ≤≤时y 随x 的增大而减小，同理可解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，确定函数对称轴和分类求解是解题的关键．【详解】解：（1）当2m =，30x -≤≤时，241y x x =+-，函数的对称轴为直线2x =-，则2415y x x =+-=-，当0x =时，2411y x x =+-=-，易错压轴四：二次函数的最值问题例1．已知：()2110422m a a a =--≤≤，()414n b b =≤≤，2m n +=，则下列说法中正确的是（）A ．n 有最大值4，最小值1B ．n 有最大值3，最小值32-C ．n 有最大值3，最小值1D ．n 有最大值3，最小值52例2．已知二次函数()2211y ax b x =--+（a ，b 为常数且0a >），当21x -≤≤-时，y随x 的增大而增大，则ab 的最大值为．练习1．4．已知二次函数()()22y x x m =---，当0x m ≤≤时，则（）A ．若4m >时，函数y 有最小值24m-B ．若4m >时，函数y 有最小值24mC ．若4m <时，函数y 有最小值24m-D ．若4m <时，函数y 有最小值24m【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握根据二次函数的性质求二次函数最值的取值范围是解题的关键．先将二次函数解析式化成顶点式，然后根据各选项m 的取值范围，确定对称轴和m 的练习2．已知抛物线1C ：228=-y x ，把1C 绕点()1,0旋转180︒，得到抛物线2C ，则2C 的解析式为；在1C 和2C 构成的封闭区域内作直线l y 轴，分别交1C 和2C 与点M ，N ，则MN 的最大值为．【答案】288y x x=-+12【分析】先求出抛物线1C 的顶点为(0,8)-，与x 轴交点为(2,0)和(2,0)-，由旋转的性质可得抛物线2C 的顶点为(2,8)，2C 图像上的两点(0,0)和(4,0)，设二次函数的顶点式，代入(0,0)即可求出解析式；设2(,28),M m m -则2(,28)N m m m -+，可得24(1)12MN m =--+，进而可求最值；【详解】解：在228=-y x 中，令0y =得2x =或2x =-，∴抛物线1C 的顶点为(0,8)-，与x 轴交点为(2,0)和(2,0)-，将(0,8)-绕点(1,0)旋转180︒，得到抛物线2C 的顶点为(2,8)；将(2,0)和(2,0)-绕点(1,0)旋转180︒，分别得到2C 图像上的点(0,0)和(4,0)；设抛物线2C 的解析式为2(2)8y a x =-+，把(0,0)代入得：048,a =+，解得2a =-，∴抛物线2C 的解析式为222(2)828y x x x =--+=-+；设2(,28),M m m -则(,2N m m -2228(28)MN m m m ∴=-+--由222828x x x x -+=-可得x ∵在1C 和2C 构成的封闭区域内作直线3131,m ∴-+<<+∴当1m =时，MN 取最大值故答案为：228y x x =-+；练习3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点0,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求此二次函数的解析式；(2)当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；(3)点P 为此函数图象上任意一点，其僙坐标为m ，过点P 作PQ x ∥轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小．①求m 的取值范围；②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎝⎭的图象只有1个交点时m 的取值范围．m 图象只有1个交点，直线13x =关于抛物线对称轴直线4132m ∴-<<-时，PQ 当423m -≤≤-时，PQ 综上所述，423m -≤≤-PQ 与图象有2个交点，1．如图，矩形ABCD 中，42AB AD ==，，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90︒得到点F ，连接CF ，则CEF △面积的最小值是（）A ．4B ．154C ．3D ．114∵矩形ABCD 中，4AB =∴A GEF EHF ∠=∠=∠=∴FEH EBA ∽，EF EG =∴FE FH EHEB EA AB==，2．若点(),1p 在抛物线214y x =上过y 轴上点E 作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB CD ，的中点，EMN 面积的最小值为．3．设二次函数214y ax x c =-+（a ，c 是常数）的图象与x 轴有交点．(1)若图象与x 轴交于A ，B 两点的坐标分别为(10)(30)，，，，求函数1y 的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若图象与x 轴只有一个交点，且过()a c ，，求此时a ，c 的值．(3)已知1a =，若函数1y 的表达式还可以写成()()1y x m x n =--（m ，n 为常数，m n ≠且2mn =），设二次函数()()2y x m x n =---，求12y y -的最小值．【答案】(1)2143y x x =-+；()21-，(2)当2a =时，2c =；当2a =-时，2c =-(3)4-【分析】（1）将(10)(30)，，，代入214y ax x c =-+，可求13a c =⎧⎨=⎩，进而可得2143y x x =-+，化成顶点式可得顶点坐标；（2）令240ax x c -+=，由图象与x 轴只有一个交点，则()2440ac ∆=--=，即4ac =，将()a c ，代入214y ax x c =-+得，34c a a c =-+，可求2a =或2a =-或0a =（舍去），然后求解作答即可；易错压轴五：二次函数的平移问题例1．若抛物线242y x x =-+-向上平移()0m m >个单位后，在14x -<<范围内与x 轴只有一个交点，则m 的取值范围是（）A ．2m ≥B ．02m <≤C ．07m <≤D ．27m ≤<【答案】D 【分析】先根据函数图象平移规则“上加下减求得平移后的函数解析式，根据二次函数的性质，结合函数的图象，进而可列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的表达式为242y x x m =-+-+，∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线2x =，∴要使在14x -<<范围内与x 轴只有一个交点，只需=1x -时对应图象上的点在x 轴下方，4x =时对应函数图象上的点在x 轴上或x 轴上方，如图，∴1420161620m m ---+<⎧⎨-+-+≥⎩，解得27m ≤<，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与x 轴的交点问题，解答的关键是掌握二次函数的性质，以及与方程、不等式的关系．例2．如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y 轴上的二次函数，如图②所示，已知1OC =，6AB =．当潮头以2个单位每秒的速度向x 轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为ABC S ，则经过秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为ABC面积的一半．练习1．已知，二次函数21(,y ax bx a b =+-是常数，且0)a ≠的图象经过()2,1,(4,3)A B ，()4,1C -三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线1y x =-上，则平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标（）A ．有最大值为1B ．有最大值为12-C ．有最小值为1D ．有最小值为12-【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的平移，一次函数的图象和性质，待定系数法的应用；首先判断出抛物线经过点A 、C ，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据题意设出平移后的抛物线解析式，令0x =，得到纵坐标与平移距离之间的函数关系式，进而可得答案．【详解】解：∵()2,1,(4,3)A B 在直线1y x =-上，练习2．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0m >，对于任意的函数值，都满足m y m -≤≤，则称这个函数是有界函数．．．．，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数()212,0y x x t t =-+-≤≤≥的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足是9542n ≤≤时，则t 的取值范围是．练习3．已知二次函数的图像L 过点0,2⎛⎫⎪⎝⎭，顶点坐标为()1,2-．(1)求这个二次函数的表达式；(2)L 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），求A ，B 两点坐标；(3)将L 向上平移个()0k k >单位长度，与x 轴相交于1A ，1B 两点，若点(),0K k 在线段11A B 上，求k 的取值范围．1．如图，抛物线22y x x =+与直线2y x =+交于A 、B 两点，与直线2x =交于点P ，将抛物线沿着射线AB平移P经过的路程为（）A．6B．132C．254D．142．如图，抛物线2286y x x =-+-与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作1C ，将1C 向右平移得2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ．若直线y x m =+与1C 、2C 共有2个不同的交点，则m 的取值范围是．当1y x m =+与抛物线1C ：2286y x x =-+-相切时，令21286y x x x m =-+-=+，即2276x x m -+--根据相切可知方程有两个相等的解，即27∆=-解得118m =，当2y x m =+过点()1,0A 时，即：201m =+，解得21m =-，3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，(5,0)B ．(1)求抛物线的表达式．(2)若抛物线22y x bx c mx =++-，当2123m x m -≤≤+时，y 有最大值12，求m 的值．(3)若将抛物线2y x bx c =++平移得到新抛物线2y x bx c n =+++，当23x -<<时，新抛物线与直线1y =有且只有一个公共点，直接写出n 的取值范围．①点时，则485191251n n +-+≥⎧⎨--+≤⎩解得69n -≤≤；②当抛物线245y x x =--与直线易错压轴六：二次函数与一元二次方程例1．将抛物线223y x x =-++中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线y x m =+有4个交点，则m 的取值范围是（）A ．5m ≤-B ．2154m -≤<-C ．2134m -<<-D ．3m ≥-【答案】C【分析】本题考查抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．解方程2230x x -++=得()1,0-，()3,0，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为()()13y x x =+-，即()22313y x x x =---≤≤，然后求出直线y x m =+经过点()3,0时m 的值和当直线y x m =+与抛物线()22313y x x x =---≤≤有唯一公共点时m 的值，即可得解．掌握抛物线与x 轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换．【详解】解：对抛物线223y x x =-++，当0y =时，得：2230x x -++=，解得：=1x -或3x =，∴抛物线与x 轴的交点为()1,0-、()3,0，∵将抛物线223y x x =-++中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图像的其余部分不变，∴新图像中当13x -≤≤时，解析式为()()13y x x =+-，即2=23y x x --，如图，当直线y x m =+经过点()3,0时，此时直线y x m =+与新函数图像有3个交点，把()3,0代入直线y x m =+，解得：3m =-，将直线y x m =+向下平移时，有4个交点，例2．已知点()0,0.3A ，)B，()2,0.3C 在二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象上，则方程20.70ax bx +-=的解为【答案】23-或3【分析】本题考查了二次函数的性质，。

(易错题精选)初中数学二次函数真题汇编附答案解析

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（易错题精选）初中数学二次函数真题汇编附答案解析一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a；∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t 等于0时，∵2(1)4y x =--，∴顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，3y =-，∴(0,3)A -，当4x =时，5y =，∴(4,5)C ，∴当0m =时， (4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-；如图2所示，当1m =时，此时最小值为4-，最大值为1．综上所述：01m ≤≤，故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．3．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上， 0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =， 即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确； Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．4．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0，∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限，反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限，故选D．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．5．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣12﹣12m，|x2﹣x1|=32+12m＞32，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．6．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．0＜t ＜5B ．﹣4≤t ＜5C ．﹣4≤t ＜0D ．t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2，∴b ＝﹣4，∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．7．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（ ）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（ ）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（ ）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是 ．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是 ．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（ ）A ． 3.24x < B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（ ）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（ ）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（ ）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或5x >D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（ ）A ．x a<B ．x b>C ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（ ）A ．13x -<<B ．31x -<<C ．1x <-或3x >D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是 ．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是 ．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是 ．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围 ．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是 ．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是 ．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。

第二十二章 二次函数 易错必考63题(13个考点)专练(解析版)

第二十二章 二次函数 易错必考63题(13个考点)专练(解析版)

