电磁感应与麦克斯韦方程组汇总
电磁感应定律和麦克斯韦方程组共28页
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组八种麦克斯韦方程组是描述电磁场的物理定律，由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
它包括八个方程，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律以及四个麦克斯韦方程。
第一个麦克斯韦方程是电场的高斯定律。
它表明电场线从正电荷流出，经过负电荷后重新进入正电荷。
就像洪水的水流从高处流向低处，电场力对电荷产生的影响也是类似的。
这个方程告诉我们，电场线的描述类似于水流的路径。
第二个麦克斯韦方程是磁场的高斯定律。
与电场类似，磁场线也存在着从南极出来，从北极重新进入的过程。
这一方程告诉我们，磁场线的描述也类似于电场线。
它们都是由正负极之间的相互作用所产生的。
第三个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律。
根据这个定律，磁场的变化将产生感应电流。
我们可以将这个定律与发电机相联系。
当磁场线通过线圈时，线圈内将产生电流。
这个方程是电磁场与电流之间的关系，极大地推动了电磁学的发展。
第四个麦克斯韦方程是安培环路定律。
它描述了沿闭合回路的电流产生的磁场，类似于法拉第电磁感应定律的反过程。
这个方程告诉我们，电流通过线圈时会产生磁场。
而这个磁场又会影响周围的物体。
这个定律在电磁学和电路设计中非常重要。
除了这四个基本的麦克斯韦方程外，还有四个补充方程。
第五个麦克斯韦方程是电场的环路定律。
它描述了电场沿闭合回路的等效电动势。
这个方程帮助我们理解电场在电路中的行为。
第六个麦克斯韦方程是磁场的环路定律。
它类似于电场的环路定律，描述了磁场沿闭合回路的等效电动势。
这个方程帮助我们理解磁场在电路中的行为。
第七个麦克斯韦方程是电磁场的连续性方程。
它描述了电场和磁场的变化对电磁波传播的影响。
这个方程对于研究电磁波的传播特性非常重要。
第八个麦克斯韦方程是电磁波的速度方程。
它描述了电磁波在空间中传播的速度。
这个方程给出了电磁波的传播速度与电磁场的性质之间的关系。
总结来说，麦克斯韦方程组是描述电磁场的重要定律，它包括了电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律以及四个补充方程。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的四个基本方程，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
这四个方程求解了电磁场的本质，对于描述电磁波的传播以及电磁现象的研究起着重要的作用。
麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述了电荷对电场产生的影响。
它的数学表达式为：∮E·dA = ε0∫ρdV其中，∮E·dA表示电场在截面A上的面积分，ε0为真空中的介电常数，ρ为电场中的电荷密度。
第二个方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场通过闭合回路所产生的感应电场。
数学上可以表示为：∮B·dl = μ0(I + ε0d(∫E·dA)/dt)其中，∮B·dl表示磁场在环路l上的线积分，μ0为真空中的磁导率，I为环路中的电流强度，d(∫E·dA)/dt表示时间的变化率。
第三个方程是安培定律，它描述了环路中通过的电流对磁场产生的影响。
数学上可以表示为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示磁场在环路l上的线积分，μ0为真空中的磁导率，I为环路中的电流强度。
最后一个方程是法拉第电磁感应定律的推广形式，也被称为麦克斯韦-安培定律。
它描述了变化的电场对磁场产生的影响，以及变化的磁场对电场产生的影响。
数学上可以表示为：∮E·dl = - d(∫B·dA)/dt其中，∮E·dl表示电场在环路l上的线积分，∮B·dA表示磁场通过闭合曲面的通量，d(∫B·dA)/dt表示时间的变化率。
麦克斯韦方程组是电磁学的基础，它描述了电荷和电流对电磁场产生的影响，以及电场和磁场对电荷和电流产生的影响。
通过这四个方程，我们可以推导出电磁波的存在和传播，解释电磁感应现象，研究电磁场的性质。
麦克斯韦方程组的研究也对电磁学的发展做出了巨大的贡献。
麦克斯韦方程组的理论和实验研究为电磁学的发展奠定了基础。
电磁场麦克斯韦方程组
电磁场麦克斯韦方程组电磁场麦克斯韦方程组是描写电磁场现象的基本方程组，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
这个方程组被认为是自然界中最基本的方程组之一，对于我们理解电磁现象和开发电磁技术具有重要意义。
首先，我们来看看电磁场的概念。
电磁场包括两种场：电场和磁场。
电场是由电荷引起的力场，它描述了电荷间的相互作用；磁场是由电流引起的力场，它描述了电流的环绕场。
电场和磁场可以相互转化，形成电磁波，并以光速传播。
