第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案
初中数学第八章 二元一次方程组知识点-+典型题附解析
)
A.4
B.3
C.2
D.1
5.如图,已知直线 AB、CD 被直线 AC 所截,AB∥ CD,E 是平面内任意一点(点 E 不在直
线 AB、CD、AC 上),设∠ BAE=α,∠ DCE=β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③β﹣α,
④360°﹣α﹣β,∠ AEC 的度数可能是( )
A.①②③
B.①②④
二、填空题
a 1 B. b 2
c 1
a 1 C. b 1
c 2
a 1 D. b 2
c 3
11.商场购进 A、B、C 三种商品各 100 件、112 件、60 件,分别按照 25%、40%、60%的 利润进行标价,其中商品 C 的标价为 80 元,为了促销,商场举行优惠活动:如果同时购买 A、B 商品各两件,就免费获赠三件 C 商品.这个优惠活动实际上相当于这七件商品一起打了七五折. 那么,商场购进这三种商品一共花了______元.. 12.三位先生 A、B、C 带着他们的妻子 a、b、c 到超市购物,至于谁是谁的妻子现在只能 从下列条件来推测:他们 6 人,每人花在买商品的钱数(单位:元)正好等于商品数量的 平方,而且每位先生都比自己的妻子多花 48 元钱,又知先生 A 比 b 多买 9 件商品,先生 B 比 a 多买 7 件商品.则先生 A 的妻子是__________. 13.已知点 C、D 是线段 AB 上两点(不与端点 A、B 重合),点 A、B、C、D 四点组成的 所有线段的长度都是正整数,且总和为 29,则线段 AB 的长度为__________________ . 14.綦江中学初二在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛,按分数高低取前 60 名获奖, 原定一等奖 5 人,二等奖 15 人,三等奖 40 人,现调整为一等奖 10 人,二等奖 20 人,三 等奖 30 人,调整后一等奖平均分降低 3 分,二等奖平均分降低 2 分,三等奖平均分降低 1 分,如果原来二等奖比三等奖平均分数多 7 分,则调整后一等奖比二等奖平均分数多 ______分. 15.历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载,译文为:今有 5 只雀、6 只燕,分别聚集在一起称重,称得雀重,燕轻.若将一只雀、一只燕交换位置, 则重量相等;将 5 只雀、6 只燕放在一起称量,则总重量为 1 斤.问雀、燕每 1 只各重多
数学第八章 二元一次方程组知识归纳总结及答案
数学第八章 二元一次方程组知识归纳总结及答案一、选择题1.某校运动员分组训练,若每组7人,则余3人:若每组8人,则缺5人.设运动员人数为x 人,组数为y 组,则可列方程为( )A .7385y x y x =+⎧⎨=+⎩B .7385y x y x =+⎧⎨+=⎩C .7385y x y x =-⎧⎨+=⎩D .7385y x y x =-⎧⎨=+⎩2.某小区准备新建 50 个停车位,已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元;新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元,求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?设新建 1 个地上停车位需要 x 万元,新建 1 个地下停车位需 y 万元,列二元一次方程组得( ) A .632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩B .623 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩C .0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩D .63213x y x y +=⎧⎨+=⎩3.方程组3453572x y x y +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩的解是( )A .20.25x y =⎧⎨=-⎩B . 4.53x y =-⎧⎨=⎩C .10.5x y =-⎧⎨=-⎩D .10.5x y =⎧⎨=⎩4.若二元一次方程组,3x y a x y a-=⎧⎨+=⎩的解是二元一次方程3570x y --=的一个解,则a 为( ) A .3B .5C .7D .95.在关于x 、y 的二元一次方程组321x y ax y +=⎧⎨-=⎩中,若232x y +=,则a 的值为( )A .1B .-3C .3D .46.已知且x +y =3,则z 的值为( ) A .9B .-3C .12D .不确定7.关于x ,y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩(其中a ,b 是常数)的解为34x y =⎧⎨=⎩,则方程组2()3()18()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=-⎩的解为( ) A .34x y =⎧⎨=⎩B .71x y =⎧⎨=-⎩C . 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩D . 3.50.5x y =⎧⎨=⎩8.两位同学在解方程组时,甲同学由278ax by xcx y +=⎧⎨-=⎩正确地解出32x y =⎧⎨=-⎩,乙同学因把C写错了解得22x y =-⎧⎨=⎩,那么a 、b 、c 的正确的值应为A .452a b c ===-,,B .451a b c ===-,,C .450a b c =-=-=,,D .452a b c =-=-=,,9.方程术是《九章算术》最高的数学成就,《九章算术》中“盈不足”一章中记载:“今有大器五小器一容三斛(古代的一种容量单位),大器一小器五容二斛,…”译文:“已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛,1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛,…“则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒斛,则可列方程组正确的是( ) A .5253x y x y +=⎧⎨+=⎩B .5352x y x y +=⎧⎨+=⎩C .5352x y x y +=⎧⎨=+⎩D .5=+352x y x y ⎧⎨+=⎩10.解为12x y =⎧⎨=⎩的方程组是( ) A .135x y x y -=⎧⎨+=⎩B .135x y x y -=-⎧⎨+=-⎩C .331x y x y -=⎧⎨-=⎩D .2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩二、填空题11.小红买了80分、120分的两种邮票,共花掉16元钱(两种邮票都买),则购买方案共有 种.12.已知关于x ,y 的二元一次方程()()12120m x my m +++=﹣﹣,无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则这个相同的解是______.13.已知对任意a b ,关于x y ,的三元一次方程()()a b x a b y a b --+=+只有一组公共解,求这个方程的公共解_____________.14.某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园,门票价格如下:如果按部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1245元;如果两个部门合在一起作为一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为945元.那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为_____.15.方程组1111121132x y x z y z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩的解为______.16.小明、小红和小光共解出了100道数学题目,每人都解出了其中的60道题目,如果将其中只有1人解出的题目叫做难题,2人解出的题目叫做中档题,3人都解出的题目叫做容易题,那么难题比容易题多________道.17.如图,长方形ABCD被分成8块,图中的数字是其中5块的面积数,则图中阴影部分的面积是____﹒18.有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件、乙7件、丙1件,共315元;若购买甲4件、乙10件、丙1件,共420元,现在购买甲、乙、丙各1件,共需_____元.19.对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.(1)计算:F(241)=_________,F(635)=___________ ;(2)若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y都是正整数),规定:()()F skF t=,当F(s)+F(t)=18时,则k的最大值是___.20.已知|x﹣z+4|+|z﹣2y+1|+|x+y﹣z+1|=0,则x+y+z=________.三、解答题21.某生态柑橘园现有柑橘21吨,计划租用A,B两种型号的货车将柑橘运往外地销售.已知满载时,用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨;用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨.(1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨?(2)若计划租用A型货车m辆,B型货车n辆,一次运完全部柑橘,且每辆车均为满载.①请帮柑橘园设计租车方案;②若A型车每辆需租金120元/次,B型车每辆需租金100元/次.请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.22.阅读以下内容:已知有理数m,n满足m+n=3,且3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩求k的值.三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路:甲同学:先解关于m,n的方程组3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩,再求k的值;乙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求k的值;丙同学:先解方程组3232m nm n+=⎧⎨+=-⎩,再求k的值.(1)试选择其中一名同学的思路,解答此题;(2)在解关于x,y的方程组()()11821a x byb x ay⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩①②时,可以用①×7﹣②×3消去未知数x,也可以用①×2+②×5消去未知数y.求a和b的值.23.泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动,旅行社代办购买动车票,动车票价格如下表所示:运行区间大人票价学生票出发站终点站一等座二等座二等座泉州福州65(元)54(元)40(元)根据报名总人数,若所有人员都买一等座的动车票,则共需13650元,若都买二等座动车票(学生全部按表中的“学生票二等座”购买),则共需8820元;已知家长的人数是教师的人数的2倍.(1)设参加活动的老师有m人,请直接用含m的代数式表示教师和家长购买动车票所需的总费用;(2)求参加活动的总人数;(3)如果二等座动车票共买到x张,且学生全部按表中的“学生票二等座”购买,其余的买一等座动车票,且买票的总费用不低于9000元,求x的最大值.24.某公园的门票价格如下表所示:某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园,其中(I)班的人数较少,不足 50 人;(2) 班人数略多,有 50 多人.如果两个班都以班为单位分别购票,则一共应付 1172 元,如果两个班联合起来,作为一个团体购票,则需付 1078 元.(1)列方程求出两个班各有多少学生;(2)如果两个班联合起来买票,是否可以买单价为 9 元的票?你有什么省钱的方法来帮他们买票呢?请给出最省钱的方案.25.江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品,在春季中,甲种产品售价50千元/件,乙种产品售价30千元/件,生产这两种产品需要A、B两种原料,生产甲产品需要A种原料4吨/件,B种原料2吨/件,生产乙产品需要A种原料3吨/件,B种原料1吨/件,每个季节该厂能获得A种原料120吨,B种原料50吨.(1)如何安排生产,才能恰好使两种原料全部用完?此时总产值是多少万元?(2)在夏季中甲种产品售价上涨10%,而乙种产品下降10%,并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件,问如何安排甲、乙两种产品,使总产值是1375千元,A,B两种原料还剩下多少吨?26.在今年“六•一”期间,扬州市某中学计划组织初一学生到上海研学,如果租用甲种客车2辆,乙种客车3辆,则可载180人,如果租用甲种客车3辆,乙种客车1辆,则可载165人.(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人?(2)若该学校初一年级参加研学活动的师生共有303名,旅行社承诺每辆车安排一名导游,导游也需一个座位.旅行前,旅行社的一名导游由于有特殊情况,旅行社只能安排7名导游,为保证所租的每辆车均有一名导游,租车方案调整为:同时租65座、甲种客车和乙种客车的大小三种客车,出发时,所租的三种客车的座位恰好坐满,请问旅行社的租车方案应如何安排?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】根据关键语句“若每组7人,余3人”可得方程7y +3−x ;“若每组8人,则缺5人.”可得方程8y−5=x ,联立两个方程可得方程组. 【详解】解:设运动员人数为x 人,组数为y 组,由题意得: 列方程组为7385y x y x -⎧⎨+⎩== 故选D . 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,抓住关键语句,列出方程.2.C解析:C 【分析】根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式,由此进一步即可得出相应的方程组. 【详解】由题意得:新建1个地上停车位需要x 万元,新建1个地下停车位需y 万元, ∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元,∴0.6x y,又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元, ∴32 1.3x y +=, ∴可列方程组为:0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩,故选:C . 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.3.D解析:D 【分析】整理后①×7+②×2得出41x=41,求出x ,把x 的值代入①求出y 即可. 【详解】解:整理得:34510143x y x y +=⎧⎨-=⎩①② , ①×7+②×2得:41x=41, ∴x=1,把x=1代入①得:3+4y=5, ∴y=0.5,∴方程组的解是:10.5x y =⎧⎨=⎩,故选D . 【点睛】本题考查了解二元一次方程组,关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程,解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算.4.C解析:C 【分析】先用含a 的代数式表示x 、y ,即解关于x 、y 的方程组,再代入3570x y --=中即可求解. 【详解】 解:解方程组3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩,得2x ay a =⎧⎨=⎩,把x =2a ,y=a 代入方程3570x y --=,得6570a a --=, 解得:a =7. 故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念,求解的关键是先把a看成已知,通过解关于x、y的方程组,得到x、y与a的关系.5.C解析:C【解析】分析:上面方程减去下面方程得到2x+3y=a﹣1,由2x+3y=2得出a﹣1=2,即a=3.详解:3{21x y ax y+=-=①②,①﹣②,得:2x+3y=a﹣1.∵2x+3y=2,∴a﹣1=2,解得:a=3.故选C.点睛:本题主要考查解二元一次方程组,观察到两方程的系数特点和等式的基本性质是解题的关键.6.B解析:B【解析】【分析】先利用x+y=3,得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解.【详解】解:∵x+y=3,将其代入方程组得,由(1)得y=z-6,将其代入(2)得z=-3,故选B.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键.7.C解析:C【解析】分析:由原方程组的解及两方程组的特点知,x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y,据此列出方程组,解之可得.详解:由题意知:3{4x yx y+=-=①②,①+②,得:2x=7,x=3.5,①﹣②,得:2y=﹣1,y=﹣0.5,所以方程组的解为3.50.5 xy=⎧⎨=-⎩.故选C.点睛:本题主要考查二元一次方程组,解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组.8.A解析:A 【分析】把32x y =⎧⎨=-⎩代入278ax by x cx y +=⎧⎨-=⎩得,3223148a b c -=⎧⎨+=⎩由方程组中第二个式子可得:c=-2.用排除法,可以直接解答. 【详解】解:把32x y =⎧⎨=-⎩代入278ax by x cx y +=⎧⎨-=⎩得:3223148a b c -=⎧⎨+=⎩①②, 由②得:c 2=-,四个选项中行只有A 符合条件. 故选择:A. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解,做这类题目时要用代入法或排除法,这样可以提高做题效率.9.B解析:B 【分析】设一个大桶盛酒x 斛,一个小桶盛酒y 斛,根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x 、y 的二元一次方程组. 【详解】设一个大桶盛酒 x 斛,一个小桶盛酒 y 斛, 根据题意得:5352x y x y +=⎧⎨+=⎩,故选B.【点睛】根据文字转化出方程条件是解答本题的关键.10.D解析:D 【分析】根据方程组的解的定义,只要检验12x y =⎧⎨=⎩是否是选项中方程的解即可.【详解】A 、把12x y =⎧⎨=⎩代入方程x-y=-1,左边=1≠右边,把12x y =⎧⎨=⎩代入方程y+3x=5,左边=5=右边,故不是方程组的解,故选项错误;B、把12xy=⎧⎨=⎩代入方程3x+y=-5,左边=5≠右边,故不是方程组的解,故选项错误;C、把12xy=⎧⎨=⎩代入方程x-y=3,左边=-1≠右边,故不是方程组的解,故选项错误;D、把12xy=⎧⎨=⎩代入方程x-2y=-3,左边=-3=右边=-3,把12xy=⎧⎨=⎩代入方程3x+y=5,左边=5=右边,故是方程组的解,故选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义,正确理解定义是关键.二、填空题11.6【分析】设80分的邮票购买x张,120分的邮票购买y张,根据题意列方程0.8x+1.2y=16,用含y的代数式表示x得,根据x、y都是整数取出x与y的对应值,得到购买方案.【详解】解:设8解析:6【分析】设80分的邮票购买x张,120分的邮票购买y张,根据题意列方程0.8x+1.2y=16,用含y的代数式表示x得3202x y=-,根据x、y都是整数取出x与y的对应值,得到购买方案.【详解】解:设80分的邮票购买x张,120分的邮票购买y张,0.8x+1.2y=16,解得3202x y =-,∵x、y都是正整数,∴当y=2、4、6、8、10、12时,x=17、14、11、8、5、2,∴共有6种购买方案,故答案为:6.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用,根据题意只得到一个方程时,可将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式,然后根据未知数的要求得到对应值即可解决实际问题.12.【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程,若无论实数m取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则与m无关,从而令m的系数为0,从而得关于x和y的二元一次方程组,求解即可.【详解】将(m+1)解析:11 xy=-⎧⎨=⎩【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程,若无论实数m取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则与m无关,从而令m的系数为0,从而得关于x和y的二元一次方程组,求解即可.【详解】将(m+1)x+(2m-1)y+2-m=0整理得:mx+x+2my-y+2-m=0,即m(x+2y-1)+x-y+2=0,因为无论实数m取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,所以21020x yx y+-=⎧⎨-+=⎩,解得:11xy=-⎧⎨=⎩.故答案为:11xy=-⎧⎨=⎩.【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题,解题关键是利用转化思想.13.【分析】先把原方程化为的形式,再分别令a,b的系数为0,即可求出答案.【详解】解:由已知得:∴两式相加得:,即,把代入得到,,故此方程组的解为:.故答案为:.【点睛】本题主要考解析:01x y =⎧⎨=-⎩【分析】先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式,再分别令a ,b 的系数为0,即可求出答案.【详解】解:由已知得:(1)(1)0a x y b x y ---++=∴1010x y x y --=⎧⎨++=⎩两式相加得:20x =,即0x =,把0x =代入10x y --=得到,1y =-,故此方程组的解为:01x y =⎧⎨=-⎩. 故答案为:01x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】 本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题,运用三元一次方程组的解法的知识进行计算,即可解答.14.15【分析】根据945不能被11和13整除,能被9整除,可得两个部门的人数之和为105;再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1~50和51~100的范围,结合门票价格和人数解析:15【分析】根据945不能被11和13整除,能被9整除,可得两个部门的人数之和为105;再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1~50和51~100的范围,结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可.【详解】解:设人数较少的部门有x 人,人数较多的部门有y 人,∵945不能被11和13整除且945÷9=105(人),∴两个部门的人数之和为105(人),∵1245不能被11和13整除,∴1≤x ≤50,51≤y ≤100,依题意,得:10513111245x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得:4560x y =⎧⎨=⎩, ∴15-=x y ,故答案为:15.【点睛】本题考查了函数的应用问题和学生分析问题的能力,结合门票和人数之间的关系,建立方程是解题的关键.15.【分析】先将三个方程依次标号,然后相加可得④,由④-①,④-②,④-③即可得出答案.【详解】解:由方程组,可得:,所以④,由可得:,由可得:,由可得综上所述方程组的解是.【点睛】 解析:43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩【分析】 先将三个方程依次标号,然后相加可得11194x y z ++=④,由④-①,④-②,④-③即可得出答案.【详解】 解:由方程组1111121132x y x zy z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③,++①②③可得:111922x y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 所以11194x y z ++=④, 由-④①可得:154,45z z =∴=,由-④②可得:11,44y y =∴=,由-④③可得13,4x = 43x ∴= 综上所述方程组的解是43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩.【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法,利用加减消元的思想是解题的关键.16.【分析】本题可设x 道难题,y 道中档题,z 道容易题,因为小明、小林和小颖共解出100道数学题,所以x+y+z=100①,又因每人都解出了其中的60道,只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档解析:【分析】本题可设x 道难题,y 道中档题,z 道容易题,因为小明、小林和小颖共解出100道数学题,所以x+y+z =100①,又因每人都解出了其中的60道,只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,所以有x+2y+3z =180②,①×2-②,得x-z =20,所以难题比容易题多20道.【详解】设x 道难题,y 道中档题,z 道容易题。
数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及解析(1)
数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及解析(1)一、选择题1.把方程23x y -=改写成用含x 的式子表示y 的形式,正确的是( )A .23x y =+B .32y x +=C .23y x =-D .32y x =-2.下列判断中,正确的是( ) A .方程x y =不是二元一次方程B .任何一个二元一次方程都只有一个解C .方程25x y -=有无数个解,任何一对x 、y 都是该方程的解D .21x y =⎧⎨=-⎩既是方程24x y -=的解也是方程231x y +=的解3.巴广高速公路在5月10日正式通车,从巴中到广元全长约为126km .一辆小汽车,一辆货车同时从巴中,广元两地相向开出,经过45分钟相遇,相遇时小汽车比货车多行6km ,设小汽车和货车的速度分别为xkm /h ,ykm /h ,则下列方程组正确的是( )A .()()45126456x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B .()312646x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C .()()31264456x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩D .()()31264364x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4.小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了41.4元,而两个月前买同重量的这两样菜只要36元,与两个月前相比,这次萝卜的单价下降了10%,但排骨单价却上涨了20%,设两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为x 元/斤,y 元/斤,则可列方程为( )A .()()2362110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩B .()()241.42110%120%36x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩C .()()241.4110%2120%36x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩D .()()236110%2120%41.4x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩5.已知方程组512x y ax by +=⎧⎨+=⎩和521613x y bx ay +=⎧⎨+=⎩的解相同,则a 、b 的值分别是( )A .2,3B .3,2C .2,4D .3,46.已知下列各式:①12+=y x;②2x ﹣3y =5;③xy =2;④x+y =z ﹣1;⑤12123x x +-=,其中为二元一次方程的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .47.已知方程组222x y kx y +=⎧⎨+=⎩的解满足x+y=2,则k 的算术平方根为( )A .4B .﹣2C .﹣4D .2 8.将一张面值100元的人民币,兑换成10元或20元的零钱,兑换方案有( )A .6种B .7种C .8种D .9种9.下列方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩的是( )A .224x y x y -=⎧⎨+=⎩B .253x y x y -=⎧⎨+=⎩C .32x y x y +=⎧⎨-=⎩D .2536x y x y -=⎧⎨+=⎩10.若x m ﹣n ﹣2y m+n ﹣2=2007,是关于x ,y 的二元一次方程,则m ,n 的值分别是( )A .m=1,n=0B .m=0,n=1C .m=2,n=1D .m=2,n=3二、填空题11.三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物,至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测:他们6人,每人花在买商品的钱数(单位:元)正好等于商品数量的平方,而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱,又知先生A 比b 多买9件商品,先生B 比a 多买7件商品.则先生A 的妻子是__________.12.方程组31810x y z x y x y z =+⎧⎪+=⎨⎪++=⎩的解是________.13.已知对任意a b ,关于x y ,的三元一次方程()()a b x a b y a b --+=+只有一组公共解,求这个方程的公共解_____________.14.观察表一,寻找规律,表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,则a +b ﹣m =_____.15.已知x m y n =⎧⎨=⎩是方程组20234x y x y -=⎧⎨+=⎩的解,则3m +n =_____.16.已知1a 、2a 、3a 、…、n a 是从1或0中取值的一列数(1和0都至少有一个),若()()()()2222123222281n a a a a ++++++⋯++=,则这列数的个数n 为____.17.若关于x ,y 的方程组322x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数,则整数a 的值是_____.18.如图,小强和小红一起搭积木,小强所搭的“小塔”的高度为23 cm ,小红所搭的“小树”的高度为22 cm ,设每块A 型积木的高为x cm ,每块B 型积木的高为y cm ,则x =__________,y =__________.19.对于有理数,规定新运算:x ※y =ax +by +xy ,其中a 、b 是常数,等式右边的是通常的加法和乘法运算. 已知:2※1=7 ,(-3)※3=3 ,则13※b =__________. 20.火锅是重庆的一张名片,深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营,6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2.随着促进消费政策的出台,该火锅店老板预计7月份总营业额会增加,其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25,则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720,为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5,则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________.三、解答题21.阅读以下内容:已知有理数m ,n 满足m+n =3,且3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩求k 的值.三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路:甲同学:先解关于m ,n 的方程组3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩,再求k 的值;乙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求k 的值; 丙同学:先解方程组3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩,再求k 的值.(1)试选择其中一名同学的思路,解答此题;(2)在解关于x ,y 的方程组()()11821a x by b x ay ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩①②时,可以用①×7﹣②×3消去未知数x ,也可以用①×2+②×5消去未知数y .求a 和b 的值.22.对x ,y 定义一种新运算T ,规定()22,ax byT x y a y+=+(其中a ,b 是非零常数且0x y +≠),这里等式右边是通常的四则运算.如:()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==+,()24,22am bT m m +-=-. (1)填空:()4,1T =_____(用含a ,b 的代数式表示);(2)若()2,02T -=-且()5,16T -=. ①求a 与b 的值;②若()()310,33,310T m m T m m --=--,求m 的值.23.为鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息,请解答: 自来水销售价格 每户每月用水量 单位:元/吨15吨及以下a超过15吨但不超过25吨的部分 b超过25吨的部分5(1)小王家今年3月份用水20吨,要交水费___________元;(用a ,b 的代数式表示) (2)小王家今年4月份用水21吨,交水费48元;邻居小李家4月份用水27吨,交水费70元,求a ,b 的值.(3)在第(2)题的条件下,若交水费76.5元,求本月用水量.(4)在第(2)题的条件下,小王家5月份用水量与4月份用水量相同,却发现要比4月份多交9.6元钱水费,小李告诉小王说:“水价调整了,表中表示单位的a ,b 的值分别上调了整数角钱(没超过1元),其他都没变.”到底上调了多少角钱呢?请你帮小王求出符合条件的所有可能情况.24.李师傅要给-块长9米,宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图,现有A 和B 两种款式的瓷砖,且A 款正方形瓷砖的边长与B 款长方形瓷砖的长相等, B 款瓷砖的长大于宽.已知一块A 款瓷砖和-块B 款瓷砖的价格和为140元; 3块A 款瓷砖价格和4块B 款瓷砖价格相等.请回答以下问题:(1)分别求出每款瓷砖的单价.(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000 元,且A款瓷砖的数量比B款多,则两种瓷砖各买了多少块?(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块,且恰好铺满地面,则B款瓷砖的长和宽分别为_ 米(直接写出答案).25.每年的6月5日为世界环保日,为提倡低碳环保,某公司决定购买10台节省能源的新机器,现有甲、乙两种型号的机器可选,其中每台的价格、产量如下表:甲型机器乙型机器价格(万元/台)a b产量(吨/月)240180经调查:购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元,购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元.(1)求a、b的值;(2)若该公司购买新机器的资金不超过216万元,请问该公司有哪几种购买方案?(3)在(2)的条件下,若公司要求每月的产量不低于1890吨,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.26.已知:用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨;用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨,某物流公刊现有35吨货物,计划同时租用A型车a 辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息,解答下列问题:(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?(2)请你帮该物流公司设计租车方案;(3)若A型车每辆需租金200元/次,B型车每辆需租金240元/次,请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】将x 看做常数移项求出y 即可得. 【详解】由2x-y=3知2x-3=y ,即y=2x-3, 故选C . 【点睛】此题考查了解二元一次方程,解题的关键是将x 看做已知数求出y .2.D解析:D 【分析】根据二元一次方程的概念和二元一次方程的解逐项进行判断即可. 【详解】A .方程x y =是二元一次方程,故错误;B .任何一个二元一次方程都有无数个解,故错误;C .方程25x y -=有无数个解,但并不是任何一对x 、y 都是该方程的解,故错误;D .21x y =⎧⎨=-⎩既是方程24x y -=的解也是方程231x y +=的解,故正确;故选:D . 