第二十二章二次函数易错必考63题（13个考点）专练易错必考题一、根据二次函数的定义求参数1．（2023·全国·九年级专题练习）若函数2221m m y m m x ＝（＋）是二次函数，那么m 的值是（）A ．2B ．1 或3C ．3D ．12【答案】C【分析】根据二次函数的定义： 20y ax bx c a ，进行计算即可．【详解】解：由题意得：221=2m m ，解得：1m 或=3m ；又∵2+0m m ，解得：1m 且0m ，∴=3m ．故选C ．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系数不为零．2．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）点 ,1m 是二次函数221y x x 图像上一点，则236m m 的值为【答案】6【分析】把点 ,1m 代入221y x x 即可求得22m m 值，将236m m 变形 232m m ，代入即可．【详解】解：∵点 ,1m 是二次函数221y x x 图像上，∴2121m m 则222m m ．∴ 223632326m m m m 故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．3（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）已知函数21(1)3m y m x x 为二次函数，求m 的值．【答案】m=﹣1【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．【详解】解：由题意：21012m m ，解得1m ，1m 时，函数21(1)3m y m x x 为二次函数．【点睛】本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如2(y ax bx c a 、b 、c 是常数，0)a 的函数，叫做二次函数．易错必考题二、二次函数与一次函数、反比例函数图象的综合判断4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数2y ax bx c 的图象如图所示，则一次函数24y ax b ac 与反比例函数a b cy x在同一坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 1a b c ，在第四象限可得0a b c ，从而得到反比例函数a b cy x的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与x 的交点个数得到2040a b ac ，，从而得到一次函数24y ax b ac 的图象经过一、二、三象限，即可得到答案．【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 1a b c ，在第四象限，0a b c ，反比例函数a b cy x的图象分布在二、四象限，∵抛物线的开口向上，0a ，∵抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ，一次函数24y ax b ac 的图象经过一、二、三象限，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．5．（2023秋·四川南充·九年级校考期末）在同一坐标系中，一次函数y ax c 与二次函数2y ax c 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】可先确定每一选项中的一次函数图象，得到a 、c 的符号，再验证二次函数图象是否一致即可．【详解】解：A 、由一次函数y ax c 的图象得0a ，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向上，故该选项不符合题意；B 、由一次函数y ax c 的图象得a<0，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向下，与y 轴正半轴相交，故该选项符合题意；C 、由一次函数y ax c 的图象得a<0，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向下，故该选项不符合题意；D 、由一次函数y ax c 的图象得a<0，0c ，则二次函数2y ax c 图象开口向下，故该选项不符合题意，故答案为：B ．【点睛】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数的图象与系数的关系是解答的关键．6．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数ky x与二次函数2y x kx k 的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据k 的取值范围分当0k 时和当0k 时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质进行判断即可．【详解】解：当0k 时，反比例函数ky x的图像经过一、三象限，二次函数2y x kx k 的图像开口向上，其对称轴2kx在y 轴右侧，且与y 轴交于负半轴，故选项C 、D 不符合题意；当0k 时，反比例函数ky x的图像经过二、四象限，二次函数2y x kx k 的图像开口向上，其对称轴2kx在y 轴左侧，且与y 轴交于正半轴，故选项A 不符合题意，选项B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据k 的取值范围分当0k 时和当0k 时两种情况进行讨论．7．（2023春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）二次函数2y ax bx 和反比例函数by x在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据b 的取值范围分当0b 时和当0b 时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．【详解】当0b 时，反比例函数by x的图象经过第一、三象限，当0a 时，二次函数2y ax bx 图象，开口向上，对称轴2bx a在y 轴左侧，则A 选项不符合题意，当a<0时，二次函数2y ax bx 图象，开口向下，对称轴2bx a在y 轴右侧，则C 选项不符合题意，B 选项符合题意；当0b 时，反比例函数by x的图象经过第二、四象限，当0a 时，二次函数2y ax bx 图象，开口向上，对称轴2bx a在y 轴右侧，则D 选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对b 的取值进行分类讨论（当0b 时和当0b 时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．易错必考题三、二次函数的图象与性质8．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数2220y mx mx m （）在22x 时有最小值2 ，则m （）A ．4 或12B ．4或12C ．4 或12D ．4或12【答案】B【分析】先求出二次函数对称轴为直线1x ，再分0m 和0m 两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数 222212y mx mx m x m ，∴对称轴为直线1x ，①当0m ，抛物线开口向上，1x 时，有最小值22y m ，解得：4m ；②当0m ＜，抛物线开口向下，∵对称轴为直线1x ，在22x 时有最小值2 ，∴2x 时，有最小值922y m m ，解得：12m ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．9．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知点 12,P y ， 24,Q y ， 3,M m y 均在抛物线2y ax bx c 上，其中20am b ．若321y y y ，则m 的取值范围是（）A ．2mB ．1mC ．21m D ．14m 【答案】B【分析】由20am b 得到2bm a，此时3y y ，判断 3M m y ，为抛物线的顶点，且抛物线开口向下，然后分4m 和4m 两种情况分类讨论解题即可．【详解】解：∵20am b ，2b m a，∵直线2bx a是抛物线²y ax bx c 的对称轴，且此时3y y ，且321y y y ，∴ 3M m y ，为抛物线的顶点，且抛物线开口向下，①当4m 时，点P Q 、都在M 左侧(或Q 与M 重合)，此时一定有321y y y 符合题意，②当4m 时，∵321y y y ，∴M 在点P 右侧，即2m ，且点P 到对称轴的距离大于点Q 到对称轴的距离，即 24m m ，解得：�>1，∴14m ，综上所述，m 的取值范围是1m 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）设0ab ，且函数 1²24f x x ax b 与 2²42f x x ax b 有相同的最小值u ；函数 3²24f x x bx a 与 4²42f x x bx a 有相同的最大值v ；则u v 的值（）A ．必为正数B ．必为负数C ．必为0D ．符号不能确定【答案】C【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息 1f x 与有相同的最小值u ； 3f x 与 4f x 有相同的最大值v ，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．【详解】∵ 2221²2444f x x ax b x a b a b a ， 2222²4222424f x x ax b x a b a b a ，则22424b a u b a ，得223b a ①∵0ab ，∴0b ，又∵ 2222234²4422424f x x b a b a b f x x b a b a b ，；则22424a b v a b ，得223a b ，②∵0ab ，∴ 0a ，∴3320a b ，∴②① 得， 2223a b b a ，解得0a b 或23b a (舍去)，当0a b 时，2226565650u v b a a b a b b a ，∴ 0u v ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，难度较大，解题的关键是将函数的标准形式化为顶点形式．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线243y x x 上两点 1122,,,A x y B x y ，且212x x ，则下列说法一定正确的是（）A ．若11x 时，则120y yB ．若11x 时，则120y yC ．若111x 时，则120y yD ．若111x 时，则210y y 【答案】D【分析】求得抛物线的开口方向，对称轴以及抛物线与x 轴的交点，然后利用二次函数的性质判断即可；【详解】解：∵抛物线 22433121y x x x x x ，∴抛物线开口向上，对称轴为直线2x ，抛物线与x 轴的交点为 (3,0),1,0 ，若11x 时，212x x ∵，∴21x ，∴无法确定1y 、2y 的大小，故A 、B 不正确，不合题意；若111x 时，∵抛物线243y x x 上两点 1122,,,A x y B x y ，且212x x ，∴213x ，∴210y y ，故C 不正确，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，熟知二次函数的性质是解题的关键12．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考开学考试）已知抛物线 220y ax ax b a 经过 13,A n y ， 221, B n y 两点，若A ，B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且12y y ，则n 的取值范围是．【答案】01n /10n 【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．【详解】解：∵ 220y ax ax b a ，对称轴为直线212ax a，∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；∵A ，B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且12y y ，①当3121n n 时，此不等式无解，不符合题意；②2113n n ，即：21n 时，31121n n ，解得：0n ，综上：01n ．故答案为：01n ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．13．（2023秋·湖北孝感·九年级校考开学考试）关于抛物线2y x ，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是 0,4．②当1x 时，y 随x 的增大而减小．③当23x 时，50y ．④若,m p ,n p 是该抛物线上两个不同的点，则0m n ．其中正确的说法有．（填序号）【答案】②④/④②【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】解：∵2y x ，∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项错误；②对称轴为0x ，当1x 时，y 随x 的增大而减小，故该项正确；③当23x 时，0x 时取最大值0，3x 时取最小值9 ，因此90y ，故该项错误；④若 ,m p 、 ,n p 是该抛物线上两点，则两点关于直线0x 对称，因此0m n ，故该项正确．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握该知识点并熟练运用数形结合思想是解题的关键．14．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）若函数2y ax bx c （0a ）图象过点(1,0) ，(0,2) 且抛物线的顶点位于第四象限，设35P a b c ，则P 的取值范围为．【答案】88P 【分析】根据(1,0) 和(0,2) 得到a ，b ，c 的关系，通过0a ，对称轴大于0，得到0b ，进而求出a 的准确范围，最终求出P 的取值范围．【详解】解：由题意可知，0a b c ，2c ，20a b ，2b a ，0a ∵，且对称轴bx 02a，0b ，20a ，02a ，353510288P a b c a a a ∵，8888a ，88P ．故答案为：88P ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．15、（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段PQ 的端点坐标分别为(12)P ，，(13)Q ，，抛物线2223y x mx m （m 为常数，0m ）和线段PQ 有公共点时，m 的取值范围是，【答案】1713m【分析】抛物线和线段PQ 有公共点可知23y ，当点(12)P ，在抛物线上时，可算出此时的m 的值，当点(13)Q ，在抛物线上时，算出此时的m 的值，由此即可求解．【详解】解：抛物线2223y x mx m （m 为常数，0m ）和线段PQ 有公共点，(12)P ，，(13)Q ，，∴23y ，∴当点(12)P ，在抛物线上时，21232m m ，解得，11m ，213m ；当点(13)Q ，在抛物线上时，21233m m ，解得，3173m ，4173m ；∵当23y 时，有公共点，且0m ，∴m 的取值范围是1713m ，故答案为：1713m．【点睛】本题主要考查二次函数图像与线段的交点问题，掌握二次函数图像的性质，线段与图像的位置关系，数形结合分析是解题的关键．16．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 2220y x mx m m m ．(1)若2m ，求该函数图象的顶点坐标．(2)若当1x 时，y 随x 的增大而减小；当2x 时，y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围．(3)若函数1y y m ，点(2,),(,)M m s N n t 都在函数1y 的图象上，且s t ，求n 的取值范围．（用含m 的代数式表示）【答案】(1)2,2 (2)12m (3)2n m 或3n m 【分析】（1）把2m 代入 2220y x mx m m m 求出解析式，然后配方即可；（2）先求出 2220y x mx m m m 的对称轴，可得当x m 时，y 随x 的增大而减小；当x >m 时，y随x 的增大而增大，再结合条件即可求出；（3）根据代入法求出s t 、，结合s t 即可求出答案．【详解】（1）解：当2m 时，242y x x ，将242y x x 配方得：2(2)2y x ，∴该函数图象的顶点坐标是 2,2 ；（2）解：在 2220y x mx m m m 中，222b m x m a 轴，当x m 时，y 随x 的增大而减小；当x >m 时，y 随x 的增大而增大，∵当1x 时，y 随x 的增大而减小；当2x 时，y 随x 的增大而增大，∴12m ；（3）解：∵1y y m ， 2220y x mx m m m ，∴221(12)y x m x m m ，∵点(2,),(,)M m s N n t 都在函数1y 的图象上，当2x m 时，6s ，当x n 时，22211(12)()24m t n m n m m n ，∵s t ，∴21216()24m n，∴212125()6244m n ，∴12522m n 或12522m n ，∴2n m 或3n m ；【点睛】本题是二次函数的一个综合题，主要考查了求顶点坐标，二次函数的性质，熟练掌握相关知识是关键．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线2(0)y ax bx c a 经过(1)A t ，，(3)B t ，两点．(1)当1a 时，求b 的值；(2)当0 t ，且10x ≤≤时，y 的最大值为3．①求抛物线的解析式；②抛物线与y 轴交于点C ，直线(1)y kx k 与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点F ，连接CD ，当:3:2COF CDF S S 时，求k 的值．【答案】(1)2b (2)①223y x x ；②32k =或4【分析】(1)根据(1)A t ，，(3)B t ，对称，写出对称轴方程1x ，根据对称轴是2b x a，且1a ，求出2b ；(2)①10x ≤≤在对称轴1x 的左侧，0x 时时，y 有最大值为3，得到0x 时，3y c ，根据0 t ，得到方程组，解方程组即可求解；②利用三角形的面积关系，得到点F 与点D 的横坐标的比为3：5，设点F 的横坐标为3t ，则点D 的横坐标为5t ，利用待定系数法用含t 的代数式求得直线OF 的解析式，进而得到点D 的坐标，将点D 坐标代入抛物线的解析式求得t 值即可求得结论．【详解】（1）解：抛物线2(0)y ax bx c a 经过(1)A t ，，(3)B t ，两点，1312x ，∵2b x a，1a ，2b ；（2）解：①∵(1)A t ，，(3)B t ，，0 t ，(10)A ，，(30)B ，，∵对称轴是直线1x ，0a ，当1x 时，y 随x 的增大而增大，∵10x ≤≤时，y 的最大值为3，当0x 时，3y c ，抛物线解析式为23y ax bx ，把(10)A ，，(30)B ，，代入得：309330a b a b， 12a b， 抛物线解析式为223y x x ；②由①得：(10)A ，，(30)B ，，(03)C ，，设直线BC 的解析式为 10y kx b k ，11330b k b，解得：13k b ， 直线BC 的解析式为3y x ，∵:3:2COF CDF S S ，:3:5COF COD S S ，点F 与点D 的横坐标的比为3：5，设点F 的横坐标为3t ，则点D 的横坐标为5t ，∵点F 在直线BC 上，3,33F t t ．∵点F 在直线(1)y kx k 上，333t k t ，解得：1t k t， 直线OF 的解析式为1t y x t，∵点D 在直线OF 上， 5,55D t t ，∵点D 在抛物线上，2525355t t t ，解得：15t 或25，当15t 时，115415k ，当25t 时，2135225x ，综上所述，32k =或4．【点拨】本题考查了二次函数性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握根据二次函数值随自变量变化情况确定二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，同高的两个三角形面积与底边成比例，是解决本题的关键．易错必考题四、二次函数图象的平移问题18．（2023秋·全国·九年级专题练习）将抛物线22y ax bx （a 、b 是常数，0a ）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线2142y x x关于y 轴对称，则a 、b 的值为（）A ．1a ，2b B ．12a ，1b =-C ．12a ，1b =-D ．1a ，2b 【答案】C【分析】先求出抛物线2142y x x 关于y 轴对称的抛物线为 219122y x ，再根据抛物线平移的性质得出抛物线22y ax bx 向下平移2个单位长度后为24y ax bx ，即可得出a 和b 的值．【详解】解：∵ 2211941222y x x x，∴抛物线2142y x x 关于y 轴对称的抛物线为 219122y x ，∵抛物线22y ax bx 向下平移2个单位长度后为24y ax bx ，∵24y ax bx 与2142y x x关于y 轴对称，∴ 22419122y ax bx x ，整理得：224412y x x a bx x，∴12a ，1b =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．19．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为 2,3 ， 1,3，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【分析】其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为 2,3 ， 1,3，分别求出对称轴过点A 和B 时的情况，即可判断出M 点横坐标的最小值．【详解】解：根据题意知，∵点N 的横坐标的最大值为4，此时点P 和点B 重合，即抛物线的对称轴为：1x ，N 点坐标为 4,0，则M 点坐标为 2,0 ，点P 和点A 重合，点M 的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：2x ，N 点坐标为 1,0，则M 点的坐标为 5,0 ，点M 的横坐标的最小值为5 ，故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．20．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线223y x x 先绕原点O 旋转180 ，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线解析式为．【答案】22y x x【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出顶点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵ 2223=12y x x x ，∴抛物线的顶点为 12，，将抛物线223y x x 先绕原点旋转180 抛物线顶点为 12 ，-，旋转后的抛物线为 212y x ，再向上平移3个单位， 2212+32y x x x ．故答案为：22y x x ．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象旋转与平移的法则．21．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线L ： 227y x ．(1)写出L 的对称轴和y 的最小值；(2)点P 为透明片上一点，P 的坐标为 9,6．平移透明片，平移后，P 的对应点为P ，抛物线L 的对应抛物线为L ，其表达式恰为267y x x ，求PP 移动的最短路程．【答案】(1)对称轴为直线：7x ，y 的最小值为2(2)42PP 【分析】（1）直接根据解析式进行作答即可；（2）求出平移后的抛物线的顶点坐标，PP 移动的最短路程为两个顶点间的距离，进行求解即可．【详解】（1）解：∵ 222277y x x ，顶点坐标为 7,2，∴对称轴为直线7x ，y 的最小值为2；（2）∵ 226732y x x x ，顶点坐标为 3,2 ，∵抛物线L 的顶点坐标为 7,2，∴PP 移动的最短路程为 22732242 ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．22．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）已知二次函数 2420y ax x a 图像的对称轴为直线2x ．(1)求a 的值；(2)将该二次函数的图像沿x 轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．【答案】(1)1a (2)2814y x x 【分析】（1）根据对称轴列式求解即可解答；（2）将a 的值代入，结合抛物线解析式求平移后图像所对应的二次函数的表达式即可．【详解】（1）解：∵二次函数 2420y ax x a 图像的对称轴为直线2x ∴422a，解得1a ．（2）解：∵1a ，∴242y x x ，∴平移后为： 222422814y x x x x ．∴新二次函数的解析式为2814y x x ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的平移等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．23．（2023·山东·九年级专题练习）如图，抛物线过点 0,0O ， 10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设 ,0B t ，当2t 时，4BC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t 时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)21542y x x (2)当1t 时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得AE OB t ，则102AB t ，再得出21542BC t t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A C ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ CH ，12PQ OA ．求出2t 时，点A 的坐标为 8,0，则142CH OA ，即可得出结论．【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ．∵当2t 时，4BC ，∴点C 的坐标为 2,4 ．将点C 坐标代入表达式，得 22104a ，解得14a ．∴抛物线的函数表达式为21542y x x．（2）解：由抛物线的对称性得：AE OB t ，∴102AB t ．当x t 时，21542BC t t ．∴矩形ABCD 的周长为2152210242AB BC t t t21202t t 2141122t ．∵102，∴当1t 时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．（3）解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴12PQ OA ．当2t 时，点A 的坐标为 8,0，∴142CH OA ．∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．易错必考题五、根据二次函数的图象判断式子符号24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 21y a x k 与x 轴交于 1,0A ，B 两点，下列判断正确的是（）A ．0a B ．当0x 时，y 随x 的增大而减小C ．点B 的坐标为3,0D ．0a k 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、抛物线开口向下，a<0，选项错误，不符合题意；B 、 21y a x k ，对称轴为1x ，当1x 时，y 随x 的增大而减小，选项错误，不符合题意；C 、∵抛物线 21y a x k 与x 轴交于 1,0A ，对称轴为1x ，∴点B 的坐标为 3,0，选项正确，符合题意；D 、∵抛物线 21y a x k 与x 轴交于 1,0A ，∴ 2011a k ，∴4k a ，∴430a k a a a ，故选项D 错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．25．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，根据二次函数2y ax bx c 的图象得到如下结论：①0abc ②20a b ③0a b c ④30a c ⑤当2x 时，y 随x 的增大而增大⑥一定存在实数0x ，使得200ax bx a b 成立．上述结论，正确的是（）A ．①②⑤B ．②③④C ．②③⑥D ．③④⑤【答案】C 【分析】根据抛物线开口向上得出0a ，根据抛物线和y 轴的交点在y 轴的负半轴上得出0c ，根据图象关于=1x 对称，得到12b a，即2a b ，故0b ，根据图象与x 轴的一个交点为3x ，即可得到图象与x 轴的另一个交点为1x ，根据方程20ax bx c 的根，把1x 代入2y ax bx c 求出0a b c ，再将2a b 代入0a b c 得到30a c ，根据抛物线的对称轴和图象得出当1x 时，y 随x 的增大而增大，根据函数最小值为a b c ，当01x 时，则200ax bx c a b c ，即0ax bx a b ，故一定存在实数0x ，使得200ax bx a b 成立．【详解】解：∵抛物线开口向上、顶点在y 轴左侧、抛物线与y 轴交于负半轴，0a ，0c ，∵抛物线关于=1x 对称，12b a，即20a b ， 0b ，<0abc ，故①错误，故②正确；∵抛物线过点 3,0 ，对称轴为直线=1x ，∴抛物线过点 1,0，把1x 代入2y ax bx c ，得到0a b c 0a b c ，故③正确；2b a ，0a b c ，30a c ，故④错误；∵抛物线开口向上，对称轴是直线=1x ，∴当1x 时，y 随x 的增大而增大；故⑤错误；∵函数最小值为a b c ，∴当01x 时，则200ax bx c a b c ，即0ax bx a b ，∴一定存在实数0x ，使得200ax bx a b 成立，故⑥正确；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，已知二次函数 20y ax bx c a 的图象如图所示，对于下列结论，其中正确结论的个数是（）①0abc ；② 220a c b ；③30a c ；④若m 为任意实数；则26am bm b a ；⑤当22x k 时，y 随x 增大而先增大后减小．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据二次函数的性质进行判断求解．【详解】解：由于图像开口向上，0a ，∵抛物线对称轴为12b x a，20b a ，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ，<0abc ，①错误；有图像知，将1x 代入得0a b c ，将=1x 代入得<0a b c ，22()()0a c b a b c a c b ，②错误；有图像知，将1x 代入得0a b c ，2b a ∵，30a c ，③正确；当=1x 时，函数有最小值y a b c ，若m 为任意实数；则2am bm c a b c ，2am bm a b ，22am bm b a b ，2b a ∵，243am bm b a a a ，0a ∵，36a a ，26am bm b a ，④正确；20k ∵，222k ，根据图像可知，22x k 时，y 随x 增大而先减小后增大．⑤错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（2023·山东·九年级专题练习）如图，二次函数2(0)y ax bx c a 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线1x ．下面结论：①<0abc ；②20a b ；③30a c ；④方程20(0)ax bx c a 必有一个根大于1 且小于0．其中正确的是．（只填序号）【答案】①②④【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，000，，，a b c 则<0abc ，故①正确；∵12b a，∴2b a ，∴20a b ，故②正确；∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线1x ，∴函数图象与x 轴的另一个交点在点(0,0)和点 1,0 之间，故④正确；∴当=1x 时，0y a b c ，∴20y a a c ，∴30a c ，故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．28．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 20y ax bx c a 的图像如图所示，有下列5个结论：①0abc ；②b a c ；③420a b c ；④23c b ；⑤ a b m am b （1m 的实数）．其中正确的结论有（填序号）【答案】③④⑤【分析】由抛物线的开口方向可以得出a<0，由抛物线与y 轴的交点可以判断0c ，由抛物线的对称轴可以判断0b ，再根据抛物线与x 轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．【详解】解：①∵二次函数 20y ax bx c a 的图象开口方向向下，与y 轴交于正半轴，对称轴为直线1x ，0002b a c a，，，>0b ，<0abc ，故①错误，不符合题意；②∵二次函数 20y ax bx c a 的图象与x 轴的交点在 10 ，的右边，图象开口方向向下， 当=1x 时，0y ，0a b c ，b ac ，故②错误，不符合题意；③∵二次函数 20y ax bx c a 的图象与x 轴的另一个交点在 20，的右边，图象开口方向向下， 当2x 时，0y ，420a b c ，故③正确，符合题意；④由①得：12b a，12a b ，由②得：<0a b c ，102b bc ，23c b ，故④正确，符合题意；⑤∵二次函数 20y ax bx c a 的图象的对称轴为直线1x ，当1x 时，y 取最大值，最大值为a b c ，当 1x m m 时，2am bm c a b c ，1a b m am b m ，故⑤正确，符合题意；综上所述：正确的结论有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．29．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数2y ax bx c 的图象过点 3,0A ，对称轴为直线1x ．给出以下结论：①0abc <；② 21a ax x b ；③若 211,M n y ， 222,N n y 为函数图象上的两点，则12y y ；④若关于x 的一元二次方程 20ax bx c p p 有整数根，则对于a 的每一个值，对应的p 值有3个．其中正确的有．(写出所有正确结论的序号)【答案】①②③【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，0a ；∵抛物线的对称轴为直线x 2b a10 ，0b ；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，0c ，0abc ，故①正确；∵当1x 时，函数有最大值，2a b c ax bx c ，即 21a ax x b故②正确；∵抛物线的对称轴是1x ，则2212(1,2,())M n y N n y ，在对称轴右侧，2212n n ，12y y ，。