接下来，我们看看麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组包括四个方程式，分别是高斯定理、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和法拉第电磁感应反定律。
这四个方程式分别表示了电场和磁场的本质、运动规律和相互作用。
高斯定理是描述电场的方程式，它表明电场由电荷分布产生，电荷分布越密集，电场越强。
高斯定理用微积分表示为ΦE=∮EdS=Q/ε0，其中ΦE代表电通量，EdS代表电场元素面积，Q代表电荷量，ε0代表真空介电常数。
这个方程式表明电通量与电荷量成正比，与介电常数反比。
法拉第电磁感应定律是描述电磁感应现象的方程式，它表明磁场变化产生电场，电场与磁场相互作用。
法拉第电磁感应定律用微积分表示为∫E·dr=−dΦB/dt，其中E代表电场，B代表磁场，r代表路径，t代表时间。
这个方程式表明，当磁场发生变化时，会在电路中产生电动势。
安培环路定理是描述磁场的方程式，它表明磁场由电流产生，磁场越强，电流越大。
安培环路定理用微积分表示为∮B·dl=μ0I，其中B代表磁场，l代表路径，μ0代表真空磁导率，I代表电流强度。
这个方程式表明，当电流通过导线时，会形成一个磁场，并在导线附近形成一个磁场环。
法拉第电磁感应反定律是描述自感现象的方程式，它表明自感产生的电动势与电流瞬时变化率成正比。
法拉第电磁感应反定律用微积分表示为ε=−dΦ/dt，其中ε代表电动势，Φ代表磁通量，t代表时间。
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组由以下八个方程组成：
1. 麦克斯韦第一方程（电场的高斯定律）：
∮E·dA = 1/ε₀∮ρdV
2. 麦克斯韦第二方程（磁场的高斯定律）：
∮B·dA = 0
3. 麦克斯韦第三方程（电场的法拉第定律）：
∮E·dl = -dΦB/dt
4. 麦克斯韦第四方程（磁场的安培定律）：
∮B·dl = μ₀I + μ₀ε₀dΦE/dt
5. 法拉第电磁感应定律：
ε = -dΦB/dt
6. 毕奥-萨伐尔定律：
B = μ₀(H + M)
7. 连续性方程：
∇·J = -dρ/dt
8. 导电率方程：
J = σE
其中，E为电场，B为磁场，ρ为电荷密度，J为电流密度，ί
为位移电流密度，A为曲面，V为体积，dl为曲线段，dA为曲面元，dV为体积元，ΦB为磁通量，ΦE为电通量，H为磁场强度，M为磁化强度，ε₀为真空介电常数，μ₀为真空磁导率，σ为电导率。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程是建立在库伦定律、安培定律、法 拉第电磁感应定律这几个实验定律的基础之上的。
一、法拉第电磁感应定律
1、研究对象 变化磁场产生电场。
2、研究内容
闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁
通量变化率成正比，
2024/3/14
dm dt
d dt
B ds
S
1
麦克斯韦方程组
电202荷4/3密/14度和电流密度。
9
麦克斯韦方程组
电场方程
E E荷 E感
E荷 / 0 +
E荷 0
E感
E感
0
B t
E
E
/ 0
B
t
E荷 有源场，又称纵场。
E感 有旋场，又称横场。
二20者24/均3/1对4 电荷有力的作用
磁场方程
B B流 B感
B流 0
③
对②式两边取散度，
(
E)
(
B)
t
③
2024/3/14
Case B
E
B
/0
0J
0 0
E t
① ④
对④式两边取散度，
左边： ( B) 0
右边：0
J
0 0
t
(
E)
电荷守恒定律
①
11
麦克斯韦方程组
2、方程的重要意义
揭示了电磁场内在运动规律，不仅
和
J
可以激发电磁
场，而且变化的电场和磁场也可以相互激发。
④
8
麦克斯韦方程组
E dS
1
dV
S
0 V
①
积 分 形
l
绝对原创 Maxvell麦克斯韦方程组总结
5
E .d l
s
B .dS 6 t
B 0 7
v
D
s
dV
8
1 和 5 是修正后的麦克斯韦方程，表明电流和时变电场都可以激发磁场。2 和 6 是法拉第电磁感应定律，表明时变磁场产生电场。这 4 个公式是麦克斯韦方程的核 心，说明时变电场和时变磁场互相激发，时变电磁场可以脱离场源而独立存在，在 空间形成电磁波。
利用哈密顿微分算子，可以证明，散度运算符合以下： A B A B 斯定理）
矢量场 A 的散度代表的是其通量的体密度，矢量场 A 散度的体积分等于该矢量 穿过包围该体积的封闭曲面的总通量，即
A dS S
A dl
l
它将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分， 将矢量 A 的线积分转换为该矢 量旋度的面积分。
六．亥姆霍兹定理
