直角三角形知识讲解

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中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin=∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60° sinα21 22 23cos α 23 22 21tan α 33 1 3cot α31334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；（2）平方关系：1cos sin22=+A A（3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

直角三角形的边角关系知识点

直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。

即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。

二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。

三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。

四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。

五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。

2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。

3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。

4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。

5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。

六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。

2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。

3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。

以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。

通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。

同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。

【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

《解直角三角形》专题复习一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（a b c h •=•）由上图可得：AB •CD=AC •BC二、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°c asin =∠=斜边的对边A Ac bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aab cot =∠∠=的对边的邻边A A A锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1；（3）弦切关系tanA=A Acos sin cotA=AA sin cos（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)AC BDsin A sin c A ，cos b c A 12S ab =）结论：直角三角形斜边上的高）测底部不可到达物体的高度BP=xcot α 东西 2八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题辅助线构造抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用【解直角三角形】经典测试题（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（）A. sin65°< cos26°B. sin65°> cos26°C. sin65°= cos26°D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1图15、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（）．A ．3B ．22C ．3D ．3227、如果∠A 是锐角，且3sin 4B =，那么（）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（）A.47B.12C ．13D ．09、若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。

直角三角形和圆知识点总结

一、直角三角形的性质1. 直角三角形的定义：直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是直角，即为90度。

2. 直角三角形的三边关系：直角三角形的三条边之间有特定的关系。

根据毕达哥拉斯定理可得出：直角三角形的斜边平方等于两直角边平方的和，即c^2 = a^2 + b^2。

3. 直角三角形的三角函数：在直角三角形中，角的正弦、余弦、正切等三角函数有着特定的定义和性质。

例如，正弦为对边与斜边之比，余弦为邻边与斜边之比，正切为对边与邻边之比。

这些三角函数的性质对于解决直角三角形相关的问题非常重要。

4. 直角三角形的角平分线、高、中线等性质：直角三角形中的角平分线将对边分成相等的两部分，高是指从直角顶点到斜边的垂直距离，中线是指连接斜边的中点与对边中点的线段。

这些线段与角的关系、长度的关系、位置的关系等都是直角三角形的重要性质。

5. 直角三角形的应用：在日常生活和数学问题中，直角三角形的应用非常广泛。

例如，利用正弦定理、余弦定理、面积公式等来解决实际问题，如计算高楼的高度、测量远处物体的距离等。

因此，掌握直角三角形的性质和应用是十分重要的。

二、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离等于定长的点的全体的轨迹。

这个定点叫做圆心，到这个定点的距离叫做半径。

圆的直径是连接圆上两点的线段并经过圆心。

2. 圆的周长和面积公式：圆的周长公式为C= 2πR，圆的面积公式为A=πR^2。

其中，π是一个无理数，近似值为3.14。

掌握圆的周长和面积公式对于解决圆相关的实际问题非常有帮助。

3. 圆心角和弧度的关系：圆心角是由圆心上的两条射线所夹的角，弧度是指圆上一弧所对的圆心角的度数。

圆心角和弧度之间有一个重要的关系式：弧长 = 半径 * 弧度。

这个公式对于圆弧的计算非常有用。

4. 圆周角的性质：在一个圆中，圆周角是指一个角的顶点位于圆周上，两条边是圆的两条弧。

圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数。

这个性质对于解决圆周角相关的问题非常有用。

直角三角形知识点及复习

直角三角形知识点一、直角三角形的性质1、Rt △的两个锐角互余（∠A+∠B=90°）2、斜边上的中线等于斜边的一半（若D 为斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ） 3、30°角所对直角边等于斜边的一半（若∠A ＝30°，∠C=90°，CB=12AB ）4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则222a b c +=）二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的△是直角三角形。

2、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为90°3、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则∠C ＝90°。

用法：（1）选出最大边；（2）计算较小两边的平方和；（3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。

三、常用几个结论：（1）（2）直角三角形斜边上的高＝两直角边乘积除以斜边。

公式为c ab h c=（3）常见的勾股数：（3k ，4k ，5k ）（5k ，12k ，13k ）（7k ，24k ，25k ）（8k ，15k ，17k ）（9k ，40k ，41k ）（4）在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。

（1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离例1 如图1有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面周长为10cm ，在圆柱的下底面A 点上有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。

连接AC ，则AC 即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。

300x 2x3x 450x 2xx图1 图2 半周长解：①若沿着曲面走，则：AB=12×10=5，BC=12，所以AC=2251213+=②若走折线A=>D=>C ，则AC+DC=12+10π∵12+10π>13 ∴最短路程为13cm 。