(易错题精选)初中数学二次函数专项训练

(易错题精选)初中数学二次函数专项训练

（易错题精选）初中数学二次函数专项训练一、选择题1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误； ∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-<点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．2．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( ) A ．5 B ．52-C ．52D ．－5【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果． 【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等， ∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=，即8x =时，函数值等于5， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．3．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2ba=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.4．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2【答案】B 【解析】 【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12． 此时抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意．当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意． 综上可知：当m ＝12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴m ＝12不符合题． ∴m ＞12． 综合①②可得：当12＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B ． 【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.5．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

《二次函数》易错题以及分析

《二次函数》易错题以及分析

一、选择题（每小题3分，共30分）1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若32)2(--=mx m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ）A.5±B.5C. —5D.0【答案】C【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C.【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32-m =2，但会忽略2-m 0≠，说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻.3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ）A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 【答案】D【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D.【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，往往会出错.4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y【答案】D【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中ac b 42-=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D.【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多.5、已知点（-1，1y ），（2,213y -），（21，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 132y y y >>D. 213y y y >>【答案】C【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C.【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000><<c b a ，， D. 000=>>c b a ，，【答案】D【解析】根据二次函数c b a 、、的符号判定方法，即可得出D ，故选D. 【易错点】根据已知条件画不出二次函数图象的草图，故无法选择答案.7、若二次函数)2(2-++=m m x mxy 的图象经过原点，则m 的值为（ ）A.0或2B.0C. 2D.无法确定【答案】C【解析】二次函数经过原点，则0=c ，本题中即0)2(=-m m ，则20或=m ，但二次函数二次项系数不等于0，因此0≠m ，故选C.【易错点】能得出0)2(=-m m ，却忽略了二次项系数不等于零.8、一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【答案】C【解析】根据一次函数的图象得出a 、b 的符号，进而判断二次函数的草图是否正确，A 和B 中a 的符号已经发生矛盾，故不选，C 符合，D 中由一次函数得b 0<，而由二次函数得b 0>，矛盾，也舍去，故选C.【易错点】对于如何判断二次函数中一次项系数b 的符号理解不深，故常选错. 9、当k 取任何实数时，抛物线22)(21k k x y +-=的顶点所在的曲线是（ ）A ．2xy = B.2xy -= C.2xy =（0>x ） D. 2x y =(0<x )【答案】A【解析】由给出的顶点式得出抛物线的顶点为（2,k k ，），在2xy =上，故选A.【易错点】当二次函数解析式中出现参数时，学生往往不知所措，过多得关注了k 字母而没有看到这是一个顶点式的抛物线，故选不出答案.10、抛物线3522+-=x x y 与坐标轴的交点共有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】由ac b 42->0得出抛物线与x 轴有2个交点，与y 轴一个交点，共3个，故选B. 【易错点】仅仅得出与与x 轴的2个交点就选择C ，审题不严谨.. 二、填空题（每小题3分，共24分）11、函数7)5(2++-=x y 的对称轴是_____________，顶点坐标是_________，图象开口_______，当x ________时，y 随x 的增大而减小，当5-=x 时，函数有最____值，是______. 【答案】直线5-=x ，（-5，7），向下，5-≥，大，7. 【解析】根据二次函数顶点式的基本性质即可完成这一题. 【易错点】在增减性填空时往往写成5->x ，忽略等号. 12、抛物线2ax y =与22x y =形状相同，则a =_________. 【答案】2±.【解析】形状相同，即a 相同，故a =2±. 【易错点】只写-2，忽略+2.13、二次函数)2)(3(-+-=x x y 的图象的对称轴是__________. 【答案】直线21-=x .【解析】根据二次函数的交点式得抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为-3和2，故对称轴为直线21223-=+-=x .【易错点】直接将二次函数转化为一般式，再根据公式求解，导致计算错误较多. 14、当x =________时，函数4)2(2+-=x y 有最_____值，是________.【答案】2，小，2.【解析】4)2(2+-x 当2=x 有最小值4，故4)2(2+-=x y 在此时有最小值2.【易错点】最小值容易写成4，而不是2.15、抛物线c bx x y ++-=2的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________. 【答案】4)1(2+--=x y【解析】根据图象可设抛物线为k x y +--=2)1(，把点（3,0）代入求出4=k 即可. 【易错点】从对称轴角度出发，过分注重对称性来解题，使题复杂化.(第15题图) （第16题图） （第17题图）16、如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分，对称轴是直线x =1，若其与x 轴的一个交点为（3,0），则由图象可知，不等式02>++c bx ax 的解集是_____________. 【答案】31>-<x x 或【解析】根据图象得出抛物线的对称轴为直线2311+==x x ，得11-=x 故图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），不等式的解集即为二次函数0>y 时x 的取值范围，故由图象得出在x 轴的上方，故31>-<x x 或【易错点】没有将不等式问题转化为二次函数0>y 的问题，另外不会观察图象也是导致本题得分率低的一个重要原因.17、如图是二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断：①0>c ；②0<++c b a ；③02<-b a ；④ac a b 482>+，其中正确的是__________（填写序号）.【答案】②④【解析】根据二次函数c 的符号判定方法，得出①错；观察图象，当1=x 时，图象上的点在x 轴下方，故②正确；由0,0<>b a 得出③正确；因为ac b 42->0，而0>-8a ,ac b 42-a 8->，移项得④正确.【易错点】对二次函数中通过数形结合判断字母和代数式符号的方法没有掌握. 18、如图，从地面竖直向上跑出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为2530t t h -=，那么小球从抛出至落到地面所需的时间是_____秒. 【答案】6【解析】令0=h ，得05302=-t t ，解得60或=t ，因0>t ，故6=t . 【易错点】没有将实际生活问题传化成二次函数问题. 三、简答题（共56分）19、(8分)已知二次函数c bx ax y ++=2，当x =0时，y =4；当x =1时，y =9；当x =2时，y =18，求这个二次函数.【答案】把当x =0，y =4；x =1，y =9；x =2，y =18代入c bx ax y ++=2得，…1分 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++==4241894b a cb ac ，……………………4分 解得⎪⎩⎪⎨⎧===432c b a ，…………………………7分∴4322++=x x y ……………………8分【易错点】本题考查学生利用三元一次方程组求解二次函数解析式的能力，而部分学生往往出现三元一次方程组解答出错，计算能力不高的情况. 20、（8分）二次函数的图象顶点是（-2,4），且过（-3,0）； （1）求函数的解析式；（2）求出函数图象与坐标轴的交点，并画出函数图象.【答案】（1）由题意得，设4)2(2++=x a y 把（-3,0）得，0=4+a ………………2分∴4-=a ，∴4)2(42++-=x y ……………………3分（2）令0=x ，则12444-=+⨯-=y ，∴与y 轴的交点为（0,-12）……4分 令0=y ，则04)2(42=++-x ， 解得 11-=x ，32=x ∴与x 轴的交点为（-1,0）和（-3,0）………………6分图象略.………………………………………………………8分【易错点】本题考查利用顶点式求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点及函数图象画法.学生出错较多的地方是与坐标轴交点求解不齐全. 21、（10分）利用图象判断方程23212-=x x是否有解，若有解，请写出它的解.（结果精确到0.1）【答案】∵23212-=x x，∴设23212+-=x x y ，则方程的解即函数图象与x 轴两个交点的横坐标.∴由图象得 8.01≈x ，2.52≈x【易错点】本题考查利用图象法求方程的近似解.学生不理解为何要用图象法求方程的近似解，进而会直接用公式法求解.22、（10分）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价销售，根据市场调查，每降价5元，每星期可多售出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润是多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少？最大销售利润是多少？ 【答案】（1）(130-100)×80=2400元…………………………………3分 （2）设每件降价x 元，商家每星期的利润为y 元，则………………4分)480)(30(x x y +-==24004042++-x x =-42)5(-x +2500…………7分∴当5=x 时，y 有最大值，为2500………………………………………9分即降价5元、售价为125元时，销售利润最大，为2500元.………………10分【易错点】本题是二次函数最值问题的实际应用，若学生把售价定为x 元，则无形中增加了题目的难度，所以本题中设置合理的未知数是至关重要的，而学生往往不会这一点而导致此题错解.23、（10分）如图，隧道的截面是由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8m ，宽AB 为2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m 。