散度表示矢量场中各点场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与漩涡源的关 系。故场的散度和旋度一确定，则通量源和漩涡元也就是确定的。既然场是由源激 发的，通量源和漩涡源的确定便意味着场也确定，则亥姆霍兹定律成立。 亥姆霍兹定律的简答表达是：若矢量场 F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有 界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表 示为一有界函数的梯度和一个矢量的旋度之和，即：
s 0
A dl lim
l
s
此极限值的意义是环量的面密度，称为环路强度。为此引入如下定义，称为矢 量场 A 的旋度，记为 rotA;
l A dl max rotA n lim s 0 S
由麦克斯韦方程组推导法拉第电磁感应定律
文章标题：从麦克斯韦方程组到法拉第电磁感应定律：深度探索电磁学原理在电磁学领域中，麦克斯韦方程组和法拉第电磁感应定律是两个重要的概念。
它们之间的关系和推导过程值得我们深入探讨。
本文将从麦克斯韦方程组出发，逐步推导法拉第电磁感应定律，通过对这些理论原理的深度解析，希望能够帮助读者更好地理解电磁学的基本原理和概念。
1. 麦克斯韦方程组的重要性麦克斯韦方程组是描述电磁场在空间和时间中变化规律的基本方程，它由四个方程组成，分别是高斯定律、安培环路定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培方程。
这些方程统一了电场和磁场的描述，并且揭示了它们之间的密切关系。
深入理解麦克斯韦方程组对于理解电磁学原理至关重要。
2. 法拉第电磁感应定律的概念法拉第电磁感应定律是电磁学的重要基础定律之一，它描述了磁场的变化会引起感生电动势的现象。
这个定律的提出对于电磁学的发展具有重大的意义，也为后来电磁感应现象的研究奠定了基础。
理解法拉第电磁感应定律对于理解各种电磁现象具有重要意义。
3. 由麦克斯韦方程组推导法拉第电磁感应定律在麦克斯韦方程组中，法拉第电磁感应定律是其中一个方程，通过对麦克斯韦方程组进行分析和推导，可以得到法拉第电磁感应定律的表达式。
这个推导过程既复杂又精妙，需要运用一系列的数学方法和物理原理。
通过推导的过程，我们能够清晰地理解法拉第电磁感应定律的物理意义和数学表达。
4. 个人观点和理解在深入探讨麦克斯韦方程组和法拉第电磁感应定律的过程中，我对这些电磁学原理有了更深刻的理解。
我认为，这些定律不仅仅是理论上的概念，它们对我们理解电磁现象、应用电磁技术具有重要的指导意义。
通过深度探究这些定律的推导过程，也能够激发我们对物理学和数学的兴趣，促进我们对知识的进一步探索。
总结回顾通过本文的探讨，我们了解了麦克斯韦方程组和法拉第电磁感应定律的重要性和深刻意义，以及它们之间的关系。
从麦克斯韦方程组出发，逐步推导出法拉第电磁感应定律的过程，让我们更清晰地理解了这些电磁学原理的物理本质和数学表达。
电磁感应 4-4 麦克斯韦方程组、电磁波
D dS
S
dV
V
q0
电场的高斯定理
静电场有源，感生电场无源
E dl
B
dS
L
S t
电场的环路定理
感生电场有旋，静电场无旋
B dS 0
S
磁场的高斯定理
磁感应线总为闭合曲线，无磁单极
D
磁场的环路定理（全电流）
H dl L
Ic
S
t
dS
变化的电场 (位移电流) 激发磁场
电磁波 动画
在介质中，E 与 B 处处成比例 E B
介质中电磁波传播速度 v 1 c n
n r r 为介质的折射率
电磁波的能流密度（单位时 间内通过与波传播方向垂直 的单位面积的电磁波能量）
S EH
坡印廷矢量 Poynting Vector
S (Jc D / t) dS 0
可适用于非恒定电流的安培环路定理普遍表达式
H dl L
Ic Id
S (Jc D / t) dS
S 为以闭合回路 L 为边界的任意曲面；闭合回路 L 的绕行方向与面元 dS 的法线方向成右手螺旋关系
例 1 半径为 R 的圆形电容器，两极板间为真空，忽略
~
与电流的稳恒条件 S J dS 0 对比，且注意 D / t
具有电流密度的量纲，将其定义为位移电流密度
Jd Id
D / t
D
dS
S t
通过截面 S 的位移电流 Id S Jd dΦd 电位移通量的时间变化率
dt
dS
位移电流的本质是变化的电场，而且位移电流能以与 传导电流相同的方式激发磁场
磁场的环路定理（全电流）
变化的电场 (位移电流) 激发磁场
麦克斯韦方程组电磁场的基本定律
麦克斯韦方程组电磁场的基本定律麦克斯韦方程组被誉为电磁学的基石，它是电场和磁场之间相互作用的数学描述。
通过这组方程，我们可以了解电磁场的本质及其基本行为。
本文将详细介绍麦克斯韦方程组的四个方程以及它们的物理意义。
一、麦克斯韦方程组的引入麦克斯韦方程组由19世纪物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1864年首次提出。
他基于法拉第电磁感应定律和库仑定律，将电场和磁场统一起来，形成了这组方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这四个方程共同描述了电磁场的生成、传播和相互作用。
二、麦克斯韦方程组的四个方程1. 高斯定律高斯定律描述了电场的产生和分布规律。
它表明电场线从正电荷出发，经过电场中的介质，最终到达负电荷。