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的概念和二元一次方程的解,熟练掌握二元一次方程的概念和解法是解题的关键.3.D解析:D 【解析】设小汽车的速度为xkm/h ,则45分钟小汽车行进的路程为34xkm ;设货车的速度为ykm/h ,则45分钟货车行进的路程为34ykm .由两车起初相距126km ,则可得出34(x+y )=126;又由相遇时小汽车比货车多行6km ,则可得出34(x-y )=6.可得出方程组31264364x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩()(). 故选:D .点睛:学生在分析解答此题时需注意弄清题意,明白所要考查的要点.另外,还需注意单位的换算,避免粗心造成失误.4.A解析:A 【分析】根据题目中设的两个月前的萝卜和排骨的单价,先列出两个月前的式子236x y +=,再根据降价和涨价列出现在的式子()()2110%120%41.4x y ⨯-++=,得到方程组. 【详解】解:两个月前买菜的情况列式:236x y +=,现在萝卜的价格下降了10%,就是()110%x -,排骨的价格上涨了20%,就是()120%y +,那么这次买菜的情况列式:()()2110%120%41.4x y ⨯-++=,∴方程组可以列为()()2362110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩.故选:A . 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组.5.B解析:B 【分析】由于这两个方程组的解相同,所以可以把这两个方程组中的第一个方程联立再组成一个新的方程组,然后求出x 、y 的解,把求出的解代入另外两个方程,得到关于a ,b 的方程组,即可求出a 、b 的值. 【详解】根据题意,得:55216x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得:23x y =⎧⎨=⎩,将2x =、3y =代入1213ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩,得:23122313a b b a +=⎧⎨+=⎩,解得:32a b =⎧⎨=⎩,∴a 、b 的值分别是3、2. 故选:B . 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解,理解方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值是解题的关键.6.A解析:A 【分析】根据二元一次方程的定义即可判断. 【详解】①是分式方程,故不是二元一次方程; ②正确;③是二元二次方程,故不是二元一次方程; ④有3个未知数,故不是二元一次方程; ⑤是一元一次方程,不是二元一次方程. 故选:A . 【点睛】考查二元一次方程的定义,含有2个未知数,未知项的最高次数是1的整式方程就是二元一次方程.7.D解析:D 【解析】试题分析:把两个方程相加可得3x+3y=2+k ,两边同除以3可得x+y=23k+=2,解得k=4,因此k 的算术平方根为2. 故选D.8.A解析:A 【解析】试题解析:设兑换成10元x 张,20元的零钱y 元,由题意得: 10x+20y=100, 整理得:x+2y=10,方程的整数解为:24xy=⎧⎨=⎩,43xy=⎧⎨=⎩,62xy=⎧⎨=⎩,81xy=⎧⎨=⎩,10{xy==,5xy=⎧⎨=⎩.因此兑换方案有6种,故选A.考点:二元一次方程的应用.9.D解析:D【解析】把31xy=⎧⎨=⎩代入选项A第2个方程24x y+=不成立,故错误;把31xy=⎧⎨=⎩代入选项B第2个方程3x y+=不成立,故错误;把31xy=⎧⎨=⎩代入选项C第1个方程3x y+=不成立,故错误;把31xy=⎧⎨=⎩代入选项D两个方程均成立,故正确;故选D.10.C解析:C【分析】根据二元一次方程的定义,列出关于m、n的方程组,然后解方程组即可.【详解】解:根据题意,得121 m nm n-=⎧⎨+-=⎩,解得21mn=⎧⎨=⎩.故选:C.二、填空题11.【分析】设一对夫妻,丈夫买了x件商品,妻子买了y件商品,列出关于x、y的二元二次方程,再根据x、y都是正整数,且与有相同的奇偶性,即可得出关于x、y 的二元一次方程组,求出x、y的值,再找出符合和解析:c【分析】设一对夫妻,丈夫买了x件商品,妻子买了y件商品,列出关于x、y的二元二次方程,再根据x 、y 都是正整数,且x y +与x y -有相同的奇偶性,即可得出关于x 、y 的二元一次方程组,求出x 、y 的值,再找出符合9x y -=和7x y -=的情况即可进行解答. 【详解】设一对夫妻,丈夫买了x 件商品,则钱数为2x ,妻子买了y 件商品,则钱数为2y ,依题意有x 2-y 2=48,即()()48x y x y +-=, ∵x 、y 都是正整数,且x y +与x y -有相同的奇偶性, 又∵x y x y +>-,48=24×2=12×4=8×6,∴242x y x y +=⎧⎨-=⎩或124x y x y +=⎧⎨-=⎩或86x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得13x =,11y =或8x =,4y =或7x =,1y =,符合9x y -=的只有一种,可见A 买了13件商品,b 买了4件, 同时符合7x y -=的也只有一种,可知B 买了8件,a 买了1件, ∴C 买了7件,c 买了11件.由此可知三对夫妻的组合是:A 、c ;B 、b ;C 、a . 故答案为:c . 【点睛】本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性,根据题意列出关于x 、y 的不定方程是解答此题的关键.12.【分析】①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可. 【详解】 解:①+③解得:2x=10,即x=5; 将x=5代入②得y=3; 将x=5,y=3代解析:532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【分析】①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可. 【详解】解:31810x y z x y x y z =+⎧⎪+=⎨⎪++=⎩①②③①+③解得:2x=10,即x=5;将x=5代入②得y=3;将x=5,y=3代入③可得z=2.故答案为532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.【点睛】本题考查了解三元一次方程组,观察方程组、寻找各方程的特点、运用整体思想代入消元是解答本题的关键.13.【分析】先把原方程化为的形式,再分别令a ,b 的系数为0,即可求出答案.【详解】解:由已知得:∴两式相加得:,即,把代入得到,,故此方程组的解为:.故答案为:.【点睛】本题主要考解析:01x y =⎧⎨=-⎩【分析】先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式,再分别令a ,b 的系数为0,即可求出答案.【详解】解:由已知得:(1)(1)0a x y b x y ---++=∴1010x y x y --=⎧⎨++=⎩两式相加得:20x =,即0x =,把0x =代入10x y --=得到,1y =-,故此方程组的解为:01x y =⎧⎨=-⎩. 故答案为:01x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】 本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题,运用三元一次方程组的解法的知识进行计算,即可解答.14.﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程,解之即可得出a 值;由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程,解之即可得出b 值;在表三中设42为第x 行y 列,则75为第(x+1)行(y+2解析:﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程,解之即可得出a 值;由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程,解之即可得出b 值;在表三中设42为第x 行y 列,则75为第(x+1)行(y+2)列,结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x 、y 的二元一次方程组,解之即可得出x 、y 的值,将其代入m=(x+1)(y+1)即可得出m 的值,将a 、b 、m 的值代入a-b+m 即可得出结论.【详解】表二截取的是其中的一列:上下两个数字的差相等,∴a-15=15-12,解得:a=18;表三截取的是两行两列的相邻的四个数字:右边一列数字的差比左边一列数字的差大1, ∴42-b-1=36-30,解得:b=35;表四截取的是两行三列的相邻的六个数字:设42为第x 行y 列,则75为第(x+1)行(y+2)列,则有()()421275xy x y ⎧⎨++⎩==, 解得:143x y ⎧⎨⎩== 或3228x y ⎧⎪⎨⎪⎩==(舍去), ∴m=(x+1)(y+1)=(14+1)×(3+1)=60.∴a+b ﹣m=18+35-60=-7.故答案为:-7【点睛】此题考查一元一次方程的应用,规律型:数字变化类,根据表一中数的排列特点通过解方程(或方程组)求出a 、b 、m 的值是解题关键.15.4【分析】将方程组的解代入得的新的二元一次方程,然后观察发现,运用作差法即可完成解答.【详解】解:把代入方程组得: ,①+②得:3m+n =4,故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解解析:4【分析】将方程组的解代入20234x y x y -=⎧⎨+=⎩得的新的二元一次方程,然后观察发现,运用作差法即可完成解答.【详解】解:把x m y n =⎧⎨=⎩代入方程组得: 20234m n m n -=⎧⎨+=⎩①② , ①+②得:3m +n =4,故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解的作用.将方程组的解代入方程组的解后,可以求出未知数,然后进行计算;但认真观察整体变换求得的结果,准确率更高.16.14或19【解析】【分析】由、、、…、是从1或0中取值的一列数(1和0都至少有一个),设有x 个1,y 个0,则(a1+2)2、(a2+2)2、…、(an+2)2有x 个9,y 个4,列不定方程解答即解析:14或19【解析】【分析】由1a 、2a 、3a 、…、n a 是从1或0中取值的一列数(1和0都至少有一个),设有x 个1,y 个0,则(a 1+2)2、(a 2+2)2、…、(a n +2)2有x 个9,y 个4,列不定方程解答即可确定正确的答案.【详解】解:设有x 个1,y 个0,则对应(a 1+2)2、(a 2+2)2、…、(a n +2)2中有x 个9,y 个4, ∵()()()()2222123222281n a a a a ++++++⋯++=,∴9x +4y =81 ∴499y x =-, ∵x ,y 均为正整数,∴y 是9的倍数,∴59x y =⎧⎨=⎩,118x y =⎧⎨=⎩, ∴这列数的个数n =x +y 为14或19,故答案为:14或19.【点睛】本题考查了数字的变化类问题,解题的关键是对给出的式子进行正确的变形,得到不定方程然后求整数解即可.17.2或-1【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组,得到x 和y 关于a 的解,根据方程组的解是正整数,得到5-a 与a+4都要能被3整除,即可得到答案.【详解】,①-②得:3y=5-a ,解析:2或-1【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组,得到x 和y 关于a 的解,根据方程组的解是正整数,得到5-a 与a+4都要能被3整除,即可得到答案.【详解】322x y x y a +⎧⎨--⎩=①=②, ①-②得:3y=5-a ,解得:y=53a -, 把y=53a -代入①得: x+53a -=3, 解得:x=+43a , ∵方程组的解为正整数,∴5-a 与a+4都要能被3整除,∴a=2或-1,故答案为2或-1.【点睛】本题考查了解二元一次方程组,正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.18.5【解析】根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3,小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2,依两个等量关系列出方程组,再求解.故答案为4和5.点睛:本题考查了二元一解析:5【解析】根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3,小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2,依两个等量关系列出方程组23233222x yx y+=⎧⎨+=⎩,再求解45xy=⎧⎨=⎩.故答案为4和5.点睛:本题考查了二元一次方程组的应用,解题关键是看清图形的意思,找出等量关系列方程组求解.19.【解析】由题意得:,解得:a=,b=,则※b=a+b²+=,故答案为 .点睛:此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题,解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律,并根据运算顺序结合解析:61 3【解析】由题意得:227{3393 a ba b++=-+-=,解得:a=13,b=133,则13※b=13a+b²+13=116913619993++=,故答案为61 3.点睛:此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题,解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律,并根据运算顺序结合已知条件得到方程组,求出a、b的值.20.【分析】先根据题意设出相应的未知数,再结合题目的等量关系列出相应的方程组,最后求解即可求得答案.【详解】解:设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k,5k,2k,7月份总增解析:1 8【分析】先根据题意设出相应的未知数,再结合题目的等量关系列出相应的方程组,最后求解即可求得答案.【详解】解:设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k,5k,2k,7月份总增加的营业额为m,则7月份摆摊增加的营业额为25m,设7月份外卖还需增加的营业额为x.∵7月份摆摊的营业额是总营业额的720,且7月份的堂食、外卖营业额之比为8:5,∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8:5:7,∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a,5a,7a,由题意可知:3385552275k m x ak x am k a⎧+-=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩,解得:125215k ax am a⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,∴512 857208axa a a a==++,故答案为:18.【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用,根据题意设出相应的未知数,结合题目中的等量关系列出方程组是解决本题的关键.三、解答题21.(1)见解析;(2)a和b的值分别为2,5.【分析】(1)分别选择甲、乙、丙,按照提示的方法求出k 的值即可;(2)根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可.【详解】解:(1)选择甲,3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②, ①×3﹣②×2得:5m =21k ﹣8,解得:m =2185k -, ②×3﹣①×2得:5n =2﹣14k ,解得:n =2145k -, 代入m+n =3得:21821455k k --+=3, 去分母得:21k ﹣8+2﹣14k =15,移项合并得:7k =21,解得:k =3;选择乙, 3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②, ①+②得:5m+5n =7k ﹣6,解得:m+n =7-65k , 代入m+n =3得:7-65k =3, 去分母得:7k ﹣6=15,解得:k =3;选择丙,联立得:3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩①②, ①×3﹣②得:m =11,把m =11代入①得:n =﹣8,代入3m+2n =7k ﹣4得:33﹣16=7k ﹣4,解得:k =3;(2)根据题意得:1327a b +=⎧⎨+=⎩, 解得:52b a =⎧⎨=⎩, 检验符合题意,则a 和b 的值分别为2,5.【点睛】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.22.(1)163a b +;(2)①11a b =⎧⎨=-⎩;②53m = 【分析】(1)把(4,-1)代入新运算中,计算得结果;(2)①根据新运算规定和T (-2,0)=-2且T (5,-1)=6,得关于a 、b 的方程组,解方程组即可;②把①中求得的a 、b 代入新运算,并对新运算进行化简,根据T (3m-10,m )=T (m ,3m-10)得关于m 的方程,求解即可.【详解】 解:(1)224(1)16(4,1)413a b a b T ⨯+⨯-+-==-; 故答案为:163a b +; (2)①∵()2,02T -=-且()5,16T -=, ∴42,225 6.4a ab ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩ 解得:1,1.a b =⎧⎨=-⎩②∵a=1,b=1-,且x+y≠0, ∴22()()(,)x y x y x y T x y x y x y x y -+-===-++.∴()310,33103610T m m m m m --=-+=-,()3,3103310610T m m m m m --=--+=-+∵()()310,33,310T m m T m m --=--,∴610610m m -=-+, 解得:53m =. 【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识,理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键23.(155)a b +;23a b =⎧⎨=⎩;28.3吨;a 的值上调了0.4时b 的值上调了0.6或者a 的值上调了0.6时b 的值上调了0.1.【分析】(1)小王家今年3月份用水20吨,超过15吨,所以分两部分计费,15吨及以下费用为15a ,超过15吨的费用为(2015)5b b -=,故总费用155a b +;(2)依题意列方程组1564815105270a b a b +=⎧⎨++⨯=⎩,可求解; (3)在第(2)题的条件下,正好25吨时,所需费用60(元),可知若交水费76.5元,肯定用水超过25吨,可得用水量;(4)由小王家5月份用水量与4月份用水量相同与要比4月份多交9.6元钱水费,可列方程,满足方程的条件的解列出即所求.【详解】解:(1)小王家今年3月份用水20吨,要交消费为155a b +,故答案为:(155)a b +;(2)根据题意得,1564815105270a b a b +=⎧⎨++⨯=⎩, 解得:23a b =⎧⎨=⎩; (3)在第(2)题的条件下,当正好25吨时,可得费用15210360⨯+⨯=(元),由交水费76.5元可知,小王家用水量超过25吨,即:超过25吨的用水量(76.560)5 3.3=-÷=吨,合计本月用水量 3.32528.3=+=吨(4)设a 上调了x 元,b 上调了y 元,根据题意得:1569.6x y +=,52 3.2x y ∴+=,,x y 为整数角线(没超过1元),∴当0.6x =时,0.1y =元,当0.4x =时,0.6y =元,∴a 的值上调了0.4时,b 的值上调了0.6;a 的值上调了0.6时,b 的值上调了0.1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用,并学会看图提练已知,用二元一次方程列举法来表示解.24.(1)A 款瓷砖单价为80元,B 款单价为60元.(2)买了11块A 款瓷砖,2块B 款;或8块A 款瓷砖,6块B 款.(3)B 款瓷砖的长和宽分别为1,34或1,15.【解析】【分析】(1)设A款瓷砖单价x元,B款单价y元,根据“一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元;3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等”列出二元一次方程组,求解即可;(2)设A款买了m块,B款买了n块,且m>n,根据共花1000 元列出二元一次方程,求出符合题意的整数解即可;(3)设A款正方形瓷砖边长为a米,B款长为a米,宽b米,根据图形以及“A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块”可列出方程求出a的值,然后由92bb-+是正整教分情况求出b的值.【详解】解: (1)设A款瓷砖单价x元,B款单价y元,则有14034x yx y+=⎧⎨=⎩,解得8060 xy=⎧⎨=⎩,答: A款瓷砖单价为80元,B款单价为60元;(2)设A款买了m块,B款买了n块,且m>n,则80m+60n=1000,即4m+3n=50∵m,n为正整数,且m>n∴m=11时n=2;m=8时,n=6,答:买了11块A款瓷砖,2块B款瓷砖或8块A款瓷砖,6块B款瓷砖;(3)设A款正方形瓷砖边长为a米,B款长为a米,宽b米.由题意得:7997 22114 22b ba ab a b a--⎛⎫⨯⨯=+⨯-⎪++⎝⎭,解得a=1.由题可知,92bb-+是正整教.设92bkb-=+(k为正整数),变形得到921kbk-=+,当k=1时,77(122b=>,故合去),当k=2时,55(133b=>,故舍去),当k=3时,34b=,当k=4时,15b=,答: B款瓷砖的长和宽分别为1,34或1,15.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,(1)(2)较为简单,(3)中利用数形结合的思想,找出其中两款瓷砖的数量与图形之间的规律是解题的关键.25.(1)3018ab=⎧⎨=⎩;(2)有4 种方案:3 台甲种机器,7 台乙种机器;2 台甲种机器,8台乙种机器;1 台甲种机器,9 台乙种机器;10 台乙种机器.(3)最省钱的方案是购买2 台甲种机器,8 台乙种机器.【解析】【分析】(1)根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元,购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元这一条件建立一元二次方程组求解即可,(2)设买了x台甲种机器,根据该公司购买新机器的资金不超过216万元,建立一次不等式求解即可,(3)将两种机器生产的产量相加,使总产量不低于1890吨,求出x的取值范围,再分别求出对应的成本即可解题.【详解】(1)解:由题意得12 236 a ba b-=⎧⎨-=⎩,解得,3018ab=⎧⎨=⎩;(2)解:设买了x台甲种机器由题意得:30+18(10-x)≤216解得:x≤3∵x为非负整数∴x=0、1、2、3∴有4 种方案:3 台甲种机器,7 台乙种机器;2 台甲种机器,8 台乙种机器;1 台甲种机器,9 台乙种机器;10 台乙种机器.(3)解:由题意得:240+180(10-x)≥1890解得:x≥1.5∴1.5≤x≤ 3∴整数x=2 或3当x=2 时购买费用=30×2+18×8=204(元)当 x =3 时购买费用=30×3+18×7=216(元) ∴最省钱的方案是购买 2 台甲种机器,8 台乙种机器.【点睛】本题考查了利润的实际应用,二元一次方程租的实际应用,一元一次不等式的实际应用,难度较大,认真审题,找到等量关系和不等关系并建立方程组和不等式组是解题关键.26.(1) A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一:A 型车8辆,B 型车2辆,最少租车费为2080元.【分析】(1)设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨,根据题目中的等量关系:用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨;用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨,列方程组求解即可;(2)由题意得出3a+4b=35,然后由a 、b 为整数解,得到三中租车方案;(3)根据(2)中的所求方案,利用A 型车每辆需租金200元/次,B 型车每辆需租金240元/次,分别求出租车费用即可.【详解】解:(1)设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨,依题意列方程组为:32172318x y x y +=⎧⎨+=⎩解得34x y =⎧⎨=⎩答:1辆A 型车辆装满货物一次可运3吨,1辆B 型车装满货物一次可运4吨.(2)结合题意,和(1)可得3a+4b=35∴a=3543b - ∵a、b 都是整数∴92a b =⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩或18a b =⎧⎨=⎩答:有3种租车方案:方案一:A 型车9辆,B 型车2辆;方案二:A 型车5辆,B 型车5辆;方案三:A 型车1辆,B 型车8辆.(3)∵A 型车每辆需租金200元/次,B 型车每辆需租金240元/次,∴方案一需租金:9×200+2×240=2280(元)方案二需租金:5×200+5×240=2200(元)方案三需租金:1×200+8×240=2120(元)∵2280>2200>2120∴最省钱的租车方案是方案一:A 型车1辆,B 型车8辆,最少租车费为2120元.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的解法,关键是明确二元一次方程有无数解,但在解与实际问题有关的二元一次方程组时,要结合未知数的实际意义求解.。
七年级数学下册第八章二元一次方程组重点知识归纳(带答案)
七年级数学下册第八章二元一次方程组重点知识归纳单选题1、已知方程组{x +2y =k 2x +y =4的解满足x +y =2,则k 的值为( ) A .−2B .−4C .2D .4答案:C分析:将方程组中两方程相加可得3(x +y )=k +4,根据x +y =2可得关于k 的方程,解之可得.{x +2y =k①2x +y =4②①+②得:3(x +y )=k +4∵x +y =2∴k +4=6解得:k =2故选:C .小提示:本题考查二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.2、《张丘建算经》中有这样一首古诗:甲乙隔溪牧羊,二人互相商量;甲得乙羊九只,多乙一倍正当;乙说得甲九只,两人羊数一样;问甲乙各几羊,让你算个半晌,如果设甲有羊x 只,乙有羊y 只,那么可列方程组( )A .{x +9=2(y −9)y +9=xB .{x +9=2(y −9)y +9=x −9C .{x +9=2y y +9=x −9D .{x +9=2y y +9=x 答案:B分析:根据甲得乙羊九只,多乙一倍正当;乙说得甲九只,两人羊数一样,可以列出相应的方程组,本题得以解决.解:由题意可得{x +9=2(y −9)y +9=x −9 . 故选:B .小提示:本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的方程组.3、某市举办中学生足球赛,按比赛规则,每场比赛都要分出胜负,胜1场得3分,负一场扣1分,菁英中学队在8场比赛中得到12分,若设该队胜的场数为x ,负的场数为y ,则可列方程组为( )A .{x −y =83x −y =12B .{x +y =183x +y =12C .{x +y =83x −y =12D .{x −y =83x +y =12答案:C分析:根据“胜1场得3分,负一场扣1分”以及“菁英中学队在8场比赛中得到12分”列出关于x ,y 的二元一次方程组即可.解:若设该队胜的场数为x ,负的场数为y ,依题意得:{x +y =83x −y =12. 故选C .小提示:本题主要考查了二元一次方程组的应用,读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系是解答本题的关键.4、若方程组{2x +y =5ax −by =4与{ax +by =8x −y =1 有相同的解,则a ,b 的值为( ) A .a =2,b =−3B .a =3,b =2C .a =2,b =3D .a =3,b =−2答案:B分析:两个方程组有相同的解,即有一对x 和y 的值同时满足四个方程,所以可以先求出第一个方程组的解,再把求得的解代入第二个方程组中,得到一个新的关于a 、b 的方程,并解得,求出a 、b .解:先解{2x +y =5x −y =1, 得{x =2y =1, 把{x =2y =1 代入方程组{ax −by =4ax +by =8,得{2a −b =42a +b =8, 解得{a =3b =2, 故选:B .小提示:本题考查了解二元一次方程组,解题的关键是先根据已知方程组求出未知数的值,再把未知数的值代入另一个方程组中得到新的方程组.5、如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面,其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm,两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm,则每块墙砖的截面面积是( )A .600cm 2B .900cm 2C .1200cm 2D .1500cm 2答案:B分析:设每块墙砖的长为x cm ,宽为y cm ,观察图形,根据长方形墙砖长宽之间的关系,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可求出x ,y 的值,再利用长方形的面积计算公式,即可求出每块墙砖的截面面积.解:设每块墙砖的长为x cm ,宽为y cm ,由题意得:{2x −3y =302x −2y =50, 解得:{x =45y =20, ∴xy =45×20=900,∴每块墙砖的截面面积是900cm 2.故选:B小提示:本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.6、关于x,y 的二元一次方程组的解{3x −4y =5−k 2x −y =2k +3满足x −3y =10+k ,则k 的值是( ) A .2B .−2C .−3D .3答案:B分析:将①-②,得x −3y =2−3k ,再根据题意x −3y =10+k ,得10+k =2−3k ,求解即可.解:{3x −4y =5−k①2x −y =2k +3②, ①-②,得x −3y =2−3k ,∵x −3y =10+k ,∴10+k =2−3k ,解得:k =−2,故选:B .小提示:本题考查二元一次方程组的含参问题,利用方程组进行化简,利用整体思想进行求解是解决问题的关键.7、若实数满足(x+y+2)(x+y ﹣1)=0,则x+y 的值为( )A .1B .﹣2C .2或﹣1D .﹣2或1答案:D解:因为(x +y +2)(x +y ﹣1)=0,所以(x +y +2)=0,或(x +y ﹣1)=0.即x +y =﹣2或x +y =1.故选D .8、植树节这天有35名同学共种了85棵树苗,其中男生每人种树3棵,女生每人种树2棵.设男生有x 人,女生有y 人,根据题意,下列方程组正确的是( )A .{x +y =852x +3y =35B .{x +y =853x +2y =35C .{x +y =352x +3y =85D .{x +y =353x +2y =85答案:D分析:设男生有x 人,女生有y 人,根据题意,列二元一次方程组即可.解:设男生有x 人,女生有y 人,根据题得,{x +y =353x +2y =85, 故选D .小提示:本题考查了列二元一次方程组,根据题意找到等量关系是解题的关键.9、若方程mx-2y=3x+4是关于x,y 的二元一次方程,则m 的取值范围是( )A .m≠0B.m≠3C.m≠-3D .m≠2答案:B分析:首先把方程整理为二元一次方程的一般形式,再根据定义要求x 、y 的系数均不为0,即m -3≠0解出即可.移项合并,得(m -3)x -2y =4,∵mx -2y =3x +4是关于x 、y 的二元一次方程,∴m -3≠0,得m ≠3.故选B .小提示:本题主要考查二元一次方程的定义,即一个方程只含有两个未知数,并且所含未知项的次数都是1,那么这个整式方程就叫做二元一次方程.10、五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( )A .30B .26C .24D .22答案:B分析:设1艘大船与1艘小船分别可载x 人,y 人,根据“1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人”和“2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人”这两个等量关系列方程组,解出(x +y )即可.设1艘大船与1艘小船分别可载x 人,y 人,依题意:{x +2y =32①2x +y =46②(①+②)÷3得:x +y =26故选:B .小提示:本题考查二元一次方程组的实际应用;注意本题解出(x +y )的结果即可.填空题11、若关于x ,y 的二元一次方程组{3x +2y =22x +y =m −18的解x 、y 互为相反数,则点P(m ,y)在第_______象限. 答案:四分析:根据x 、y 互为相反数得:x +y =0,与方程组的第一个方程组成新的方程组,解出可得x 、y 的值,代入第二个方程可得m 的值.即得出P 点坐标,最后根据坐标系内点的坐标特征即可得出答案.解:由已知得:x +y =0,则{x +y =03x +2y =2, 解得:{x =2y =−2, 将{x =2y =−2代入2x +y =m −18,得:2×2−2=m −18, ∴m =20.∴P (20,-2),∴点P 在第四象限.所以答案是:四.小提示:本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质以及坐标系内点的坐标特征.根据题意建立新的方程组是解决问题的关键.12、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ,那么关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9的解为 _____. 答案:{m =52n =−12分析:首先利用整体代值的数学思想可以得到m +n 与m ﹣n 的值,然后解关于m 、n 的方程组即可求解.解:∵关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 , ∴关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9 中{m +n =2m −n =3, ∴解这个关于m 、n 的方程组得:{m =52n =−12. 故答案为{m =52n =−12 . 小提示:本题主要考查了二元一次方程组的解,解题的关键是掌握整体代值的数学思想,对于学生的能力要求比较高.13、已知方程组{x +2y =62x +y =21,则x +y 的值为______. 答案:9分析:解方程组,求得x 、y 的值,进而求得答案.解:由方程组{x +2y =62x +y =21,解得{x =12y =−3 ∴x +y =9所以答案是:9.小提示:本题考查求方程组的解,熟练掌握相关知识是解题的关键.14、有两种消费券:A 券,满60元减20元,B 券,满90元减30元,即一次购物大于等于60元、90元,付款时分别减20元,30元.小敏有一张A 券,小聪有一张B 券,他们都购了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是_____元.答案:100或85.分析:设所购商品的标价是x 元,然后根据两人共付款150元的等量关系,分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况,分别列出方程求解即可.解:设所购商品的标价是x 元,则①所购商品的标价小于90元,x﹣20+x=150,解得x=85;②所购商品的标价大于90元,x﹣20+x﹣30=150,解得x=100.故所购商品的标价是100或85元.故答案为100或85.小提示:本题主要考查了一元一次方程的应用,正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.15、请阅读下面的诗句:“栖树一群鸦,鸦树不知数,四只栖一树,五只没处去,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何?”诗中谈到的鸦为_____只,树为_____棵.答案: 45 10分析:本题涉及两种分配方法,关键是不管怎么分配鸦的总数是不变的,可设树有x棵,即可列方程:4x+5=5(x﹣1)求解.解:设树有x棵依题意列方程:4x+5=5(x﹣1)解得:x=10所以树有10棵,鸦的个数为:10×4+5=45故答案为45,10小提示:本题是典型的分配问题.不管怎么分配鸦的个数是不变的是解题关键.解答题16、已知关于x、y的方程组{mx−12ny=12mx+ny=5的解为{x=2y=3,求m、n的值.答案:m=1,n=1.分析:把x与y的值代入方程组得出关于m、n的二元一次方程组,求得方程组的解即可.∵关于x 、y 的方程组{mx −12ny =12mx +ny =5的解为{x =2y =3 , ∴{2m −32n =122m +3n =5, 解得:{m =1n =1. 即m =1,n =1.17、阅读材料:善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时,采用了一种“整体代入”的解法如下: 解:将方程②变形:4x +10y +y =5,即2(2x +5y)+y ③;把方程①代入③,得:2×3+y =5,所以y =−1;把y =−1代入①得,x =4,所以方程组的解为{x =4y =−1. 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组{3x +2y −2=03x+2y+15−x =−25答案:{x =1y =−12分析:将方程变形为3x +2y =2,再整体代入其他一个方程得到2+15−x =−25,进而得出x 的值,再进一步得到y 的值.将方程①变形为:3x +2y =2③,将方程③整体代入②中,得2+15−x =−25,解得:x =1,将x =1代入③,得3×1+2y =2,解得:y =−12,∴方程组的解是{x =1y =−12.小提示:本题考查用整体代换法解二元一次方程组,理解示例并正确运用时关键.18、已知|x +3|+(2x +y )2=0,求(−|x |y )5的值.答案:−132 分析:根据非负数的性质列式求出x 、y 的值,然后代入代数式进行计算即可得解.解:由题意得{x +3=02x +y =0 ,{x =−3y =6, 则(−|x |y )5=(−|−3|6)5=−132 小提示:本题考查了非负数的性质和乘方运算、代入消元法解方程组,熟练掌握相关知识是解题的关键。