二次函数易错题汇编附答案解析

二次函数易错题汇编附答案解析
4．如图是抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与 x 的一个交点 在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）； ④一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1
c=0，则③正确；
根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.
点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向
上，则 a 大于零，如果函数开口向下，则 a 小于零；如果函数的对称轴在 y 轴左边，则 b
的符号与 a 相同，如果函数的对称轴在 y 轴右边，则 b 的符号与 a 相反；如果函数与 x 轴
解：由题意得 2AB 2BC 28， AB BC 2 ， 可解得 AB 8 ， BC 6 ，即 AD 6 ，
①当 0≤t≤4 时，Q 在边 AB 上，P 在边 AD 上，如图 1，
S△APQ= 1 AP AQ 1 t 2t t2 ，
2
2
图像是开口向上的抛物线，故选项 B、C 不正确；
二次函数易错题汇编附答案解析
一、选择题
1．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点 M(﹣1，2)和点 N(1，﹣2)，则下列说法错误的 是( ) A．a+c＝0 B．无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，且函数图象截 x 轴所得的线段长 度必大于 2
C．当函数在 x＜ 1 时，y 随 x 的增大而减小 10
为（ ）
A． x1 3 ， x2 1 B． x1 1 ， x2 3
【答案】C
C． x1 1 ， x2 3 D． x1 3 ， x2 1