高斯定律的数学形式为：∮S E·dA = ε0∫V ρdV其中，S表示任意闭合曲面，E表示电场强度，dA表示曲面元素的面积，ε0为真空中的介电常数，ρ为电荷密度，V表示包围电荷体积。
2. 高斯磁定律高斯磁定律描述了磁场的分布规律。
与高斯定律类似，高斯磁定律指出磁场线无法孤立存在，它们必然会形成闭合回路。
高斯磁定律的数学表达式为：∮S B·dA = 0其中，S表示闭合曲面，B表示磁场强度，dA表示曲面元素的面积。
3. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场变化产生的感应电场。
根据这个定律，当磁场的磁感线与一个闭合电路相交时，电路内将会产生感应电动势。
法拉第电磁感应定律可以用如下方程表示：∮C E·dl = -d(∫S B·dA)/dt其中，C表示闭合回路，E表示感应电场，dl表示沿闭合回路的微元弧长，S表示以闭合回路为边界的任意曲面。
4. 安培环路定律安培环路定律描述了磁场中的电流分布规律。
根据这个定律，一个闭合回路上的磁场的环路积分等于通过该回路的电流总和的倍数。
安培环路定律的数学形式为：∮C B·dl = μ0(∫S J·dA + ε0∫S E·dA/dt)其中，C表示闭合回路，B表示磁场强度，dl表示沿闭合回路的微元弧长，S表示以闭合回路为边界的任意曲面，J表示电流密度，μ0为真空中的磁导率。
电磁感应定律和麦克斯韦方程组
（2） B ez B0 ，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动
上的可滑动导体L以匀速 v ex v 运动。
解：(1) 均匀磁场 B 随时间作简谐
（3） B ez B0 cos(t ) ，且矩形回路
y
a
o
B
x
Lห้องสมุดไป่ตู้
v
b x
变化，而回路静止，因而回路内的感应 电动势是由磁场变化产生的，故
均匀磁场中的矩形环
B in dS [ez B0 cos(t )] ez dS abB0 sin(t ) S t S t
湖南人文斜技学院 电子信息科学与技术专业 阮许平主讲
电磁场与电磁波
第 2 章
电磁场的基本规律
§7
( 2 ) 均匀磁场 B 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速 运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产 生的，故得 或
电磁场与电磁波
第 2 章
电磁场的基本规律
§7
2.5.1 电磁感应定律
回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变 化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律。 1. 法拉第电磁感应定律的表述 当通过导体回路所围面积的磁通量
1881 年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，
S
时变磁场中的矩形线圈 湖南人文斜技学院
B0 ab cos(t ) cos
阮许平主讲
电子信息科学与技术专业
电磁场与电磁波
第 2 章
电磁场的基本规律
§7
en 的指向将随时间变化。线圈内的 （2）线圈绕 x 轴旋转时，
感应电动势可以用两种方法计算。
电磁感应和麦克斯韦方程组
.B. . . . . . . .
v. . . . . . d.l . D.
.........
. C
.
.
* O.
.
dl
.
.
.
.
v . . . . . . . . .
等效电路
解
EiOC
l Brdr
0
Bl 2 2
E 同理 iOD 2Bl 2
位移电流密度
jd
dD dt
单位面积上通过的位移电流
Id
s
jd
ds
dΦD dt
麦克斯韦方程组
sD dS qi vdv
电场高斯定理：电荷激发的电场有源场
各向同性的线性介质条件
sB dS 0
D E
磁场高斯定理：任何磁场都是无源场
l E dl
dB
dt
B t
dS
H
B
/
j E/
(1) LBB' 0
(2) LAB' 4L
A A
B B
例 已知园环式螺线管的自感系数为 L ,若将该
螺线管锯成两个半环式的螺线管，则两个半环式螺线
管的自感系数 （ ）
(1) 都等于 L 2
(2) 有一个大于 L 2 ，另一个小于 L 2
(3) 都大于 L 2 (4) 都小于 L 2
解：视园环式螺线管为两 个半环式的螺线管串联而成
计算得
H
r 2π R2
dQ dt
B 0r dQ
2π R2 dt
代入数据计算得 Id 1.1A B 1.11105T
举一反三：
（1）以下各种情况中 i ?
电磁感应麦克斯韦方程组
jD // D
B
jD
jD D
D 0 t
例 一圆形平行板电容器，两极板的半径为a。设其正在充放 电，电荷按规律Q=Qosint变化，忽略边缘效应. 求：两极板 间任意点的 位移电流密度和 磁感应强度？
解： (1)平行板之间的电场为：D Q / S D 1 Q QO jD cos t S t S t 均匀分布在横截面上，与传导电流同向。 （2）在极板间取半径为r的同心圆环为积分回路 根据全电流定理： H dl I I D
？变化电场
涡旋磁场
§8.5.1 位移电流 全电流定理
一、位移电流的提出： 从安培环路定理引入