第八章 二元一次方程组 知识点 例题(含答案)
第八章二元一次方程组知识点一:二元一次方程的有关概念二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程的解集:适合一个二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.对于任何一个二元一次方程,令其中一个未知数取任意一个值,都能求出与它对应的另一个未知数的值.因此,任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组成的集合,叫做这个二元一次方程的解集.二元一次方程组及其解:两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一般地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.已知方程:①2x+4 =3;②5xy-1=0;③2x+y=2;④3x-y+z=0;⑤2x-y=3;⑥x+3=5,•其中是二元一次方程的有___ _____________.(填序号即可)5xy-1=0是二元二次方程!举个例子:如果是x^2*y+x*y^3就应该是二元四次(前一项是三次,后一项是4次,取最高项,就是4次)2、指出下列方程那些是二元一次方程?并说明理由。
(1)3x+y=z+1 ( ) (2) x(y+1)=6 ( ) (3) 2x(3-x)=x2-3(x2+y) ( )3、下列方程中,是二元一次方程的有()①1225=-nm②961147-=-zy③312=-+ba④ mn+m=74、写出一组二元一次方程x+2y=2的解()5、方程(a+2)x +(b-1)y = 3是二元一次方程,试求a、 b的取值范围.6、求二元一次方程3x+2y=19的正整数解.7、已知x=2,y=2是方程ax-2y=4的解,则a=________.8、已知方程x-2y=8,用含x的式子表示y,则y =_________________,用含y的式子表示x,则x =________________9、若x、y互为相反数,且x+3y=4,,3x-2y=_____________.知识点二:二元一次方程组的解法代入消元法:在二元一次方程组中选取一个适当的方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求出这个未知数的值,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法.加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相差,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.1.用代入法解方程组⎩⎨⎧=--=-⑵y x ⑴y x 107332,较简便的解法步骤是:先把方程 变成 ,再代入方程 ,求得 的值。
数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案
数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案一、选择题1.二元一次方程组22x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是( )A .02x y =⎧⎨=-⎩B .02x y =⎧⎨=⎩C .2x y =⎧⎨=⎩D .20x y =-⎧⎨=⎩2.用加减法将方程组2311255x y x y -=⎧⎨+=-⎩中的未知数x 消去后,得到的方程是( ).A .26y =B .816y =C .26y -=D .816y -=3.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何”.意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?设1个大桶盛酒x 斛,1个小桶盛酒y 斛,下列方程组正确的是( ). A .5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B .5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C .53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D .35251x y x y +=⎧⎨+=⎩4.我市某九年一贯制学校共有学生3000人,计划一年后初中在校生增加8%,小学在校生增加11%,这样全校在校生将增加10%,设这所学校现初中在校生x 人,小学在校生y 人,由题意可列方程组( ) A .30008%11%300010%x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩B .30008%11%3000(110%)x y x y +=⎧⎨+=+⎩C .()()300018%111%300010%x y x y +=⎧⎨+++=⨯⎩D .30008%11%10%x y x y +=⎧⎨+=⎩5.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x 匹,小马有y 匹,那么可列方程组为( )A .10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩B .10011003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C .100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D .1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 6.端午节前夕,某超市用1680元购进A ,B 两种商品共60,其中A 型商品每件24元,B 型商品每件36元.设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件,依题意列方程组正确的是( ) A .6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩B .6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩C .3624601680x y x y +=⎧⎨+=⎩D .2436601680x y x y +=⎧⎨+=⎩7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。
第八章 二元一次方程组 全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)
第八章二元一次方程组1.解二元一次方程组的基本思想是_________,即将“二元一次方程组”转化为“一元一次方程”.2.在二元一次方程组中,由一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做___________,简称_________ .3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做_______________,简称___________.4.列方程组解应用题的基本思路:列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系,一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:⑴方程两边表示的是同类量;⑵同类量的单位是统一.列方程组解应用题的一般步骤:⑴设未知数(可直接设元,也可间接设元),⑵根据题中相等关系,列出方程组,⑶解所列方程组,并检验解的正确性,⑷写出答案.注意事项:⑴“设”、“答”两步,都要写出单位名称,⑵单位要统一.5.解三元一次方程组的基本思路是:消元,常用方法有代入法与加减法.即通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为一元一次方程.熟悉以下各题:6.已知二元一次方程组27,28.x yx y+=⎧⎨+=⎩则x y-的值是()A.1B.0C.-1D.27. 已知关于x 、y 的二元一次方程组2,351x y m x y m +=⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差为7,则m 的值等于( )A .-2B .-1C .0D .-1或-2 8. 已知()2920x y x y -+++=,则x =______,y =_______. 9. 若324,25,a b a b +=-=则85____.a b --= 10. 若532y xab +与2244x y a b --是同类项,则___,___.x y ==11. 写出二元一次方程351x y -=的一个正整数解_____________.12. 若21231x y x y +=⎧⎨-=-⎩,则24269_______32x y x y+--+=.13. 已知关于x 、y 的方程组2311x y ax by -=-⎧⎨+=⎩和16x y bx ay -=⎧⎨+=⎩的解相同,求()2009a b +的值.14.解下列方程组⑴327,6211;x yx y+=⎧⎨-=⎩⑵31,3112;x yx y-=-⎧⎨=-⎩⑶231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩⑷3(2)4(2)872(3)3()82x y x yx y x y-+-=⎧⎨---=⎩⑸273330x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩⑹4223a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩15.甲乙两工厂计划在上月共生产机床360台,结果甲厂完成了计划的112%,乙厂完成了计划的110%.两厂共生产了机床400台.问上月两个厂各比计划超额生产了多少台?16.张翔从学校出发骑自行车去县城,中途因道路施工步行一段路,1小时后到达县城,他骑车的平均速度是25千米/时,步行的平均速度是5千米/时,路程全长20千米.他骑车与步行各用多少时间?17.一批货物要运往某地,货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表:现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车,一次刚好运完这批货.已知每吨需付运费30元,问货主应付运费多少元?18.据电力部门统计,每天8:00至21:00是用电高峰期,简称“峰时”,21:00至次日8:00是用电低谷期,简称“谷时”.为了缓解供电紧张的矛盾,我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表,对用电实行“峰谷分时电价”新政策,具体见下表:换表后时间换表前峰时(8:00~21:00)谷时(21:00~次日8:00)电价0.52元/千瓦·时x元/千瓦·时y元/千瓦·时已知每千瓦·时的峰时价比谷时价高0.25元.小卫家对换表后最初使用的100千瓦·时的用电情况进行统计分析得知:峰时用电量占80%,谷时用电量占20%,与换表前相比,电费共下降2元.请你求出表格中的x和y的值.19.如图,8块长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽各是多少?参考答案1.消元2.代入消元法代入法3.加加减消元法加减法 6.C 7.A8.-3 6 9.-1 10.2 -1 11.不惟一如21xy=⎧⎨=⎩12.32-13.114.212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩14xy=⎧⎨=⎩21xy=⎧⎨=⎩2313xy=⎧⎨=⎩121518xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩112abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩15. 24台,16台.16.骑车用0.75小时,步行用0.25小时.17. 运费是735元.18. 0.55,0.30.19.45cm 15cm .。
数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题附解析
数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题附解析一、选择题1.小明、小颖、小亮玩飞镖游戏,他们每人投靶5次,中靶情况如图所示.规定投中同一圆环得分相同,若小明得分21分,小亮得分17分,则小颖得分为( )A .19分B .20分C .21分D .22分2.小明去商店购买A B 、两种玩具,共用了10元钱,A 种玩具每件1元,B 种玩具每件2元.若每种玩具至少买一件,且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量.则小明的购买方案有( )A .5种B .4种C .3种D .2种3.已知关于x 、y 的方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩,则关于x 、y 的方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解是 ( ) A .42x y =⎧⎨=⎩ B .32x y =⎧⎨=⎩ C .52x y =⎧⎨=⎩ D .51x y =⎧⎨=⎩4.下列判断中,正确的是( )A .方程x y =不是二元一次方程B .任何一个二元一次方程都只有一个解C .方程25x y -=有无数个解,任何一对x 、y 都是该方程的解D .21x y =⎧⎨=-⎩既是方程24x y -=的解也是方程231x y +=的解 5.如图,一个粒子在第一象限和x ,y 轴的正半轴上运动,在第一秒内, 它从原点运动到(0,1),接着它按图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动,即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…,且每秒运动一个单位长度,那么2020秒时,这个粒子所处位置为( )A .(4,44)B .(5,44)C . (44,4)D . (44,5)6.小明出门时身上带了100元,下表记录了他今天所有支出,其中饮料与饼干支出的金额被涂黑.若每瓶饮料5元,每包饼干8元,则小明不可能...剩下多少元?()A.4 B.15 C.22 D.447.如图,将正方形ABCD的一角折叠,折痕为AE,点B落在点B′处,B AD∠'比BAE∠大48︒.设BAE∠和B AD∠'的度数分别为x︒和y︒,那么x和y满足的方程组是( )A.4890y xy x-=⎧⎨+=⎩B.482y xy x-=⎧⎨=⎩C.48290x yy x-=⎧⎨+=⎩D.48290y xy x-=⎧⎨+=⎩8.某工厂现有95个工人,一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母,两个螺母和一个螺杆为一套,现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余,若设安排x个工人做螺杆,y个工人做螺母,则列出正确的二元一次方程组为()A.; B.; C.; D.9.若x,y均为正整数,且2x+1·4y=128,则x+y的值为( )A.3 B.5 C.4或5 D.3或4或5 10.《九章算术》中记载一问题如下:“今有共买鸡,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱,问人数、物价各多少?设有x人,买鸡的钱数为y,依题意可列方程组为()A.8374x yx y+=⎧⎨+=⎩B.8374x yx y-=⎧⎨-=⎩C.8374x yx y+=⎧⎨-=⎩D.8374x yx y-=⎧⎨+=⎩二、填空题11.已知点 C、D是线段AB上两点(不与端点A、B重合),点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数,且总和为29,则线段AB的长度为__________________ . 12.观察表一,寻找规律,表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,则a+b﹣m=_____.13.綦江中学初二在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛,按分数高低取前60名获奖,原定一等奖5人,二等奖15人,三等奖40人,现调整为一等奖10人,二等奖20人,三等奖30人,调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2分,三等奖平均分降低1分,如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分,则调整后一等奖比二等奖平均分数多______分.14.中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤.”大意为:“一群人分银子,若每人分七两,则剩余四两;若每人分九两,则还差八两,问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语)设共有x 人,所分银子共有y 两,则所列方程组为_____________15.已知三个方程构成的方程组230xy y x --=,350yz z y --=,520xz x z --=,恰有一组非零解x a =,y b =,z c =,则222a b c ++=________.16.为实现营养的合理搭配,某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中,甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮,1千克B 粗粮,1千克C 粗粮;乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮,2千克B 粗粮,2千克C 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中,,A B C 三种粗粮的成本价之和.已知A 粗粮每千克成本价为6元,甲种粗粮每袋售价为58.5元,利润率为30%,乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%,则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是____________________. (-=100%⨯商品的售价商品的成本价商品的利润率商品的成本价) 17.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km 后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶___km .18.如图,三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7,4.5的大矩形中,图中一个小矩形的周长等于_____.19.若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3{ 1.2,a b ==则方程组的解为________ 20.若m 1,m 2,…m 2016是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若m 1+m 2+…+m 2016=1546, (m 1﹣1)2+(m 2﹣1)2+…+(m 2016﹣1)2=1510,则在m 1,m 2,…m 2016中,取值为2的个数为____.三、解答题21.某生态柑橘园现有柑橘21吨,计划租用A ,B 两种型号的货车将柑橘运往外地销售.已知满载时,用2辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘12吨;用3辆A 型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨.(1)1辆A 型车和1辆B 型车满载时一次分别运柑橘多少吨?(2)若计划租用A 型货车m 辆,B 型货车n 辆,一次运完全部柑橘,且每辆车均为满载.①请帮柑橘园设计租车方案;②若A 型车每辆需租金120元/次,B 型车每辆需租金100元/次.请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.22.为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元,2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元.(1)求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(,)A a b ,(,)B m n 分别是第三象限与第二象限内的点,将A ,B 两点先向右平移h 个单位,再向下平移1个单位得到C ,D 两点(点A 对应点C ).(1)写出C ,D 两点的坐标;(用含相关字母的代数式表示)(2)连接AD ,过点B 作AD 的垂线l ,E 是直线l 上一点,连接DE ,且DE 的最小值为1.①若1b n =-,求证:直线l x ⊥轴;②在平面直角坐标系中,任何一个二元一次方程的图象都是一条直线,这条直线上有无数个点,每一个点的坐标(,)x y 都是这个方程的一个解.在①的条件下,若关于x ,y 的二元一次方程px qy k +=(0pq ≠)的图象经过点B ,D 及点(,)s t ,判断s t +与m n +是否相等,并说明理由.24.在平面直角坐标系中,点A 、B 在坐标轴上,其中()0,A a 、(),0B b 满足|21|280a b a b --++-=.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)将线段AB 平移到CD ,点A 的对应点为()2,C t -,如图1所示,若三角形ABC 的面积为9,求点D 的坐标;(3)平移线段AB 到CD ,若点C 、D 也在坐标轴上,如图2所示.P 为线段AB 上的一动点(不与A 、B 重合),连接OP 、PE 平分OPB ∠,2BCE ECD ∠=∠.求证:3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠.25.阅读下列材料,然后解答后面的问题.已知方程组372041027x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,求x+y+z 的值. 解:将原方程组整理得2(3)()203(3)()27x y x y z x y x y z ++++=⎧⎨++++=⎩①②, ②–①,得x+3y=7③,把③代入①得,x+y+z=6.仿照上述解法,已知方程组6422641x y x y z +=⎧⎨--+=-⎩,试求x+2y –z 的值. 26.为了打造区域中心城市,实现攀枝花跨越式发展,我市花城新区建设正按投资计划有序推进.花城新区建设工程部,因道路建设需要开挖土石方,计划每小时挖掘土石方540m 3,现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作,租赁公司提供的挖掘机有关信息如表:(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台,恰好完成每小时的挖掘量,则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台?(2)请你设计一种方案,不仅每小时支付的租金最少,又恰好能完成每小时的挖掘量?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】设投中外环得x 分,投中内环得y 分,根据所给图信息列一个二元一次方程组,解出即可得出答案.【详解】解:设投中外环得x 分,投中内环得y 分,根据题意得2321417x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得:35x y =⎧⎨=⎩, 32332519x y ∴+=⨯+⨯=分即小颖得分为19分,故选A .【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,读懂题意找到等量关系式是解题的关键.2.C解析:C【分析】设A 种玩具的数量为x ,B 种玩具的数量为y ,根据共用10元钱,可得关于x 、y 的二元一次方程,继而根据11x y x y ≥≥,,>以及x 、y 均为正整数进行讨论即可得. 【详解】设A 种玩具的数量为x ,B 种玩具的数量为y ,则210x y +=, 即52x y =-, 又x 、y 均为正整数,且11x y x y ≥≥,,>, 当2x =时,4y =,不符合; 当4x =时,3y =,符合;当6x =时,2y =,符合;当8x =时,1y =,符合,共3种购买方案,故选C.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用——方案问题,弄清题意,正确进行分析是解题的关键.3.B解析:B【分析】方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩()(),由方程组2323216ax by c ax by c-=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩即可求得方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩. 【详解】方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩()(), ∵方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩, ∴142x y +=⎧⎨=⎩, 即方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩. 故选B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解,把方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩()()是解决问题的关键. 4.D解析:D【分析】根据二元一次方程的概念和二元一次方程的解逐项进行判断即可.【详解】A .方程x y =是二元一次方程,故错误;B .任何一个二元一次方程都有无数个解,故错误;C .方程25x y -=有无数个解,但并不是任何一对x 、y 都是该方程的解,故错误;D.21xy=⎧⎨=-⎩既是方程24x y-=的解也是方程231x y+=的解,故正确;故选:D.【点睛】本题主要考查了二元一次方程的概念和二元一次方程的解,熟练掌握二元一次方程的概念和解法是解题的关键.5.A解析:A【分析】设粒子运动到A1,A2,…A n时所用的时间分别为a1,a2,…a n,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,由a n-a n-1=2n,则a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4,…,a n-a n-1=2n,以上相加得到a n-a1的值,进而求得a n来解,再找到运动方向的规律即可求解.【详解】由题意,设粒子运动到A1,A2,…,A n时所用的间分别为a1,a2,…,a n,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4,…,a n-a n-1=2n,相加得:a n-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2,∴a n=n(n+1).∵44×45=1980,故运动了1980秒时它到点A44(44,44);又由运动规律知:A1,A2,…,A n中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动.故达到A44(44,44)时向左运动40秒到达点(4,44),即运动了2020秒.所求点应为(4,44).故选:A.【点睛】本题考查了规律型-点的坐标,分析粒子在第一象限的运动规律得到数列a n的递推关系式a n-a n-1=2n是本题的突破口,对运动规律的探索知:A1,A2,…A n中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动是解题的关键.6.C解析:C【分析】设买了x瓶饮料,y盒饼干,求出买三餐所剩的钱数,对四个选项分别讨论,得到买饮料、饼干的总钱数,列出关于,x y二元一次方程,若这个方程有自然数解,则可能,反之,不可能.【详解】解:设买了x 瓶饮料,y 盒饼干,,x y 为自然数,买三餐还剩100-10-15-18=57元A. 若剩4元,则 58574x y +=-,有整数解9,1x y ==;B. 若剩15元,则 585715x y +=-,有整数解2,4x y ==;C. 若剩22元,则 585722x y +=-,无整数解;D. 若剩44元,则 585744x y +=-,有整数解1,1x y ==;故选:C.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,解题关键是读懂题意,列出二元一次方程,把问题转化为二元一次方程的整数解的问题.7.D解析:D【分析】根据由将正方形ABCD 的一角折叠,折痕为AE ,∠B'AD 比∠BAE 大48°的等量关系即可列出方程组.【详解】解:.设BAE ∠和B AD ∠'的度数分别为x ︒和y ︒由题意可得:48290y x y x -=⎧⎨+=⎩ 故答案为D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据翻折变换的性质以及正方形的四个角都是直角寻找等量关系是解答本题的关键. 8.C解析:C【解析】试题分析:设安排x 个工人做螺杆,y 个工人做螺母,根据“工厂现有95个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母,两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可得到95{16220x y x y +=-= . 故选:C点睛:此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是弄清题意,找出合适的等量关系,列出方程组. 9.C解析:C【解析】∵2x +1·4y =128,27=128, ∴x +1+2y =7,即x +2y =6.∵x,y均为正整数,∴22xy=⎧⎨=⎩或41xy=⎧⎨=⎩∴x+y=4或5.10.D解析:D【分析】一方面买鸡的钱数=8人出的总钱数-3钱,另一方面买鸡的钱数=7人出的总钱数+4钱,据此即可列出方程组.【详解】解:设有x人,买鸡的钱数为y,根据题意,得:8374x y x y-=⎧⎨+=⎩.【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用,正确理解题意、根据买鸡的总钱数不变列出方程组是解题关键.二、填空题11.8或9【分析】根据题意画出图形,可得图中共有线段6条,分别为AC、CD、DB,AD、BC、AB ,然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式,继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD利解析:8或9【分析】根据题意画出图形,可得图中共有线段6条,分别为AC、CD、DB,AD、BC、AB,然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式,继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD利用二元一次方程的解的概念进行求解即可.【详解】如图,图中共有线段6条,分别为AC、CD、DB,AD、BC、AB,由题意得:AC+CD+DB+AD+BC+AB=29,∵AC+CD+DB=AB,AD=AC+CD,BC=CD+DB,∴3AB+CD=29,又∵所有线段的长度都是正整数,AB>CD ,∴AB=8,CD=5或AB=9,CD=2,即AB的长度为8或9,故答案为:8或9.【点睛】本题考查了线段的和差,二元一次方程的正整数解等知识,正确画出图形,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.12.﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程,解之即可得出a 值;由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程,解之即可得出b 值;在表三中设42为第x 行y 列,则75为第(x+1)行(y+2解析:﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程,解之即可得出a 值;由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程,解之即可得出b 值;在表三中设42为第x 行y 列,则75为第(x+1)行(y+2)列,结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x 、y 的二元一次方程组,解之即可得出x 、y 的值,将其代入m=(x+1)(y+1)即可得出m 的值,将a 、b 、m 的值代入a-b+m 即可得出结论.【详解】表二截取的是其中的一列:上下两个数字的差相等,∴a-15=15-12,解得:a=18;表三截取的是两行两列的相邻的四个数字:右边一列数字的差比左边一列数字的差大1, ∴42-b-1=36-30,解得:b=35;表四截取的是两行三列的相邻的六个数字:设42为第x 行y 列,则75为第(x+1)行(y+2)列,则有()()421275xy x y ⎧⎨++⎩==, 解得:143x y ⎧⎨⎩== 或3228x y ⎧⎪⎨⎪⎩==(舍去), ∴m=(x+1)(y+1)=(14+1)×(3+1)=60.∴a+b ﹣m=18+35-60=-7.故答案为:-7【点睛】此题考查一元一次方程的应用,规律型:数字变化类,根据表一中数的排列特点通过解方程(或方程组)求出a 、b 、m 的值是解题关键.13.5【分析】设原一等奖平均分为x 分,原二等奖平均分为y 分,原三等奖平均分为z 分,根据总分不变,列出方程,求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数,最后根据调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2解析:5【分析】设原一等奖平均分为x分,原二等奖平均分为y分,原三等奖平均分为z分,根据总分不变,列出方程,求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数,最后根据调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2分列出代数式,即可求出答案.【详解】设原一等奖平均分为x分,原二等奖平均分为y分,原三等奖平均分为z分,由题意可得:5x+15y+40z=10(x﹣3)+20(y﹣2)+30(z﹣1)①,z=y﹣7 ②;由①得:x+y﹣2z=20 ③,将②代入③得:x+y﹣2(y﹣7)=20,解得:x﹣y=6,即原来一等奖比二等奖平均分多6分,∵调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2分,∴(x﹣3)﹣(y﹣2)=(x﹣y)﹣1=6﹣1=5(分),即调整后一等奖比二等奖平均分数多5分,故答案为:5.【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用.找出等量关系并列出方程是解答本题的关键.14.【解析】【分析】题中涉及两个未知数:共有x人,所分银子共有y两;两组条件:每人分七两,则剩余四两;每人分九两,则还差八两;列出二元一次方程组即可.【详解】两组条件:每人分七两,则剩余四两;解析:7498x y x y+=⎧⎨-=⎩【解析】【分析】题中涉及两个未知数:共有x人,所分银子共有y两;两组条件:每人分七两,则剩余四两;每人分九两,则还差八两;列出二元一次方程组即可.【详解】两组条件:每人分七两,则剩余四两;每人分九两,则还差八两;解:7498x y x y+=⎧⎨-=⎩【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,找到等量关系,列方程组是解答本题的关键. 15.152【分析】先把xy-2y-3x=0,yz-3z-5y=0,xz-5x-2z=0建立三元方程组,再利用代入法求出x ,y ,z 的值,再根据x=a ,y=b ,z=c 求出a2+b2+c2的值.解析:152【解析】【分析】先把xy-2y-3x=0,yz-3z-5y=0,xz-5x-2z=0建立三元方程组,再利用代入法求出x ,y ,z 的值,再根据x=a ,y=b ,z=c 求出a 2+b 2+c 2的值.【详解】xy 2y 3x 0--=,yz 3z 5y 0--=,xz 5x 2z 0--=组成方程组得230350520xy y x yz z y xz x z --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩①②③, 由①得:x=23y y -④, 把④代入③整理得:-10y+6z=0,∴z=53y , 把z=53y 代入②得:253y -5y-5y=0, 解得:y 1=0 (舍去),y 2=6, ∴z=53×6=10, x=2663⨯-=4, 又∵x=a ,y=b ,z=c ,∴a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 2=42+62+102=16+36+100=152,故答案为152.【点睛】本题考查了解三元方程组;解题的关键是通过建立三元方程组,再运用代入法进行消元求出方程组的解.16.【解析】【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本,然后设设甲销售袋,乙销售袋使总利润率为24%,根据等量关系:(甲的成本+乙的成本)×24%=a 袋甲种粗粮的利润+b 袋乙种粗粮的利润,列出方程 解析:89【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本,然后设设甲销售a 袋,乙销售b 袋使总利润率为24%,根据等量关系:(甲的成本+乙的成本)×24%=a 袋甲种粗粮的利润+b 袋乙种粗粮的利润,列出方程进行整理即可得.【详解】用表格列出甲、乙两种粗粮的成分:由题意可得甲的成本价为:130%=45(元), 甲中A 的成本为:3×6=18(元), 则甲中B 、C 的成本之和为:45-18=27(元),根据乙的组成则可得乙的成本价为:6+27×2=60(元),设甲销售a 袋,乙销售b 袋使总利润率为24%,则有(45a+60b )×24%=(58.5-45)a+(72-60)b ,整理得:2.7a=2.4b ,所以,a :b=8:9,故答案为89. 