(易错题精选)初中数学二次函数难题汇编附答案解析

(易错题精选)初中数学二次函数难题汇编附答案解析

（易错题优选）初中数学二次函数难题汇编附答案分析一、选择题1．如图，矩形 ABCD 中， AB=8， AD=4， E 为边 AD 上一个动点，连结 BE ，取 BE 的中点 G ，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90°获得点 F ，连结 CF ，则 △CEF 面积的最小值是（ ） A ．16B ． 15C ． 12D ． 11【答案】 B【分析】 【剖析】过点 F 作AD 的垂线交AD 的延伸线于点H ，则 △FEH ∽△ EBA ，设 AE=x ，可得出 △CEF 面积与 x 的函数关系式，再依据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延伸线于点 H ， ∵∠ A=∠H=90°，∠ FEB=90°， ∴∠ FEH=90°-∠ BEA=∠ EBA ， ∴△ FEH ∽△ EBA ，∴HF HE EF ,AE AB BEQG 为BE 的中点，FEGE 1BE,2∴ HF HE EF 1 ,AE ABBE 2 设 AE=x ， ∵ AB 8, AD 4,∴ HF1x, EH4,2DHAEx,S CEF S DHFC S CED SEHF1 x( 1 x 8)18(4x)1 4 ? 1x2 222 21 x2 4x 16 4x x41 x2 x 16,4∴当x122面积的最小值 1 421615.CEF4应选： B ．【点睛】本题经过结构 K 形图，考察了相像三角形的判断与性质．成立 △CEF 面积与 AE 长度的函数关系式是解题的重点．2．如图，二次函数 y ax 2bx c 0 a 0 的图象与 x 轴正半轴订交于A 、B 两点，与 y 轴订交于点 C ，对称轴为直线 x 2 ，且 OA OC ，则以下结论：① abc 0 ； ② 9a 3b c 0 ； ③ c1； ④ 对于 x 的方程 ax 2bx c 0 a 0 有一个根为1），此中正确的结论个数有（aA ． 1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】 C【分析】【剖析】由二次图像张口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断① ；由图像可知当x ＝ 3 时， y ＜0，可判断 ② ；由OA ＝ OC ，且OA ＜ 1，可判断 ③ ；把﹣1 代入a方程整理得 ac 2－ bc ＋c ＝ 0，联合 ③ 可判断 ④ ；从而得出答案.【详解】由图像张口向下，可知a ＜0，与 y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x＝2，∴﹣b ＞ 0，∴ b ＞ 0，∴ abc ＞ 0，故 ① 正确；由图像可知当x ＝3时， y ＞ 0，∴ 9a ＋2a3b＋ c＞ 0，故②错误；由图像可知OA＜1，∵ OA＝ OC，∴ OC＜1 ，即﹣ c＜ 1，故③正确；假定方程的一个根为x＝﹣1，把﹣1代入方程，整理得ac2－ bc＋ c＝0，即方程有一a a个根为 x＝﹣ c，由②知﹣ c＝ OA，而当 x＝OA 是方程的根，∴x＝﹣ c 是方程的根，即假定成立，故④正确 .应选 C.【点睛】本题主要考察二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，娴熟掌握二次函数的有关知识是解答本题的重点.3．如图是抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a≠0）的部分图象，其极点坐标为（1，m），且与 x 铀的一个交点在点（30）和（40① abc＞；② a﹣b+c0③ b2＝，，）之间，则以下结论：＞；4a（ c﹣ m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝ m+1 有两个不相等的实数根，此中正确结论的个数是（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】C【分析】【剖析】依据抛物线的张口方向和与坐标轴的交点及对称轴可鉴别a， b， c 的正负；依据抛物线的对称轴地点可鉴别在x 轴上另一个交点；依据抛物线与直线y=m的交点可判断方程的解．【详解】∵函数的图象张口向上，与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－b=1 2a∴b<0∴abc＞ 0；① 正确；∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（ 3， 0）和（ 4， 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（ -1， 0）之间．∴当 x=-1 时， y<0，即 a-b+c<0，所以②不正确；∵抛物线的极点坐标为（ 1， m），∴4ac b 2=m ，4a∴ b 2=4ac-4am=4a （ c-m ），所以 ③ 正确；∵抛物线与直线 y=m 有一个公共点，∴抛物线与直线 y=m+1 有 2 个公共点，∴一元二次方程 ax 2+bx+c=m+1 有两个不相等的实数根，所以 ④ 正确．应选 :C ．【点睛】查核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是重点．4．方程 x23x1 0 的根可视为函数y = x+ 3的图象与函数1y 的图象交点的横坐x标，则方程 x 3 2x 1 0 的实根 x 0 所在的范围是（ ）A ． 0<x 0 < 1B ． 1 <x 0 <1C ． 1<x 0 <1D ． 1<x 0 <1443 322【答案】 C【分析】【剖析】第一依据题意推测方程x 3+2x-1=0 的实根是函数 y=x 2+2 与 y1 的图象交点的横坐标，再根x据四个选项中 x 的取值代入两函数分析式，找出抛物线的图象在反比率函数上方和反比率函数的图象在抛物线的上方两个点即可判断推测方程x 3+2x-1=0 的实根 x 所在范围．【详解】解：依题意得方程x 3 2x 1 0 的实根是函数 yx 2 2 与 y 1 的图象交点的横坐标，x这两个函数的图象如下图，它们的交点在第一象限．当 x= 1 时， yx 22 2 1， y1 4 ，此时抛物线的图象在反比率函数下方；416 x 当 x= 1时， yx22 2 1， y 1 3 ，此时抛物线的图象在反比率函数下方；39 x当 x= 1 时， yx 22 2 1 ， y 1 2 ，此时抛物线的图象在反比率函数上方；24 x当 x=1 时，y x 2 2 3， y1 1 ，此时抛物线的图象在反比率函数上方．x∴方程x32x10的实根x0所在范围为：1<x 0< 1．32应选 C．【点睛】本题考察了学生从图象中读守信息的数形联合能力．解决此类识图题，同学们要注意剖析此中的“重点点”，还要擅长剖析各图象的变化趋向．5．已知二次函数y＝ ax2+bx+c（ a≠0）的图象如下图，则以下结论：（1） 4a+2b+c＜ 0；（2）方程 ax2+bx+c＝ 0 两根都大于零；（3） y 随 x 的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象必定可是第二象限．此中正确的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 C【分析】【剖析】由图可知， x=2 时函数值小于 0，故（ 1）正确，函数与x 轴的交点为 x=1.x=3，都大于0，故（ 2）正确，由图像知（ 3）错误，由图象张口向上，a＞0，与 y 轴交于正半轴， c＞ 0，对称轴 x=﹣＝ 1，故 b＜ 0， bc＜ 0，即可判断一次函数y＝ x+bc 的图象 .【详解】①由 x＝ 2 时， y＝ 4a+2b+c，由图象知： y＝ 4a+2b+c＜ 0，故正确；②方程 ax2+bx+c＝0 两根分别为1， 3，都大于0，故正确；③当 x＜ 2 时，由图象知：y 随 x 的增大而减小，故错误；④由图象张口向上，a＞0，与 y 轴交于正半轴，c＞0 ，x=﹣＝1＞0，∴ b＜0，∴b c＜ 0，∴一次函数 y＝ x+bc 的图象必定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有 3 个，应选：C．【点睛】本题主要考察二次函数的图像，解题的重点是熟知各系数所代表的含义.6．若平面直角坐标系内的点M 知足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．比如：P（1 ，0）、 Q（ 2，﹣ 2）都是“整点”．抛物线 y＝ mx2﹣ 4mx+4m﹣2（ m＞0）与 x 轴交于点 A、 B 两点，若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB 所围成的地区（包含界限）恰有七个整点，则m 的取值范围是（）A．1≤m＜ 1B．1 ＜m≤1C． 1＜ m≤2D． 1＜ m＜ 2 22【答案】B【分析】【剖析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】∵y＝ mx2﹣4mx+4m﹣ 2＝ m（ x﹣ 2）2﹣ 2 且m＞ 0，∴该抛物线张口向上，极点坐标为（2，﹣ 2），对称轴是直线x＝ 2．由此可知点（2， 0）、点（2，﹣ 1）、极点（2，﹣ 2）切合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣ 1）和（ 3，﹣ 1）时（如答案图1），这两个点切合题意．将（ 1，﹣ 1）代入 y＝ mx2﹣ 4mx+4m﹣ 2 获得﹣ 1＝ m﹣ 4m+4m﹣ 2．解得 m＝ 1．此时抛物线分析式为y＝ x2﹣ 4x+2．由 y＝ 0 得x2﹣ 4x+2＝ 0．解得x12120.6， x22 2 3.4．∴x 轴上的点（1， 0）、（2， 0）、（ 3， 0）切合题意．则当m＝1 时，恰巧有（1，0）、（2， 0）、（ 3， 0）、（ 1，﹣ 1）、（ 3，﹣ 1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7 个整点切合题意．∴m≤1．【注：m 的值越大，抛物线的张口越小，m 的值越小，抛物线的张口越大】答案图 1（m＝ 1 时）答案图2（m＝时）②当该抛物线经过点（0， 0）和点（ 4， 0）时（如答案图2），这两个点切合题意．此时 x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也切合题意．将（ 0， 0）代入 y＝ mx2﹣ 4mx+4m﹣ 2 获得 0＝ 0﹣ 4m+0﹣ 2．解得 m＝1．2此时抛物线分析式为y＝1x2﹣ 2x．2当 x＝ 1 时，得y112131．∴点（1，﹣1）切合题意．22当 x＝ 3 时，得y19233 1 .∴点（3，﹣1）切合题意．22综上可知：当m＝1时，点（ 0， 0）、（ 1， 0）、（ 2， 0）、（ 3， 0）、（ 4， 0）、2（1，﹣ 1）、（ 3，﹣ 1）、（ 2，﹣ 2）、（2，﹣ 1）都切合题意，共有9 个整点切合题意，∴m＝1 不切合题．2∴m＞1 ．2综合①②可得：当1 ＜m≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的地区（含界限）内有七个2整点，应选： B．【点睛】考察二次函数图象与系数的关系，抛物线与键.x 轴的交点，画出图象，数形联合是解题的关7．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数y m x3x9及y n x2x6图象，将二次函数y m x 3 x9 的图象按以下哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（）A．向左平移 2 个单位长度B．向右平移 2 个单位长度C．向左平移 10 个单位长度D．向右平移10 个单位长度【答案】D【分析】【剖析】将二次函数分析式睁开，联合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，两者做差后即可得出平移方向及距离．【详解】解：∵ y＝ m（ x＋3）（ x＋ 9）＝ mx2＋ 12mx＋ 27m， y＝ n（ x－ 2）（ x－ 6）＝ nx2－8nx＋12n，∴二次函数y＝ m（x＋ 3）（ x＋ 9）的对称轴为直线x＝－ 6，二次函数y＝ n（ x－ 2）（ x－6）的对称轴为直线x＝ 4，∵4－（－ 6）＝ 10，∴将二次函数 y＝ m（ x＋ 3）（ x＋ 9）的图形向右平移 10 个单位长度，两图象的对称轴重叠．应选： D．【点睛】本题考察了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，依据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的重点．8．如图，抛物线y ax2bx c 与x轴交于点A（﹣1，0），极点坐标（1，n），与y 轴的交点在（ 0， 3），（ 0， 4）之间（包含端点），则以下结论：① abc＞0；②3a+b＜42+bm（ m 为随意实数）；⑤一元二次方程ax2bx c n 0；③﹣≤a≤﹣ 1；④ a+b≥am3有两个不相等的实数根，此中正确的有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】 B【分析】b 解：∵抛物线张口向下，∴a＜ 0，∵极点坐标（1， n），∴对称轴为直线x=1，∴2a =1，∴ b=﹣ 2a＞0 ，∵与 y 轴的交点在（ 0， 3），（ 0， 4）之间（包含端点），∴ 3≤c≤4，∴abc＜ 0，故①错误；3a+b=3a+（﹣ 2a） =a＜ 0，故②正确；∵与 x 轴交于点A（﹣ 1 ，0），∴ a﹣b+c=0，∴ a﹣（﹣ 2a）+c=0，∴ c=﹣3a，∴ 3≤﹣43a≤4，∴﹣≤a≤﹣1，故③ 正确；3∵极点坐标为（ 1， n），∴当 x=1 时，函数有最大值n，∴ a+b+c≥am 2+bm+c，∴a+b≥am2+bm ，故④正确；一元二次方程ax2bx c n 有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误．综上所述，结论正确的选项是②③④共 3 个．应选 B．点睛：本题考察了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的张口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特色，重点在于依据极点横坐标表示出 a、 b 的关系．11 9．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣ 1，0），点B（ 1， 1）都在直线y x上，22a 的取值范围是（）若抛物线y＝ ax2﹣ x+1（ a≠0）与线段AB 有两个不一样的交点，则A a≤ 2B a99或a≤ 2 D2≤a9＜ C 1≤a﹣．﹣＜．﹣．．＜888【答案】 C【分析】【剖析】分 a＞ 0，a＜ 0 两种状况议论，依据题意列出不等式组，可求 a 的取值范围．【详解】∵抛物线 y＝ ax2﹣ x+1（ a≠0）与线段 AB 有两个不一样的交点，∴令1x1＝ax2﹣ x+1，则 2ax2﹣3x+1＝ 0 22∴△＝ 9﹣ 8a＞0∴a＜98a 1 10①当 a＜ 0 时，a 1 11解得： a≤﹣ 2∴a≤﹣ 2a 1 10②当 a＞ 0 时，a 1 11解得： a≥1∴1≤a＜98综上所述： 1≤a＜9或 a≤﹣ 2 8应选： C．【点睛】本题考察二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特色，二次函数图象点的坐标特色，利用分类议论思想解决问题是本题的重点．10．二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1， 0），对称轴为直线 x=2，以下结论：（1） 4a+b=0；（ 2）9a+c＞﹣ 3b；（ 3） 7a﹣ 3b+2c＞0；（ 4）若点 A（﹣ 3， y1）、点 B（﹣1，y2）、点 C（ 7， y3）在该函数图象上，则y1＜ y3＜ y2；（ 5）若2方程 a（x+1）（ x﹣ 5） =﹣ 3 的两根为 x1和 x2，且 x1＜ x2，则 x1＜﹣ 1＜ 5＜x2．此中正确的结论有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】 B【分析】依据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=- b=2，即 b=-4a，变形为2a4a+b=0，所以（ 1）正确；由 x=-3 时， y＞0，可得 9a+3b+c＞0，可得 9a+c＞-3c，故（ 2）正确；由于抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0) 可知 a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得 a+4a+c=0，即 c=-5a.代入可得 7a﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a，由函数的图像张口向下，可知a＜ 0，所以7a﹣ 3b+2c＜ 0，故（ 3）不正确；依据图像可知当x＜2 时， y 随 x 增大而增大，当x＞ 2 时， y 随 x 增大而减小，可知若点 A（﹣ 3， y11，y23 1 32，故（ 4））、点 B（﹣）、点 C（ 7， y）在该函数图象上，则 =y ＜ y2不正确；依据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5， 0），所以若方程a（ x+1）（ x ﹣5） =﹣ 3 的两根为 x1和 x2，且 x1＜ x2，则 x1＜﹣ 1＜ x2，故（ 5）正确．正确的共有 3 个 .应选 B.点睛：本题考察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0），二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小，当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜0 时，抛物线向下张口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点，当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点．抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣ 4ac=0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．11．如图，已知 A 4, 1 ，线段AB与 x 轴平行，且AB 2，抛物线yx2mx n 经过点 C 0,3和D 3,0，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为 t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（）A．0t 10B．2t 10C．2t 8D．2t10【答案】 B【分析】【剖析】直接利用待定系数法求出二次函数，得出 B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点 B 时，当抛物线 l 经过点 A 时，求出 y 的值，从而得出 t 的取值范围；【详解】解：（ 1）把点 C（ 0， 3）和 D（ 3， 0）的坐标代入 y=-x2+mx+n 中，n3得，323m n0n3解得m2∴抛物线l分析式为y=-x2+2x+3，设点 B 的坐标为（ -2， -1-2t ），点 A 的坐标为（ -4， -1-2t ），当抛物线 l 经过点 B 时，有 y=-（ -2）2+2×（-2） +3=-5，当抛物线 l 经过点 A 时，有 y=-（ -4）2+2×（ -4）+3=-21，当抛物线 l 与线段 AB 总有公共点时，有 -21≤-1-2t ≤-5，解得： 2≤t ≤10．故应选 B【点睛】本题主要考察了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形联合剖析得出关于 t 的不等式是解题重点．12．若用“ *表”示一种运算规则，我们规定：a* b＝ ab﹣ a+b，如： 3*2 ＝ 3×2﹣ 3+2＝ 5．以下说法中错误的选项是（）A．不等式（﹣ 2） * （ 3﹣x）＜ 2 的解集是x＜ 3B．函数 y＝（ x+2） * x 的图象与 x 轴有两个交点C．在实数范围内，不论 a 取何值，代数式a* （ a+1）的值总为正数D．方程（ x﹣ 2） *3 ＝5 的解是 x＝ 5【答案】 D【分析】【剖析】依据题目中所给的运算法例列出不等式，解不等式即可判断选项A；依据题目中所给的运算法例求得函数分析式，由此即可判断选项B；依据题目中所给的运算法例可得a*（a+1）＝ a（ a+1）﹣ a+（ a+1）＝ a2 +a+1＝（ a+ 1）2+3＞0，由此即可判断选项C；依据24题目中所给的运算法例列出方程，解方程即可判断选项 D.【详解】∵a* b＝ ab﹣ a+b，∴（﹣ 2） * （ 3﹣ x）＝（﹣ 2）×（ 3﹣ x）﹣（﹣ 2）+（ 3﹣ x）＝ x﹣ 1，∵（﹣ 2） * （ 3﹣ x）＜ 2，∴x﹣ 1＜ 2，解得 x＜3，应选项 A 正确；∵y＝（ x+2）* x＝（ x+2） x﹣（ x+2） +x＝ x2+2x﹣ 2，∴当 y＝ 0 时， x2 +2x﹣ 2＝ 0，解得， x1＝﹣ 1+3 ，x2＝﹣1﹣3，应选项B正确；∵a* （ a+1）＝ a（ a+1）﹣ a+（ a+1）＝ a2+a+1＝（ a+ 1）2 +3＞ 0，24∴在实数范围内，不论 a 取何值，代数式a* （ a+1）的值总为正数，应选项 C 正确；∵（ x﹣ 2）*3 ＝ 5，∴（ x﹣ 2）×3﹣（ x﹣2） +3＝ 5，解得， x＝3，应选项 D 错误；应选 D．【点睛】本题是阅读理解题，依据题目中所给的运算法例获得相应的运算式子是解决问题的重点.13．一次函数 y=ax+b 与反比率函数y= c在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则x二次函数y=ax2+bx+c 的图象可能是()A．B．C．D．【答案】 B【分析】【剖析】依据题中给出的函数图像联合一次函数性质得出a＜ 0， b＞ 0，再由反比率函数图像性质得出 c＜ 0，从而可判断二次函数图像张口向下，对称轴：b＞ 0，即在 y 轴的右侧，x2a与 y 轴负半轴订交，从而可得答案.【详解】解：∵一次函数 y=ax+b 图像过一、二、四，∴ a＜0， b＞ 0，又∵反比率函数 y= c图像经过二、四象限，x∴ c＜0，b＞ 0，∴二次函数对称轴： x2a∴二次函数 y=ax2+bx+c 图像张口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴负半轴订交，故答案为 B.【点睛】本题考察了二次函数的图形，一次函数的图象，反比率函数的图象，娴熟掌握二次函数的有关性质：张口方向、对称轴、与 y 轴的交点坐标等确立出 a、 b、 c 的状况是解题的重点．14．如图，在边长为 4 的正方形ABCD 中，动点P从A点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向B点运动，同时动点Q 从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD 方向运动，当P运动到B点时， P、 Q 点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ 的面积为 S ，则表示 S 与 t 之间的函数关系的图象大概是（）A．B．C．D．【答案】 D【分析】【剖析】本题应分两段进行解答, ①点 P在 AB上运动，点Q 在 BC上运动；②点 P在 AB上运动，点 Q 在 CD 上运动，挨次得出 S 与 t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点 P 在 AB 上运动，点 Q 在 BC上运动时，此时， AP t, BQ2tSV APQ1t2t t2，函数图象为抛物线；2当点 P 在 AB 上运动，点 Q 在 BC 上运动时，此时， AP t ，VAPQ底边AP上的高保持不变SV APQ1t 4 2t ，函数图象为一次函数；2应选： D．【点睛】本题考察的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与 t 之间的函数关系是解本题的关键．15．如图，矩形 ABCD 的周长是28cm，且 AB 比BC 长 2cm ．若点P从点 A 出发，以1cm / s 的速度沿 A D C 方向匀速运动，同时点Q 从点A出发，以2cm / s的速度沿A B C 方向匀速运动，当一个点抵达点 C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为 t( s) ， VAPQ 的面积为S cm2，则 S cm2与 t (s) 之间的函数图象大概是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 A 【分析】 【剖析】先依据条件求出 AB 、 AD 的长，当 0≤t ≤4时， Q 在边 AB 上， P 在边 AD 上，如图 1，计算 S与 t 的关系式，剖析图像可清除选项 B 、C ；当 4＜ t ≤6时， Q 在边 BC 上， P 在边 AD 上，如 图 2，计算 S 与 t 的关系式，剖析图像即可清除选项 D ，从而得结论．【详解】解：由题意得2 AB 2BC 28， AB BC 2 ，可解得 AB 8， BC 6，即 AD 6 ，① 当 0≤ t ≤4时， Q 在边 AB 上， P 在边 AD 上，如图1，△APQ = 1 1 2S2APgAQt g2tt ，2图像是张口向上的抛物线，应选项B 、C 不正确；② 当 4＜ t ≤6时， Q 在边 BC 上， P 在边 AD 上，如图 2，S △APQ = 1 APgAB1t 8 4t ，22图像是一条线段，应选项D 不正确；应选： A．【点睛】本题考察了动点问题的函数图象，依据动点P 和 Q 的地点的不一样确立三角形面积的不一样，解决本题的重点是利用分类议论的思想求出S 与 t 的函数关系式．2(h为常数),当自变量 x 的值知足 2x 5 时,与其对应的16．已知二次函数y( x h)函数值 y 的最大值为-1,则h的值为 ()A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6【答案】 B【分析】剖析：分h＜ 2、2≤h≤5和 h＞ 5 三种状况考虑：当h＜ 2 时，依据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0 与题意不符，可得出该状况不存在；当h＞ 5 时，依据二次函数的性质可得出对于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当 h＜2 时，有 -（2-h）2=-1，解得： h1=1， h2=3（舍去）；当 2≤h≤5时， y=-（ x-h）2的最大值为 0，不切合题意；当 h＞5 时，有 -（5-h）2=-1，解得： h3=4（舍去）， h4=6．综上所述： h 的值为 1 或 6．应选 B．点睛：本题考察了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、 2≤h≤5和 h＞ 5 三种情况求出 h 值是解题的重点．17．下边所示各图是在同向来角坐标系内，二次函数y＝ax2 +（ a+c）x+c 与一次函数y＝ax+c 的大概图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】 D【分析】【剖析】依据题意和二次函数与一次函数的图象的特色，能够判断哪个选项切合要求，从而获得结论．【详解】令 ax2+（ a+c） x+c=ax+c，ca∴二次函数 y=ax2+（ a+c） x+c 与一次函数 y=ax+c 的交点为（ 0， c），（ -c， 0），a选项 A 中二次函数 y=ax2+（ a+c） x+c 中 a＞0， c＜0，而一次函数y=ax+c 中 a＜ 0， c＞ 0，应选项 A 不符题意，选项 B 中二次函数 y=ax2+（ a+c）x+c 中 a＞ 0， c＜ 0，而一次函数y=ax+c 中 a＞ 0， c＜0，两个函数的交点不切合求得的交点的特色，应选项 B 不符题意，选项 C 中二次函数 y=ax2+（a+c）x+c 中 a＜ 0，c＞0，而一次函数y=ax+c 中 a＜ 0， c＞ 0，交点切合求得的交点的状况，应选项 D 切合题意，选项 D 中二次函数 y=ax2+（ a+c）x+c 中 a＜ 0， c＞0，而一次函数y=ax+c 中 a＞ 0， c＜0，应选项 C 不符题意，应选： D．【点睛】考察一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的重点是明确题意，利用数形联合的思想解答．18．在同一平面直角坐标系中，函数y 3x a 与 y ax2 +3 x 的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】 C【分析】【剖析】依据一次函数及二次函数的图像性质，逐个进行判断．【详解】解： A.由一次函数图像可知 a＞0，所以二次函数图像张口向上，但对称轴30 应在y 2a轴左边，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a＜ 0，而由二次函数图像张口方向可知a＞ 0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a＜ 0，所以二次函数图像张口向下，且对称轴30 在y轴右2a侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a＞ 0，而由二次函数图像张口方向可知a＜ 0，故此选项错误；应选： C．【点睛】本题考察二次函数与一次函数图象的性质，解题的重点是利用数形联合思想剖析图像，本题属于中等题型．19．已知二次函数y＝ ax2+bx+c（ a≠0）的图象如图，剖析以下四个结论：① abc ＜ 0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞ 0；④（a+c）2＜ b 2，此中正确的结论有（）A．1 个B．2 个【答案】 B【分析】试题分析：①由张口向下，可得a 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0,c 0，C．3 个D．4 个再依据对称轴在y 轴左边，获得 b 与a 同号，则可得 b 0,abc 0，故① 错误；②由抛物与 x 有两个交点，可得b2故② 正确；4ac 0，③当 x 2 ，y 0,即 4a2b c0 ⋯⋯（1）当 x 1 ，y 0,即 a b c0 ⋯⋯（2）（1） +（ 2）×2得，6a3c0，即 2a c 0，又因 a0,所以 a2a c3a c0，故③ ；④ 因x1， y a b c 0，1， y a b c 0x所以 a b c a b c0即 a c b a c b(a c)2b20,所以 (a c)2b2.故④ 正确，上可知，正确的有 2 个 .故 B．20．在平面直角坐系中，点P 的坐1,2，将抛物 y 1 x23x 2 沿坐平移2一次，使其点P ，平移的最短距离（）1B． 1C． 55A．D．22【答案】 B【分析】【剖析】先求出平移后P 点点的坐，求出平移距离，即可得出．【解】解： y 1 x23x 2 =1x325，222当沿水平方向平移，坐和P 的坐同样，把y=2 代入得：解得： x=0 或 6，平移的最短距离1-0=1；当沿直方向平移，横坐和P 的横坐同样，把x=1 代入得：解得： y=1，215平移的最短距离 2= ，22即平移的最短距离是1，应选 B.【点睛】本题考察了二次函数图象上点的坐标特色，能求出平移后对应的点的坐标是解本题的关键．。