1、稳恒电流时： S1 : L H dl I
S1
S2 : H dl I
L
安培环路定理适用
I
S2
2、非稳恒情况下 （如电容器充放电) S1
S2
S1 : H dl I L
S2 : H dl 0 L
第5节 麦克斯韦方程组
§8.5.1 位移电流 §8.5.2 麦克斯韦方程组
§8.5.3 电磁场的物质性
引言：已学知识总结 静电场
D dS q l E dl 0
S i
i
感应电场
变化磁场
稳恒磁场
S
L
B dS 0
H dl I i
感应磁场
麦克斯韦又敏锐提出了： 激发 变化电场 如何提出？
D
C
D 充电时，D , D, I D I t
I
D
R C
D 放电时，D , D, I D I t
I 结论： 充放电都有 I D
电磁波麦克斯韦方程组的解释
电磁波麦克斯韦方程组的解释麦克斯韦方程组是描述电磁场行为的基本物理方程，它由四个方程组成：电场高斯定律、电场的法拉第电磁感应定律、磁场高斯定律和安培环路定律。
这些方程集合起来，揭示了电磁波的解释和性质。
电场高斯定律是其中之一，描述了电场的分布与内部的电荷分布之间的关系。
它说明了电通量通过一个闭合曲面的大小与该曲面所包围的总电荷量之间的关系。
数学表达式如下：∮ E·dA = Q/ε0其中，∮ E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示该曲面所包围的电荷量，ε0是真空介电常数。
电场的法拉第电磁感应定律描述了磁场的变化如何引起电场的变化。
它表明，磁场的变化会在空间中产生一个环绕变化磁场的电场，数学表达式如下：∮ E·dl = - dΦB/dt其中，∮ E·dl表示电场E沿着一个闭合回路的线积分，dΦB/dt表示磁通量的变化率。
磁场高斯定律是磁场的另一个重要方程，它描述了磁场的分布与内部的磁荷分布之间的关系。
然而，目前并没有发现存在磁荷的宏观粒子，所以磁场高斯定律的应用相对有限。
安培环路定律是最后一个方程，描述了沿着闭合回路的磁场B沿着环路的环绕电流的线积分等于该回路所包围的电流总和的倍数。
数学表达式如下：∮ B·dl = μ0I其中，∮ B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，I表示该回路所包围的电流总和，μ0是真空磁导率。
通过这些麦克斯韦方程组的数学表达式，我们可以揭示电磁波的性质。
根据这些方程组，可以求解出电场E和磁场B的分布情况，并进一步了解电磁波的传播特性和行为规律。
电磁波是由振荡的电场和磁场相互作用而产生的，通过空间的传播，具有能量和动量。
总之，电磁波麦克斯韦方程组提供了电磁场行为的基本物理方程。
它们的解释和应用不仅在电磁学领域具有重要意义，也对通信、电子技术等行业的发展起到了重要的促进作用。
麦克斯韦方程组三种形式
麦克斯韦方程组三种形式引言麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组，它由四个偏微分方程组成。
这四个方程分别是法拉第电磁感应定律、高斯电磁场定律、安培环路定律和高斯磁场定律。
这些方程描述了电场和磁场的生成、变化和互相作用的规律，对于电磁学和电磁工程具有重要的理论和实际意义。
法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是麦克斯韦方程组的第一个方程。
它描述了电磁感应现象的定量关系。
根据法拉第电磁感应定律，在一个闭合回路上，磁通量的变化会引起感应电动势的产生。
具体地，法拉第电磁感应定律可以表示为：∮E⋅dℓ=−dΦdt其中，E是电场强度，dℓ是回路元素的微小位移，Φ是穿过闭合回路的磁通量。
高斯电磁场定律高斯电磁场定律是麦克斯韦方程组的第二个方程，它描述了电场的起源和分布。
根据高斯电磁场定律，在任意一个闭合曲面上，电场通过该曲面的电通量与该曲面内的电荷之间存在一定的关系。
具体地，高斯电磁场定律可以表示为：∮E⋅dS=Q ε0其中，E是电场强度，dS是闭合曲面上的微小面积元素，Q是闭合曲面内的总电荷，ε0是真空介电常数。
安培环路定律安培环路定律是麦克斯韦方程组的第三个方程，它描述了磁场的起源和分布。
根据安培环路定律，在任意一个闭合回路上，磁场强度沿回路的环路积分与该回路内的电流之间存在一定的关系。
具体地，安培环路定律可以表示为：∮B⋅dℓ=μ0I其中，B是磁场强度，dℓ是回路元素的微小位移，I是通过闭合回路的电流，μ0是真空磁导率。
高斯磁场定律高斯磁场定律是麦克斯韦方程组的第四个方程，它描述了磁场的起源和分布。
根据高斯磁场定律，在任意一个闭合曲面上，磁感应强度通过该曲面的磁通量是零。
具体地，高斯磁场定律可以表示为：∮B⋅dS=0其中，B是磁场强度，dS是闭合曲面上的微小面积元素。
总结麦克斯韦方程组是电磁学的基础，它描述了电磁现象的定量关系和规律。
其中，法拉第电磁感应定律描述了磁场引起电动势的产生，高斯电磁场定律描述了电场的起源和分布，安培环路定律描述了磁场的起源和分布，高斯磁场定律描述了磁场的起源和分布。
第8章 麦克斯韦方程与电磁场
8.1 电磁感应