【点评】本题考查了方程的应用,难度较大,根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关键.17.3750【解析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ,交换位置后走了ykm .分别以解析:3750【解析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ,交换位置后走了ykm .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有+=50003000+=50003000kx ky k ky kx k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,两式相加,得()()250003000k x y k x y k +++=,则x+y=21150003000+=3750(千米). 故答案为:3750. 点睛:本题考查了二元一次方程组的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系,准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键.18.8【解析】试题分析:设小矩形的长为x ,宽为y ,则,两方程相加,解得x+y=3.4,因此小矩形的周长为2(x+y )=6.8.解析:8【解析】试题分析:设小矩形的长为x ,宽为y ,则2 5.7{2 4.5x y x y +=+=,两方程相加,解得x+y=3.4,因此小矩形的周长为2(x+y )=6.8.19.【解析】试题分析:根据整体思想,可设a=x+2,b=y-1,可发现两个方程组相同,因此可知x+2=8.3,y-1=1.2,解得x=6.3,y=2.2,即方程组的解为: .20.520【解析】试题分析:解决此题可以先设0有a 个,1有b 个,2有c 个,根据据题意列出方程组求解即可.设0有a 个,1有b 个,2有c 个, 由题意得, 解得,故取值为2的个数为502个考点:(1解析:520【解析】试题分析:解决此题可以先设0有a 个,1有b 个,2有c 个,根据据题意列出方程组求解即可.设0有a个,1有b个,2有c个,由题意得,解得,故取值为2的个数为502个考点:(1)、规律型:(2)、数字的变化类.三、解答题21.(1)1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨,1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨;(2)①共有4种租车方案,方案1:租用1辆A型车,9辆B型车;方案2:租用3辆A 型车,6辆B型车;方案3:租用5辆A型车,3辆B型车;方案4:租用7辆A型车;②最省钱的租车方案是租用7辆A型车,最少租车费是840元【分析】(1)设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨,1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨,根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨;用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)①根据一次运载柑橘21吨,即可得出关于m,n的二元一次方程,结合m,n均为非负整数,即可得出各租车方案;②根据租车总费用=租用每辆车的费用×租用的辆数,即可求出各租车方案所需费用,比较后即可得出结论.【详解】解:(1)设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨,1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨,依题意,得:2312 3417 x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得:32xy==⎧⎨⎩.故答案为:1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨,1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨.(2)①依题意,得:3m+2n=21,∴m=7﹣23 n.又∵m,n均为非负整数,∴19mn=⎧⎨=⎩或36mn=⎧⎨=⎩或53mn==⎧⎨⎩或7mn=⎧⎨=⎩.答:共有4种租车方案,方案1:租用1辆A型车,9辆B型车;方案2:租用3辆A型车,6辆B型车;方案3:租用5辆A型车,3辆B型车;方案4:租用7辆A型车.②方案1所需租车费为120×1+100×9=1020(元),方案2所需租车费为120×3+100×6=960(元),方案3所需租车费为120×5+100×3=900(元),方案4所需租车费为120×7=840(元).∵1020>960>900>840,故答案为:最省钱的租车方案是租用7辆A 型车,最少租车费是840元.【点睛】本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题,正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键.22.(1)1只A 型节能灯的售价是5元,1只B 型节能灯的售价是7元;(2)当购买A 型号节能灯150只,B 型号节能灯50只时最省钱,见解析.【分析】(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答本题;(2)根据题意可以得到费用与购买A 型号节能灯的关系式,然后根据一次函数的性质即可解答本题.【详解】解:(1)设1只A 型节能灯的售价是x 元,1只B 型节能灯的售价是y 元,35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得,57x y =⎧⎨=⎩, 答:1只A 型节能灯的售价是5元,1只B 型节能灯的售价是7元;(2)设购买A 型号的节能灯a 只,则购买B 型号的节能灯200a (﹣)只,费用为w 元, 5720021400w a a a +-+=()=-,3200a a ≤-(),150a ∴≤,∴当150a =时,w 取得最小值,此时110020050w a =,﹣=答:当购买A 型号节能灯150只,B 型号节能灯50只时最省钱.【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答.23.(1)C (a+h ,b-1),D (m+h ,n-1);(2)①见解析;②相等,理由见解析【分析】(1)根据平移规律解决问题即可..(2)①证明A ,D 的纵坐标相等即可解决问题;②如图,设AD 交直线l 于J ,首先证明BJ=DJ=1,推出D (m+1,n-1),再证明p=q ,即可解决问题.【详解】解:(1)由题意,C (a+h ,b-1),D (m+h ,n-1);(2)①∵b=n-1,∴A (a ,b ),D (m+h ,n-1),∴点A ,D 的纵坐标相等,∴AD ∥x 轴,∵直线l ⊥AD ,∴直线l ⊥x 轴;②相等,理由是:如图,设AD 交直线l 于J ,∵DE 的最小值为1,∴DJ=1,∵BJ=1,∴D (m+1,n-1),∴二元一次方程px+qy=k (pq≠0)的图象经过点B ,D ,∴mp+nq=k ,(m+1)p+(n-1)q=k ,∴p-q=0,∴p=q ,∴m+n=k p, ∵tp+sp=k ,∴t+s=k p, ∴m+n=t+s .【点睛】本题考查坐标与图形的变化-平移,二元一次方程等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.24.(1)A ,B 两点的坐标分别为()0,2,()3,0;(2)点D 的坐标是141,3⎛⎫-⎪⎝⎭;(3)证明见解析【分析】(1)根据非负数的性质得出二元一次方程组,求解即可;(2)过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ,C 作x 轴的平行线交于点N ,点M ,过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ,根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-(三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积)列出方程,求解得出点C 的坐标,由平移的规律可得点D 的坐标;(3)过点E 作//EF CD ,交y 轴于点F ,过点O 作//OG AB ,交PE 于点G ,根据两直线平行,内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠,同样可证OGP OPE ∠=∠,由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠,最后根据CEP CEF FEP ∠=∠+∠,通过等量代换进行证明.【详解】解:(1)210a b --=,又∵|21|0a b --≥0, |21|0a b ∴--=0=,即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩, 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩, A ∴,B 两点的坐标分别为()0,2,()3,0;(2)如图,过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ,C 作x 轴的平行线交于点N ,点M ,过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ,∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-(三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积),根据题意得,11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦, 化简,得3||42t =, 解得,83t =±, 依题意得,0t <,83t ∴=-,即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴依题意可知,点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度,再向下平移143个单位长度得到的,从而可知,点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度,再向下平移143个单位长度得到的, ∴点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝⎭;EF CD,交y轴于点F,如图所示,(3)证明:过点E作//∠=∠,则ECD CEF∠=∠,2BCE ECD∴∠=∠=∠,BCD ECD CEF33OG AB,交PE于点G,如图所示,过点O作//∠=∠,则OGP BPE∠,PE平分OPB∴∠=∠,OPE BPE∴∠=∠,OGP OPECD AB,由平移得//∴,//OG FE∴∠=∠,FEP OGP∴∠=∠,FEP OPE∠=∠+∠,CEP CEF FEP∴∠=∠+∠,CEP CEF OPE∴∠=∠-∠,CEF CEP OPE∴∠=∠-∠.BCD CEP OPE3()【点睛】本题综合性较强,考查非负数的性质,解二元一次方程组,平行线的性质,平移的性质,坐标与图形的性质,第(3)题巧作辅助线构造平行线是解题的关键.25.3【分析】根据题目的解法,把x+2y-z看成一个整体,进行解方程即可.【详解】。
数学第八章 二元一次方程组知识归纳总结含答案
数学第八章 二元一次方程组知识归纳总结含答案一、选择题1.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x 尺,绳子长为y 尺,则所列方程组正确的是( ) A . 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩B . 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C . 4.50.51y x y x =+⎧⎨=+⎩D . 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩2.某次数学竞赛共出了25题,评分标准如下:答对一题加4分,答错一题扣1分,不答记0分,已知小杰不答的题比答错的题多2道,总分是74分,则他答对了( ) A .16题 B .17题C .18题D .19题3.已知2x y a=⎧⎨=⎩是方程25x y +=的一个解,则a 的值为( ) A .1a =-B .1a =C .23a =D .32a =4.为保护生态环境,某县响应国家“退耕还林”号召,将某一部分耕地改为林地,改变后,林地面积和耕地面积共有180平方千米,耕地面积是林地面积的25%,为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米.设改变后耕地面积x 平方千米,林地面积y 平方千米,根据题意,列出如下四个方程组,其中正确的是( )A .1800250x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩B .1800250x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩C .1800250x y x y +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩D .1800250x y y x +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩5.甲是乙现在的年龄时,乙10岁,乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( )A .甲比乙大5岁B .甲比乙大10岁C .乙比甲大10岁D .乙比甲大5岁6.12312342345345145125x x x a x x x a x x x a x x x ax x x a ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩,其中1a ,2a ,3a ,4a ,5a 是常数,且12345a a a a a >>>>,则1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的大小顺序是( )A .12345x x x x x >>>>B .42135x x x x x >>>>C .31425x x x x x >>>>D .53142x x x x x >>>>7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。
第八章 二元一次方程组知识点及练习题附解析
第八章 二元一次方程组知识点及练习题附解析一、选择题1.已知关于x 、y 的二元一次方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩给出下列结论:①当5k =时,此方程组无解;②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解,则10k =;③无论整数k 取何值,此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数),其中正确的是( ) A .①②③B .①③C .②③D .①②2.下列方程组中是二元一次方程组的是( )A .12xy x y =⎧⎨+=⎩B .52313x yy x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩C .20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D .5723z z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩3.《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题,原文为:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数,物价各几何?意思是:“现有几个人共同购买一件物品,每人出8钱,则多3钱;每人出7钱,则差4钱,求物品的价格和共同购买该物品的人数.设该物品的价格是x 钱,共同购买该物品的有y 人,则根据题意,列出的方程组是() A .8374y x y x -=⎧⎨-=⎩B .8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩C .8374y x y x -=-⎧⎨-=-⎩D .8374y x y x -=⎧⎨-=⎩4.已知559375a b a b +=⎧⎨+=⎩,则-a b 等于( )A .8B .83C .2D .15.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有m 张正方形纸板和n 张长方形纸板,如果做两种纸盒若干个,恰好将纸板用完,则m+n 的值可能是( )A .200B .201C .202D .2036.已知关于x ,y 的方程组35,4522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和234,8x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同解,则a ,b 的值分别为( )A .2-,3B .2,3C .2-,3-D .2,3-7.阅读理解:a ,b ,c ,d 是实数,我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式,并且规定:a b a d b c c d=⨯-⨯,例如:323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为:x y D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;其中1122a b D a b =,1122x c b D c b =,1122y a c D a c =.问题:对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时,下面说法错误的是( )A .21732D ==-- B .14x D =- C .27y D =D .方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩8.关于x ,y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩(其中a ,b 是常数)的解为34x y =⎧⎨=⎩,则方程组2()3()18()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=-⎩的解为( ) A .34x y =⎧⎨=⎩B .71x y =⎧⎨=-⎩C . 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩D . 3.50.5x y =⎧⎨=⎩9.为了节省空间,食堂里的饭碗一般是摆起来存放的,如果6只饭碗(注:饭碗的大小形状都一样,下同)摆起来的高度为15cm ,9只饭碗摆起来的高度为21cm ,食堂的碗橱每格的高度为35cm ,则一摞碗最多只能放( )只. A .20B .18C .16D .1510.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换其中一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只 雀的重量为x 斤,一只燕的重量为y 斤,则可列方程组为( )A .56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B .65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C .56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D .65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩二、填空题11.为了应对疫情对经济的冲击,增加就业岗位,某区在5月份的时候开设了一个夜市,分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域,三者摊位数量之比5:4:3,市场管理处对每个摊位收取50元/月的管理费,到了6月份,市场管理处扩大夜市规模,并将新增摊位数量的12用于餐饮,结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的920,同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、20元和30元,结果市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了112,则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______.12.某餐厅以A 、B两种食材,利用不同的搭配方式推出了两款健康餐,其中,甲产品每份含200克A、200克B;乙产品每份含200克A、100克B.甲、乙两种产品每份的成本价分别为A、B两种食材的成本价之和,若甲产品每份成本价为16元.店家在核算成本的时候把A、B两种食材单价看反了,实际成本比核算时的成本多688元,如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份,那么餐厅每天实际成本最多为______元.13.已知a、b、c分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字,且a、b、c满足(|a ﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60,则这个三位数的最大值为_____.14.某科技公司推出一款新的电子产品,该产品有三种型号.通过市场调研后,按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%,30%,45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后,发现C型产品的销量占总销量的37,且三种型号的总利润率为35%.第二个季度,公司决定对A型产品进行升级,升级后A 产品的成本提高了25%,销量提高了20%;B、C产品的销量和成本均不变,且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%,30%,45%出售,则第二个季度的总利润率为______. 15.在平面直角坐标系中,当点M(x,y)不在坐标轴上时,定义点M的影子点为M/(,)y xx y-.已知点P的坐标为(a,b),且a、b满足方程组3401416a cb c⎧++-=⎪⎨-=-⎪⎩(c为常数).若点P的影子点是点P/,则点P/的坐标为___.16.在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分,每解出一道普通题得2分,此外,对于每道未解出的普通题要扣去1分.某人解出了10道题,共得了14分,则该次数学竞赛中一共有____道普通题.17.有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件、乙7件、丙1件,共315元;若购买甲4件、乙10件、丙1件,共420元,现在购买甲、乙、丙各1件,共需_____元.18.如图,小强和小红一起搭积木,小强所搭的“小塔”的高度为23 cm,小红所搭的“小树”的高度为22 cm,设每块A型积木的高为x cm,每块B型积木的高为y cm,则x=__________,y=__________.19.若是满足二元一次方程的非负整数,则的值为___________.20.已知方程组1122a x y ca x y c+=⎧⎨+=⎩解为510xy=⎧⎨=⎩,则关于x,y的方程组1112223232a x y a ca x y a c+=+⎧⎨+=+⎩的解是_______.三、解答题21.为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元,2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元. (1)求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.22.对x ,y 定义一种新运算T ,规定()22,ax byT x y a y+=+(其中a ,b 是非零常数且0x y +≠),这里等式右边是通常的四则运算.如:()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==+,()24,22am bT m m +-=-. (1)填空:()4,1T =_____(用含a ,b 的代数式表示); (2)若()2,02T -=-且()5,16T -=. ①求a 与b 的值;②若()()310,33,310T m m T m m --=--,求m 的值.23.李师傅要给-块长9米,宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图,现有A 和B 两种款式的瓷砖,且A 款正方形瓷砖的边长与B 款长方形瓷砖的长相等, B 款瓷砖的长大于宽.已知一块A 款瓷砖和-块B 款瓷砖的价格和为140元; 3块A 款瓷砖价格和4块B 款瓷砖价格相等.请回答以下问题:(1)分别求出每款瓷砖的单价.(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000 元,且A 款瓷砖的数量比B 款多,则两种瓷砖各买了多少块?(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A 款瓷砖的用量比B 款瓷砖的2倍少14块,且恰好铺满地面,则B 款瓷砖的长和宽分别为_ 米(直接写出答案).24.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(a,a ),点B 的坐标(b,c ),且a 、b 、c 满足34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩.(1)若a 没有平方根,判断点A 在第几象限并说明理由.(2)连AB 、OA 、OB ,若△OAB 的面积大于5而小于8,求a 的取值范围;(3)若两个动点M (2m,3m-5),N(n-1,-2n-3),请你探索是否存在以两个动点M 、N 为端点的线段MN ∥AB ,且MN=AB .若存在,求出M 、N 两点的坐标;若不存在,请说明理由. 25.如图,已知()0,A a ,(),0Bb ,且满足|4|60a b -++=.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)点(),C m n 在线段AB 上,m 、n 满足5n m -=,点D 在y 轴负半轴上,连CD 交x 轴的负半轴于点M ,且MBC MOD S S ∆∆=,求点D 的坐标;(3)平移直线AB ,交x 轴正半轴于E ,交y 轴于F ,P 为直线EF 上第三象限内的点,过P 作PG x ⊥轴于G ,若20PAB A ∆=,且12GE =,求点P 的坐标.26.甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②.解题时由于甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错了方程②中的b ,得到方程组的54x y =⎧⎨=⎩,试计算a 2017+(110-b)2018的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】根据二元一次方程组的解法逐个判断即可. 【详解】当5k =时,方程组为3563510x y x y +=⎧⎨+=⎩,此时方程组无解∴结论①正确由题意,解方程组35661516x y x y +=⎧⎨+=⎩得:2345x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩把23x =,45y =代入310x ky +=得2431035k ⨯+=解得10k =,则结论②正确解方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩得:20231545x k y k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又k 为整数x 、y 不能均为整数∴结论③正确综上,正确的结论是①②③ 故选:A . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与解法,掌握二元一次方程组的解法是解题关键.2.D解析:D 【分析】含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数是1的整式方程组是二元一次方程组,根据定义解答.A 、B 、C 都不是二元一次方程组,D 符合二元一次方程组的定义, 故选:D . 【点睛】此题考查二元一次方程组的定义,正确理解定义并运用解题是关键.3.B解析:B 【分析】设该物品的价格是x 钱,共同购买该商品的由y 人,根据题意每人出8钱,则多3钱;每人出7钱,则差4钱列出二元一次方程组. 【详解】设该物品的价格是x 钱,共同购买该商品的由y 人, 依题意可得8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩故选:B 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识,找准等量关系,正确列出二元一次方程组.4.C解析:C 【分析】把两个方程的左右两边分别相减,求出a-b 的值是多少即可. 【详解】 解:559375a b a b +⎧⎨+⎩=①=②①-②,可得 2(a-b )=4, ∴a-b=2. 故选:C . 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组,关键是注意观察,找出解决问题的简便方法.5.A解析:A 【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x 个,横式无盖纸盒y 个,列二元一次方程组43{2x y nx y m+=+=,把两个方程的两边分别相加得5()m n x y +=+,易知m n +的值一定是5的倍数,本题即解答.解:设做成竖式无盖纸盒x 个,横式无盖纸盒y 个,根据题意列方程组得:43{2x y n x y m+=+=, 则两式相加得5()m n x y +=+,∵x 、y 都是正整数 ∴m n +一定是5的倍数;∵200、201、202、203四个数中,只有200是5的倍数, ∴m n +的值可能是200. 故选A. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用;巧妙处理所列方程组,使两方程相加得出5()m n x y +=+,是解答本题的关键.6.B解析:B 【分析】将两个方程组中的3x-y=5与2x+3y=-4组合成新的方程组求出x 及y ,代入另两个方程得到关于a 与b 的方程组,解方程组求解即可. 【详解】由题意解方程组35234x y x y -=⎧⎨+=-⎩,解得12x y =⎧⎨=-⎩,将12x y =⎧⎨=-⎩代入4522ax by +=-及ax-by=8中,得到4102228a b a b -=-⎧⎨+=⎩,解得23a b =⎧⎨=⎩, 故选:B. 【点睛】此题考查特殊法解方程组,由两个方程组的解相同,故将含有相同字母的方程重新组合进行求解,由此解决问题.7.C解析:C 【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【详解】A 、D=2132-=2×(-2)-3×1=﹣7,故A 选项正确,不符合题意;B 、D x =11122-=﹣2﹣1×12=﹣14,故B 选项正确,不符合题意;C 、D y =21312=2×12﹣1×3=21,故C 选项不正确,符合题意;D 、方程组的解:x=147x D D -=-=2,y=217y D D =-=﹣3,故D 选项正确,不符合题意, 故选C .【点睛】本题考查了阅读理解型问题,考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系,读懂题意,根据材料中提供的方法进行解答是关键.8.C解析:C 【解析】分析:由原方程组的解及两方程组的特点知,x +y 、x ﹣y 分别相当于原方程组中的x 、y ,据此列出方程组,解之可得. 详解:由题意知:3{4x y x y +=-=①②,①+②,得:2x =7,x =3.5,①﹣②,得:2y =﹣1,y =﹣0.5,所以方程组的解为 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩.故选C .点睛:本题主要考查二元一次方程组,解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x 、y 的方程组.9.D解析:D 【解析】 【详解】试题分析:设1个碗的高度为xcm ,没加一个碗的高度增加的高度为ycm ,列方程组515{821x y x y +=+= ,解得52x y =⎧⎨=⎩ , 设可摆k 个碗,则5+2k≤35,解得:k≤15, 故选D . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,关键是根据题意,找出合适的等量关系,列方程组求解.10.C解析:C 【分析】根据题意,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题.【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程:(1)五只雀和六只燕共重一斤,列出方程:5x+6y =1(2) 互换其中一只,恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量,列出方程:4x+y =5y+x, 故选C. 【点睛】此题考查二元一次方程组应用,解题关键在于列出方程组二、填空题11.【分析】由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为,再假设新增摊位数量为,则餐饮区新增摊位数量为,进而根据条件得出n 和m 的关系,利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式, 解析:3:20【分析】由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n ,再假设新增摊位数量为m ,则餐饮区新增摊位数量为12m ,进而根据条件得出n 和m 的关系,利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了112建立关系式,进行代入分析即可得出答案. 【详解】解:由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n , 则5月份的管理费为:(543)50600n n n n ++⨯=(元), 6月份的管理费为:1(1)60065012n n +⨯=(元), 再假设新增摊位数量为m ,则餐饮区新增摊位数量为12m , 由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的920,可得: 91(12)5202n m n m +⨯=+,化简后可得:8m n =, 即有新增摊位数量为8n ,餐饮区新增摊位数量为4n ,且6月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为:40元、30元、20元,由此可得百货区和杂项区6月份的管理费为:650(54)40290n n n n -+⨯=(元), 百货区和杂项区没新增摊位数量时管理费为:430320180n n n ⨯+⨯=(元),则百货区和杂项区新增的摊位数量管理费为:290180110n n n -=(元),当百货区新增3n ,杂项区新增n 时,满足条件,所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是3:(128)3:203:20n n n n n +==.故答案为:3:20.【点睛】本题考查不定方程的应用,注意掌握根据条件得出n 和m 的关系以及利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了112建立关系式,进行代入分析是解答本题的关键. 12.824【分析】先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和,再设100克A 原料的成本为m 元,则100克B 种原料的成本为元,生产甲产品x 份,乙产品y 份,根据题意列方程求出【详解】解:∵甲产品每解析:824【分析】先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和,再设100克A 原料的成本为m 元,则100克B 种原料的成本为(8)m -元,生产甲产品x 份,乙产品y 份,根据题意列方程求出【详解】解:∵甲产品每份含200克A 、200克B ,甲产品每份成本价为16元∴100克A 原料和100克B 原料的成本为8元设100克A 原料的成本为m 元,则100克B 种原料的成本为(8)m -元,生产甲产品x 份,乙产品y 份,根据题意可得出:[]4312016(28)162(8)688x y x m m y x m m y +≤⎧⎨++-=+-++⎩整理得出:4344my y =+∴餐厅每天实际成本16(8)1612344W x m y x y =++=++∵43120x y +≤∴1612480x y +≤∴餐厅每天实际成本的最大值为:480344824+=(元).故答案为:824.【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用,读懂题意,理清题目中的各关系量是解此题的关键.13.536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,因为a、b、c是整数,且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1解析:536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,因为a、b、c是整数,且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60,分三种情况讨论:①|a﹣2|+|a﹣4|=4,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5;②|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=6,|c ﹣1|+|c﹣6|=5;③|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=10,求出a、b、c的值,即可得出最大三位数.【详解】∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.