九年级数学二次函数易错题总结(含答案)

九年级数学二次函数易错题总结(含答案)

九年级数学二次函数易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)，N(x2,−1)，若MN的长不小于2，则a的取值范围是()A. a≥13B. 0<a≤13C. −13≤a<0 D. a≤−13【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的性质，首先由点M(x1,−1)，N(x2,−1)，根据二次函数的性质可知M、N两点为对称点，将y=−1代入函数的解析式中得到关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程的关于系数的关系建立关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a−2(a是常数，且a≠0)的图象过点M(x1,−1)，N(x2,−1)，∴−1=ax2+2ax+3a−2，则ax2+2ax+3a−1=0，设该方程的根为x1、x2，∵MN的长不小于2，∴|x1−x2|≥2，∵x1+x2=−2，x1x2=3a−2a，∴√(x1+x2)2−4x1x2≥2，∴当a<0时，无解，当x>0时，0<a≤13，故选B．2.已知二次函数y=(x+m−2)(x−m)+2，点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1<x2)是其图象上两点，()A. 若x1+x2>2，则y1>y2B. 若x1+x2<2，则y1>y2C. 若x1+x2>−2，则y1>y2D. 若x1+x2<−2，则y1<y2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征的有关知识，首先确定抛物线的对称轴x=1，当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，利用图象法即可判断．【解答】解：如图，当x=m或x=−m+2时，y=2，∴抛物线的对称轴x=m−m+22=1，∴当x1+x2<2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，观察图象可知，此时y1>y2，故选B．3.已知二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点，则()A. 2m+n>43B. 2m+n<43C. 2m−n<43D. 2m−n>43【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0的结论的熟练应用．根据二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点可得判别式小于0，列出不等式求解即可．【解答】解：∵二次函数y=−x2+3mx−3n图象与x轴没有交点，∴△<0，即(3m)2−4×(−1)×(−3n)<0，9m2−12n<0，3m2<4n，∵抛物线开口向下，与x轴没有交点，∴−3n<0，∴n>0，当x=2时，y<0，即−4+6m−3n<0解得2m−n<43故选：C．4.已知二次函数y=−x²+3mx−3n，图像与x轴没有交点，则()A. 2m+n>43B. 2m+n<43C. 2m−n<43D. 2m−n>43【答案】C【解析】【分析】本题考查了以及二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点，关键是利用△=b2−4ac 和零之间的关系来确定图象与x轴交点的数目，即：当△>0时，函数与x轴有2个交点，当△=0时，函数与x轴有1个交点，当△<0时，函数与x轴无交点．函数y=−x2+3mx−3n的图象与x轴没有交点，用根的判别式：△<0，即可求出n>34m2，然后分别求解即可．【解答】解：∵二次函数y=−x2+3mx−3n，图像与x轴没有交点，令y=0，则0=−x2+3mx−3n，∴△=b2−4ac=9m2−12n<0，即：n>34m2，∴2m+n>2m+34m2=34(m+43)2−43≥−43，∴2m+n>−43，同理：2m−n<2m−34m2=−34(m−43)2+43≤43，即2m−n<43，故选：C．5.小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y=ax2−2a2x+1的图象，则()A. l1为x轴，l3为y轴B. l2为x轴，l3为y轴C. l1为x轴，l4为y轴D. l2为x轴，l4为y轴【答案】D【解析】解：∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为：直线x=a<0，∴L4为y轴，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴L2为x轴；故选：D．根据抛物线的开口向下，可得a<0，求出对称轴为：直线x=a，则可确定L4为y轴，再根据图象与y轴交点，可得出L2为x轴，即可得出答案．本题考查了二次函数的性质，开口方向由a确定，与y轴的交点由c确定，左同右异确定b的符号．6.二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，当−2≤x≤0时，y>0，则m的取值范围为()A. m<0B. m<1C. 0<m<1D. m>1【答案】D【解析】解：∵二次函数y =(x −1)(x −m +1)(m 是常数)， ∴该函数的图象开口向上，与x 轴的交点为(1,0)，(m −1,0)， ∵当−2≤x ≤0时，y >0，∴当m −1≥1时，即m ≥2或当0<m −1<1，得1<m <2， 由上可得，m 的取值范围为m >1， 故选：D ．根据二次函数y =(x −1)(x −m +1)(m 是常数)，可以求得该函数与x 轴的交点，然后根据当−2≤x ≤0时，y >0和二次函数的性质即可得到m 的取值范围，本题得以解决． 本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．7. 已知y 关于x 的二次函数y =ax 2−6ax +1，当−1≤x ≤4，函数的最小值为−3，则a =( )A. −47B. −47或49C. 49D. −47或12【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及最值，由y =ax 2−6ax +1=a (x −3)2−9a +1，可知当a >0时，最小值是−9a +1=−3，当a <0时，x =−1时，y 有最小值−3，则a +6a +1=−3，解关于a 的方程即可求得． 【解答】解：y =ax 2−6ax +1=a (x −3)2−9a +1， 其对称轴为直线x =3，当a >0时，最小值是−9a +1=−3，解得a =49；当a <0时，x =−1时，y 有最小值−3，则a +6a +1=−3，解得a =−47， 所以a 的值为49或−47， 故选：B ．8. 二次函数y =(x −1)(x −m +1)(m 是常数)，当−2≤x ≤0时，y >0，则m 的取值范围为( )A. m <0B. m <1C. 0<m <1D. m >1【答案】D【解析】解：∵二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，∴该函数的图象开口向上，与x轴的交点为(1,0)，(m−1,0)，∵当−2≤x≤0时，y>0，∴当m−1≥1时，即m≥2或当0<m−1<1，得1<m<2，由上可得，m的取值范围为m>1，故选：D．根据二次函数y=(x−1)(x−m+1)(m是常数)，可以求得该函数与x轴的交点，然后根据当−2≤x≤0时，y>0和二次函数的性质即可得到m的取值范围，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．9.对于代数式ax2+bx+c(a≠0,x可取任意实数)，下列说法正确的是()①存在实数p，q(p≠q)，有ap2+bp+c=aq2+bq+c，则ax2+bx+c=a(x−p)(x−q)②存在实数m，n，s(m,n，s互不相等)，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac>0，则一定存在两个实数m<n，使am2+bm+c<0<an2+bn+c④如果ac<0，则一定存在两个实数m<n，使am2+bm+c<0<an2+bn+cA. ①④B. ②③C. ③④D. ④【答案】D【解析】【分析】本题考查代数式；将问题转化为函数思想求解是本题的解题关键．p，q不一定是以y=ax2+bx+c为函数与x轴的两个交点，故①错误；令y=ax2+ bx+c，根据二次函数的对称性，故②错误；若ac>0，当a>0，c>0时，且△≤0，故③错误．【解答】解：存在实数p、q(p≠q)有ap2+bp+c=aq2+bq+c，但是p，q不一定是以y=ax2+bx +c 为函数与x 轴的两个交点，故①错误；令y =ax 2+bx +c ，根据二次函数的对称性，只存在两个实数m 、n 、使am 2+bm +c =an 2+bn +c ；故②错误；若ac >0，当a >0，c >0时，且△≤0，不存在两个实数m <n ，使am 2+bm +c <0<an 2+bn +c ，故③错误； 故选：D ．10. 二次函数y =(x −1)(x −m +1)(m 是常数)，当−2≤x ≤0时，y >0，则m 的取值范围为( )A. m <0B. m <1C. 0<m <1D. m >1【答案】D【解析】解：∵二次函数y =(x −1)(x −m +1)(m 是常数)， ∴该函数的图象开口向上，与x 轴的交点为(1,0)，(m −1,0)， ∵当−2≤x ≤0时，y >0，∴当m −1≥1时，即m ≥2，满足题意；或当0<m −1<1时，即1<m <2，也满足题意； 综上可得，m 的取值范围为m >1． 故选：D ．根据二次函数y =(x −1)(x −m +1)(m 是常数)，可以求得该函数与x 轴的交点，然后根据当−2≤x ≤0时，y >0和二次函数的性质即可得到m 的取值范围，本题得以解决． 本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）11. 当−3≤x ≤2时，函数y =ax²−4ax +2(a ≠0)的最大值是8，则a =_____．【答案】27或−32 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论有关知识，本题首先求得对称轴，根据x 的取值，分a >0和a <0两种情况讨论求得即可．【解答】解：∵函数y =ax 2−4ax +2(a ≠0)的对称轴为直线x =−−4a 2a=2，∴当a >0时，则x =−3时，函数y =ax 2−4ax +2(a ≠0)的最大值是8， ∴把x =−3代入得，9a +12a +2=8， 解得a =27；∴当a <0时，则x =2时，函数y =ax 2−4ax +2(a ≠0)的最大值是8， ∴把x =2代入得，4a −8a +2=8， 解得a =−32， 故答案为27或−32．12. 已知两点A(4,y 1)，B(3,y 2)均在抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)上，点C(x 0,y 0)是该抛物线的顶点，若y 1<y 2≤y 0，则x 0的取值范围是__________． 【答案】x 0<72 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，明确二次函数的对称性及函数值与对称轴远近的大小关系，是解题的关键．先判断出抛物线开口方向向下，进而按照A ，B 两点都在对称轴右侧或在对称轴两侧，分类讨论即可求解． 【解答】解：∵点C(x 0,y 0)是抛物线的顶点，y 1<y 2≤y 0， ∴抛物线有最大值，函数图象开口向下，∴当A(4,y 1)，B(3,y 2)两点都在对称轴右侧时，x 0≤3；∴当A(4,y 1)，B(3,y 2)两点在对称轴两侧时，则点B(3,y 2)离对称轴要近， ∴3<x 0<72，∴x 0的取值范围为：x 0<72 故答案为：x 0<72．13. 已知关于x 的二次函数y =ax 2+2ax +7a +3在−2≤x ≤5上的函数值始终是正的，则a 的取值范围_____________． 【答案】 a >0或−114<a <0 【解析】略14. 若二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，并且过点A(0,1)和点B(−1,0).设S =a +b +c ，则S 的取值范围是_______． 【答案】0<S <2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，二次函数的图像与性质， 需要灵活运用这些性质解题．将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c 的值及a 、b 的关系式，代入S =a +b +c 中消元，再根据对称轴的位置判断S 的取值范围即可． 【解答】解：将点(0,1)和(−1,0)分别代入抛物线解析式， 得c =1，a =b −1， ∴S =a +b +c =2b ，由题设知，对称轴x =−b2a >0且a <0， ∴2b >0．又由b =a +1及a <0可知2b =2a +2<2．∴0<S <2故本题答案为：0<S <2．15. 已知二次函数y =x 2−2(m −1)x +2m 2−m −2(m 为常数)，若对于一切实数m和x 均有y ≥k ，则k 的最大值为 ． 【答案】−134【解析】解：y =x 2−2(m −1)x +2m 2−m −2=(x −m +1)2+m 2+m −3， 当x =m −1时，y 有最小值m 2+m −3， 令w =m 2+m −3=(m +12)2−134≥−134，∵对于一切实数m 和x 均有y ≥k ，即k ≤w ，∵w ≥−134， ∴k ≤−134，故答案为−134．求出函数的最小值的取值范围即m 2+m −3=(m +12)2−134≥−134，由已知可知对于一切实数m 和x 均有y ≥k ，即k ≤w ．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质，能够将已知不等关系转化为函数的最值是解题的关键．16. 已知二次函数y =x 2−2(m −1)x +2m 2−m −2(m 为常数)，若对于一切实数m和x 均有y ≥k ，则k 的最大值为____． 【答案】 −134 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质先将二次函数化为顶点式，求出最值，令w =m 2+m −3，根据对于一切实数m 和x 均有y ≥k ，即k ≤w ，和w 的取值范围可求解． 【解答】解：∵y =x 2−2(m −1)x +2m 2−m −2=(x −m +1)2+m 2+m −3， ∴当x =m −1时，y 有最小值m 2+m −3． 令w =m 2+m −3=(m +12)2−134≥−134，∵对于一切实数m 和x 均有y ≥k ，即k ≤w ， ∵w ≥−134， ∴k ≤−134． 故答案为k ≤−134．17. 当−1≤a ≤14时，则抛物线y =−x 2+2ax +2−a 的顶点到x 轴距离的最小值为_______． 【答案】2916 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与x 轴的交点之间的关系是解答此题的关键．得出抛物线y =−x 2+2ax +2−a 顶点的纵坐标表达式，把a 的取值代入即可． 【解答】解：∵抛物线y =−x 2+2ax +2−a 的顶点纵坐标=−4(2−a )−4a 2−4=2−a +a 2=(a −12)2+74， 又∵−1≤a ≤14，当a =14时，(14−12)2+74=2916，∴顶点到x 轴距离的最小值是2916． 故答案为：2916．18. 已知y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过点A(−1,1)和B(1,−1)，且当−1≤x ≤1时，有−1≤y ≤1，则a 的取值范围是____． 【答案】−12≤a <0或0<a ≤12 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质和二次函数图象上点的坐标特征，能灵活运用性质是解此题的关键．把A 、B 的坐标代入函数解析式，即可求出a +c =0，b =−1，代入得出抛物线表达式为y =ax 2−x −a(a ≠0)，得出对称轴为x =12a ，再进行判断即可． 【解答】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过点A(−1,1)和点B(1,−1)， ∴a −b +c =1 ①，a +b +c =−1 ②， ①+ ②得：a+c=0，即a与c互为相反数， ①− ②得：b=−1，所以抛物线表达式为y=ax2−x−a(a≠0)，∴对称轴为直线x=12a，当a<0时，抛物线开口向下，且x=12a<0，∵抛物线y=ax2−x−a(a≠0)经过点A(−1,1)和点B(1,−1)，画图可知，当12a ≤−1时符合题意，此时−12≤a<0，当−1<12a<0时，图象不符合−1≤y≤1的要求，舍去，同理，当a>0时，抛物线开口向上，且x=12a>0，画图可知，当12a ≥1时符合题意，此时0<a≤12，当0<12a<1时，图象不符合−1≤y≤1的要求，舍去，综上所述：a的取值范围是−12≤a<0或0<a≤12，故答案为−12≤a<0或0<a≤12．19.已知二次函数y=x2−2(m−1)x+2m2−m−2(m为常数)，若对于一切实数m和x均有y≥k，则k的最大值为______．【答案】−134【解析】解：y=x2−2(m−1)x+2m2−m−2=(x−m+1)2+m2+m−3，当x=m−1时，y有最小值m2+m−3，令w =m 2+m −3=(m +12)2−134≥−134，∵对于一切实数m 和x 均有y ≥k ，即k ≤w ， ∵w ≥−134，∴k ≤−134， 故答案为−134．求出函数的最小值的取值范围即m 2+m −3=(m +12)2−134≥−134，由已知可知对于一切实数m 和x 均有y ≥k ，即k ≤w ．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质，能够将已知不等关系转化为函数的最值是解题的关键．20. 如图所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =1.直线y =−x +c 与抛物线y =ax 2+bx +c 交于C ，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a −b +c <0；②2a +b +c >0；③x(ax +b)≤a +b ；④a <−1.其中正确的有____________． 【答案】①②③④ 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，也考查了二次函数与不等式的关系，关键是得出x =3时，一次函数值比二次函数值大，根据二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系逐一判断即可． 【解答】解：∵抛物线与x 轴的一个交点在(3,0)左侧， 而抛物线的对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在(−1,0)右侧， ∴当x =−1时，y <0， ∴a −b +c <0，所以①正确； ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c >0，∵抛物线的对称轴为直线x =−b2a =1，∴b=−2a，∴2a+b+c=2a−2a+c>0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴x(ax+b)≤a+b，所以③正确；∵直线y=−x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<−3+c，而b=−2a，∴9a−6a<−3，解得a<−1，所以④正确．故答案为①②③④．21.已知四个点的坐标分别为A(−4,2)，B(−3,1)，C(−1,1)，D(−2,2)，若抛物线y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为____．【答案】a<0或a>1或0<a<19【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与系数的关系.解题的关键是熟练掌握和运用二次函数的有关知识，熟练运用数形结合．画出图象，分几种情况讨论：当抛物线开口向下，抛物线和四边形ABCD的边没有交点；当抛物线开口向上，把点的坐标分别代入二次函数的解析式，求出a的值，再根据二次函数的性质，即可求出的a取值范围．