2、法拉第电磁感应定律 当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时， 当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路 中产生的感应电动势与穿过 回路的磁通量对时间变化 率的负值成正比。 率的负值成正比。
∂B R 2 ∂B Ek ⋅ 2πr = −πR ⇒ Ek = − ∂t 2r ∂t
2
8.1 电磁感应
× × ×
v × Ek
×
R
× × v×
× × × ×
× × ×
r×
× ×
Ek
× × B
v E× k
（2） ε = ∫0
L
v v L E ⋅ dl = ∫ E cos θ ⋅ dl
0
8.1 电磁感应
ω
v v v ( v × B ) ⋅ dl
a
o
= − ∫ vBdl
0
L
× × × × × × × × × × × ×
= − ∫ Bωldl
0
L
1 = − BωL2 2
o 感应电动势的方向： → a
8.1 电磁感应
方法二：如图
1 2 所以： = L θ S 2
S θ = πL2 2π
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
电场线 起于正电荷，止于负电 荷，不闭合
闭合曲线
8.1 电磁感应
例4：已知半径为R的无限长螺线管内部的磁场B随时间作线 v 性变化（dB/dt＝常量）时，求管内外的感生电场 Ek 解：以轴线为心作半径为r的圆，使圆处 在螺线管与轴线垂直的截面上。 v v 圆上各点的感生电场强度相等，且 Ek // dl 根据电势的定义，闭合回路中的感生电势 v v ε 为：= ∫ Ek ⋅ dl = Ek ⋅ 2πr 又根据法拉第电磁感应定律： 当r<R时
麦克斯韦方程组总结
19世纪中叶，描述电磁现象的基本实验规律：库仑定律、毕-萨定律、安培定律、欧姆定律、法拉第电磁感应定律等已经先后得出，建立统一电磁理论的课题摆在了物理学家面前。
詹姆斯〃克拉克〃麦克斯韦是伟大的英国物理学家，他由于列出了表达电磁基本定律的四元方程组而闻名于世。
在麦克斯韦以前的许多年间，人们就对电和磁这两个领域进行了广泛的研究，人们都知道这两者是密切相关的。
适用于特定场合的各种电磁定律已被发现，但是在麦克斯韦之前却没有形成完整、统一的学说。
以W.韦伯、F.E.诺埃曼为代表的超距作用电磁理论把各种电磁作用归结为库仑力和运动电荷之间的作用力(韦伯力)，认为是超越空间无需媒质传递也无需传递时间的直接作用。
这种理论虽然统一地解释了静电现象、电流相互作用和电磁感应，但是既未能提出任何有价值的预言，又存在机制上的根本困难，终于成为历史的遗迹。
J.C. 麦克斯韦继承了M.法拉第的近距作用观点，认为电磁作用是以场为媒介传递的，需要传递时间，把客观存在的场作为研究对象，从而开辟了物理学研究的新天地。
建立了完整的电磁场理论，麦克斯韦的工作在物理学意义上的关键在于发现了交变电场可以产生（交变）磁场，在这以前，安培定律己表明，电流可以产生磁场，法拉第定律则表明，变化的磁场可以产生电场，但是当时的实验物理学家都没有发现变化的电场可以产生磁场这样的事实。
麦克斯韦提出了的有旋电场概念和位移电流的假设，揭示了电磁场的内在联系和相互依存，完成了建立电磁场理论的关键性突破。
麦克斯韦熟练地运用了当时正在发展的矢量分析，找到了表述电磁场（空间连续分布的客体）的适当数学工具。
麦克斯韦不是实验物理学家，他在理论物理领域内工作，他的实验室是思想，他的工具是数学，麦克斯韦建立了电与磁的统一的数学关系，即麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）。
如果我们追踪一下他的工作的大概过程，我们完全可以看到他是在思想实验中而不是在数学演演中得到这个关键性的发现而完成了电与磁的统一，在这个意义上，他是先于爱因斯坦和玻尔等而进行缜密的思想实验的科学家。
黎曼 麦克斯韦方程组
黎曼-麦克斯韦方程组引言黎曼-麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程组，描述了电磁场的行为和相互作用。
这个方程组由四个偏微分方程组成，分别是麦克斯韦方程和洛伦兹力定律。
麦克斯韦方程麦克斯韦方程是描述电磁场行为的基本方程，它们由苏格拉底·闵可夫斯基和詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
这些方程包括四个偏微分方程，涵盖了电场、磁场和它们之间的相互作用。
高斯定律高斯定律是描述电场与电荷之间相互作用的定律。
它可以表示为：∇⋅E=ρε0其中，E是电场强度，ρ是电荷密度，ε0是真空介电常数。
法拉第定律法拉第定律描述了磁感应强度与电流之间的关系。
它可以分为两个方程：1.法拉第电磁感应定律：∇×E=−∂B ∂t其中，E是电场强度，B是磁感应强度。
2.法拉第安培定律：∇×B=μ0J+μ0ε0∂E ∂t其中，μ0是真空磁导率，J是电流密度。
电磁感应定律电磁感应定律描述了变化的磁场会引起感应电动势。
它可以表示为：∮E C ⋅dl=−∂∂t∫BS⋅dA其中，C是闭合回路，S是由回路所围成的面积。
洛伦兹力定律洛伦兹力定律描述了带电粒子在电磁场中受到的力。
它可以表示为：F=q(E+v×B)其中，F是粒子所受的力，q是粒子的电荷量，E是电场强度，v是粒子的速度，B是磁感应强度。