直角三角形(提高)知识讲解

直角三角形（提高）责编：杜少波【学习目标】1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形两个锐角互余的性质, 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.3. 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.4. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定两个角互余的三角形是直角三角形.在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形性质的应用1、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=12AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=12AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=12AB=BM，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB=12AB=BM，∴CM=CB，∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．举一反三：【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数．【答案】解：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为18°，72°，90°．类型二、含有30°的直角三角形2、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD即可；（2）取AB的中点O，连接CO，设AD=x，则BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO，AD=DO，证△COA是等边三角形即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∵∠C=90°，CD⊥AB，∴AB=2AC，AC=2AD，∴AB=4AD，∴BD=3AD．（2）取AB的中点O，连接CO，∵BD=3AD，∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，∵∠C=90°，O是AB的中点，∴OC=OA=2x，∴OD＝x＝12 CO，∵CD⊥AB，∴∠OCD=30°，∴∠COD=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴∠A=60°．【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 12DC．【答案】解：如图，连接DB．∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=DB ，∴∠A=∠ABD ，∵BA=BC ，∠B=120°，∴∠A=∠C=12（180°-120°）=30°， ∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°-30°=90°，∴BD=12DC ， ∴AD=12DC ．3、如图，在△ABC 中，已知AB=AC=2a ，∠ABC=15°，CD 是腰AB 上的高,求 CD 的长．【思路点拨】过点C 作CD ⊥AB 于D ，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°．在直角△ACD 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD 的长．【答案与解析】举一反三：【答案】解：∵DE ⊥AB ，类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E．（1）E是CF的中点吗？试说明理由；（2）试说明：∠B=2∠BCF．【思路点拨】（1）连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=AB，然后求出CD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据等边对等角可得∠DCF=∠DFC，∠B=∠BDF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【答案与解析】（1）解：如图，连接DF，∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，∴DF=BF=AB，∵DC=BF，∴CD=DF，∵DE⊥CF，∴E是CF的中点；（2）证明：由（1）的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD，∵DC=BF，∴∠DCF=∠DFC，由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∴∠FBD=2∠DCF，即∠B=2∠BCF．。

直角三角形的特性与计算知识点总结

直角三角形的特性与计算知识点总结直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

它具有一些独特的性质和特征，我们在几何学和三角学的学习中经常会用到直角三角形的计算知识。

本文将总结直角三角形的特性，并介绍一些与其相关的计算知识点。

1. 特性1.1 直角三角形的特征直角三角形的一个角度为90度，被称为直角。

另外两个角度称为锐角和钝角。

直角三角形的边可以分为两个直角边和一个斜边。

其中斜边是直角三角形最长的一条边。

1.2 勾股定理直角三角形的特性之一是满足勾股定理。

勾股定理指的是直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

表达式为：a² + b² = c²，其中a和b为直角三角形的两个直角边长度，c为斜边长度。

1.3 边的关系直角三角形的任意两条边之间也存在特殊的关系。

设a、b、c分别为直角三角形的直角边和斜边的长度，则有以下关系：- 正弦定理：sinA = a / c，sinB = b / c- 余弦定理：cosA = b / c，cosB = a / c- 正切定理：tanA = a / b，tanB = b / a2. 计算知识点2.1 求直角边已知斜边长度c和另一条直角边的长度a（或b），可以利用勾股定理求解直角边的长度。

根据勾股定理的表达式a² + b² = c²，可以得到：- 求a：a = √(c² - b²)- 求b：b = √(c² - a²)2.2 求角度已知直角边的长度a和斜边长度c（或b和c），可以利用三角函数的反函数求解角度。

根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下计算公式：- 求锐角A的度数：A = arcsin(a / c)，A = arccos(b / c)- 求锐角B的度数：B = arcsin(b / c)，B = arccos(a / c)2.3 解决实际问题直角三角形的计算知识可以应用于解决实际问题。

直角三角形(基础)知识讲解

直角三角形（基础）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD =⎧⎨⎩＝ ∴Rt △ADC 与Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【总结升华】如果想去证两个小的直角三角形全等的话，会发现除了直角和对顶角，就没有别的条件了，AC ＝BD 用不上，所以另想办法，连接DC ，在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，问题迎刃而解.证明的时候要考虑所给的条件能用上，所给的线段不能割裂开.举一反三：【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．类型二、直角三角形性质的应用4、如图所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，试求BD 和CE 的长．【答案与解析】解：∵BD ⊥AC 于D ，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°－60°＝30°，在Rt △BEH 中，∠HEB ＝90°，∠EBH ＝30°．∴BH ＝2EH ＝4．同理可得，CH ＝2HD ＝2，∴BD ＝BH ＋HD ＝4＋1＝5．CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．举一反三：【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.【答案】3；提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE=AE=2，CE=1，所以AC=3.。