∵a、b、c是整数,(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60,∴有三种情况:①|a﹣2|+|a﹣4|=4,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5;②|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=6,|c﹣1|+|c﹣6|=5;③|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=10.∴要使三位数最大,首先要保证a尽可能大.当|a﹣2|+|a﹣4|=4时,解得:a=1或a=5;当|a﹣2|+|a﹣4|=2时,解得:2≤a≤4;∴a=5.当a=5时,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5.解得:0≤b≤3,1≤c≤6,∴由a、b、c组成的最大三位数为536.故答案为:536.【点睛】本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程;熟练掌握绝对值的几何意义,利用不等式和数轴解题是关键.14.34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%,30%,45%,设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a,A产品原销量为x,B产品原销量为y,C产品原销量为z,由题意解析:34%【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%,30%,45%,设A型、B 型、C型三种型号产品原来的成本为a,A产品原销量为x,B产品原销量为y,C产品原销量为z,由题意列出方程组,解得13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩;第二个季度A产品成本为(1+25%)a=54a,B、C的成本仍为a,A产品销量为(1+20%)x=65x,B产品销量为y,C产品销量为z,则第二个季度的总利润率为:5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++=34%.【详解】解:由题意得:A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%,30%,45%,设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a,A产品原销量为x,B产品原销量为y,C产品原销量为z,由题意得:20%ax30%ay45%az35%a(x y z)3(x y z)z7++=++⎧⎪⎨++=⎪⎩,解得:13x zy z⎧=⎪⎨⎪=⎩,第二个季度A产品的成本提高了25%,成本为:(1+25%)a=54a,B、C的成本仍为a,A产品销量为(1+20%)x=65x,B产品销量为y,C产品销量为z,∴第二个季度的总利润率为:5620%30%45%455645a x ay aza x ay az⨯⨯++⨯++=0.30.30.451.5x y zx y z++++=10.30.30.45311.53z z zz z z⨯++⨯++=34%,故答案为:34%.【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解实际问题,正确理解题意,设出未知数列出方程组是解题的关键.15.()【解析】【分析】由方程组变形可得,由非负数性质可求c=4,a=-3,b=1,再依据影子点定义即可求出点P/的坐标.解:∵方程组(c 为常数),∴,∵,,∴,∴c=4,∴解析:(1,33-)【解析】【分析】由方程组变形可得3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-,由非负数性质可求c =4,a =-3,b =1,再依据影子点定义即可求出点P /的坐标.【详解】解:∵方程组340416a c c ⎧++-=⎪=-(c 为常数),∴3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-, ∵30a +≥0,∴-(4)04(4)0c c -≥⎧⎨-≥⎩, ∴c =4,∴31a b =-⎧⎨=⎩, ∴P 坐标为(-3,1), 根据定义可知点P 的影子点P /为(13(,)31--- ,即为P /(1,33-). 故答案为(1,33-).【点睛】本题考查了非负数性质和新定义运算.解题关键是利用方程变形和非负数性质得出c -4=0. 16.16【解析】【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.解:设普通题一共有x 道,其中解出a 道,难题一共解出b 道,依题意得:3b+2a-(x-a)=1解析:16【解析】【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.【详解】解:设普通题一共有x 道,其中解出a 道,难题一共解出b 道,依题意得:(2)×3-(1)得x=16, ∴该次数学竞赛中一共有16道普通题.【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 17.105【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.【详解】解:设甲每件x 元,乙每件y 元,丙每件z 元,依题意得:3×(1)-2×(2)得:x+y+z=105解析:105【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.【详解】解:设甲每件x 元,乙每件y 元,丙每件z 元,依题意得:37315(1)410420(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 3×(1)-2×(2)得:x+y+z=105,∴购买甲、乙、丙各1件,共需105元.【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 18.5【解析】根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3,小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2,依两个等量关系列出方程组,再求解.故答案为4和5.点睛:本题考查了二元一解析:5【解析】根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3,小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2,依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩,再求解45x y =⎧⎨=⎩. 故答案为4和5.点睛:本题考查了二元一次方程组的应用,解题关键是看清图形的意思,找出等量关系列方程组求解. 19.0或6【解析】由2x+3y=12得y=12-2x3,因为x 、y 都是非负整数,所以x=0,y=4或x=3,y=2或x=6,y=0,所以xy 为0或6.解析:0或6【解析】由2x+3y=12得y=,因为x 、y 都是非负整数,所以x=0,y=4或x=3,y=2或x=6,y=0,所以xy 为0或6. 20.【分析】根据方程组解的定义,把x =5,y =10代入即可得出a1,a2,c1,c2的关系,再代入计算即可.【详解】解:∵方程组∵解为:x =5,y =10,∴,∴∵,∴,①−②,得3a解析:25x y ⎧⎨⎩== 【分析】根据方程组解的定义,把x =5,y =10代入即可得出a 1,a 2,c 1,c 2的关系,再代入计算即可.【详解】解:∵方程组1122==a x y c a x y c +⎧⎨+⎩∵解为:x =5,y =10,∴1122510=510=a c a c +⎧⎨+⎩, ∴()12125a a c c -=-∵11122232=32=a x y a c a x y a c ++⎧⎨++⎩, ∴112232=61032=610a x y a a x y a ++⎧⎨++⎩①②, ①−②,得3a 1x−3a 2x =6a 1−6a 2,∴x =2,把x =2代入①得,y =5,∴方程组11122232=32a x y a c a x y a c ++⎧⎨+=+⎩的解是=2=5x y ⎧⎨⎩, 故答案为:=2=5x y ⎧⎨⎩. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组,掌握方程组的解法是解题的关键.三、解答题21.(1)1只A 型节能灯的售价是5元,1只B 型节能灯的售价是7元;(2)当购买A 型号节能灯150只,B 型号节能灯50只时最省钱,见解析.【分析】(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答本题;(2)根据题意可以得到费用与购买A 型号节能灯的关系式,然后根据一次函数的性质即可解答本题.【详解】解:(1)设1只A 型节能灯的售价是x 元,1只B 型节能灯的售价是y 元,35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得,57x y =⎧⎨=⎩, 答:1只A 型节能灯的售价是5元,1只B 型节能灯的售价是7元;(2)设购买A 型号的节能灯a 只,则购买B 型号的节能灯200a (﹣)只,费用为w 元, 5720021400w a a a +-+=()=-,3200a a ≤-(),150a ∴≤,∴当150a =时,w 取得最小值,此时110020050w a =,﹣=答:当购买A 型号节能灯150只,B 型号节能灯50只时最省钱.【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答.22.(1)163a b +;(2)①11a b =⎧⎨=-⎩;②53m = 【分析】(1)把(4,-1)代入新运算中,计算得结果;(2)①根据新运算规定和T (-2,0)=-2且T (5,-1)=6,得关于a 、b 的方程组,解方程组即可;②把①中求得的a 、b 代入新运算,并对新运算进行化简,根据T (3m-10,m )=T (m ,3m-10)得关于m 的方程,求解即可.【详解】解:(1)224(1)16(4,1)413a b a b T ⨯+⨯-+-==-; 故答案为:163a b +; (2)①∵()2,02T -=-且()5,16T -=, ∴42,225 6.4a ab ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩ 解得:1,1.a b =⎧⎨=-⎩②∵a=1,b=1-,且x+y≠0, ∴22()()(,)x y x y x y T x y x y x y x y -+-===-++.∴()310,33103610T m m m m m --=-+=-,()3,3103310610T m m m m m --=--+=-+∵()()310,33,310T m m T m m --=--,∴610610m m -=-+, 解得:53m =. 【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识,理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键23.(1)A 款瓷砖单价为80元,B 款单价为60元.(2)买了11块A 款瓷砖,2块B 款;或8块A款瓷砖,6块B款.(3)B款瓷砖的长和宽分别为1,34或1,15.【解析】【分析】(1)设A款瓷砖单价x元,B款单价y元,根据“一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元;3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等”列出二元一次方程组,求解即可;(2)设A款买了m块,B款买了n块,且m>n,根据共花1000 元列出二元一次方程,求出符合题意的整数解即可;(3)设A款正方形瓷砖边长为a米,B款长为a米,宽b米,根据图形以及“A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块”可列出方程求出a的值,然后由92bb-+是正整教分情况求出b的值.【详解】解: (1)设A款瓷砖单价x元,B款单价y元,则有14034x yx y+=⎧⎨=⎩,解得8060 xy=⎧⎨=⎩,答: A款瓷砖单价为80元,B款单价为60元;(2)设A款买了m块,B款买了n块,且m>n,则80m+60n=1000,即4m+3n=50∵m,n为正整数,且m>n∴m=11时n=2;m=8时,n=6,答:买了11块A款瓷砖,2块B款瓷砖或8块A款瓷砖,6块B款瓷砖;(3)设A款正方形瓷砖边长为a米,B款长为a米,宽b米.由题意得:7997 22114 22b ba ab a b a--⎛⎫⨯⨯=+⨯-⎪++⎝⎭,解得a=1.由题可知,92bb-+是正整教.设92bkb-=+(k为正整数),变形得到921kbk-=+,当k=1时,77(122b=>,故合去),当k=2时,55(133b=>,故舍去),当k=3时,34b =, 当k=4时,15b =, 答: B 款瓷砖的长和宽分别为1,34或1,15. 【点睛】 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,(1)(2)较为简单,(3)中利用数形结合的思想,找出其中两款瓷砖的数量与图形之间的规律是解题的关键.24.(1)第三象限;(2)见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)根据平方根的意义得到a <0,然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A 在第三象限;(2)先利用方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩,用a 表示b 、c ,得b=2+a.c=a, 则B 点的坐标为(2+a ,a ),故AB //x 轴,AB=|2+a-a|=2,故11|y |2||||22OAB B S AB a a =⨯⨯=⨯⨯= 由若△OAB 的面积大于5而小于8,可得5||8a <<计算即可得a 的取值范围;(3)由AB //x 轴即MN ∥AB 可得MN ∥x 轴,则M 、N 的y 坐标,以及MN=AB =2,可得方程组解得m 、n 的值,即可得出结论;【详解】(1)∵a 没有平方根,∴a <0,∴点A 在第三象限;(2)解方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩用a 表示b 、c ,得2b a c a =+⎧⎨=⎩∵点B 坐标为(b ,c )∴点B 坐标为(2+a ,a )∵点A 的坐标为(a ,a )∴AB =|2+a-a|=2,AB 与x 轴平行 ∴11|y |2||||22OAB B SAB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∵△OAB 的面积大于5而小于8,∴5||8a << 解得:58a <<或85a -<<-(3) ∵AB ∥x 轴又∵MN ∥AB∴MN ∥x 轴∵M(2m, 3m-5) N(n-1, -2n-3), MN=AB=2 ∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩ 3523122m n n m -=--⎧⎨--=-⎩ ∴47137m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴847647,,7774M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 或823623,,7777M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质,平方根,解三元一次方程组,三角形的面积,解不等式,审清题意,能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键.25.(1)(0,4)A ,0()6,B -; (2)4(0,)D -;(3)()8,8P --【解析】【分析】(1)利用非负数的性质即可解决问题;(2)利用三角形面积求法,由ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+列方程组,求出点C 坐标,进而由△ACD 面积求出D 点坐标.(3)由平行线间距离相等得到20PAB EAB S S ∆∆==,继而求出E 点坐标,同理求出F 点坐标,再由GE=12求出G 点坐标,根据PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形求出PG 的长即可求P 点坐标.【详解】解:(1)40a -≥ 0≥,∴40a -=,40a ∴-=0=,4a ∴=,6b =-,()0,4A ∴,()6,0B -,(2)由BCM DOM S S ∆∆=∴ABO DOM S S ∆∆=,ABO ACD S S ∆∆∴=,1122ABO S AO BO ∆=⨯⨯=, 如图1,连CO ,作CE y ⊥轴,CF x ⊥轴,ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+,即()11641222m m ⨯⨯+⨯⨯-= 53212n m n m -=⎧∴⎨-=⎩, 32m n =-⎧∴⎨=⎩, ()3,2C ∴-,而12ACD S CE AD ∆=⨯⨯, ()134122OD =⨯⨯+=, 4OD ∴=,()0,4D ∴-,(3)如图2:∵EF ∥AB ,∴20PAB EAB S S ∆∆==,∴1202AO BE ⨯=,即()4640OE ⨯+=, 4OE ∴=,()4,0E ∴,12GE =,8GO ∴=,()8,0G ∴-,20ABF PBA S S ∆∆==,()11642022ABF S BO AF OF ∆∴=⨯⨯=⨯⨯+=, 83OF ∴=, 80,3F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭, PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形,11818128422323PG PG ⎛⎫∴⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭, 8PG ∴=,()8,8P ∴--,【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质,灵活运用分情况讨论思想、掌握平移规律是解题的关键.26.0【解析】分析: 把甲的结果代入②求出b 的值,把乙的结果代入①求出a 的值,代入原式计算即可得到结果.详解:根据题意,将31x y =-⎧⎨=-⎩代入②,将54x y =⎧⎨=⎩代入①得: 12252015b a -+=-⎧⎨+=⎩解得:110a b =-⎧⎨=⎩, 则原式=(-1)2017+(110-×10)2018=-1+1=0. 点睛: 此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.。
第八章 二元一次方程组知识点-+典型题含答案
第八章 二元一次方程组知识点-+典型题含答案一、选择题1.已知22x y =-⎧⎨=⎩是方程kx +2y =﹣2的解,则k 的值为( )A .﹣3B .3C .5D .﹣5 2.三元一次方程5x y z ++=的正整数解有( )A .2组B .4组C .6组D .8组3.若45x y =-⎧⎨=-⎩是方程27x ky +=的解,则k 是( ).A .3B .5C .-3D .以上都不对4.《九章算术》中,一次方程组是由算筹布置而成的.如图1所示的算筹图,表示的方程组就是3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩,类似地,图2所示的算筹图表示的方程组为( )A .2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩B .2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩C .3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩D .264327x y x y +=⎧⎨+=⎩5.将一张面值50元的人民币,兑换成5元和2元的零钱,兑换方案有( ) A .4种B .5种C .6种D .7种6.如图,在单位为1的方格纸上,△A 1A 2A 3,△A 3A 4A 5,△A 5A 6A 7,…,都是斜边在x 轴上,斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形,若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0),A 2(1,1),A 3(0,0),则依图中所示规律, A 2019的坐标为( )A .(﹣1008,0)B .(﹣1006,0)C .(2,﹣504)D .(2,-506)7.现有如图(1)的小长方形纸片若干块,已知小长方形的长为a ,宽为b .用3个如图(2)的全等图形和8个如图(1)的小长方形,拼成如图(3)的大长方形,若大长方形的宽为30cm ,则图(3)中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )A .15B .16C .17D .188.若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )A .2128x y =⎧⎨=⎩B .98x y =⎧⎨=⎩C .714x y =⎧⎨=⎩D .9787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9.下列方程中是二元一次方程的是( ) A .(2)(3)0x y +-= B .-1x y = C .132x y=+D .5xy =10.已知关于x ,y 的方程组232x y ax y a-=-⎧⎨+=⎩,其中﹣2≤a≤0.下列结论:①当a =0时,x ,y 的值互为相反数;②2x y =⎧⎨=⎩是方程组的解;③当a =﹣1时,方程组的解也是方程2x﹣y =1﹣a 的解;其中正确的是( ) A .①②B .①③C .②③D .①②③二、填空题11.小红买了80分、120分的两种邮票,共花掉16元钱(两种邮票都买),则购买方案共有 种.12.方程组251036238x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组(填“是”或“不是”).13.已知对任意a b ,关于x y ,的三元一次方程()()a b x a b y a b --+=+只有一组公共解,求这个方程的公共解_____________.14.小明今年五一节去三峡广场逛水果超市,他分两次购进了A 、B 两种不同单价的水果.第一次购买A 种水果的数量比B 种水果的数量多50%,第二次购买A 种水果的数量比第一次购买A 种水果的数量少60%,结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%,且第二次购买A、B水果的总费用比第一次购买A、B水果的总费用少10%(两次购买中A、B两种水果的单价不变),则B种水果的单价与A种水果的单价的比值是______.15.解放碑某商场地下停车场有5个出入口,每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%,在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下,如果开放2个进口和3个出口,7小时车库恰好停满:如果开放3个进口和2个出口,4小时车库恰好停满.2019年清明节期间,由于商场人数增多,早晨7点时的车位空置率变为60%,又因为车库改造,只能开放2个进口和1个出口,则从早晨7点开始经过_______小时车库恰好停满.16.为了适合不同人群的需求,某公司对每日坚果混合装进行改革.甲种每袋装有10克核桃仁,10克巴旦木仁,10克黑加仑;乙种每袋装有20克核桃仁,5克巴旦木仁,5克黑加仑.甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和.已知核桃仁每克成本价0.04元,甲每袋坚果的售价为5.2元,利润率为30%,乙种坚果每袋利润率为20%,若这两种袋装的销售利润率达到24%,则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是____.17.为响应“双十二购物狂欢节”活动,某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包,已知甲、乙、丙三类礼包均由A、B、C三种饼干搭配而成,每袋礼包的成本均为A、B、C三种饼干成本之和.每袋甲类礼包有5包A种饼干、2包B种饼干、8包C种饼干;每袋丙类礼包有7包A种饼干、1包B种饼干、4包C种饼干.已知甲每袋成本是该袋中A种饼干成本的3倍,利润率为30%,每袋乙的成本是其售价的56,利润是每袋甲利润的49;每袋丙礼包利润率为25%.若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4:6:5,则当天该网店销售总利润率为__________.18.我校团委组织初三年级50名团员和鲁能社区36名社区志愿者共同组织了义务植树活动,为了便于管理分别把50名同学分成了甲、乙两组,36名志愿者分成了丙、丁两组.甲、丙两组到A植树点植树,乙、丁两组到B植树点植树,植树结束后统计植树成果得知:甲组人均植树量比乙组多2棵,丙、丁两组人均植树量相同,且是乙组人均植树量的2.5倍,A、B两个植树点的人均植树量相同,且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量为整数,则我校学生一共植树________棵.19.如图,小强和小红一起搭积木,小强所搭的“小塔”的高度为23 cm,小红所搭的“小树”的高度为22 cm,设每块A型积木的高为x cm,每块B型积木的高为y cm,则x=__________,y=__________.20.对于有理数,规定新运算:x※y=ax+by+xy,其中a、b是常数,等式右边的是通常的加法和乘法运算. 已知:2※1=7 ,(-3)※3=3 ,则13※b=__________.三、解答题21.阅读材料:对任意一个三位数n ,如果n 满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为()F n .例如123n =,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213321132666++=,6661116÷=,所以(123)6F =.(1)计算:(134)F ;(2)若s ,t 都是“相异数”,其中10025s x =+,360t y =+(19x ≤≤,19y ≤≤,x ,y 都是正整数),当()()20F s F t +=时,求st的值.22.如图①,在平面直角坐标系中,点A 在x 轴上,直线OC 上所有的点坐标(,)x y ,都是二元一次方程40x y -=的解,直线AC 上所有的点坐标(,)x y ,都是二元一次方程26x y +=的解,过C 作x 轴的平行线,交y 轴与点B .(1)求点A 、B 、C 的坐标;(2)如图②,点M 、N 分别为线段BC ,OA 上的两个动点,点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点N 从点O 以每秒1.5个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t 秒,且0<t <4,试比较四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积的大小.23.平面直角坐标系中,点A 坐标为(a ,0),点B 坐标为(b ,2),点C 坐标为(c ,m ),其中a 、b 、c 满足方程组211322a b c a b c +-=⎧⎨--=-⎩.(1)若a =2,则三角形AOB 的面积为 ;(2)若点B 到y 轴的距离是点C 到y 轴距离的2倍,求a 的值;(3)连接AB 、AC 、BC ,若三角形ABC 的面积小于等于9,求m 的取值范围. 24.学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送,需运费8200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?(2)若该学校决定用甲、乙、丙三种汽车共15辆同时参与运送,你能求出参与运送的三种汽车车辆数吗?(甲、乙、丙三种车辆均要参与运送)25.对于两个不相等的实数a 、b ,我们规定符号}max{,?a b 表示a 、b 中的较大值,}min{,?a b 表示a 、b 中的较小值.如: }max{2,4?4=, }min{2,4?2=, 按照这个规定,解方程组: }}1{,?{?3{39,311?4max x x ymin x x y-=++=. 26.善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时,采用了一种“整体代换”的解法:将方程②变形:4105x y y ++=,即()2255x y y ③++=把方程①代入③,得2351y y ⨯+=∴=-,把1y =-代入①,得4x =,∴原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩请你解决以下问题:模仿小军的“整体代换法”解方程组3259419x y x y ;-=⎧⎨-=⎩(2)已知x y 、满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①,②求224x y +与xy 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B【分析】把22xy=-⎧⎨=⎩代入是方程kx+2y=﹣2得到关于k的方程求解即可.【详解】解:把22xy=-⎧⎨=⎩代入方程得:﹣2k+4=﹣2,解得:k=3,故选B.【点睛】本题主要考查二元一次方程的解,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.2.C解析:C【分析】最小的正整数是1,当x=1时,y+z=4,y分别取1,2,,3,此时z分别对应3,2,1;当x=2时,y+z=3,y分别取1,2,此时z分别对应2,1;当x=3时,y+z=2,y分别取1,此时z分别对应1;依此类推,然后把个数加起来即可.【详解】解:当x=1时,y+z=4,y分别取1,2,,3,此时z分别对应3,2,1,有3组正整数解;当x=2时,y+z=3,y分别取1,2,此时z分别对应2,1,有2组正整数解;当x=3时,y+z=2,y分别取1,此时z分别对应1,有1组正整数解;所以正整数解的组数共:3+2+1=6(组).故选:C.【点睛】本题考查三元一次不定方程的解,解题关键是确定x、y、z的值,分类讨论.3.C解析:C【分析】根据题意,将45xy=-⎧⎨=-⎩代入方程27x ky+=,通过计算即可得到答案.【详解】∵45xy=-⎧⎨=-⎩是方程27x ky+=的解∴把45xy=-⎧⎨=-⎩代入方程27x ky+=,得:()() 2457k⨯-+-=故选:C . 【点睛】本题考查了二元一次方程和一元一次方程的知识;求解的关键是熟练掌握二元一次方程和一元一次方程的性质,从而完成求解.4.B解析:B 【分析】类比图1所示的算筹的表示方法解答即可. 【详解】解:根据图1所示的算筹的表示方法,可推出图2所示的算筹的表示的方程组为2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩; 故选:B . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,读懂题意、正确列出方程组是关键.5.C解析:C 【分析】设可以兑换m 张5元的零钱,n 张2元的零钱,根据零钱的总和为50元,即可得出关于m ,n 的二元一次方程,结合m ,n 均为非负整数,即可得出结论. 【详解】设可以兑换m 张5元的零钱,n 张2元的零钱, 依题意,得:5m+2n =50, ∴m =10﹣25n . ∵m ,n 均为非负整数, ∴当n =0时,m =10; 当n =5时,m =8; 当n =10时,m =6; 当n =15时,m =4; 当n =20时,m =2; 当n =25时,m =0. ∴共有6种兑换方案. 故选:C . 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键.6.A【分析】用题中已知条件观察所给例子、图形,找出规律,再运用规律解决问题. 【详解】依题意列出前面几个n A 的坐标如下表对于n A ,当n 除以4余1时,n A 的纵坐标为0,横坐标32n +; 当n 除以4余2时,n A 的纵坐标为n2,横坐标1; 当n 除以4余3时,n A 的纵坐标为0,横坐标32n --; 当n 除以4,整除时,n A 的纵坐标为2n,横坐标2. 运用发现规律,当n=2019时,2019除以4,余3,故点2019A 的纵坐标为0,横坐标为2019310082--=-,所以点2019A 的坐标为(-1008,0) . 故选:A . 【点睛】本题是探索规律题型.探索规律的思维模式是:观察前几例做出猜想,再验证猜想,这个过程反复进行,直到发现规律.本题的解决不仅要观察点的坐标的变化,还要观察图形中点的位置变化.7.B解析:B 【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽,小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和,可列出关于a ,b 的方程组,解方程组得出a ,b 的值;利用a ,b 的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积,即可求得影部分面积与整个图形的面积之比. 【详解】解:根据题意、结合图形可得:330433a b a a b +=⎧⎨=+⎩, 解得:155a b =⎧⎨=⎩,∴阴影部分面积223()310300=-=⨯=a b , 整个图形的面积304304151800=⨯=⨯⨯=a , ∴阴影部分面积与整个图形的面积之比300118006==, 故选B . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键.8.C解析:C 【分析】先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为11122232773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,然后用“整体代换”法,求出方程组的解即可; 【详解】 解:111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩, 11122232773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩,设3727x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,111222a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩, 方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,∴方程组111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩的解为34t s =⎧⎨=⎩,337247x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩,解得:714x y =⎧⎨=⎩.故选C . 【点睛】此题考查了解二元一次方程组,弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键.9.B解析:B 【分析】含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程. 【详解】解:(2)(3)0x y +-=化简得3260xy x y -+-=,最高次是2次,故A 选项错误;-1x y =是二元一次方程,故B 选项正确;132x y=+不是整式方程,故C 选项错误; 5xy =最高次是2次,故D 选项错误.故选:B 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念,正确的掌握二元一次方程的概念是解题的关键.10.B解析:B 【分析】把a =0代入方程组,可求得方程组的解,把2x y =⎧⎨=⎩代入方程组,可得a =1,可判断②;把a =﹣1代入方程可求得a 的值为2,可判断③;可得出答案. 【详解】解:①当a =0时,原方程组为230x y x y -=⎧⎨+=⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,②把20x y =⎧⎨=⎩代入方程组得到a =1,不符合题意.③当a =﹣1时,原方程组为242x y x y -=⎧⎨+=-⎩,解得02x y =⎧⎨=-⎩,当02x y =⎧⎨=-⎩时,代入方程组可求得a =﹣1,把2xy=⎧⎨=-⎩与a=﹣1代入方程2x﹣y=1﹣a得,方程的左右两边成立,综上可知正确的为①③.故选:B.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解,熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键.二、填空题11.6【分析】设80分的邮票购买x张,120分的邮票购买y张,根据题意列方程0.8x+1.2y=16,用含y的代数式表示x得,根据x、y都是整数取出x与y的对应值,得到购买方案.【详解】解:设8解析:6【分析】设80分的邮票购买x张,120分的邮票购买y张,根据题意列方程0.8x+1.2y=16,用含y的代数式表示x得3202x y=-,根据x、y都是整数取出x与y的对应值,得到购买方案.【详解】解:设80分的邮票购买x张,120分的邮票购买y张,0.8x+1.2y=16,解得3202x y =-,∵x、y都是正整数,∴当y=2、4、6、8、10、12时,x=17、14、11、8、5、2,∴共有6种购买方案,故答案为:6.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用,根据题意只得到一个方程时,可将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式,然后根据未知数的要求得到对应值即可解决实际问题. 12.是【分析】根据三元一次方程组的定义可知,由两个或两个以上方程组成,该如果方程组内含有三个未知数,且未知数的次数都是一次的,就是三元一次方程组,由此判断作答即可.【详解】解:如果方程组中含有三解析:是【分析】根据三元一次方程组的定义可知,由两个或两个以上方程组成,该如果方程组内含有三个未知数,且未知数的次数都是一次的,就是三元一次方程组,由此判断作答即可.【详解】解:如果方程组中含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是一,并且方程组中一共有两个或两个以上的方程,这样的方程组叫做三元一次方程组. 所以251036238x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩是三元一次方程组; 故填:是.【点睛】本题主要考查三元一次方程组的定义.13.【分析】先把原方程化为的形式,再分别令a ,b 的系数为0,即可求出答案.【详解】解:由已知得:∴两式相加得:,即,把代入得到,,故此方程组的解为:.