黎曼-麦克斯韦方程组将麦克斯韦方程和洛伦兹力定律结合起来，可以得到黎曼-麦克斯韦方程组：∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B ∂t∇⋅B=0∇×B=μ0J+μ0ε0∂E ∂t这个方程组描述了电磁场的行为和相互作用。
通过这些方程，我们可以推导出电磁波的存在和传播。
应用黎曼-麦克斯韦方程组在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是一些例子：无线通信黎曼-麦克斯韦方程组可以用来描述无线电波的传播和接收。
通过解这些方程，我们可以计算信号的传输特性，优化天线设计和通信系统。
光学黎曼-麦克斯韦方程组也适用于描述光的传播和相互作用。
麦克斯韦微分方程组
麦克斯韦微分方程组麦克斯韦微分方程组是描述电磁学基本规律的一组方程。
麦克斯韦微分方程组包含了四个方程，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程统一了电磁学的理论基础，为电磁波的传播和电磁现象的解释提供了理论依据。
首先，我们来看电场的高斯定律，也就是第一个方程。
根据电场的高斯定律，电场通量与电场源之间的关系可以用方程表示为：∮E·dA = 1/ε0 ∫ρdV其中，∮E·dA表示电场E的通量积分，ε0是真空介电常数，ρ是电荷密度，∫ρdV是对电荷密度在整个空间内积分。
接下来，我们来看磁场的高斯定律，也就是第二个方程。
根据磁场的高斯定律，磁场的通量与磁场源之间的关系可以用方程表示为：∮B·dA = 0其中，∮B·dA表示磁场B的通量积分，这里的等于零表示磁单极不存在，即磁场总是以闭环的方式存在。
然后，我们来看法拉第电磁感应定律，也就是第三个方程。
根据法拉第电磁感应定律，磁场的变化会引起电场的感应，可以用方程表示为：∮E·ds = -d(∫B·dA)/dt其中，∮E·ds表示电场E沿着闭合回路的环路积分，这里的负号表示电场的感应方向与磁场变化方向相反，d(∫B·dA)/dt表示磁通量的变化率。
最后，我们来看安培环路定理，也就是第四个方程。
根据安培环路定理，磁场沿着闭合回路的环路积分与电流之间的关系可以用方程表示为：∮B·ds = μ0(∫J·dA + ε0d(∫E·dA)/dt)其中，∮B·ds表示磁场B沿着闭合回路的环路积分，μ0是真空磁导率，∫J·dA表示电流密度J经过任意面元的积分，ε0是真空介电常数。
总结起来，这四个方程描述了电磁学中的基本规律。
电场的高斯定律和磁场的高斯定律描述了电场和磁场的源与场之间的关系；法拉第电磁感应定律描述了磁场变化引起的电场感应现象；安培环路定理描述了电流与磁场之间的相互作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
o
x x+dx X 电动势i.
解：设定回路的正方向如图,此即i的正方向.
任意时刻t的磁通：
m
BdS
BdS 2a 0I bdx 0Ib ln 2
a 2 x
2
感生电动势：
i
dm dt
0b ln 2
2 dI dt
0bI0ln 2 sin t 2
[思考] 若金属框以速率v右移,在t时刻正处于
频率
1022
1015 1T HZ 1012 1G HZ 109 1M HZ 106 1K HZ 103
射线
X 射线 紫外线 可见光 红外线
微波 雷达
高频电视 调频广播
无线电射频 电力传输
波长
10 13
0
1A 10 9 1nm
10 6 1μ m
10 2 1cm 100 1m
103 1km 105
法拉第麦克斯韦之后，人类进入电气化时代
磁通量变化引起的电动势: 感应电动势
典型情形：
①
B 不变,回路变.
(动生)
②回路不变, B 变. (感生)
法拉第定律
i
dm dt
n
B
L, i
计算：设定回路L的方向(此即i的正方向)
右手螺旋 法线方向n
m>0
法拉第定律 i (>0, 则实际方向与所
设方向一致；<0, 则相反)
Note:
N匝线圈：
⑵自感电动势
i
dm dt
L
dI dt
(i与I两者正方向一致)
B~
I~,i
Notes: ①上式仅适用于无铁磁介质 (L不随I 变化)的情形.
② L i
dI dt
——L的另一定义
§7.5 磁场的能量(Energy of Magnetic Field)
1.载流线圈的磁能
L i
a
b
i=Ldi/dt
特点：磁场不变，导体运动．
c
d
b B v a
ab运动,其中电子受
洛仑兹力:
F洛
ev
B
eE非
E非
v
B
动生电动势：
ab
Lab E非 dl
b(v
B)
dl
a
——普遍计算式
Note: ① 动生电动势把机械能转换电能 ②洛伦兹力不做功
发电机工作原理:
[例7-1]
dl
r
②对于一个N匝线圈：
L m I
线圈的磁链
[例7-4] 长直螺线管的自感系数． (管长d,截面积S,单位长度上匝数n)
解：设通电流I，则管内 B=0nI m=nd0nIS =0n2VI
螺管体积
L=m/I=0n2V
Note: ①若管内充满某种磁介质,则 L=0rn2V.
②细螺绕环的自感系数表达式同此.
I=40A,v=2m/s,则金 属杆AB中的感应电 动势 i= , 电势较高端为 端.