直角三角形-知识讲解

直角三角形-知识讲解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN直角三角形（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.【总结升华】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.3、如图 AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．【答案与解析】证明：在Rt △ABD 与Rt △ACE 中∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS)∴AD ＝AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)∴∠DAF ＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】若能证得AD ＝AE ，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ，而要证AD ＝AE ，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ，由题意已知AB ＝AC ，∠BAC 是公共角，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ．条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．类型二、直角三角形性质的应用4、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【答案与解析】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴∠BPQ＝60°．∵ BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°，∴∠PBQ＝90°－60°＝30°，∴ BP＝2PQ．【总结升华】(1)从结论入手，从要证BP＝2PQ联想到要求∠PBQ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP＝2PQ⇒∠PBQ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD≌△BAE⇒∠BPQ＝60°⇒∠PBQ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．。

直角三角形

教学内容知识点讲解/梳理知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的性质定理2、定理：1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1. 在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为____。

考点：直角三角形的性质，三角形内角和。

分析：利用直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，即可算出。

解答：解：根据直角三角形性质，两个锐角互余；题目已知条件已经给出其中一个锐角为52°，即：90°-52°=48°点评：熟悉掌握直角三角形的性质，是解题的关键。

例2、在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

考点：直角三角形的性质，等腰三角形的性质。

分析：利用直角、等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半和等腰三角形两底角相等，即可算出。

解答：解：因为△ABC为直角三角形，并且CE为斜边AB的中线，根据直角三角形性质可得，CE=AE=BE。

∴△ACE和△CBE是等腰三角形，即∠A=∠ACE；又∵∠A=35°，∠ECB=∠B,则∠AEC=110°，而∠AEC=∠ECB+∠B 即∠ECB=55°。

点评：熟悉掌握直角三角形和等腰三角形的性质，是解题的关键。

即时训练：1、已知，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=；2、在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A与∠B；3、在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是三角形。

4.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=（）A.66°B.36°C.56°D.46° 5.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，CD ＝4 cm ，则AB ＝________cm.。

《直角三角形的判定》知识点解读

《直角三角形的判定》知识点解读知识点1 直角三角形的判别条件（重点）假设三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.解读重点（1）以上是直角三角形的判别条件，被称为“勾股定理的逆定理”.（2）该定理不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是否为直角三角形.当然也不能说“斜边”和“直角边”.（3）当满足222a b c +=时，那么最长边c 是斜边，其所对角是直角.较短的两边为两直角边.（4）勾股定理与勾股定理的逆定理的区别：勾股定理的成立前提条件是直角三角形，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而勾股定理的逆定理，它是由三角形三边的数量关系判断一个三角形是否为直角三角形，直角三角形作为它的判断结论.【例1】三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中能构成直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：若已知三角形三边长，要判断这个三角形是否为直角三角形，可利用直角三角形的判别条件，即是否有两个较小数的平方和等于大数的平方. ①222345+=②22294041+=③22272425+=④222138485+=所以以上4组都能构成直角三角形，应选D.解：D【例2】在△ABC 中，22-,a m n =2,b mn =22+,c m n =其中m ，n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形.分析：此题已给出三角形的三边长，只需使用直角三角形的判别条件实行判断就能够，但关键是确定最大边.解：因为m ，n 是正整数，且m>n ，222(-)20,m n m n mn =+->所以22+2,m n mn >所以c>b.又222222222(+)()20,m n m n m n m n n --=+-+=>所以c>a.所以c 为最长边.因为2222224224222222()(2)24(),a b m n mn m m n n m n m n c +=-+=-++=+=所以△ABC 是直角三角形. 方法归纳：给出三角形三边长，判断这个三角形是否为直角三角形，先找出最长边，再计算三边的平方，最后验证最长边的平方是否等于另两边的平方和，假设相等，则该三角形为直角三角形.否则不是直角三角形.知识点2 勾股数（理解）能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

直角三角形相关知识归纳总结

直角三角形相关知识归纳总结1. 什么是直角三角形？说到直角三角形，大家一定不陌生吧？想象一下，咱们在数学课上学到的那种三角形，其中有一个角是90度，就像我们在生活中经常遇到的那些角落，真的是超级好辨认的。