故答案为:.【点睛】本题主要考解析:01x y =⎧⎨=-⎩【分析】先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式,再分别令a ,b 的系数为0,即可求出答案.【详解】解:由已知得:(1)(1)0a x y b x y ---++=∴1010x y x y --=⎧⎨++=⎩两式相加得:20x =,即0x =,把0x =代入10x y --=得到,1y =-,故此方程组的解为:01x y =⎧⎨=-⎩. 故答案为:01x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题,运用三元一次方程组的解法的知识进行计算,即可解答.14.【分析】根据水果数量的等量关系,可设第一次购买种水果数量为个,用分别表示第一次购买种水果的数量和第二次购买两种水果的数量.再分别设两种水果的单价为元和元,根据两次购买价钱的等量关系列方程,所列方 解析:12【分析】根据水果数量的等量关系,可设第一次购买B 种水果数量为x 个,用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量.再分别设两种水果的单价为a 元和b 元,根据两次购买价钱的等量关系列方程,所列方程中x 是可以约去的,化简即得到a 与b 的数量关系.【详解】解:设第一次购买B 种水果数量为x ,∴第一次购买A 种水果的数量为:3(150%)2x x +=, ∴第二次购买A 种水果数量为:3323(160%)2255x x x -==, ∴第二次购买水果的总数量为:356()(120%)3225x x xx ++==, ∴第二次购买B 种水果个数为:312355x x x -=, 设A 种水果单价为a 元,B 种水果单价为b 元,依题意得:3312()(110%)255a x bx a xb x +-=+, 化简得:2a b =∴12b a =, B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12,故答案为:12. 【点睛】 本题考查了一次方程的应用,在缺少确切数值的情况下,可先假设等量关系中的关键量为未知数,再列方程化简求值.15.【分析】先设1个进口1小时开进辆车,1个出口1小时开出辆车,车位总数是根据已知条件如果开放2个进口和3个出口,7小时车库恰好停满,可列出方程根据已知条件如果开放3个进口和2个出口,4小时车库 解析:358【分析】先设1个进口1小时开进x 辆车,1个出口1小时开出y 辆车,车位总数是a根据已知条件如果开放2个进口和3个出口,7小时车库恰好停满,可列出方程7(23)80%x y a -=根据已知条件如果开放3个进口和2个出口,4小时车库恰好停满,可列出方程4(32)80%x y a -=方程组可求得x 、y 关于a 的关系式题中所求空置率变为60%,只能开放2个进口和1个出口时,几个小时停满,60%(2)a x y ÷-将x 、y 关于a 的关系式代入即可求解.【详解】设1个进口1小时开进x 辆车,1个出口1小时开出y 辆车,车位总数是a7(23)80%4(32)80%x y a x y a -=⎧⎨-=⎩解得:131752175a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 1323560%(2)0.6(2)1751758a a a x y a ÷-=÷⨯-=(小时) 故答案为:358【点睛】本题解题关键是可以设出1个进口1小时开进x 辆车,1个出口1小时开出y 辆车,车位总数是a ,根据已知条件便可列出方程组,得出x 、y 关于a 的关系式,求解的问题同列方程组思路相同. 16.13∶30【分析】根据题意,先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和,然后求出乙种干果的成本,再设甲种干果x袋,乙种干果y袋,通过利润的关系,列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比.【详解解析:13∶30【分析】根据题意,先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和,然后求出乙种干果的成本,再设甲种干果x袋,乙种干果y袋,通过利润的关系,列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比.【详解】解:设1克巴旦木成本价m元,和1克黑加仑成本价n元,根据题意得10(0.04 +m+n) ×(1+30%)=5.2解得:m+n=0.36甲种干果的成本价:10×(0.04+0.36)=4乙种干果的成本价:20×0.04+5×0.36=2.6乙种干果的售价为:2.6×(1+20 %)=3.12设甲种干果有x袋,乙种干果有y袋,则(4x+2.6y)(1+24 %)=5.2x+3.12y解得:1330 xy故答案为:该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是13∶30.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,利用利润、成本价与利润率之间的关系列出方程,理解题意得出等量关系是解题的关键.17.25%【分析】设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z,从甲礼包入手,先求出5x=y+4z,再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x,成本15x;由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为解析:25%【分析】设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z,从甲礼包入手,先求出5x=y+4z,再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x,成本15x;由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为12x,成本为10x;由丙礼包的条件列出丙礼包的成本为7x+y+4z=12x,进而确定丙礼包的售价为15x,成本为12x;最后再由利润率的求法求出总利润率即可.【详解】解:设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z,依题意得:5x+2y+8z=15x,∴5x=y+4z,由甲礼包的利润率为30%,则可求甲礼包的售价为19.5x,成本15x;∵每袋乙的成本是其售价的56,利润是每袋甲利润49,可知每袋乙礼包的利润是:4.5x×49=2x,则乙礼包的售价为12x,成本为10x;由丙礼包的组成可知,丙礼包的成本为:7x+y+4z=12x,∵每袋丙礼包利润率为:25%,∴丙礼包的售价为15x,成本为12x;∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4:6:5,∴19.54612515415610512100%25% 415610512x x x x x xx x x⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯⨯=⨯+⨯+⨯,∴总利润率是25%,故答案为:25%.【点睛】本题考查三元一次方程组的应用;理解题意,能够通过已知条件逐步确定甲、乙、丙的售价与成本价是解题的关键.18.320【解析】【分析】设甲组分得a人,则乙组为(50-a)人,丙组为b人,则丁组为(36-b)人;再设全部人均种树x棵,则甲组人均种x÷(1+25%)=0.8x棵,乙组人均种(0.8x-2)棵解析:320【解析】【分析】设甲组分得a人,则乙组为(50-a)人,丙组为b人,则丁组为(36-b)人;再设全部人均种树x棵,则甲组人均种x÷(1+25%)=0.8x棵,乙组人均种(0.8x-2)棵,丙、丁两组人均植树2.5(0.8x-2)=(2x-5)棵,根据题意列出方程,整理后可得a=140-13x,再根据a 和x的取值范围确定a和x的值,从而得到植树的数量。
部编数学七年级下册第8章二元一次方程组(解析版)含答案
第8章 二元一次方程组一、单选题1.下列方程组中是二元一次方程组的是( )A .141y x x v ì+=ïíï-=îB .43624x y y z +=ìí+=îC .41x y x y +=ìí-=îD .22513x y x y +=ìí+=î【答案】C【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成;根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案.【详解】解:A 、方程组 141y x x v ì+=ïíï-=î中第一个方程不是整式方程,不是二元一次方程组,所以本选项不符合题意;B 、方程组 中有三个未知数,不是二元一次方程组,所以本选项不符合题意;C 、该方程组是二元一次方程组,所以本选项符合题意;D 、方程组 中第二个方程未知数x 、y 的次数是2,不是二元一次方程组,所以本选项不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义,属于基础概念题型,熟知二元一次方程组的概念是关键.2.如果方程3x y -=与下面方程中的一个组成的方程组的解为41x y =ìí=î,那么这个方程可以是( )A .3416x y -=B .1254x y +=C .1382x y +=D .2()6x y y-=【答案】D【分析】将解代入每个方程,使若方程两边相等则该组解是该方程的解,即为所求的方程.【详解】解:将41x y =ìí=î依次代入,得:A 、12-4≠16,故该项不符合题意;B 、1+2≠5,故该项不符合题意;C 、2+3≠8,故该项不符合题意;D 、6=6,故该项符合题意;故选:D .【点睛】此题考查二元一次方程的解:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解,正确计算是解题的关键.3.由132x y -=可以得到用x 表示y 的式子为( )A .223x y -=B .223x y =-C .2133x y =-D .223xy =-【答案】B【分析】先移项,后系数化为1,即可得.【详解】解:132x y -=移项,得123y x =-,系数化为1,得223x y =-,故选B .【点睛】本题考查了方程的基本运算技能,解题的关键是熟练掌握方程的基本运算技能.4.某船顺流航行的速度为a ,逆流航行的速度为b ,则水流速度为( )A .2a b+B .2a b-C .-a b D .以上都不对【答案】B【分析】顺流航行的速度等于船在静水中的速度加上水流的速度,逆流航行的速度等于船在静水中的速度减去水流的速度,利用两个公式列方程组,再解方程组即可得到答案.【详解】解:设水流的速度为,x 船在静水中航行的速度为,y 则,a y x b y x =+ìí=-î①②①-②得:2,x a b =-,2a b x -\= 所以水流的速度为:.2a b - 故选:.B 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用,掌握顺流航行与逆流航行的速度公式是解题的关键.5.将13x y -=-代入21x y -=的可得( )A .1213x x --´=B .()2113x x --=C .2213x x ++=D .2213x x -+=【答案】D【分析】将13x y -=-代入21x y -=,再进行整理,即可得到答案.【详解】解:将13x y -=-代入21x y -=,得:1123-æ=ö--ç÷èøx x ,即122+3-=x x 故选D .【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法,先将已知代入方程得出一个关于x 的方程,运用代入法是解二元一次方程常用的方法.6.代数式2x ax b ++,当1x =,2时,其值均为0,则当1x =-时,其值为( )A .0B .6C .6-D .2【答案】B【分析】把x 与y 的两对值代入代数式列出方程组,求出方程组的解即可得到a 与b 的值,再将1x =-代入即可求解.【详解】解:由题意,得10420a b a b ++=ìí++=î①② ,②-①得:30a += ,3a =- ,把3a =-代入①得:()130b +-+= ,2b = ,解得:32a b =-ìí=î ,把32a b =-ìí=î代入代数式2x ax b ++得:232x x -+,当1x =-时,2326x x -+=.故选B .【点睛】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,求出a 与b 的值是解题关键.7.若324432a b a b x y ++--=是关于x ,y 的二元一次方程,则23a b +的值为( )A .0B .3-C .3D .6【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义,得=1a b +,324=1+-a b ,即可得到关于a 、b 的方程组,从而解出a ,b .【详解】解:∵324432a b a b x y ++--=是一个关于x ,y 的二元一次方程,∴=1324=1a b a b +ìí+-î,解得:=3=2a b ìí-î,∴23=660+-=a b ,故选:A .【点睛】本题考查了二元一次方程的定义,二元一次方程必须符合以下三个条件:方程中只含有2个未知数;含未知数项的最高次数为一次;方程是整式方程.8.己知方程组42ax by ax by -=ìí+=î的解为21x y =ìí=î,则2a ﹣3b 的值为( )A .4B .6C .﹣4D .﹣6【答案】B【分析】将x 和y 的值代入到方程组,原方程组变成关于a 、b 的方程组.再仔细观察未知数的系数,相同或者相反,可以运用加减消元解题.【详解】解:∵方程组42ax by ax by -=ìí+=î的解为21x y =ìí=î,∴2422a b a b -=ìí+=î①②.由①+②得a =32,②−①得b =−1.将a =32,b =−1代入2a −3b ,即2×32−3×(−1)=3+3=6.故选:B .【点睛】此题主要考查二元一次方程组的代入消元法,灵活运用代入消元或加减消元是解题的关键.9.某年级学生共有246人,其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人,则下面所列的方程组中符合题意的有( )A .24622x y y x +=ìí=-îB .24622x y x y +=ìí=+îC .21622x y y x +=ìí=+îD .24622x y y x +=ìí=+î【答案】B 【分析】根据“学生共有246人,其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人”列方程组即可.【详解】解:由题意得24622x y x y +=ìí=+î,故选B .【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,仔细审题,找出题目的已知量和未知量,设两个未知数,并找出两个能代表题目数量关系的等量关系,然后列出方程组求解即可.10.关于x ,y 的二元一次方程组59x y k x y k +=ìí-=î的解也是二元一次方程2x +3y =﹣6的解,则k 的值是( )A .﹣34B .34C .43D .﹣43【答案】A【分析】先用含k 的代数式表示x 、y ,即解关于x ,y 的方程组,再代入2x +3y =﹣6中可得.【详解】解:解方程组 59x y k x y k +=ìí-=î,得:x =7k ,y =﹣2k ,把x ,y 代入二元一次方程2x +3y =﹣6,得:2×7k +3×(﹣2k )=﹣6,解得:k =﹣34,故选:A .【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法,解题的关键是用含k 的代数式表示x 、y .二、填空题11.用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚,则买了80分的邮票________枚,120分的邮票________枚.【答案】 11 6【分析】设购买80分的邮票x 枚,购买120分的邮票y 枚,根据题意列方程组得:170.8 1.216x y x y +=ìí+=î,解方程组即可求解.【详解】解:设购买80分的邮票x 枚,购买120分的邮票y 枚,根据题意列方程组得:170.8 1.216x y x y +=ìí+=î①②,由①得:17y x =-,代入②可得:()0.8 1.21716x x +-=,整理可得:0.4 4.4x -=-,解得:11x =,所以17116y =-=.故答案为:11、6.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用,解题的关键是准确列出二元一次方程组.12.已知二元一次方程组941175y x x y ì+=ïïíï+=ïî的解为,x a y b ==,则a b -=_____.【答案】11【分析】把a 、b 代入方程组,解方程求解即可得到答案.【详解】解:∵二元一次方程组941175y x x y ì+=ïïíï+=ïî的解为x a y b =ìí=î∴941175b a a b ì+=-ïïíï+=ïî①②,②-①×4得到19195a -=-,解得5a =,把5a =代入①解得16b =∴51611a b -=-=.故答案为:11.【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解..13.若二元一次方程组23151x y ax by -=ìí+=î和51cx dy x y -=ìí+=î同解,则可通过解方程组_____求得这个解.【答案】23151x y x y -=ìí+=î【分析】联立两方程组中不含a 与b 的方程重新组成新的方程组即可.【详解】解:∵二元一次方程组23151x y ax by -=ìí+=î和51cx dy x y -=ìí+=î同解,∴可通过解方程组23151x y x y -=ìí+=î求得这个解,故答案为:23151x y x y -=ìí+=î.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组同解的问题,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.14.已知点()36,415A x y -+,点()5,B y x 关于x 轴对称,则x y +的值是____.【答案】-6【分析】让两点的横坐标相等,纵坐标相加得0,即可得关于x ,y 的二元一次方程组,解值即可.【详解】解:∵点()36,415A x y -+,点()5,B y x 关于x 轴对称,∴3654150x y y x -=ìí++=î;解得:33x y =-ìí=-î,∴=-6+x y ,故答案为-6.【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系:关于横轴的对称点,横坐标不变,纵坐标变成相反数.15.若357a b c ==,且3249a b c +-=,则a b c ++=_________.【答案】-15【分析】先设比例系数为k ,代入3a+2b-4c=9,转化为关于k 的一元一次方程解答.【详解】解:设357a b c k ===,则a=3k ,b=5k ,c=7k ,代入3a+2b-4c=9,得9k+10k-28k=9,解得:k=-1,∴a=-3,b=-5,c=-7,于是a+b+c=-3-5-7=-15.故答案为:-15.【点睛】本题主要考查比例的性质,解答此类题关键是灵活运用设“k”法求解代数式的值.16.正数a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解,则a =_____.【答案】4【分析】先根据平方根的性质可得0x y +=,再代入方程322x y +=求出x 的值,由此即可得出答案.【详解】由题意得:0x y +=,322x y +=Q ,2()2x x y \++=,将0x y +=代入得:202x +´=,解得2x =,则2224a x ===,故答案为:4.【点睛】本题考查了平方根、二元一次方程的解等知识点,熟练掌握平方根的性质是解题关键.17.若1,2x y =ìí=-î是关于x ,y 的方程1ax by -=的一组解,且3a b +=-,则52a b -的值为______.【答案】-43【分析】要求5a-2b 的值,要先求出a 和b 的值.根据题意得到关于a 和b 的二元一次方程组,再求出a 和b 的值.【详解】解:将1,2x y =ìí=-î代入1ax by -=,得21a b +=,因为3a b +=-,所以得到关于a 和b 的二元一次方程组213a b a b +ìí+-î==两式相减,得4b =,将4b =代入3a b +=-,得7a =-,所以5243a b -=-.【点睛】运用代入法,得关于a 和b 的二元一次方程组,再解方程组求解是解决此类问题的关键.18.对任意一个三位数n ,如果n 满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F (n ).例如n =123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F (123)=6.(1)计算:F (241)=_________,F (635)=___________ ;(2)若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y都是正整数),规定:()()F skF t=,当F(s)+F(t)=18时,则k的最大值是___.【答案】7 14 5 4【详解】分析: (1)根据F(n)的定义式,分别将n=241和n=635代入F(n)中,即可求出结论;(2)由s=100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=18,即可得出关于x、y的二元一次方程,解之即可得出x、y的值,再根据“相异数”的定义结合F(n)的定义式,即可求出F(s)、F(t)的值,将其代入k=()()F sF t中,找出最大值即可.详解: :(1)F(241)=(421+142+214)÷111=7;F(635)=(365+536+653)÷111=14.(2)∵s,t都是“相异数”,s=100x+32,t=150+y,∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6.∵F(t)+F(s)=18,∴x+5+y+6=x+y+11=18,∴x+y=7.∵1≤x≤9,1≤y≤9,且x,y都是正整数,∴16xy=ìí=î或25xy=ìí=î或34xy=ìí=î或43xy=ìí=î或52xy=ìí=î或61xy=ìí=î.∵s是“相异数”,∴x≠2,x≠3.∴y≠1,y≠5.∴16xy=ìí=î或43xy=ìí=î或52xy=ìí=î,∴()()612F sF tì=ïí=ïî或()()99F sF tì=ïí=ïî或()()108F sF tì=ïí=ïî,∴k=()()F sF t=12或k=()()F sF t=1或k=()()F sF t=54,∴k的最大值为54.点睛: 本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)根据F(n)的定义式,求出F (241)、F(635)的值;(2)根据s=100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=18,找出关于x 、y 的二元一次方程.三、解答题19.解下列方程组:(1)4(1)3(1)22423x y y x y --=--ìïí+=ïî; (2)2()1346()4(2)16x y x y x y x y -+ì-=-ïíï+--=î.【答案】(1)1451x y =ìí=î;(2)22x y =ìí=î.【分析】(1)先将原方程的第一个方程去括号、移项、合并同类项,第二个方程去分母,化简成4532144x y x y -=ìí+=î,再利用代入消元法解题;(2)先将原方程的第一个方程去分母、去括号、移项、合并同类项,第二个方程去括号,化简,整理成4532144x y x y -=ìí+=î,再利用代入消元法解题.【详解】解:(1)4(1)3(1)22423x y y x y --=--ìïí+=ïî整理得,4532144x y x y -=ìí+=î①②由①得,45y x =-③把③代入②得,32(45)144x x +-=11154x \=14x \=把14x =代入③得414551y =´-=1451x y =ì\í=î(2)2()1346()4(2)16x y x y x y x y -+ì-=-ïíï+--=î整理得,5111258x y x y -=-ìí-+=î①②由②得,58x y =-③把③代入①得5(58)1112y y --=-1428y\=2y\=把2y=代入③得,5282x=´-=\22xy=ìí=î.【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.20.在等式y=ax2+bx+c中,当x=﹣1时,y=3;当x=0时,y=1,当x=1时,y=1,求这个等式中a、b、c的值.【答案】a=1,b=﹣1,c=1.【分析】根据题意列出三元一次方程组,解方程组即可.【详解】由题意得,311a b cca b c-+=ìï=íï++=î,解得,a=1,b=﹣1,c=1.【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法,解三元一次方程组的一般步骤:①首先利用代入法或加减法,把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.②然后解这个二元一次方程组,求出这两个未知数的值.③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一个关于第三个未知数的一元一次方程.④解这个一元一次方程,求出第三个未知数的值,得到方程组的解.21.甲地到乙地全程是3.3km,一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需51min,从乙地到甲地需53.4 min.从甲地到乙地时,上坡、平路、下坡的路程各是多少?【答案】甲地到乙地,上坡路1.2 km、平路0.6 km、下坡路1.5 km.【分析】设甲地到乙地,上坡、平路、下坡路各是x千米,y千米,z千米,根据全程3.3km,甲到乙要51分钟,乙到甲要53.4分钟.分别列出方程,组成方程组,再求解即可.【详解】解:设甲地到乙地,上坡、平路、下坡路各是xkm,ykm,zkm,根据题意得:3.3513456053.454360x y zx y zx y zìï++=ïï++=íïï++=ïî.解得1.20.61.5xyz=ìï=íï=î.答:甲地到乙地,上坡路1.2 km 、平路0.6 km 、下坡路1.5 km .【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用,解答此题的关键是找出题目中的等量关系,列出方程组,用代入消元法或加减消元法求出方程组的解.22.几个人一起买物品,若每人出8元,则盈余3元;若每人出7元,则还差4元,人数和价格各是多少?【答案】共有7人,价格为53元.【分析】设有x 人,物品价格是y 元.根据题意可以找出题目中的等量关系,列出相应的方程组,从而可以解答本题.【详解】解:设有x 人,物品价格是y 元,由题意可得:8374x y x y -ìí+î==,解得:753x y =ìí=î 答:共有7人,这个物品的价格是53元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是明确题意,找出合适的等量关系,列出相应的方程组.23.材料:解方程组()1045x y x y y --=ìí--=î时,可由①得1x y -=③,然后再将③代入②得415y ´-=,求得1y =-,从而进一步求得01x y =ìí=-î这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组()()423324x y x y x y -=ìí--=î【答案】7656x y ì=ïïíï=ïî【分析】观察方程组的特点,把2x y -看作一个整体,得到322x y -=,将之代入②,进行消元,得到33422x æö+=ç÷èø,解得76x =,进一步解得56y =,从而得解.【详解】解:()()423324x y x y x y -=ìïí--=ïî①②由①得322x y -=③,把③代入②得33422x æö+´=ç÷èø,解得76x =,把76x =代入③,得73262y ´-=,解得56y =,故原方程组的解为7656x y ì=ïïíï=ïî.【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法:整体代入法.解方程(组)要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法.24.一批货物要运往某地,货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示:第一次第二次甲种货车辆数(单位:辆)25乙种货车辆数(单位:辆)36最大运货物吨数(单位:吨)15.535现租用该公司3辆甲种货车及4辆乙种货车一次刚好运完这批货,如果按每吨付运费30元计算,问货主应付运费多少元?【答案】660元.【分析】设甲种货车每辆运货x 吨,乙种货车每辆运货y 吨,先根据表格建立方程组,求出x 、y 的值,再根据这次租用的甲、乙两种货车的数量和每吨运费列出运算式子,由此即可得.【详解】设甲种货车每辆运货x 吨,乙种货车每辆运货y 吨,由题意得:2315.55635x y x y +=ìí+=î,解得42.5x y =ìí=î,则货主应付运费为()344 2.530660´+´´=(元),答:货主应付运费660元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用,依据题意,正确建立方程组是解题关键.25.在五一期间,小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话(如图),试根据图中的信息,解答下列问题:(1)小明他们一共去了几个成人,几个学生?(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?并说明理由.【答案】(1)小明他们一共去了8个成人,4个学生;(2)购团体票更省钱.【分析】(1)设去了x个成人,则去了(12−x)个学生,根据爸爸说的话,可确定相等关系为:成人的票价+学生的票价=350元,据此列方程求解;(2)计算团体票所需费用,和350元比较即可求解.【详解】(1)设成人人数为x人,则学生人数为(12-x)人.根据题意,得35x+352(12-x)=350.解得x=8.则12-x=12-8=4.答:小明他们一共去了8个成人,4个学生.(2)如果买团体票,按16人计算,共需费用为35×0.6×16=336(元).因为336<350,所以购团体票更省钱.答:购团体票更省钱.【点睛】考查利用方程模型解决实际问题,关键在于设求知数,列方程.此类题目贴近生活,有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力.26.请根据图中提供的信息,回答下列问题.(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元?(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯,为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定:这两种商品都打九折;乙商场规定:买一个暖瓶赠送一个水杯.若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯,请问选择哪家商场购买更合算,并说明理由.【答案】(1)一个暖瓶30元,一个水杯8元;(2)到乙家商场购买更合算.【分析】(1)等量关系为:2×暖瓶单价+3×(38-暖瓶单价)=84;(2)甲商场付费:暖瓶和水杯总价之和×90%;乙商场付费:4×暖瓶单价+(15-4)×水杯单价.【详解】(1)设一个暖瓶x元,则一个水杯(38-x)元,根据题意得:2x+3(38-x)=84.解得:x=30.一个水杯=38-30=8.故一个暖瓶30元,一个水杯8元;(2)若到甲商场购买,则所需的钱数为:(4×30+15×8)×90%=216元.若到乙商场购买,则所需的钱数为:4×30+(15-4)×8=208元.因为208<216.所以到乙家商场购买更合算.【点睛】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出所求量的合适的等量关系.需注意乙商场有4个水杯不用付费.。
初中数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题含答案
初中数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题含答案一、选择题1.已知方程组2x y x y a-=⎧⎨+=⎩,且5x y =,则a 等于( )A .5B .4C .3D .22.中国象棋是中华民族的文化瑰宝,也是怡神益智的一种有益身心的活动,源远流长,趣味浓厚,千百年来长盛不衰.甲、乙制定比赛规定:胜一局得4分,平一局得1分,负一局得0分,甲共进行了9局比赛,得了12分,则甲获胜的可能种数有( ) A .2B .3C .4D .53.二元一次方程组7317x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是( )A .52x y =⎧⎨=⎩B .25x y =⎧⎨=⎩C .61x y =⎧⎨=⎩D .16x y =⎧⎨=⎩4.已知方程组2728x y x y +=⎧⎨+=⎩,则5510x y -+的值是( )A .5B .-5C .15D .255.下列各组数是二元一次方程371x y y x +=⎧⎨-=⎩的解是( )A .12x y =⎧⎨=⎩B .01x y =⎧⎨=⎩C .7x y =⎧⎨=⎩D .12x y =⎧⎨=-⎩6.某单位采购小李去商店买笔记本和笔,他先选定了笔记本和笔的种类,若买25本笔记本和30支笔,则他身上的钱缺30元;若买15本笔记本和40支笔,则他身上的钱多出30元.( )A .若他买55本笔记本,则会缺少120元B .若他买55支笔,则会缺少120元C .若他买55本笔记本,则会多出120元D .若他买55支笔,则会多出120元7.已知方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,则方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )A .12x y =⎧⎨=⎩B .34x y =⎧⎨=⎩C .10103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩D .510x y =⎧⎨=⎩8.若x ,y 均为正整数,且2x +1·4y =128,则x +y 的值为( ) A .3B .5C .4或5D .3或4或59.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的《九章算术》中的算筹图是竖排的,现在我们把它改为横排,如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,x y 的系数与相应的常数项把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是2+327214x y x y =⎧⎨+=⎩类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为( )A .2+164322x y x y =⎧⎨+=⎩B .2+164327x y x y =⎧⎨+=⎩C .2+114322x y x y =⎧⎨+=⎩D .2+114327x y x y =⎧⎨+=⎩10.有若干只鸡和兔关在一个笼子里,从上面数,有30个头,从下面数,有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔?若设笼中有x 只鸡,y 只兔,则列出的方程组为( ) A .30284x y x y +=⎧⎨+=⎩B .302484x y x y +=⎧⎨+=⎩C .304284x y x y +=⎧⎨+=⎩D .30284x y x y +=⎧⎨+=⎩二、填空题11.已知关于x ,y 的二元一次方程()()12120m x my m +++=﹣﹣,无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则这个相同的解是______.12.自来水厂的供水池有7个进出水口,每天早晨6点开始进出水,且此时水池中有水15%,在每个进出水口是匀速进出的情况下,如果开放3个进口和4个出口,5小时将水池注满;如果开放4个进口和3个出口,2小时将水池注满.若某一天早晨6点时水池中有水24%,又因为水管改造,只能开放3个进口和2个出口,则从早晨6点开始经过____小时水池的水刚好注满.13.如图,在大长方形ABCD 中,放入六个相同的小长方形,11BC =,7DE =,则图中阴影部分面积是____.14.已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字,且a 、b 、c 满足(|a ﹣2|+|a ﹣4|)(|b |+|b ﹣3|)(|c ﹣1|+|c ﹣6|)=60,则这个三位数的最大值为_____. 15.观察表一,寻找规律,表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,则a +b ﹣m =_____.16.小纪念册每本5元,大纪念册每本7元.小明买这两种纪念册共花142元,则两种纪念册共买______本.17.我校第二课堂开展后受到了学生的追捧,学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查(每名学生都填了调査表,且只选了一个项目),统计后趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作榜上有名.其中选信息技术的人数比选手工制作的少8人;选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人多,且为整数倍;选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍;选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24人.则参加调查问卷的学生有________人. 18.解三元一次方程组时,先消去z ,得二元一次方程组,再消去y ,得一元一次方程2x =3,解得x =,从而得y =_____,z =____.19.如图,小强和小红一起搭积木,小强所搭的“小塔”的高度为23 cm ,小红所搭的“小树”的高度为22 cm ,设每块A 型积木的高为x cm ,每块B 型积木的高为y cm ,则x =__________,y =__________.20.已知方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩解为510x y =⎧⎨=⎩,则关于x ,y 的方程组1112223232a x y a c a x y a c +=+⎧⎨+=+⎩的解是_______.三、解答题21.某校规划在一块长AD 为18 m 、宽AB 为13 m 的长方形场地ABCD 上,设计分别与AD ,AB 平行的横向通道和纵向通道,其余部分铺上草皮,如图所示,若设计三条通道,一条横向,两条纵向,且它们的宽度相等,其余六块草坪相同,其中一块草坪两边之比AM∶AN=8∶9,问通道的宽是多少?22.