解：⑴设i正方向为AB
则d对i 于 (xv-x+Bd)x d线l元 ,有vBdx
0 Ivdx 2 x
于是 i
di
0Iv 2
2 dx 1x
0Iv ln 2 2
i
0Iv ln 2 1.1105 2
i：0I
i阻碍电流增长 电场力克服i做功, 此
功转化为磁能.
ii+di过程(tt+dt),电场力做功：
dA=dq(Va-Vb) =idt(-i) =idtLdi/dt
=Lidi
0I过程,电场力做的总功：
A
I 0
Lidi
1 2
LI
2
载流线圈的磁能： Wm
A
1 2
LI
2
上式适用于L一定(即L不随I变化)的任意 载流线圈
图示位置,则i=?
2.感生电场(inducedelectric field)
感生电动势中：
F非
F洛
F非来自某种非静电场——感生电场 Ei
(Maxwell首次提出)
感生电场与变化的磁场相联系：
i L Ei dl
i
dm dt
d dt
B dS
B
dS
S
S t
L Ei dl
§7.1 法拉第定律(Faradays Law) 1. 电动势
为维持电流稳恒流动，需要电源(电动势)。
-
+
E+ K
电源 S
R
稳
I
恒 电
流
E：静电场 K：作用在单位正电荷上的非静电力
电源内部欧姆定律：
j (E K)
发电机：洛伦兹力
化学电池：极移 动到正极，非静电力所做的功
2. 电磁感应和法拉第定律
电磁感应现象
磁通量变化引 起电流
有电流！
没电流！
实验1：插入或拔出磁棒
检流计
N S
实验2 ：插入或拔出载流线圈
电源
检流计
实验3：接通或断开初级线圈
检流计
电源
实验4：导线切割磁力线的运动
I l
检流计
Bv
电磁感应:
闭合回路所包围面积内的磁通 量发生变化，回路中产生电流
第七章 电磁感应与麦克斯韦方程组
(Electromagnetic Induction and
Maxwells Equations)
B
m变化 回路中产生Ii
L
——电磁感应
典型情形：
①
B 不变,回路变.
(动生)
②回路不变, B 变. (感生)
法拉第定律 动生电动势 感生电动势 主要内容： 互感与自感 磁场的能量 麦克斯韦方程组
能量储存在磁场中！
2.磁场能量密度
⊙⊙⊙
载流细螺绕环：
I
管内 B=0nI
管外 B=0
磁能
Wm
1 2
LI
2
1 2
0n2V
I
2
B2 V
20
磁场能量密度：
wm
B2
20
Note:
若环内充满某种磁介质,则磁场能量
密度为
wm
B2
20r
(普遍成立)
3.磁场的能量
Wm wmdV
§7.6 麦克斯韦方程组(Maxwells Equations)
i)提出了位移电流和感应电场的概念 ii)系统总结了电磁场的基本规律 iii)预言了电磁波的存在 iv)指出光是一种电磁波
麦克斯韦（1831－1879）英国物理学家
牛顿之后，爱因斯坦 之前最伟大的物理学家!
1865 年麦克斯韦预言电磁波的存在，并计 算出电磁波的速度（即光速）。
c 1
00
1888 年赫兹实验证实了麦克斯韦的预言。
i
dm dt
其中 m Nm
——磁链(magnetic linkage)
⒊楞次定律(Lenzs Law)
——感应电流的方向,总是使它产生的磁场抵 抗引起这个感应电流的磁通的变化．
II
N
N
S
S
楞次定律是能量守恒定律的一种表现
机械能
焦耳热
B
× × ×
×
Fm×××
×
Ii
× × ×
×
v×××
×
§7.2 动生电动势 (Motional Electromotive Force)
In 1864, J.C.Maxwell：《Dynamical
Theory of the Electromagnetic Field》
⑴ DdS dV
—— D的高斯定律
S
V 自由电荷密度
(反映电场的有源性)
⑵
BdS 0
——磁场的高斯定律
S
(反映磁场的涡旋性or无源性)
⑶
LH dl
S
(J
r+dr
B
导体棒长L,角速度.若
转轴在棒的中点,则整 个棒上电动势的值为 ；若转轴在棒的 端点,则电动势的值为 .
解：⑴转轴在中点
两侧各线元上的di两两抵消
i 0
⑵转轴在端点
设转轴在左下端, L方向指向右上端.
则 r－r+dr线元:
d i
(v
B) dl
vBdr
rBdr
于是
i
L di B
2.自感现象
B~
I~
载流线圈中:
I~ B~m~i
——自感现象
⑴自感系数 L
——表征线圈产生自感的能力
定义：L m I
穿过线圈的磁通 线圈中电流
SI单位：H (Henry)，1H=1Wb/A 1mH=10-3H
1H=10-6H
Notes: ① L仅依赖于线圈的几何及周围磁介 质性质；无铁磁介质时,L与I无关.
D )
dS
t
——普遍的安培环路定理
其中： H B / 0r
——磁场强度
J ——传导电流密度
(反映电流和变化的电场与磁场的联系)
⑷
LE dl
S
B
dS
t
——法拉第电磁感应定律
(反映变化的磁场与电场的联系)
Notes:
①麦氏方程组除积分形式外,还有微 分形式(See P.216)
②Maxwell对电磁学的贡献：
V
⑵∵i=VBVA<0
∴A端电势较高
[思考] 若金属杆弯曲?
§7.3 感生电动势 (Induced Electromotive Force)
特点：回路不变，磁场变化．
1.感生电动势的计算
i
dm dt