【解答】解：如图，当抛物线开口向下，抛物y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，∴a<0；当抛物线开口向上，把点C(−1,1)代入y=ax2，得1=(−1)2a，解得a=1，∵|a|越大，抛物线开口越小，|a|越小，抛物线开口越大，若抛物y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a>1；把点B(−3,1)代入y=ax2，得1=(−3)2a，解得a=19，把点A(−4,2)代入y=ax2，得2=(−4)2a，解得a=18，∵抛物y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，∴{0<a<19 0<a<18,解得0<a<19，综上，a的取值范围为a<0或a>1或0<a<19．故答案为a<0或a>1或0<a<19．22.二次函数，y=(x−1m)(mx−6m)(其中m>0)下列命题：①该函数图象过(6,0)，②该函数图像顶点在第三象限③若当x<n时，都有y随x的增大而减小，则，n≤3+12m，正确的序号是【答案】①③【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的性质的有关知识，先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与根的判别式，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵y=(x−1m)(mx−6m)=mx2−(6m+1)x+6，∴对称轴为x=−−(6m+1)2m =3+12m，△=[−(6m+1)]2−24m=(6m−1)2≥0，当x=6时，y=0，∴该函数图象过(6,0);故 ①正确;∵y=(x−1m)(mx−6m)=mx2−(6m+1)x+6，∴对称轴为x=−−(6m+1)2m =3+12m>0，该函数图象顶点不在第三象限，故 ②错误;当x<n时，y随x的增大而减小，即n≤3+12m，故③正确．故答案为①③．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）23.在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a,b是实数，a≠0)．(1)若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a,b)，求y1的表达式．(2)设函数y1的图象经过点(m,n)，函数y2的图象经过点(1m ,1n)，其中mn≠0，求m，n满足的关系式．(3)当0<x<1时，比较y1和y2的函数值的大小．【答案】解：(1)由题意，得到−b2=3，解得b=−6，∵函数y1的图象经过(a,−6)，∴a2−6a+a=−6，解得a=2或3，∴函数y1=x2−6x+2或y1=x2−6x+3．(2)将点(m,n)代入y1，点(1m ,1n)代入y2，得：n=m2+mb+a①，1n =am2+bm+1②，将①两边都除以m2，得：nm2=1+bm+am2③，∴由②和③，得：1n =nm2，∵mn≠0，∴m2=n2；(3)①当0<x<1，a=1时，y1=x2+bx+1，y2=x2+bx+1，此时y1=y2；②当0<x<1，a>1时，y1−y2=x2+bx+a−(ax2+bx+1)=x2+bx+a−ax2−bx−1=(1−a)x2+ a−1=(a−1)(1−x2)，∵a>1，∴a−1>0，又∵0<x<1，∴0<x2<1，∴1−x2>0，∴(a−1)(1−x2)>0，∴y1>y2；③当0<x<1，a<1时，y1−y2=x2+bx+a−(ax2+bx+1)=x2+bx+a−ax2−bx−1=(1−a)x2+ a−1=(a−1)(1−x2)，∵a<1，∴a−1<0，又∵0<x<1，∴0<x2<1，∴1−x2>0，∴(a−1)(1−x2)<0，∴y1<y2．【解析】此题考查的是二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．(1)根据对称轴直线求出b的值，再将点的坐标代入y1，求出a的值，即可确定y1的表达式；(2)将点(m,n)代入y1，点(1m ,1n)代入y2，得到两个含有m，n的等式，将其中一个变形后可得到1n =nm2，再次变形可得结论；(3)分情况讨论当0<x<1，a=1时；当0<x<1，a>1时；当0<x<1，a<1时，利用作差法列式计算后判断即可．24.已知一个二次函数y1的图像与x轴的交点为(−2,0)，(4,0)形状与二次函数y2=ax2相同，且y1的图像顶点在函数y=2x+b的图像上(a,b为常数)，则请用含有a的代数式表示b．【答案】解：由题意得：y1=±a(x+2)(x−4)=±a(x−1)2±9a，顶点坐标为：(1,±9a)，将顶点坐标代入函数y=2x+b表达式得：±9a=2+b，解得：b=9a−2或b=−9a−2，用含有a的代数式表示b为b=9a−2或b=−9a−2．【解析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．由题意得：y1=±a(x+2)(x−4)=±a(x−1)2±9a，则顶点坐标为：(1,±9a)，将顶点坐标代入函数y=2x+b表达式，即可求解．25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y1=x2−4x+4的顶点为D，直线y2=kx−2k(k≠0)．(1)点D是否在直线y2=kx−2k上？请说明理由；(2)过x轴上一点M(t,0)(0≤t≤2)作x轴上的垂线，分别交y1，y2于点P，点Q.小明同学借助图象性质探究：当k满足什么条件时，存在实数t使得PQ=3.他发现以下结论：①当k>0时，存在满足条件的t；②当−2<k<−0.5时，不存在满足条件的t.你认为小明的判断是否正确？请说明理由．【答案】解：(1)∵y1=x2−4x+4=(x−2)2，∴点D的坐标为(2,0)．当x=2时，y2=2k−2k=0，∴点D在直线y2=kx−2k上．(2)∵点M(t,0)，∴点P(t,t2−4t+4)，点Q(t,kt−2k)，∴PQ=|t2−4t+4−(kt−2k)|=|t2−(4+k)t+(4+2k)|．①当P在Q点上方时，k>0∵PQ=3∴t2−(4+k)t+(4+2k)=3整理得t2−(4+k)t+(1+2k)=0，∵Δ=b2−4ac=(4+k)2−4(1+2k)=k2+12>0，∴当k>0时，存在满足条件的t值．①正确．②当P在Q点下方时，k<0∵PQ=3∴t2−(4+k)t+(4+2k)=−3即t2−(4+k)t+(7+2k)=0∵Δ=b2−4ac=(4+k)2−4(7+2k)=k2−12∴当存在PQ=3时，k2−12≥0∴k≤−2√3或k≥2√3(舍去)∴当−2<k<−0.5时，不存在满足条件的t②正确．【解析】本题是代数综合题，综合考查了一次函数和二次函数图象性质．解答时注意随着k值的变化讨论PQ的相对位置关系．(1)将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后将顶点D的坐标代入y2=kx−2k即可(2)根据M点坐标可以得出P，Q的坐标，进而得到PQ=|t2−4t+4−(kt−2k)|= |t2−(4+k)t+(4+2k)|，①当P在Q点上方时，k>0，可得t2−(4+k)t+(1+ 2k)=0，根据根的判别式判断即可；②当P在Q点下方时，k<0，可得t2−(4+k)t+(7+2k)=0，根据判别式即可求解．26.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示：①当y<0时，x的取值范围是__________；②方程ax2+bx+c=3的解是_________．【答案】①x<−5或x>1；②x1=−4，x2=0．【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象，二次函数的图象与一元二次方程，二次函数的性质等有关知识．①利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−5,0)，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；②抛物线与y轴的交点为(0,3)，利用抛物线对称性得到抛物线过点(−4,0)，从而得到方程ax2+bx+c=3的解．【解答】解：①∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，而抛物线的对称轴为直线x=−2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−5,0)，∴当y<0时，x的取值范围是x<−5或x>1；故答案为x<−5或x>1；②方程ax2+bx+c=3的解为x1=−4，x2=0．故答案为x1=−4，x2=0．27.已知二次函数y1=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过三点(1,0)，(−6,0)，(0,−3)．(1)求该二次函数的解析式．(2)若反比例函数y2=4x(x>0)图象与二次函数y1=ax²+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内交于点A(x0,y o)，x0落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数．(3)若反比例函数y2=kx(k>0,x>0)的图象与二次函数y1=ax²+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内的交点为B，点B的横坐标为m，且满足3<m<4，求实数k的取值范围．【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x−1)(x+6)，将(0,−3)代入，解得a=12．∴抛物线解析式为y1=12x2+52x−3．(2)画出二次函数y1=12x2+52x−3的图象以及反比例函数y2=4x(x>0)在第一象限内的图象，由图象可知，交点的横坐标x0落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2．(3)由函数图象和函数性质可知：当3<x<4时，对y1=12x2+52x−3，y1随着x增大而增大，对y2=kx(k>0,x>0)，y2随着x的增大而减小．因为B为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所以当m=3时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2>y1，即k3>12×32+52×3−3，解得k>27．同理，当m=4时，由二次函数图象在反比例上方得y1>y2，即12×42+52×4−3>k4，解k<60，所以k的取值范围为27<k<60．【解析】(1)已知抛物线与x轴的交点，可用交点式来设二次函数的解析式．然后将另一点的坐标代入即可求出函数的解析式．(2)画出二次函数y1=12x2+52x−3的图象以及反比例函数y2=4x(x>0)在第一象限内的图象，由图象进而可写出所求的两个正整数．(3)点B的横坐标m满足3<m<4，可通过x=3，x=4两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可求出k的取值范围．本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，在直角坐标系中作图、读图的能力是解题的关键．28.如图所示，矩形ABCD的四个顶点在正三角形EFG的边上，已知△EFG的边长为2，设边长AB为x，矩形ABCD的面积为S.求：(1)S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．(2)S的最大值及此时x的值．【答案】解：(1)过E作EM⊥FG，交DC于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴CD//FG，AB=CD=x，∴△EDC∽△EFG，，∵△EFG是等边三角形，EM⊥FG，∴FM=12FG=1，∴EM=√22−12=√3，∴x2=√3−MN√3，∴MN=2√3−√3x2，∴S=AB·MN=x·2√3−√3x2=−√32x2+√3x(0<x<2)；(2)S=−√32x2+√3x=−√32(x−1)2+√32，当x=1时，S最大=√32．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．(1)根据矩形的性质得到△EDC∽△EFG，则，用x表示出MN的长，根据矩形的面积公式即可得到结论；(2)根据二次函数的性质即可得到结论．29.已知二次函数y=ax2+bx−3(a≠0)，且a+b=3．(1)若其图象经过点(−3,0)，求此二次函数的表达式．(2)若(m,n)为(1)中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围．(3)点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)是函数图象上两个点，满足x 1+x 2=2且x 1<x 2，试比较y 1和y 2的大小关系．【答案】解：(1)由题意得：{a +b =39a −3b −3=0，解得：{a =1b =2，∴此二次函数的表达式为：y =x 2+2x −3；(2)如图，∵y =x 2+2x −3=(x +1)2−4，且(m,n)是二次函数图象在第三象限内的点，∴−4≤n <0，当y =0时，x 2+2x −3=0， x =−3或1，∴图象过(1,0)和(−3,0)， ∴−3<m <0；(3)由条件可得：y 1=ax 12+(3−a)x 1−3，y 2=ax 22+(3−a)x 2−3，∴y 2−y 1=(x 2−x 1)[a(x 2+x 1)+3−a]， ∵x 1+x 2=2且x 1<x 2， ∴y 2−y 1=(x 2−x 1)(a +3)， ①当a >−3时，y 2>y 1， ②当a =−3时，y 2=y 1， ③当a <−3时，y 2<y 1．【解析】(1)依据待定系数法可求得二次函数的解析式；(2)利用配方法可得：y =x 2+2x −3=(x +1)2−4，图象过(1,0)和(−3,0)，可得结论； (3)根据已知得：b =3−a ，并将P 和Q 的坐标分别代入抛物线的解析式，并计算y 2−y 1=(x 2−x 1)(a +3)，分情况讨论可得结论．本题主要考查的是二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，利用数形结合思想求得m 和n 的取值范围是解题的关键．30. 已知抛物线y =x 2+bx +c(b >0)的顶点为A 点，(1)当A(−1,−2)时，求b 与c 的值． (2)若直线y =mx +n(n ≠0)经过A 点，①当直线与抛物线都与y 轴交于同一点，求b 与m 的关系式；②当直线与抛物线的另一个交点B 的横坐标是方程x 2−mx +14=0的一个根．求m 的最小值．【答案】解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +c(b >0)的顶点为A(−1,−2)，∴{−b2=−14c−b 24=−2, 解得b =2，c =−1； (2)①把(−b 2,4c−b 24)代入y =mx +n 得4c−b 24=−b2m +n ，∵直线与抛物线都与y 轴交于同一点， 所以c =n ， 所以4n−b 24=−bm 2+n ，整理得b =2m ；②设点A 的横坐标为x 1，点B 的横坐标为x 2， 则x 1=−b2①，令mx +n =x 2+bx +c ，整理得x 2+(b −m)x +c −n =0， 由根与系数的关系得， x 1+x 2=m −b②， 将①代入②，得 x 2=m −b 2③，把③代入x 2−mx +14=0，得， b 2−2mb +1=0， ∵b >0， ∴{m >04m 2−4≥0，解得m ≥1， ∴m 的最小值为1．【解析】(1)根据定顶点坐标公式求解；(2)①把A 代入y =mx +n ，再根据直线与抛物线与y 轴同交点，可确定b ，m 关系； ②设点A 的横坐标为x 1，点B 的横坐标为x 2，根据根与系数的关系可得x 1与x 2的关系，然后用m ，b 的代数式表示x 2，再将其代入方程x 2−mx +14=0，可得m 与b 的关系，从而确定m 最小值．本题考查二次函数根与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．31.已知一个二次函数y1的图象与x轴的交点为(−2,0)，(4,0)，形状与二次函数y2=ax2相同且开口方向与之相反，且y1的图象顶点在函数y=2x+b的图象上(a,b为常数)，则请用含有a的代数式表示b．【答案】解：由题意得：y1=−a(x+2)(x−4)=−a(x−1)2+9a，顶点坐标为：(1,9a)，将顶点坐标代入函数y=2x+b表达式得：9a=2+b，故b=9a−2．【解析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．由题意得：y1=−a(x+2)(x−4)=−a(x−1)2+9a，则顶点坐标为：(1,9a)，将顶点坐标代入函数y=2x+b表达式，即可求解．32.已知一个二次函数y1的图象与x轴的交点为(−4,0)，(8,0)，形状与二次函数y2=ax2相同，且y1的图象顶点在函数y=4x+b的图象上(a,b为常数)，则请用含有a的代数式表示b．【答案】解：由题意得：y1=a(x+4)(x−8)=a(x−2)2−36a，顶点坐标为：(2,−36a)，将顶点坐标代入函数y=4x+b表达式得：−36a=8+b，故b=−36a−8．【解析】本题考查的是二次函数的性质，一次函数图象点的坐标特征有关知识，由题意得：y1=a(x+4)(x−8)=a(x−2)2−36a，则顶点坐标为：(2,−36a)，将顶点坐标代入函数y=4x+b表达式，即可求解．33.已知二次函数y=−x2+2kx+1−k(k是常数)(1)求此函数的顶点坐标．(2)当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．(3)当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．【答案】解：(1)∵抛物线的解析式为y=−x2+2kx+1−k=−(x−k)2+1−k+k2，∴抛物线的顶点坐标为(k,1−k+k2)；(2)∵抛物线的解析式为y=−(x−k)2+1−k+k2，∴当x≥k时，y随x的增大而减小，∵当x≥1时，y随x的增大而减小，∴k≤1．(3)①当k<0时，x=0时，函数值最大，最大值为1−k，∴1−k=3，解得k=−2；②当0≤k≤1时，最大值为1−k+k2，则1−k+k2=3，解得k=2(舍去)或−1(舍去)；③当k>1时，x=1时，函数值最大，最大值为−1+2k+1−k，∴−1+2k+1−k=3，解得k=3综上，当0≤x≤1时，该函数有最大值3，则k=−2或k=3．【解析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．(1)配方得到顶点式，可确定顶点坐标；(2)根据二次函数的性质即可得到k的取值；(3)分三种情况讨论，关键题意得到关于k的方程，解方程即可求得．34.已知二次函数y=ax2−4ax+3+b(a≠0)．(1)求出二次函数图象的对称轴；(2)若该函数的图象经过点(1,3)，且整数a，b满足4<a+|b|<9，求二次函数的表达式；(3)在(2)的条件下且a>0，当t≤x≤t+1时有最小值3，求t的值．2=2；【答案】解：(1)二次函数图象的对称轴是x=−−4a2a(2)该二次函数的图象经过点(1,3)，∴a−4a+3+b=3，∴b=3a，把b=3a代入4<a+|b|<9，得4<a +3|a|<9．当a >0时，4<4a <9，则1<a <94． 而a 为整数， ∴a =2，则b =6，∴二次函数的表达式为y =2x 2−8x +9； 当a <0时，4<−2a <9，则−92<a <−2． 而a 为整数，∴a =−3或−4，则对应的b =−9或−12，∴二次函数的表达式为y =−3x 2+12x −6或y =−4x 2+16x −9； (3)在(2)的条件下，且a >0，所以y =2x 2−8x +9， 开口向上，对称轴为直线x =2， ①当t +1<2时，即t <1．y 随着x 的增大而减少，当x =t +1时，y 取得最小值．即2(t +1)2−8(t +1)+9=32，解得t 1=12,t 2=32(舍去)， 所以t =12， ②当t ≤2≤t +1时，即1≤t ≤2． 此时，x =2时，y 取最小为1≠32， ③当t >2时，y 随着x 的增大而增大，当x =t 时，y 取得最小值． 即2t 2−8t +9=32，解得t 1=32(舍去)，t 2=52 ，所以t =52， 综上可得：t 的值为12或52．。

