电磁感应与麦克斯韦方程组汇总

o
x x+dx X 电动势i.
解：设定回路的正方向如图,此即i的正方向.
任意时刻t的磁通：
m
BdS
BdS 2a 0I bdx 0Ib ln 2
a 2 x
2
感生电动势：
i
dm dt
0b ln 2
2 dI dt
0bI0ln 2 sin t 2
[思考] 若金属框以速率v右移,在t时刻正处于
频率
1022
1015 1T HZ 1012 1G HZ 109 1M HZ 106 1K HZ 103
射线
X 射线 紫外线 可见光 红外线
微波 雷达
高频电视 调频广播
无线电射频 电力传输
波长
10 13
0
1A 10 9 1nm
10 6 1μ m
10 2 1cm 100 1m
103 1km 105
法拉第麦克斯韦之后，人类进入电气化时代
磁通量变化引起的电动势: 感应电动势
典型情形：
①
B 不变,回路变.
(动生)
②回路不变, B 变. (感生)
法拉第定律
i
dm dt
n
B
L, i
计算：设定回路L的方向(此即i的正方向)
右手螺旋 法线方向n
m>0
法拉第定律 i (>0, 则实际方向与所
设方向一致；<0, 则相反)
Note:
N匝线圈：
⑵自感电动势
i
dm dt
L
dI dt
(i与I两者正方向一致)
B~
I~,i
Notes: ①上式仅适用于无铁磁介质 (L不随I 变化)的情形.
② L i
dI dt
——L的另一定义
§7.5 磁场的能量(Energy of Magnetic Field)
1.载流线圈的磁能
L i
a
b
i=Ldi/dt
特点：磁场不变，导体运动．
c
d
b B v a
ab运动,其中电子受
洛仑兹力:
F洛
ev
B
eE非
E非
v
B
动生电动势：
ab
Lab E非 dl
b(v
B)
dl
a
——普遍计算式
Note: ① 动生电动势把机械能转换电能 ②洛伦兹力不做功
发电机工作原理:
[例7-1]
dl
r
②对于一个N匝线圈：
L m I
线圈的磁链
[例7-4] 长直螺线管的自感系数． (管长d,截面积S,单位长度上匝数n)
解：设通电流I，则管内 B=0nI m=nd0nIS =0n2VI
螺管体积
L=m/I=0n2V
Note: ①若管内充满某种磁介质,则 L=0rn2V.
②细螺绕环的自感系数表达式同此.
I=40A,v=2m/s,则金 属杆AB中的感应电 动势 i= , 电势较高端为 端.
解：⑴设i正方向为AB
则d对i 于 (xv-x+Bd)x d线l元 ,有vBdx
0 Ivdx 2 x
于是 i
di
0Iv 2
2 dx 1x
0Iv ln 2 2
i
0Iv ln 2 1.1105 2
i：0I
i阻碍电流增长 电场力克服i做功, 此
功转化为磁能.
ii+di过程(tt+dt),电场力做功：
dA=dq(Va-Vb) =idt(-i) =idtLdi/dt
=Lidi
0I过程,电场力做的总功：
A
I 0
Lidi
1 2
LI
2
载流线圈的磁能： Wm
A
1 2
LI
2
上式适用于L一定(即L不随I变化)的任意 载流线圈
图示位置,则i=?
2.感生电场(inducedelectric field)
感生电动势中：
F非
F洛
F非来自某种非静电场——感生电场 Ei
(Maxwell首次提出)
感生电场与变化的磁场相联系：
i L Ei dl
i
dm dt
d dt
B dS
B
dS
S
S t
L Ei dl
§7.1 法拉第定律(Faradays Law) 1. 电动势
为维持电流稳恒流动，需要电源(电动势)。
-
+
E+ K
电源 S
R
稳
I
恒 电
流
E：静电场 K：作用在单位正电荷上的非静电力
电源内部欧姆定律：
j (E K)
发电机：洛伦兹力
化学电池：极移 动到正极，非静电力所做的功
2. 电磁感应和法拉第定律
电磁感应现象
磁通量变化引 起电流
有电流！
没电流！
实验1：插入或拔出磁棒
检流计
N S
实验2 ：插入或拔出载流线圈
电源
检流计
实验3：接通或断开初级线圈
检流计
电源
实验4：导线切割磁力线的运动
I l
检流计
Bv
电磁感应:
闭合回路所包围面积内的磁通 量发生变化，回路中产生电流
第七章 电磁感应与麦克斯韦方程组
(Electromagnetic Induction and
Maxwells Equations)
B
m变化 回路中产生Ii
L
——电磁感应
典型情形：
①
B 不变,回路变.