[阅读材料]善于思考的小明在解方程组253(1)4115(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩时,采用了一种“整体代换”的解法:解:将方程(2)变形:4105x y y ++=, 即()2255(3)x y y ++=,把方程(1)代入(3)得:235y ⨯+=, 所以1y =-,将1y =-代入(1)得4x =,所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩.[解决问题](1)模仿小明的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩,(2)已知x ,y 满足方程组2222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩,求224x y +的值. 23.为了拉动内需,全国各地汽车购置税补贴活动正式开始.重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV 汽车SC35的手动型和自动型共960台,政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台,其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.(1)在政策出台前一个月,销售的手动型和自动型汽车分别为多少台;(2)若手动型汽车每台价格为9万元,自动型汽车每台价格为10万元.根据汽车补贴政策,政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴,问政策出台后的第一个月,政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元.24.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人:他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车. (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?(2)如果工厂招聘新工人若干名(新工人人数少于10人)和抽调的熟练工合作,刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?25.小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:假设营业员的月基本工资为x 元,销售每件服装奖励y 元: (1)求x y 、的值;(2)若营业员小丽某月的总收入不低于1800元,那么小丽当月至少要卖服装多少件? (3)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲3件、乙2件、丙1件,共需315元;如果购买甲1件,乙2件,丙3件,共需285元,某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元?26.已知:平面直角坐标系中,A (a ,3)、B (b ,6)、C (c ,1),a 、b 、c 都为实数,并且满足3b -5c =-2a -18,4b -c =3a +10 (1) 请直接用含a 的代数式表示b 和c(2) 当实数a 变化时,判断△ABC 的面积是否发生变化?若不变,求其值;若变化,求其变化范围(3) 当实数a 变化时,若线段AB 与y 轴相交,线段OB 与线段AC 交于点P ,且S △PAB >S △PBC ,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】把x=5y 代入到方程组中,得到关于y 、a 的二元一次方程组,解方程组即可. 【详解】将5x y =代入方程组2x y x y a -=⎧⎨+=⎩,得525y y y y a -=⎧⎨+=⎩,解得123y a ⎧=⎪⎨⎪=⎩.故选C . 【点睛】此题考查了二元一次方程组,掌握加减消元法是解答此题的关键.2.B解析:B 【分析】设甲获胜x 局,平y 局,则负()9x y --局,根据题意得出关于x 和y 的二元一次方程,由x ,y ,()9x y --均为整数即可得出结论. 【详解】解:设甲获胜x 局,平y 局,则负()9x y --局, 根据题意可得:412x y +=,即124y x =-, 当1x =时,8y =,90x y --=; 当2x =时,4y =,93x y --=; 当3x =时,0y =,96x y --=; 当4x =时,4y =-(舍);综上所述,获胜的场数可能为1,2,3,共3种可能, 故选:B . 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键.3.A解析:A 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【详解】解:7317x y x y +=⎧⎨+=⎩①②,②﹣①得:2x =10, 解得:x =5,把x =5代入①得:y =2,则方程组的解为52x y =⎧⎨=⎩.故选:A . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及二元一次方程组的解的定义:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.本题还可以利用代入法求解.4.A解析:A 【分析】将方程①-方程②得到x-y=-1,代入5x-5y+10计算即可. 【详解】解:2728x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①-②,得:x-y=-1,∴5x-5y+10=5(x-y)+10=5×(-1)+10=5. 故选A. 【点睛】本题考查了用加减法解二元一次方程组.5.A解析:A 【解析】分析:所谓“方程组”的解,指的是该数值满足方程组中的每一方程.此题直接解方程组或运用代入排除法作出选择. 详解:∵y ﹣x =1,∴y =1+x . 代入方程x +3y =7,得:x +3(1+x )=7,即4x =4,∴x =1,∴y =1+x =1+1=2. ∴解为12x y =⎧⎨=⎩. 故选A .点睛:本题要注意方程组的解的定义.6.D解析:D 【分析】设笔记本的单价为x 元,笔的单价为y 元,根据小李身上的总额列出方程,然后变形即可求解. 【详解】设笔记本的单价为x 元,笔的单价为y 元,根据题意得: 25x+30y-30=15x+40y+30 整理得:10x-10y=60,即x-y=6∴()253063055210x x x +--=-,即买55个笔记本缺少210元()256303055120y y y ++-=+,即买55支笔多出120元故选D .本题考查了二元一次方程组,根据题意列出等量关系然后进行推导是本题的关键.7.D解析:D 【分析】 将方程组变形,设32,55x y m n ==,结合题意得出m=3,n=4,即可求出x ,y 的值. 【详解】解:方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可以变形为:方程组11122232··5532··55xy a b c x y a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩设32,55x ym n ==, 则方程组可变为111222····a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩,∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,∴方程组111222····a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩的解是34m n =⎧⎨=⎩,∴323,455x y ==,解得:x=5,y=10, 故选:D . 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.弄清题意是解本题的关键.8.C解析:C 【解析】∵2x +1·4y =128,27=128, ∴x +1+2y =7,即x +2y =6. ∵x ,y 均为正整数,∴22x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩∴x +y =4或5. 9.D解析:D由图1可得1个竖直的算筹数算1,一个横的算筹数算10,每一横行是一个方程,第一个数是x 的系数,第二个数是y 的系数,第三个数是相加的结果:前面的表示十位,后面的表示个位,由此可得图2的表达式. 【详解】第一个方程x 的系数为2,y 的系数为1,相加的结果为11;第二个方程x 的系数为4,y 的系数为3,相加的结果为27,所以可列方程组为:2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩.故选D . 【点睛】此题主要考查了由实际问题列二元一次方程组,关键是读懂图意,得到所给未知数的系数及相加结果.10.B解析:B 【分析】设这个笼中的鸡有x 只,兔有y 只,根据“从上面数,有30个头;从下面数,有84条腿”列出方程组即可. 【详解】解:若设笼中有x 只鸡,y 只兔, 根据题意可得:302484x y x y +=⎧⎨+=⎩,故选:B . 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用;根据题意列出方程组是解决问题的关键.二、填空题11.【分析】将方程整理成关于m 的一元一次方程,若无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则与m 无关,从而令m 的系数为0,从而得关于x 和y 的二元一次方程组,求解即可. 【详解】 将(m+1)解析:11x y =-⎧⎨=⎩【分析】将方程整理成关于m 的一元一次方程,若无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则与m 无关,从而令m 的系数为0,从而得关于x 和y 的二元一次方程组,求【详解】将(m+1)x+(2m-1)y+2-m=0整理得:mx+x+2my-y+2-m=0,即m(x+2y-1)+x-y+2=0,因为无论实数m取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,所以21020x yx y+-=⎧⎨-+=⎩,解得:11xy=-⎧⎨=⎩.故答案为:11xy=-⎧⎨=⎩.【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题,解题关键是利用转化思想.12..【分析】设每个进水口每小时进水量为x,每个出水口每小时出水量为y,根据题意,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出x,y的值,再将其代入中即可求出结论.【详解】设每个进水口每小时进解析:38 17.【分析】设每个进水口每小时进水量为x,每个出水口每小时出水量为y,根据题意,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出x,y的值,再将其代入124%32x y--中即可求出结论.【详解】设每个进水口每小时进水量为x,每个出水口每小时出水量为y,依题意,得:()() 534115% 243115%x yx y⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩,解得:0.170.085 xy=⎧⎨=⎩,∴124%38 3217x y-=-.故答案为:38 17.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.13.51【分析】先设小长方形的长、宽分别为、,由题意列方程组,解得小长方形的长、宽,由可求得,再根据,可解阴影面积.【详解】解:设小长方形的长、宽分别为、,依题意得:,即,解得:,,,解析:51【分析】先设小长方形的长、宽分别为x 、y ,由题意列方程组,解得小长方形的长、宽,由DC DE EC =+可求得DC ,再根据6ABCD S S S =-⨯阴影小长方形,可解阴影面积.【详解】解:设小长方形的长、宽分别为x 、y ,依题意得:31127y x y x y +=⎧⎨+-=⎩,即3117x y x y +=⎧⎨-=⎩, 解得:81x y =⎧⎨=⎩, 818S ∴=⨯=小长方形,729DC DE EC ∴=+=+=,11BC =,11999ABCD S BC DC ∴=⋅=⨯=,6996851ABCD S S S ∴=-⨯=-⨯=阴影小长方形,本题的答案为51.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用,利用了求面积中一种常用的方法割补法,面积总量不变,扣掉较容易求出的图形面积,可得解.14.536【分析】由绝对值的性质可得|a ﹣2|+|a ﹣4|≥2,|b|+|b ﹣3|≥3,|c ﹣1|+|c ﹣6|≥5,因为a、b、c是整数,且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1解析:536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,因为a、b、c是整数,且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60,分三种情况讨论:①|a﹣2|+|a﹣4|=4,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5;②|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=6,|c ﹣1|+|c﹣6|=5;③|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=10,求出a、b、c的值,即可得出最大三位数.【详解】∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.∵a、b、c是整数,(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60,∴有三种情况:①|a﹣2|+|a﹣4|=4,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5;②|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=6,|c﹣1|+|c﹣6|=5;③|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=10.∴要使三位数最大,首先要保证a尽可能大.当|a﹣2|+|a﹣4|=4时,解得:a=1或a=5;当|a﹣2|+|a﹣4|=2时,解得:2≤a≤4;∴a=5.当a=5时,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5.解得:0≤b≤3,1≤c≤6,∴由a、b、c组成的最大三位数为536.故答案为:536.【点睛】本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程;熟练掌握绝对值的几何意义,利用不等式和数轴解题是关键.15.﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出a值;由表三结合表一即可得出关于b的一元一次方程,解之即可得出b值;在表三中设42为第x 行y列,则75为第(x+1)行(y+2解析:﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出a值;由表三结合表一即可得出关于b的一元一次方程,解之即可得出b值;在表三中设42为第x行y列,则75为第(x+1)行(y+2)列,结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x、y 的二元一次方程组,解之即可得出x、y的值,将其代入m=(x+1)(y+1)即可得出m的值,将a、b、m的值代入a-b+m即可得出结论.【详解】表二截取的是其中的一列:上下两个数字的差相等,∴a-15=15-12,解得:a=18;表三截取的是两行两列的相邻的四个数字:右边一列数字的差比左边一列数字的差大1, ∴42-b-1=36-30,解得:b=35;表四截取的是两行三列的相邻的六个数字:设42为第x 行y 列,则75为第(x+1)行(y+2)列,则有()()421275xy x y ⎧⎨++⎩==, 解得:143x y ⎧⎨⎩== 或3228x y ⎧⎪⎨⎪⎩==(舍去), ∴m=(x+1)(y+1)=(14+1)×(3+1)=60.∴a+b ﹣m=18+35-60=-7.故答案为:-7【点睛】此题考查一元一次方程的应用,规律型:数字变化类,根据表一中数的排列特点通过解方程(或方程组)求出a 、b 、m 的值是解题关键.16.26、24或22【解析】【分析】通过理解题意可以知道,本题有一组等量关系,即:小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142,可以根据此等量关系,列出方程求解作答.【详解】解:假设购买小纪念册解析:26、24或22【解析】【分析】通过理解题意可以知道,本题有一组等量关系,即:小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142,可以根据此等量关系,列出方程求解作答.【详解】解:假设购买小纪念册x 本,购买大纪念册y 本,则x ,y 为整数.则有题目可得二元一次方程:5x+7y=142,解得:x ,y 有4组整数解即:271x y =⎧⎨=⎩,206x y =⎧⎨=⎩,1311x y =⎧⎨=⎩,616x y =⎧⎨=⎩ 即有四种情况即:两种纪念册共买28、26、24或22本.故答案为28、26、24或22本.【点睛】本题考查了一次方程的实际应用,中等难度,解决此类问题的关键在于,找出题目中所给的等量关系,列出方程,求解方程.17.48【分析】设选信息技术的有x人,选演讲与口才有y人,则手工制作的有(x+8)人,选趣味数学的有a(x+8)人,根据题意列出方程组,结合实际情况讨论求解即可. 【详解】设选信息技术的有x人,选解析:48【分析】设选信息技术的有x人,选演讲与口才有y人,则手工制作的有(x+8)人,选趣味数学的有a(x+8)人,根据题意列出方程组,结合实际情况讨论求解即可.【详解】设选信息技术的有x人,选演讲与口才有y人,则手工制作的有(x+8)人,选趣味数学的有a(x+8)人,根据题意得:()()()()()1858824a x x ya x y x x⎧++=+⎪⎨++--+=⎪⎩①②,②可变形为:(a-1)(x+8)=24+x-y③,①+③,得2a(x+8)=24+6x+4y,即a=12328x yx+++;①-③,得x+3y=20.∵x、y都是正整数,∴171xy=⎧⎨=⎩或142xy=⎧⎨=⎩或113xy=⎧⎨=⎩或84xy=⎧⎨=⎩或55xy=⎧⎨=⎩或26xy=⎧⎨=⎩当171xy=⎧⎨=⎩、142xy=⎧⎨=⎩、113xy=⎧⎨=⎩、84xy=⎧⎨=⎩、55xy=⎧⎨=⎩,a=12328x yx+++都不是整数,不合题意.当26xy=⎧⎨=⎩时,a=12328x yx+++=3.∴选信息技术的有2人,选演讲与口才的有6人,选手工制作的有10人,选趣味数学的有30人,由于每名学生都填了调査表,且只选了一个项目,所以参加调查问卷的学生有2+6+10+30=48(人).故答案为48【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点,题目难度较大,根据方程组得到二元一次方程,是解决本题的关键.18.76, 56.【解析】【分析】逐项代入求值即可解题.【详解】解:将x=32代入x+3y=5得,y=76,将x=32,y=76代入x+2y-z=3得z=56,∴y=76,解析:,.【解析】【分析】逐项代入求值即可解题.【详解】解:将x=代入x+3y=5得,y=,将x=,y=代入得z=,∴y=, z=.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入求值的方法是解题关键.19.5【解析】根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3,小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2,依两个等量关系列出方程组,再求解.故答案为4和5.点睛:本题考查了二元一解析:5【解析】根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3,小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2,依两个等量关系列出方程组23233222x yx y+=⎧⎨+=⎩,再求解45xy=⎧⎨=⎩.故答案为4和5.点睛:本题考查了二元一次方程组的应用,解题关键是看清图形的意思,找出等量关系列方程组求解.20.【分析】根据方程组解的定义,把x =5,y =10代入即可得出a1,a2,c1,c2的关系,再代入计算即可.【详解】解:∵方程组∵解为:x =5,y =10,∴,∴∵,∴,①−②,得3a解析:25x y ⎧⎨⎩== 【分析】根据方程组解的定义,把x =5,y =10代入即可得出a 1,a 2,c 1,c 2的关系,再代入计算即可.【详解】解:∵方程组1122==a x y c a x y c +⎧⎨+⎩ ∵解为:x =5,y =10,∴1122510=510=a c a c +⎧⎨+⎩, ∴()12125a a c c -=-∵11122232=32=a x y a c a x y a c ++⎧⎨++⎩, ∴112232=61032=610a x y a a x y a ++⎧⎨++⎩①②, ①−②,得3a 1x−3a 2x =6a 1−6a 2,∴x =2,把x =2代入①得,y =5,∴方程组11122232=32a x y a c a x y a c ++⎧⎨+=+⎩的解是=2=5x y ⎧⎨⎩, 故答案为:=2=5x y ⎧⎨⎩. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组,掌握方程组的解法是解题的关键.三、解答题21.1【分析】利用AM:AN=8:9,设通道的宽为xm ,AM=8ym ,则AN=9ym ,进而利用AD 为18m ,AB 为13m ,得出等式求出即可.【详解】设通道的宽是xm ,AM =8ym.因为AM ∶AN =8∶9,所以AN =9ym.所以22418,1813.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1,2.3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩答:通道的宽是1m.故答案为1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.22.(1)原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩;(2)22420x y += 【分析】(1)根据题意,利用整体的思想进行解方程组,即可得到答案;(2)根据题意,利用整体的思想进行解方程组,即可得到答案.【详解】 解:()13259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①② 将方程②变形得:()332219x y y -+=③把方程①代入③得:35219y ⨯+=,所以2,y =将2y =代入①得3x =,所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩; ()22222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②, 把方程①变形,得到223(4)550x xy y xy ++-=③,然后把②代入③,得325550xy ⨯-=,∴5xy =,∴22425520x y +=-=;【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法.整体代入法,就是变形组中的一个方程,使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式,整体代入,求出一个未知数,再代入求出另一个未知数.23.(1)手动型汽车560台,自动型汽车400台;(2)577.6万元.【分析】(1)根据题意设在政策出台前一个月,销售的手动型汽车x 台,自动型汽车y 台,根据政策出台前一个月及出台后的第一月销售量,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)由题意根据总价=单价×数量结合政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴,即可求出结论.【详解】解:(1)设在政策出台前一个月,销售的手动型汽车x 台,自动型汽车y 台,依题意,得:()()960130%125%1228x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩, 解得:560400x y =⎧⎨=⎩. 答:在政策出台前一个月,销售的手动型汽车560台,自动型汽车400台.(2)[560×(1+30%)×9+400×(1+25%)×10]×5%=577.6(万元).答:政府对这1228台汽车用户共补贴了577.6万元.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.24.(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动车,新工人每月分别安装2辆电动汽车.(2) ①调熟练工1人,新工人8人;②调熟练工2人,新工人6人;③调熟练工3人,新工人4人;④调熟练工4人,新工人2人.【分析】(1)设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车,新工人每月分别安装y 辆电动汽车,根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组,然后求解即可;(2)设调熟练工m 人,招聘新工人n 名,根据一年的安装任务列出方程整理用m 表示出n ,然后根据人数m 是整数讨论求解即可.【详解】(1)设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车,新工人每月分别安装y 辆电动汽车, 根据题意得:282314x y x y +=⎧⎨+=⎩,解之得42 xy=⎧⎨=⎩.答:每名熟练工每月可以安装4辆电动车,新工人每月分别安装2辆电动汽车;(2)设抽调熟练工m人,招聘新工人n名,由题意得:12(4m+2n)=240,整理得,n=10-2m,∵0<n<10,∴当m=1,2,3,4时,n=8,6,4,2,即:①调熟练工1人,新工人8人;②调熟练工2人,新工人6人;③调熟练工3人,新工人4人;④调熟练工4人,新工人2人.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,解二元一次方程组,(1)理清题目数量关系列出方程组是解题的关键,(2)用一个未知数表示出另一个未知数,是解题的关键,难点在于考虑人数是整数.25.(1)x=800,y=3;(2)334;(3)150元.【解析】【分析】(1)通过理解题意可知此题存在两个等量关系,即小丽的基本工资+提成=1400元,小华的基本工资+提成=1250元,列方程组求解即可;(2)根据小丽基本工资+每件提成×件数=1800元,求得件数即可;(3)理解题意可知,计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱即可.【详解】解:(1)设营业员的基本工资为x元,买一件的奖励为y元.由题意得20014001501250 x yx y+⎧⎨+⎩==解得8003 xy⎧⎨⎩==即x的值为800,y的值为3.(2)设小丽当月要卖服装z件,由题意得:800+3z=1800解得,z=333.3由题意得,z为正整数,在z>333中最小正整数是334.答:小丽当月至少要卖334件.(3)设一件甲为x元,一件乙为y元,一件丙为z元.则可列3231523285 x y zx y z++⎧⎨++⎩==将两等式相加得4x+4y+4z=600,则x+y+z=150答:购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元.【点睛】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解;第三问的难点就在于思考的方向对不对,实际上,方向对了,做起来就方便多了.26.(1)46b ac a=+⎧⎨=+⎩;(2)S△ABC=13为定值;(3)542a-≤<-【分析】(1)由4b-c=3a+10可知c=4b-3a-10,把c代入3b-5c=-2a-18可用a 表示出b,同理可表示c;(2)如图构造梯形,根据S△ABC=S梯形ADEC-S△ADB-S△CBE可证明S△ABC是定值,所以△ABC的面积无变化;(3)作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥x轴,根据S△PAB>S△PBC可知AP>PC,进而可得S△OAP>S△OPC,所以S△OAB>S△OBC,利用梯形和三角形的面积差可表示出△OAB和△OBC的面积,即可列出不等式,由AB与y轴相交可得-4≤a≤0,结合前面的不等式求出公共解集即可求出a的取值范围.【详解】(1)∵4b-c=3a+10,∴c=4b-3a-10,∵3b-5c=-2a-18,∴3b-5(4b-3a-10)=-2a-18,∴b=a+4,同理可得:c=a+6,∴46b ac a=+⎧⎨=+⎩(2) 构造如图所示的梯形:S△ABC=12⨯(3+5)⨯6-12⨯3⨯4-12⨯2⨯5=13为定值,(3) 线段AB与y轴相交,故40aa≤⎧⎨+≥⎩,∴-4≤a≤0,∵S△PAB>S△PBC,∴AP>PC,∴S△OAP>S△OPC,∴S△OAB>S△OBC,作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥x轴,S△OAB=12(3+6)4a a⎡⎤++⎣⎦ -124a+⨯6-12⨯6a⨯=6-32a,S△OBC=12⨯(1+6)(64a a+-+)+124a+⨯6-126a+=52a+16,∴6-32a>52a+16,解得:a<-5 2 ,∴5 4a2 -≤<-【点睛】本题考查解二元一次方程组,利用代入消元法可减少未知数的个数,从而实现消元;本题也考查了梯形与三角形的面积公式,熟练掌握相关知识是解题关键.。
初中数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题含答案
初中数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题含答案一、选择题1.某校运动员分组训练,若每组7人,则余3人:若每组8人,则缺5人.设运动员人数为x 人,组数为y 组,则可列方程为( )A .7385y x y x =+⎧⎨=+⎩B .7385y x y x =+⎧⎨+=⎩C .7385y x y x =-⎧⎨+=⎩D .7385y x y x =-⎧⎨=+⎩2.某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形(每个图形由两个三角形和一个圆形组成),已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形,或3个圆形,要使圆形和三角形正好配套,需要剪三角形的卡纸有x 张,剪圆形的卡纸有y 张,可列式为( )A .2256x y x y +=⎧⎨=⎩B .2265x y x y +=⎧⎨=⎩C .22310x y x y +=⎧⎨=⎩D .22103x y x y +=⎧⎨=⎩3.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ,y 的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是32=19423x y x y +⎧⎨+=⎩,在图2所示的算筹图所表示的方程组是( )A .2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩B .21437x y x y +=⎧⎨+=⎩C .2274311x y x y +=⎧⎨+=⎩D .2114327y x y x +=⎧⎨+=⎩4.已知关于x ,y 的方程组72x my mx y m +=⎧⎨-=+⎩①②,将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加,得到一个新的方程,当m 每取一个值时,就有一个方程,这些方程有一个公共解,这个公共解为( )A .54x y =⎧⎨=-⎩B .14x y =⎧⎨=-⎩C .41x y =⎧⎨=-⎩D .-54x y =⎧⎨=⎩5.若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )A .2128x y =⎧⎨=⎩B .98x y =⎧⎨=⎩C .714x y =⎧⎨=⎩D .9787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6.已知实数a 、m 满足a >m ,若方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解x 、y 满足x >y 时,有a >-3,则m 的取值范围是( ) A .m >-3B .m≥-3C .m≤-3D .m <-37.“若方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,则方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )A .48x y =⎧⎨=⎩B .912x y =⎧⎨=⎩C .1520x y =⎧⎨=⎩D .9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8.如果1,{2x y ==是二元一次方程组1,{2ax by bx ay +=+=的解,那么关于m 的方程a 2m +2 016 b +=2017的解为( ) A .-1 B .1 C .0 D .-29.已知代数式x a ﹣b y 2与xy 2a +b 是同类项,则a 与b 的值分别是( )A .a =0,b =1B .a =2,b =1C .a =1,b =0D .a =0,b =210.方程组125x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为( )A .12x y =-⎧⎨=⎩B .21x y =⎧⎨=⎩C .43x y =⎧⎨=-⎩D .23x y =-⎧⎨=⎩二、填空题11.“八月十五月儿圆,中秋月饼香又甜”,每中秋,皓月当空,阖家团聚,品饼赏月,谈天说地,尽享天伦之乐.今年中秋节前夕某商场结合当地情况,决定启动一笔专项资金用于月饼进货,经过一段时间,该商场已购进的京式、广式、苏式月饼总价之比为2:3:4,根据市场需求,将把余下的资金继续购进这三种月饼,经测算需将余下资金的13购买京式月饼,则京式月饼的总价将达到这三种月饼总价的415.为了使广式月饼总价与苏式月饼的总价达到9:13,则该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是_____.12.已知关于x ,y 的二元一次方程()()12120m x my m +++=﹣﹣,无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则这个相同的解是______. 13. 已知21x y =⎧⎨=⎩,是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解,则m+3n 的平方根为______. 14.2018年10月21日,重庆市第八届中小学艺术工作坊在渝北区空港新城小学体育馆开幕,来自全重庆市各个区县共二十多个工作坊集中展示了自己的艺术特色.组委会准备为现场展示的参赛选手购买三种纪念品,其中甲纪念品5元/件,乙纪念品7元/件,丙纪念品10元/件.要求购买乙纪念品数量是丙纪念品数量的2倍,总费用为346元.若使购买的纪念品总数最多,则应购买纪念品共_____件. 15.已知关于x 、y 的方程组135x y ax y a +=-⎧⎨-=+⎩,给出下列结论:①当1a =时,方程组的解也是方程3x y -=的解;②当x 与y 互为相反数时,1a =③不论a 取什么实数,2x y +的值始终不变;④若12z xy =,则z 的最大值为1.正确的是________(把正确答案的序号全部都填上)16.綦江中学初二在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛,按分数高低取前60名获奖,原定一等奖5人,二等奖15人,三等奖40人,现调整为一等奖10人,二等奖20人,三等奖30人,调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2分,三等奖平均分降低1分,如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分,则调整后一等奖比二等奖平均分数多______分.17.小明、小红和小光共解出了100道数学题目,每人都解出了其中的60道题目,如果将其中只有1人解出的题目叫做难题,2人解出的题目叫做中档题,3人都解出的题目叫做容易题,那么难题比容易题多________道.18.从﹣2,﹣1,0,1,2,3这六个数中,任取一个数作为a 的值,恰好使得关于x 、y 的二元一次方程组2x y ax y -=⎧⎨+=⎩有整数解,且方程ax 2+ax+1=0有实数根的概率是_____.19.如图,在长方形ABCD 中,放入六个形状,大小相同的长方形(即空白的长方形),AD =12cm ,FG =4cm ,则图中阴影部分的总面积是 __________2cm .20.已知方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩解为510x y =⎧⎨=⎩,则关于x ,y 的方程组1112223232a x y a c a x y a c +=+⎧⎨+=+⎩的解是_______.三、解答题21.某校规划在一块长AD 为18 m 、宽AB 为13 m 的长方形场地ABCD 上,设计分别与AD ,AB 平行的横向通道和纵向通道,其余部分铺上草皮,如图所示,若设计三条通道,一条横向,两条纵向,且它们的宽度相等,其余六块草坪相同,其中一块草坪两边之比AM∶AN=8∶9,问通道的宽是多少?22.某县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务,为了确保质量,该企业进行试生产.他们购得规格是20040cm cm ⨯的标准板材作为原材料,每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材.如图甲所示.(单位cm ) (1)列出方程(组),求出图甲中a 与b 的值;(2)在试生产阶段,若将625张标准板材用裁法一裁剪,125张标准板材用裁法二裁剪,再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面,刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒.求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个?23.数轴上有两个动点M ,N ,如果点M 始终在点N 的左侧,我们称作点M 是点N 的“追赶点”.