(易错题精选)初中数学二次函数难题汇编及答案解析

(易错题精选)初中数学二次函数难题汇编及答案解析
【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为 ，
设新数与原数的差为y
则 ，
易得，当m＝0时，y＝0，则A错误
∵
当 时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时， ＝21
解得 ＝30， ＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选B．
11．如图是二次函数 的图象，有下面四个结论： ； ； ； ，其中正确的结论是
（易错题精选）初中数学二次函数难题汇编及答案解析
一、选择题
1．若二次函数y＝x2﹣2x+2在自变量x满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m的值为（ ）
A． B．
C．1D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m的方程，可求得m的值．
【详解】
①由抛物线交y轴于负半轴，则c<0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；
∵对称轴在y轴右侧，对称轴为x= >0，
又∵a>0，
∴b<0；

初中数学二次函数易错题汇编附答案

初中数学二次函数易错题汇编附答案

【详解】
①根据抛物线开口方向得到 a 0 ，根据对称轴 x b 0 得到 b 0 ，根据抛物线与 y 2a
轴的交点在 x 轴下方得到 c 0 ，所以 abc 0 ，故①正确.
② x 1 时，由图像可知此时 y 0，即 a b c 0，故②正确.
③由对称轴 x b 1 ，可得 2a 3b 0 ，所以 2a 3b 0 错误，故③错误； 2a 3
6．如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象，有下面四个结论： ①abc 0 ； ②a b c 0 ； ③2a 3b 0 ； ④c 4b 0 ，其中正确的结论是 ( )
A． ①②
B． ①②③
C． ①③④
D． ①②④
【答案】D 【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得到 a 0 ，根据对称轴 x b 0 得到 b 0 ，根据抛物线与 y 轴 2a
BP=8－x，
过点 Q 作 QF⊥AB 于点 F，则 QF= 2 BQ 2 x ，
2
2
则 y 1 (8 x) 2 x 2 x2 2 2x ，此段抛物线的开口向下；
2
2
4
当点 P 在 BC 边上，即 8 x 8 2 时，如图 2，由题意得：BQ=x，BP=x－8，∠CBD=45°，
过点 Q 作 QE⊥BC 于点 E，则 QE= 2 BQ 2 x ，
值，由最小值为 6，则可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值．
【详解】
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为 x＝1，
当 m＞1 时，可知当自变量 x 满足 m≤x≤m+1 时，y 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝m 时，y 有最小值，
∴m2﹣2m+2＝6，解得 m＝1+ 5 或 m＝1﹣ 5 （舍去），

二次函数易错题和重点题

二次函数易错题和重点题

2017-2018学年度第一学期九上数学二次函数易错题和重点题一、选择题1．点A (－2，－3)在函数y ＝ax 2＋bx ＋4图象上，则4a －2b 的值为（ ） A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9 2．抛物线y ＝(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ） A ．(2，－3)B ．(－2，－3)C ．(－2，3)D ．(2，3)3．二次函数y ＝2(x －2)2＋1，则下列说法正确的是（ ） A ．图象的开口向下B ．函数的最大值为1C ．图象的对称轴为直线x ＝－2D ．当x ＜2时，y 随x 的增大而减小4．要将抛物线y ＝2(x －2)2＋1平移后得到抛物线y ＝2x 2，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，自变量x 与函数y 的对应值如表：下列说法中正确的是( )A 抛物线的开口向下；B 当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大；C 二次函数的最小值是－2；D 抛物线的对称轴是x ＝－2.56．某同学在描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，列出了下面的表格由于粗心，他算错了其中一个值，则这个错误的数值是（ ） A ．－11B ．－2C ．1D ．－57．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：① abc ＞0；② 9a ＋c ＜3b ；③ 3b ＋2c ＜0；④ m (am ＋b )＋b ≤a （m 为任意实数），其中正确的结论个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：下列结论正确的个数是（ ）(1）对称轴为 1 x(2)a ＞0 (3) m= 8 （4）n= 2 （5）c= 6A. 1B.2C. 3D.49．在抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A (－0.5，y 1)、B (2，y 2)和C (3，y 3)三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1、y 2和y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 310．已知关于x 的二次函数y ＝(x －h )2＋3，当1≤x ≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为（ ） A ．23B ．23或2 C ．23或6 D ．2、23或6二、填空题11.已知函数y＝－(2x-1)2＋2，当x______时，y随x的增大而减小.12.将抛物线y＝x2－2x－3向左平移1个单位, 再向下平移2个单位得到的新抛物线解析式为.13.关于x的函数y＝(k－1)x2－2x＋1与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_________.14.抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_________；当y＜3时，x的取值范围是_________15．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC．当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需__________秒16．如图，点A、B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为___________三、解答题17.二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（-3，0），求二次函数的解析式18．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0(1) 一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是_______________(2) 一元二次方程ax2－2ax＋c＞0的解集是________________19..已知P(3，m)和Q(1，m)是抛物线y＝2x2＋bx＋1上的两点(1) 求b的值(2) 若2x2＋bx＋1≤m，请直接写出x的取值范围2(2)方程-x 2+bx+c=0的解是 。

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二次函数易错题、重点题型汇总
一、选择题
1、若二次函数52
++=bx x y 配方后为k x y +-=2
)2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1
2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
3、根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c
-0.6
-0. 2
0. 3
0.9
判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26
4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 1＜y 3＜y 2
5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180º，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对
6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0；
④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7、函数y=x 2
-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）
A ．31≤≤-x
B ．31<<-x
C ．31>-<x x 或
D ．31≥-≤x x 或
8、设一元二次方程（x －1）（x －2）=m(m >0)的两实根分别为α，β，且α<β，则α，β满足
A. 1<α<β<2
B. 1<α<2 <β
C. α<1<β<2
D.α<1且β>2
9、已知：二次函数2
4y x x a =--，下列说法错误．．的是（ ） A ．当1x <时，y 随x 的增大而减小 B ．若图象与x 轴有交点，则4a ≤
C ．当3a =时，不等式2
40x x a -+>的解集是13x <<
D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(12)-，，则3a =-
10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a
x
与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同
一坐标系中的大致图象可能是（ ）
二、填空题
11、抛物线y =-2(x -1)2-3与y 轴的交点纵坐标为
12、已知函数342+-=x x y ，当30≤≤x 时，y 的取值范围是__ _ 13、如果二次函数22
(2)(4)y m x x m =-++-的图象过原点，那么m =________． 14、抛物线772
--=x kx y 的图象和轴有交点，则k 的取值范围是 15、若抛物线y=x 2
－kx+k －1的顶点在坐标轴上，则k= 16、二次函数2
y ax bx c =++的部分对应值如下表：
x (3)
-
2
-
1 3
5
… y
…
7
8
-
9
-
5
-
7
…
二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为x= ，x=2对应的函数值y = ． 17、已知一个二次函数图象的形状与抛物线2
4y x =相同，它的顶点坐标是（2,4），则二次函数的解
析式是 .
18、如图所示的抛物线是二次函数22
31y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．
19、抛物线y=ax 2
+2ax+a 2
+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是
___________
20、如图，已知函数x
y 3-
=与bx ax y +=2
（a>0，b>0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程bx ax +2
x
3
+=0的解为 三、解答题
21、如图，在⊙M 中，弦AB 所对的圆心角为120度，已知圆的半径为2cm ，建立如图所示的直角坐标系。

(1)求圆心M 的坐标；
(2)求经过C B A ,,三点的抛物线的解析式；
22、二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
23、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件。

调查表明：单价每上涨0.5元，该商品每月的销售量就减少5件。

（1）请写出每月销售该商品的利润y （元）与单价上涨x （元）间的函数关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
（3）若该网店每月要扣除200元的固定成本，问它每月能获得6000元的利润吗？请说明理由。

图4
x
y
3 3 2 2 1 1
4 1- 1- 2-
O
24、如图（1），抛物线2
2y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）． （1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线2
2y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点
D 的坐标；若不存在，请说明理由；
25、已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）
（3）
（2）。

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