(动生)
②回路不变, B 变. (感生)
法拉第定律 动生电动势 感生电动势 主要内容： 互感与自感 磁场的能量 麦克斯韦方程组
能量储存在磁场中！
2.磁场能量密度
⊙⊙⊙
载流细螺绕环：
I
管内 B=0nI
管外 B=0
磁能
Wm
1 2
LI
2
1 2
0n2V
I
2
B2 V
20
磁场能量密度：
wm
B2
20
Note:
若环内充满某种磁介质,则磁场能量
密度为
wm
B2
20r
(普遍成立)
3.磁场的能量
Wm wmdV
§7.6 麦克斯韦方程组(Maxwells Equations)
i)提出了位移电流和感应电场的概念 ii)系统总结了电磁场的基本规律 iii)预言了电磁波的存在 iv)指出光是一种电磁波
麦克斯韦（1831－1879）英国物理学家
牛顿之后，爱因斯坦 之前最伟大的物理学家!
1865 年麦克斯韦预言电磁波的存在，并计 算出电磁波的速度（即光速）。
c 1
00
1888 年赫兹实验证实了麦克斯韦的预言。
i
dm dt
其中 m Nm
——磁链(magnetic linkage)
⒊楞次定律(Lenzs Law)
——感应电流的方向,总是使它产生的磁场抵 抗引起这个感应电流的磁通的变化．
II
N
N
S
S
楞次定律是能量守恒定律的一种表现
机械能
焦耳热
B
× × ×
×
Fm×××
×
Ii
× × ×
×
v×××
×
§7.2 动生电动势 (Motional Electromotive Force)
In 1864, J.C.Maxwell：《Dynamical
Theory of the Electromagnetic Field》
⑴ DdS dV
—— D的高斯定律
S
V 自由电荷密度
(反映电场的有源性)
⑵
BdS 0
——磁场的高斯定律
S
(反映磁场的涡旋性or无源性)
⑶
LH dl
S
(J
r+dr
B
导体棒长L,角速度.若
转轴在棒的中点,则整 个棒上电动势的值为 ；若转轴在棒的 端点,则电动势的值为 .
解：⑴转轴在中点
两侧各线元上的di两两抵消
i 0
⑵转轴在端点
设转轴在左下端, L方向指向右上端.
则 r－r+dr线元:
d i
(v
B) dl
vBdr
rBdr
于是
i
L di B
2.自感现象
B~
I~
载流线圈中:
I~ B~m~i
——自感现象
⑴自感系数 L
——表征线圈产生自感的能力
定义：L m I
穿过线圈的磁通 线圈中电流
SI单位：H (Henry)，1H=1Wb/A 1mH=10-3H
1H=10-6H
Notes: ① L仅依赖于线圈的几何及周围磁介 质性质；无铁磁介质时,L与I无关.
D )
dS
t
——普遍的安培环路定理
其中： H B / 0r
——磁场强度
J ——传导电流密度
(反映电流和变化的电场与磁场的联系)
⑷
LE dl
S
B
dS
t
——法拉第电磁感应定律
(反映变化的磁场与电场的联系)
Notes:
①麦氏方程组除积分形式外,还有微 分形式(See P.216)
②Maxwell对电磁学的贡献：
V
⑵∵i=VBVA<0
∴A端电势较高
[思考] 若金属杆弯曲?
§7.3 感生电动势 (Induced Electromotive Force)
特点：回路不变，磁场变化．
1.感生电动势的计算
i
dm dt
[例7-3] aa
如图,金属框与长直 载流导线共面,设导
I~ b
L,i
线中电流I=I0cost, 求金属框中的感生
L
rdr
0
1 2
BL2
[思考] ①转轴位于L/3处，结果？
② b
a
cB
abc为金属框,bc边长 为L ,则a、c两点间的
电势差Va-Vc=?
Hint: 整个框 i= ab+bc+ca= 0 ab=0 bc=BL2/2
ca =-BL2/2 =Va-Vc
[例7-2]
v
I Adl B
1m 1m
o
x x+dx X
B
dS
S t
Notes: ①对于非导体回路或空间回路,上式 都成立.
②感生电场不是保守场.
③感生电场线是闭合曲线,感生电场 又称涡旋(vortex)电场.
3.感应电流的应用 ⑴表面热处理，表面去气．
⑵冶炼难熔金属(高频感应炉)
⑶产生电磁阻尼(仪表)
B 阻尼
4.电子感应加速器 (See P.189)
⑴表示法
a
-+
b
方向：(-)(+) (V低V高)
大小：开路电压
(=Vb-Va)
⑵物理意义： A()()
q
⑶场的观点
——电源内部存在非静电场
() ()
A()() () F非 dl q E () 非 dl
()
() E非 dl
一般：L L E非 dl
非静电场场强
涡电流
dB
dt
导体
电磁炉
§7.4 互感与自感(Mutual Induction and SelfInduction)
1.互感现象
12 21
I1
I2
12(I2所产生)
21(I1所产生)
I1~21~21 I2~12~12
——互感现象
21=M21i1
12=M12i2
M21=M12=M 互感系数
Notes: M仅依赖于线圈的几何及周围磁介质 性质；无铁磁介质时,M与I无关.