这个三角形的名字也跟它的特征息息相关，直接就是“直角”二字！对吧？而且，直角三角形里有一个超级重要的定理，叫做勾股定理。

嘿，别急，别一听到数学就想打哈欠，咱们慢慢聊。

1.1 勾股定理勾股定理可不是普通的定理，它可是数学界的“摇滚明星”。

这个定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

听起来有点晦涩？别担心，举个简单的例子就明白了：如果一条直角边是3，另一条是4，那么斜边就是5，因为3² + 4² = 9 + 16 = 25，平方根就是5！是不是简单又好记？这就像是直角三角形的法则，学会了就能在生活中用得上。

1.2 直角三角形的分类直角三角形也不止一种样子哦！根据边的长度，它们可以分为等腰直角三角形和不等边直角三角形。

等腰的直角三角形就像是一对双胞胎，两个直角边相等，看起来特别对称，真是赏心悦目。

而不等边直角三角形就更常见了，两个直角边的长度不同，各有各的风采，仿佛每一个都有自己独特的个性。

2. 直角三角形的性质直角三角形还有一些有趣的性质，听着就让人忍不住想笑。

比如，直角三角形的一个角是直角，剩下的两个角加起来肯定是90度，这就像是说：“嘿，咱们来一起凑个热闹，凑个180度！”而且，它的斜边总是最长的，这就像在三角形的家族聚会上，斜边总是那个显得高大挺拔的哥哥，其他边只能甘愿做“小弟”。

2.1 面积计算提到直角三角形，面积的计算也是一门艺术。

公式就是：面积 = 1/2 × 底× 高。

简单来说，你只需要把直角边当作底和高，再用它们的长度乘起来，最后一刀切成一半，就能得出面积。

听起来是不是很方便？就像是在厨房里做菜，简单的材料，轻松做出美味的佳肴。

直角三角形的性质知识点总结

直角三角形的性质知识点总结直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在几何学中，直角三角形有许多独特的性质和特点。

本文将总结直角三角形的性质，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的几何概念。

一、直角三角形的定义和特点直角三角形是指一个角为90度的三角形。

其中，90度的角称为直角。

直角三角形的特点如下：1. 边长关系：假设直角三角形的两边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，有a² + b² = c²，这是直角三角形的重要性质之一。

2. 角度关系：直角三角形的另外两个角称为锐角和钝角。

锐角指小于90度的角，而钝角指大于90度而小于180度的角。

直角三角形的锐角和钝角之和等于90度。

3. 唯一性：直角三角形中的直角是唯一的，只有一个角度为90度的三角形才是直角三角形。

二、直角三角形的重要性质直角三角形存在许多与边长、角度以及三角函数相关的重要性质。

以下是其中一些常见的性质：1. 斜边与其他两条边的关系：斜边是直角三角形中最长的边，也是其他两边长度的平方和的平方根。

即c = √(a² + b²)。

2. 正弦定理：对于直角三角形中的一个锐角A，正弦定理为sin(A)= a/c，其中a为锐角A对应的边的长度，c为斜边的长度。

3. 余弦定理：对于直角三角形中的一个锐角A，余弦定理为cos(A) = b/c，其中b为锐角A的邻边长度，c为斜边的长度。

4. 正切定理：对于直角三角形中的一个锐角A，正切定理为tan(A)= a/b，其中a为锐角A对应的边的长度，b为锐角A的邻边长度。

5. 特殊比例关系：直角三角形中的特殊比例关系包括3：4：5和5：12：13。

即两条直角边长度比例为3:4时，斜边长度为5；两条直角边长度比例为5:12时，斜边长度为13。

6. 边上的角度关系：直角三角形中，直角的对边上的角是锐角或钝角。

三、直角三角形的应用直角三角形的性质在实际应用中得到广泛的运用。

2122 直角三角形----知识讲解(基础)

直角三角形----知识讲解（基础）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：222a cb =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、勾股定理1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，∴2222325a c b =-=-=；（2）设3a k =，5c k =．∵∠C ＝90°，b ＝32，∴222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，222BD DC BC =+，所以2222161220BD DC BC =+=+=(cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 16913AB ==(m )． ∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ．【高清课堂勾股定理例3】类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a cb +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n 可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小．举一反三：【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中a =b =2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵227a ==，223b ==，2224c ==，∴222a b c =+，∴以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【高清课堂勾股定理逆定理例3】【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（） A ．20:15:12 B ．3:4:5 C ．5:4:3 D ．10:8:2 【答案】A.提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：125，即20:15:12.4、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，∠B ＝∠90°，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，即222DC AC AD +=．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°．所以11S 22ABC ACD ABCD S S AB BC AC DC ∆∆=+=⨯+⨯四边形 113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝90°，应想到连接AC ，则在Rt △ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用5、（2015春•遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式1】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=”也是正确的.【变式2】（2014秋•永州校级期中）根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：（1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行. 【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CDB ＝90° 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中， AD BCBD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. 举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例3】【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴∠DAE ＝∠CBA ＝90° 在Rt △DAE 与Rt △CBA 中， ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ） ∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90° 即ED ⊥AC ．8、（2014春•东营区校级期末）如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC ．【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∴DE=DF；∵DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ． ∴在Rt△DBE 和Rt△DCF 中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．。

直角三角形知识点

直角三角形
一、直角三角形的定义
二、直角三角形有关的定理
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3、在直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半，
4、在直角三角形中斜边上的中线等于斜边上的一半。

三、直角三角形的证明;
1、证直角：A直径所对的圆周角是直角B、菱形的对角线互相垂直平分。

C:其它
2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

四、特殊的直角三角形（30，60，90或45，45，90）
1、30，60，90：已知一边可求其余两边。

例
2、45，45，90：已知一边可求其余两边。

例
五、其它：
1、定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

2、.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）。

直角三角形(基础)知识讲解

直角三角形（基础）责编：杜少波【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【高清课堂：直角三角形全等的判定，例3】【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：（2015春•丘北县校级月考）下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．【高清课堂：直角三角形全等的判定，例4】3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD =⎧⎨⎩＝ ∴Rt △ADC 与Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【总结升华】如果想去证两个小的直角三角形全等的话，会发现除了直角和对顶角，就没有别的条件了，AC ＝BD 用不上，所以另想办法，连接DC ，在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，问题迎刃而解.证明的时候要考虑所给的条件能用上，所给的线段不能割裂开.举一反三：【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．类型二、直角三角形性质的应用4、（2016·江东区一模）如图，一位同学做了一个写明装置进行科学实验，△ABC 是该装置左视图，∠ACB=90°，∠B=15°，为了加固斜面，在斜面AB 的中点D 处连结一条支撑杆CD ，量得CD=6．（1）求斜坡AB 长和∠ADC 的度数；（2）该同学想用彩纸实验装置中的△ABC 的表面，请你计算△ABC 的面积.【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）过C 作CE ⊥AB 于E ，根据直角三角形的性质得到CE=12CD=3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案与解析】解：（1）∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴AB=2CD=2×6=12，∵CD=BD ，∴∠ADC=2∠B=30°；（2）过C作CE⊥AB于E，∵∠ADC=30°，∴CE=12CD=3，∴S△ABC=12×12×3=18.【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键.举一反三：【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.【答案】3；提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE=AE=2，CE=1，所以AC=3.。

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直角三角形（提高）
【学习目标】
1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.
3. 能应用直角三角形的性质解题.
【要点梳理】
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三
角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三
角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
要点三、直角三角形的性质
定理1：直角三角形的两个锐角互余.
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、直角三角形全等的判定——“HL”
1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明
理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）
（2）一个锐角和斜边对应相等；（）
（3）两直角边对应相等；（）
（4）一条直角边和斜边对应相等．（）
【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.
【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：
【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）
（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）
【答案】（1）√；
（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝
DF
（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，
2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.
求证：AB ∥
DC.
【答案与解析】
证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中
.
AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝
∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）
∴AE ＝CF ，DE ＝BF
∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE
在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，
DE BF DEC BFA
EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）
∴∠DCE＝∠BAF
∴AB∥DC.
【总结升华】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.
我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.
3、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．
【答案与解析】
证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)
∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)
∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)
∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)
【总结升华】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而
要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共
角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.
举一反三：
【变式】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .
求证：OC＝OD.
【答案】∵∠C＝∠D＝90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△BAC中
AB BA BD AC
=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)
∴AD ＝BC
在△AOD 和△BOC 中
D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOD ≌△BOC(AAS)
∴OD ＝OC ．
类型二、直角三角形性质的应用
4、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，
求证：BP ＝2PQ ．
【答案与解析】
证明：∵ △ABC 为等边三角形，
∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．
在△ACD 和△BAE 中，
,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．
∴ ∠CAD ＝∠ABE ．
∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，
∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，
∴ ∠BPQ ＝60°．
∵ BQ ⊥AD ，
∴ ∠BQP ＝90°，
∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，
∴ BP ＝2PQ ．
【总结升华】(1)从结论入手，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地用
截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP ＝2PQ ⇒∠PBQ ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ ＝60°⇒∠PBQ ＝30°，分析时要注意联想与题目有关
的性质定理．
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