如图,数轴上有2个点A ,B ,它们表示的数分别为-3,1,已知点M 是点N 的“追赶点”,且M ,N 表示的数分别为m ,n .(1)由题意得:点A 是点B 的“追赶点”,AB =1-(-3)=4(AB 表示线段AB 的长,以下相同);类似的,MN =____________.(2)在A ,M ,N 三点中,若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点,请用含m 的代数式来表示n .(3)若AM =BN ,MN =43BM ,求m 和n 值.24.如图,//CD EF ,AE 是CAB ∠的平分线,α∠和β∠的度数满足方程组2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩,(1)求α∠和β∠的度数; (2)求证://AB CD . (3)求C ∠的度数.25.某公园的门票价格如下表所示:某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园,其中(I)班的人数较少,不足 50 人;(2) 班人数略多,有 50 多人.如果两个班都以班为单位分别购票,则一共应付 1172 元,如 果两个班联合起来,作为一个团体购票,则需付 1078 元. (1)列方程求出两个班各有多少学生;(2)如果两个班联合起来买票,是否可以买单价为 9 元的票?你有什么省钱的方法来帮 他们买票呢?请给出最省钱的方案.26. 学校“百变魔方”社团准备购买A ,B 两种魔方,已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.(1)求这两种魔方的单价;(2)结合社员们的需求,社团决定购买A ,B 两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,购进A 种魔方多少个时,两种活动费用相同?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】根据关键语句“若每组7人,余3人”可得方程7y +3−x ;“若每组8人,则缺5人.”可得方程8y−5=x ,联立两个方程可得方程组. 【详解】解:设运动员人数为x 人,组数为y 组,由题意得: 列方程组为7385y x y x -⎧⎨+⎩== 故选D . 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,抓住关键语句,列出方程.2.A解析:A 【分析】设需要剪三角形的卡纸有x 张,剪圆形的卡纸有y 张,根据彩色卡纸的总张数为22张其剪出三角形的数量为圆的2倍,即可得出关于x 、y 的二元一次方程组,此题得解. 【详解】设需要剪三角形的卡纸有x 张,剪圆形的卡纸有y 张,根据题意得:2256x y x y +=⎧⎨=⎩.故选:A . 【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.3.A解析:A 【分析】图2中,第一个方程x 的系数为2,y 的系数为1,相加为11;第二个方程x 的系数为4,y 的系数为3,相加为27,据此解答即可.【详解】解:图2所示的算筹图所表示的方程组是2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩.故选:A . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,读懂题意、明确图1表示方程组的方法是解题关键.4.A解析:A 【分析】由这组公共解与m 无关,所以把两个方程相加变形为:()190,x y m x y +-+--=从而可得答案. 【详解】解:①+②得:9,mx x my y m ++-=+90,mx x my y m ∴++---=()190,x y m x y ∴+-+--=结合题意得:1090x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 解得:54x y =⎧⎨=-⎩,所以这个公共解为54x y =⎧⎨=-⎩.故选A . 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的公共解与字母系数无关的问题,掌握与该字母无关,则含有该字母的项合并后系数为零是解题的关键.5.C解析:C 【分析】先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为11122232773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,然后用“整体代换”法,求出方程组的解即可; 【详解】解:111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,11122232773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩,设3727x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 111222a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩, 方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,∴方程组111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩的解为34t s =⎧⎨=⎩,337247x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩,解得:714x y =⎧⎨=⎩.故选C . 【点睛】此题考查了解二元一次方程组,弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键.6.C解析:C 【解析】 解:325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩①②,①+②得,3x =6a +3,得到:x =2a +1③,把③代入①得,2a +1-y =a +3,解得y =a ﹣2,所以,方程组的解是212x a y a =+⎧⎨=-⎩,∵x >y ,∴2a +1>a ﹣2,解得a >﹣3.∵a >-3,a >m ,∴m ≤-3,故选C .点睛:本题考查的是二元一次方程组的解法,方程组中未知数的系数较小时可用代入法,当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单.7.D解析:D【解析】∵方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 的解是34x y =⎧⎨=⎩,∴111222985985a b c a b c +=⎧⎨+=⎩,两边都除以5得:11122298559855a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 对照方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩可得,方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故选D .【点睛】本题主要考查了方程组的解法,正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键.8.B解析:B【解析】试题分析:根据二元一次方程组的解,可直接代入可得21{22a b b a +=+=,解得1{0a b ==,代入可得m+2016+0=2017,解得m=1. 故选:B.点睛:此题主要考查了二元一次方程组的解,解题关键是把二元一次方程组的解代入原方程组,然后可求出系数a ,b ,再代入即可求解.9.C解析:C 【分析】根据同类项的定义可得关于a 、b 的方程组,解方程组即得答案. 【详解】解:由同类项的定义,得122a b a b -=⎧⎨+=⎩,解得:10a b =⎧⎨=⎩.故选:C . 【点睛】本题考查了同类项的定义和二元一次方程组的解法,属于基本题目,正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键.10.C解析:C【分析】根据解二元一次方程组的方法可以解答本题.【详解】解:125 x yx y+=⎧⎨+=⎩①②②﹣①,得x=4,将x=4代入①,得y=﹣3,故原方程组的解为43 xy=⎧⎨=-⎩,故选:C.【点睛】本题考查了解二元一次方程组,解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法.二、填空题11.【分析】由题意设已购进京式月饼价格2m,剩余资金为n,根据题意列出方程进行解答即可.【详解】解:设已购进京式月饼价格2m,剩余资金为n,由题意可得:可得:①,解得:n=6m,②,可得:解析:3:5【分析】由题意设已购进京式月饼价格2m,剩余资金为n,根据题意列出方程进行解答即可.【详解】解:设已购进京式月饼价格2m,剩余资金为n,由题意可得:可得:①()1429315m n m n +=+,解得:n=6m , ②23a b n +=,可得:a+b=4m , ③1349(2)113m a m b m n m n m +++=+-+=, ④(3m+a ):(4m+b )=9:13, 93135342222m a m a m m b m b m +==+==,,,, ∴a :b=3:5,答:该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是3:5.故答案为:3:5.【点睛】本题考查多次方程问题,解题的关键是根据题意列出多个方程得出其关系式解答.12.【分析】将方程整理成关于m 的一元一次方程,若无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则与m 无关,从而令m 的系数为0,从而得关于x 和y 的二元一次方程组,求解即可.【详解】将(m+1)解析:11x y =-⎧⎨=⎩【分析】将方程整理成关于m 的一元一次方程,若无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,则与m 无关,从而令m 的系数为0,从而得关于x 和y 的二元一次方程组,求解即可.【详解】将(m+1)x+(2m-1)y+2-m=0整理得:mx+x+2my-y+2-m=0,即m (x+2y-1)+x-y+2=0, 因为无论实数m 取何值,此二元一次方程都有一个相同的解,所以21020x yx y+-=⎧⎨-+=⎩,解得:11xy=-⎧⎨=⎩.故答案为:11xy=-⎧⎨=⎩.【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题,解题关键是利用转化思想.13.±3【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值,即可求出所求.【详解】解:把代入方程组得:,①×2-②得:5m=15,解得:m=3,把m=3代入①得:n=2,则m+3n=3+6=9解析:±3【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值,即可求出所求.【详解】解:把21xy=⎧⎨=⎩代入方程组得:2821m nn m+=⎧⎨-=⎩①②,①×2-②得:5m=15,解得:m=3,把m=3代入①得:n=2,则m+3n=3+6=9,9的平方根是±3,故答案为:±3【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,以及平方根,熟练掌握运算法则是解本题的关键.14.62【分析】设购买甲纪念品x件,丙纪念品y件,则购进乙纪念品2y件,根据总价=单价×数量,即可得出关于x,y的二元一次方程,结合x,y均为非负整数,即可求出x,y的值,进而可得出(x+y+2y)解析:62【分析】设购买甲纪念品x件,丙纪念品y件,则购进乙纪念品2y件,根据总价=单价×数量,即可得出关于x,y的二元一次方程,结合x,y均为非负整数,即可求出x,y的值,进而可得出(x+y+2y)的值,取其最大值即可得出答案.【详解】设购买甲纪念品x件,丙纪念品y件,则购进乙纪念品2y件,依题意,得:5x+7×2y+10y=346,∴x=346245y-,∵x,y均为非负整数,∴346﹣24y为5的整数倍,∴y的尾数为4或9,∴504xy=⎧⎨=⎩,269xy=⎧⎨=⎩,214xy=⎧⎨=⎩,∴x+y+2y=62或53或44.∵62>53>44,∴最多可以购买62件纪念品.故答案为:62.【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用,根据题意,求出x,y的非负整数解,是解题的关键.15.①③④【分析】根据题目中的条件代入原来的方程组中,即可判断结论是否成立,从而可以解答本题.【详解】解:当a=1时,,解得:,则,∴①错误;当x与y互为相反数时,,得,∴②正确;解析:①③④【分析】根据题目中的条件代入原来的方程组中,即可判断结论是否成立,从而可以解答本题.【详解】解:当a=1时,08x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得:44x y =⎧⎨=-⎩, 则()448x y -=--=,∴①错误;当x 与y 互为相反数时,01a =-,得1a =,∴②正确;∵135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩,解得:322x a y a =+⎧⎨=--⎩, 则()()223224x y a a +=++--=,∴③正确; ∴()()()21132221122z xy a a a ==+--=-++≤, 即若12z xy =则z 的最大值为1, ∴④正确,综上说述,正确的有:①③④,故答案为: ①③④.【点睛】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解,解答本题的关键是明确题意,可以判断题目中的各个结论是否成立.16.5【分析】设原一等奖平均分为x 分,原二等奖平均分为y 分,原三等奖平均分为z 分,根据总分不变,列出方程,求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数,最后根据调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2解析:5【分析】设原一等奖平均分为x 分,原二等奖平均分为y 分,原三等奖平均分为z 分,根据总分不变,列出方程,求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数,最后根据调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2分列出代数式,即可求出答案.【详解】设原一等奖平均分为x 分,原二等奖平均分为y 分,原三等奖平均分为z 分, 由题意可得:5x+15y+40z=10(x ﹣3)+20(y ﹣2)+30(z ﹣1)①,z=y ﹣7 ②; 由①得:x+y ﹣2z=20 ③,将②代入③得:x+y ﹣2(y ﹣7)=20,解得:x ﹣y=6,即原来一等奖比二等奖平均分多6分,∵调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2分,∴(x ﹣3)﹣(y ﹣2)=(x ﹣y )﹣1=6﹣1=5(分),即调整后一等奖比二等奖平均分数多5分,故答案为:5.【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用.找出等量关系并列出方程是解答本题的关键.17.【分析】本题可设x 道难题,y 道中档题,z 道容易题,因为小明、小林和小颖共解出100道数学题,所以x+y+z=100①,又因每人都解出了其中的60道,只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档解析:【分析】本题可设x 道难题,y 道中档题,z 道容易题,因为小明、小林和小颖共解出100道数学题,所以x+y+z =100①,又因每人都解出了其中的60道,只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,所以有x+2y+3z =180②,①×2-②,得x-z =20,所以难题比容易题多20道.【详解】设x 道难题,y 道中档题,z 道容易题。
七年级初一数学 第八章 二元一次方程组知识点及练习题含答案(1)
一、选择题
1.已知
x,y
满足方程组
x
y
m 4, 5 m,
则无论
m
取何值,x,y
恒有的关系式是(
)
A. x y 1
B. x y 1
C. x y 9
D. x y 9
2.已知|x+y-1|+(x-y+3)2=0,则(x+y)2019 的值是( )
籍若干本,用去 6138 元.其中 A、B 的数量分别与甲、乙的数量相等,且甲种书与 B 种书的
单价相同,乙种书与 A 种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多 7 元,则甲种书籍
比乙种书籍多买了_____________本.
17. a
与b
互为相反数,且
ab
4 ,那么
a ab 1 a2 ab 1
ax 3x
y4 by 4
的解是
x
y
2 2
,则
a
b
的值是(
)
A.1
B.2
C.﹣1
D.0
6.如图,已知直线 AB、CD 被直线 AC 所截,AB∥ CD,E 是平面内任意一点(点 E 不在直
线 AB、CD、AC 上),设∠ BAE=α,∠ DCE=β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③β﹣α,
④360°﹣α﹣β,∠ AEC 的度数可能是( )
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路:
3m 2n 7k 4 甲同学:先解关于 m,n 的方程组 2m 3n 2 ,再求 k 的值;
乙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求 k 的值;
丙同学:先解方程组
七年级数学下册第八章二元一次方程组必考知识点归纳(带答案)
七年级数学下册第八章二元一次方程组必考知识点归纳单选题1、方程x −y =−2与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为{x =2y =4,那么这个方程可以是( ) A .3x −4y =16B .4x −y =−2C .14x +y =0D .2(x +y )=6x答案:D分析:根据方程组的解的定义及二元一次方程组的定义求解.解:把方程组的解代入A ,左边=6−16=−10≠16,故不是A 的解;B 是分式方程,不是二元一次方程,故排除B ;把方程组的解代入C ,左边=12+4≠0,故不是C 的解; 把方程组的解代入D ,左边=2(2+4)=12,右边=12,故是D 的解;故选:D .小提示:本题考查了二元一次方程组的解,代入验证是解题的关键.2、如图,AB ⊥BC ,∠ABC 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°,设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x °,y °,那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是( ).A .{x +y =90x =y −15B .{x +y =90x =2y +15C .{x +y =90x =15−2yD .{x +y =90x =2y −15答案:A分析:此题中的等量关系有:∠ABD +∠DBC =90°,∠ABC =2∠DBC −15° ,根据等量关系列出方程即可.设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x °,y °,则有{x +y =90x +y =2y −15整理得:{x +y =90x =y −15, 故选:A .小提示:本题考查了二元一次方程组的应用,根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组.3、解方程组{2x +3y =5①x −2y =−1②时,经过下列步骤,能消去末知数y 的是( ) A .①×2−②×3B .①×3−②×2C .①×3+②×2D .①×2+②×3答案:D分析:由消去未知数y ,可得方程组中y 的未知数系数化为绝对值相等,符号相反,①×2+②×3可消去y . 解:∵消去未知数y ,解方程组{2x +3y =5①x −2y =−1②中y 的未知数系数化为绝对值相等,符号相反, ∴①×2+②×3可消去y .故选:D小提示:本题考查二元一次方程组加减消元法,关键是化某一未知数系数化为绝对值相等,系数相同用减法,系数相反用加法.4、若√a +b −5+|3a −b +1|=0,则√ab 的负倒数是( )A .2B .-2C .12D .−12 答案:D分析:根据绝对值和算术平方根的非负性,得到关于a ,b 的二元一次方程组,然后求解即可.解:∵√a +b −5+|3a −b +1|=0∴a +b −5=0,3a −b +1=0即{a +b −5=03a −b +1=0 ,化简可得{a +b =5 ①3a −b =−1 ②①+②得:4a =4,解得a =1将a =1代入①得,1+b =5,解得b =4∴√ab =√4=2∴√ab 的负倒数是−12故选:D小提示:此题考查了二元一次方程组的求解,涉及了绝对值和算术平方根的非负性,算术平方根的求解以及倒数的概念,解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解.5、甲乙两辆小车同时从A地开出,甲车比乙车每小时快10km,结果甲车行驶了40分钟到达了B地,而乙车比甲车晚5分钟到达B地,设甲车和乙车的速度分别为x km/h,y km/h,则下列方程组正确的是()A.{40x=45yy−x=10B.{4060x=4560yx−y=10C.{40x=35yx−y=10D.{4060x=3560yy−x=10答案:B分析:根据甲车比乙车每小时快10km,得x-y=10,根据甲车行驶了40分钟到达了B地,而乙车比甲车晚5分钟到达B地,得4060x=4560y,由此得到方程组.解:设甲车和乙车的速度分别为x km/h,y km/h,根据甲车比乙车每小时快10km,得x-y=10,根据甲车行驶了40分钟到达了B地,而乙车比甲车晚5分钟到达B地,得4060x=4560y,故选:B.小提示:此题考查了二元一次方程组的实际应用,正确理解题意是列得方程组的关键.6、一个两位数,若交换其个位数与十位数的位置,则所得新两位数比原两位数大9,则这样的两位数共有()A.5个B.6个C.7个D.8个答案:D分析:设原来的两位数为10a+b,则新两位数为10b+a,根据新两位数比原两位数大9,列出方程,找出符合题意的解即可.解:设原来的两位数为10a+b,根据题意得:10a+b+9=10b+a,解得:b=a+1,因为可取1到8个数,所以这两位数共有8个,它们分别,12,23,34,45,56,67,78,89,都是个位数字比十位数字大1的两位数.故选:D.小提示:本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键是弄清题意,找合适的等量关系,列出方程,再求解,弄清两位数的表示是:10×十位上的数+个位上的数,注意不要漏数.7、一个三角形三条边长的比是2:4:5,最长的边比最短的边长6cm,这个三角形的周长为().A.20cm B.21cm C.22cm D.20cm或22cm答案:C分析:设三角形三边分别为2xcm、4xcm、5xcm,由最长边比最短边长6cm,列方程即可求解.解:设三角形三边分别为2xcm、4xcm、5xcm.则:5x-2x=6,解得:x=2,∴三角形三边分别为4cm、8cm、10cm,∴这个三角形的周长为22cm.故选:C.小提示:本题考查了一元一次方程的应用及三角形的知识,解题的关键是根据三角形的三边的比设出三边的长,难度不大.8、春节将至,某超市准备用价格分别是36元/kg和20元/kg的两种糖果混合成100kg的什锦糖出售,混合后什锦糖的价格是28元/kg.若设需要36元/kg的糖果x kg,20元/kg的糖果y kg,则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是()A.{x+y=10036x+20y=28B.{x+y=10036x+20y=28×100C.{x+y=10028x+28y=100×(36+20)D.{x+y=10020x+36y=28×100答案:B分析:由题意得等量关系:两种糖果混合成100kg的什锦糖;36元/kg的糖果x kg的费用+20元/kg的糖果y kg 的费用=100kg×28,即可得出方程组.解:设需要36元/kg的糖果x kg,20元/kg的糖果y kg,由题意得:{x+y=10036x+20y=28×100故选:B .小提示:此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系.9、下列四对数中,是方程组{4x =y +2y−134x =10−y+34的解是( ) A .{x =−2y =5 B .{x =−2y =−5 C .{x =2y =−5 D .{x =2y =5答案:D分析:利用加减消元法解方程组即可得答案.{4x =y +2y −13①4x =10−y +34② ①-②得:y +2y−13−(10−y+34)=0,去分母得:12y +8y −4−120+3y +9=0,解得:y =5,把y =5代入①得:4x =5+2×5−13, 解得:x =2,∴方程组{4x =y +2y−134x =10−y+34 的解是{x =2y =5 , 故选:D .小提示:本题考查解二元一次方程组,二元一次方程组的常用方法有:加减消元法和代入消元法,熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键.10、一副三角板按如图方式摆放,且∠1的度数比∠2的度数大50°,若设∠1=x °,∠2=y °,则可得到方程组为( )A .{x =y −50x +y =180B .{x =y +50x +y =180C .{x =y +50x +y =90D .{x =y −50x +y =90答案:C根据平角和直角定义,得方程x +y =90;根据∠1比∠2的度数大50°,得方程x =y +50.可列方程组为{x =y +50x +y =90, 故选C .小提示:考点:1.由实际问题抽象出二元一次方程组;2.余角和补角.填空题11、某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学,花费48元钱购买了甲、乙两种奖品,每种奖品至少购买1件,其中甲种奖品每件4元,乙种奖品每件3元,则有______种购买方案.答案:3##三分析:设购买甲种奖品x 件,乙种奖品y 件,列出关系式,并求出x =12−3y 4,由于x ≥1,y ≥1且x ,y 都是正整数,所以y 是4的整数倍,由此计算即可.解:设:购买甲种奖品x 件,乙种奖品y 件,4x +3y =48,解得x =12−3y 4,∵x ≥1,y ≥1且x ,y 都是正整数,∴y 是4的整数倍,∴y =4时,x =12−3×44=9, y =8时,x =12−3×84=6,y =12时,x =12−3×124=3, y =16时,x =12−3×164=0,不符合题意,故有3种购买方案,所以答案是:3.小提示:本题考查列关系式,根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键.12、已知x 、y 满足方程组{3x +y =2021x +3y =2022,则x −y =______. 答案:−12##﹣0.5分析:方程组两方程相减得2x -2y =﹣1,两边同除以2得出x ﹣y 即可.解:{3x +y =2021①x +3y =2022② ①-②得,2x -2y =﹣1,两边同除以2得,x -y =−12, 所以答案是:−12 小提示:此题考查了二元一次方程组,整体法的应用是求解此题的关键.13、某中学为积极开展校园足球运动,计划购买A 和B 两种品牌的足球,已知一个A 品牌足球价格为120元,一个B 品牌足球价格为150元.学校准备用3000元购买这两种足球(两种足球都买),并且3000元全部用完,请写出一种购买方案:买_______个A 品牌足球,买________个B 品牌足球.答案: 10 12分析:设买x 个A 品牌足球,买y 个B 品牌足球,根据题意列出二元一次方程,根据整数解确定x,y 的值即可求解.解:设买x 个A 品牌足球,买y 个B 品牌足球,根据题意得,120x +150y =3000,整理得:y =20−45x ,∵ x ,y 是正整数,∴ x 是5的倍数,∴{x =5y =16 ,{x =10y =12 ,{x =15y =8,{x =20y =4 . 所以答案是:10,12(答案不唯一).小提示:本题考查了二元一次方程的应用,整除,根据题意列出方程是解题的关键.14、已知方程组{2x −y =5x +y =1,则x −2y 的值为______. 答案:4分析:方程组中的两个方程相减,即可得出答案.解:{2x −y =5①x +y =1②, ①﹣②得:x −2y =4,所以答案是:4.小提示:本题考查了解二元一次方程组,能选择适当的方法求出结果是解此题的关键.15、如图是一个正方体的展开图,正方体相对面的数字或代数式互为相反数,则x 的值为______,y 的值为______.答案: 2 −12##-0.5分析:根据相对面的数字或代数式互为相反数得到方程组{x +4y =02x −1=3,求出x 和y 的值. 解:根据题意得{x +4y =02x −1=3, 解得{x =2y =−12,故答案为2,−12 .小提示:本题考查正方体的展开图以及解二元一次方程组,注意相隔的面是相对的面.解答题16、学校举办“艺术周”创意设计展览,如图,现有一个大正方形和四个一样的小正方形,小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1,图2,图3三种图案:(1)根据图1,图2中所标数据,求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米?(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形,求阴影部分的面积.答案:(1)大正方形边长12cm ,小正方形边长4 cm(2)8513 分析:(1)设大正方形和小正方形的边长分别是x cm 和y cm ,根据题意列方程组即可得到结论;(2)设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为a cm ,根据题意列方程得到a =43,根据正方形的面积公式即可得到结论.(1)设大正方形边长x cm ,小正方形边长y cm ,依题意得{x +2y =20x −2y =4, 解得{x =12y =4, 答:大正方形和小正方形的边长分别是12cm 和4cm ;(2)设有重叠的小正方形边长a cm ,依题意得3(4−a )+4=12,解得a =43,∴阴影面积=122−4×42+3×(43)2=8513.小提示:本题考查了二元一次方程组的应用,正方形的面积的计算,正确的识别图形是解题的关键.17、滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:6千米与8.5千米,两人付给滴滴快车的乘车费相同(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟;(2)实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟,计算两人各自的实际乘车时间.答案:(1)这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟.(2)小王的实际乘车时间为37分钟,小张的实际乘车时间为18分钟.分析:(1)设小王实际乘车时间为x分钟,小张乘车时间为y分钟,由题意列出方程解出关系式即可;(2)由题意列出方程,再与(1)中关系式组合成方程组,解出即可.(1)设小王乘坐的滴滴快车的实际行车时间为x分钟,小张乘坐的滴滴快车的实际行车时间为y分钟,由题意,得:1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×(8.5−7),∴10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3(x−y)=5.7,∴x−y=19.答:这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟.(2)由(1)及题意,得{x−y=191.5y=12x+8.5,化简得{x −y =19①3y −x =17②①+②得2y =36,解得y =18.③将③代入①,得x =37.答:小王的实际乘车时间为37分钟,小张的实际乘车时间为18分钟.小提示:本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出关系式.18、重庆某超市有A ,B 两种产品进行销售,购买50件A 产品,30件B 产品,一共花费1450元,如果购买60件A 产品,10件B 产品,则一共花费1350元.(1)请问A 、B 两种产品的单价为多少元?(2)五一即将来临,超市分别针对A 、B 商品进行打折销售.购买A 种商品数量超过20的每件商品打八折销售;购买B 种品数超过30的每件商品打六折销售.小红去超市购买A ,B 两种产品54件,一共花费了640元,请问小红分别购买A 、B 两种产品多少件?答案:(1)A 种产品的单价为20元、B 种产品的单价为15元(2)小红购买A 种产品为22件、B 种产品的32件或小红购买A 种产品为14件、B 种产品的40件分析:(1)设A 种产品的单价为x 元、B 种产品的单价为y 元,由题意列出方程组,解方程组即可;(2)设购买A 种产品为m 件、B 种产品的n 件,由题意列出方程组,解方程组解可.(1)解:设A 种产品的单价为x 元、B 种产品的单价为y 元,由题意得:{50x +30y =145060x +10y =1350, 解得{x =20y =15. 答:A 种产品的单价为20元、B 种产品的单价为15元.(2)解:设购买A 种产品为m 件、B 种产品的n 件,①购买A 种商品数量超过20件,购买B 种品数超过30件,由题意得:{m +n =5420×0.8m +15×0.6n =640, 解得:{m =22n =32;②购买A 种商品数量超过20件,购买B 种品数不超过30件,由题意得:{m +n =5420×0.8m +15n =640, 解得:{m =−170n =224, 不合题意舍去,③购买A 种商品数量不超过20件,购买B 种品数超过30件,由题意得:{m +n =5420m +15×0.6n =640, 解得:{m =14n =40, 答:小红购买A 种产品为22件、B 种产品的32件或小红购买A 种产品为14件、B 种产品的40件.小提示:此题考查了二元一次方程组的应用,解答此类应用类题目的关键是仔细审题,得出等量关系,从而转化为方程解题,难度一般,第二问需要分类讨论,注意不要遗漏.。
数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案(1)
21.阅读下列文字,请仔细体会其中加减消元法,很快可以求得此方程组的解为;
(2)如何解方程组 呢?我们可以把m+5,n+3看成一个整体,设m+5=x,n+3=y,很快可以求出原方程组的解为;
(3)由此请你解决下列问题:
A.方程 不是二元一次方程
B.任何一个二元一次方程都只有一个解
C.方程 有无数个解,任何一对x、y都是该方程的解
D. 既是方程 的解也是方程 的解
7.《九章算术》中,一次方程组是由算筹布置而成的.如图1所示的算筹图,表示的方程组就是 ,类似地,图2所示的算筹图表示的方程组为( )
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
5.《九章算术》中记载:“今有共买鸡,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、鸡价各几何?”译文:“今天有几个人共同买鸡,每人出8钱,多余3钱,每人出7钱,还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少?”设人数有x人,鸡的价钱是y钱,可列方程组为().
A. B. C. D.
6.下列判断中,正确的是()
A.(5,44)B.(4,44)C.(4,45)D.(5,45)
10.《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?”如果设木条长 尺,绳子长 尺,根据题意列方程组正确的是()
13.中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤.”大意为:“一群人分银子,若每人分七两,则剩余四两;若每人分九两,则还差八两,问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语)设共有x人,所分银子共有y两,则所列方程组为_____________
中考数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案
中考数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案一、选择题1.用“代入法”将方程组7317x y x y +=⎧⎨+=⎩中的未知数y 消去后,得到的方程是( )A .3(7)17y y -+=B .3(7)17x x +-=C .210x =D .(317)7x x +-=2.把方程23x y -=改写成用含x 的式子表示y 的形式,正确的是( ) A .23x y =+B .32y x +=C .23y x =-D .32y x =-3.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何”.意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?设1个大桶盛酒x 斛,1个小桶盛酒y 斛,下列方程组正确的是( ). A .5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B .5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C .53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D .35251x y x y +=⎧⎨+=⎩4.下列方程组中是二元一次方程组的是( )A .12xy x y =⎧⎨+=⎩B .52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩C .20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D .5723z z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩5.用一块A 型钢板可制成2块C 型钢板、3块D 型钢板;用一块B 型钢板可制成1块C 型钢板、4块D 型钢板.某工厂现需14块C 型钢板、36块D 型钢板,设恰好用A 型钢板x 块,B 型钢板y 块,根据题意,则下列方程组正确的是( )A .2143436x y x y +=⎧⎨+=⎩B .3214436x y x y +=⎧⎨+=⎩C .2314436x y x y +=⎧⎨+=⎩D .2144336x y x y +=⎧⎨+=⎩6.购买甲、乙两种笔记本共用70元.若甲种笔记本单价为5元,乙种笔记本单价为15元,且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍,则购笔记本的方案有( ) A .2种B .3种C .4种D .5种7.巴广高速公路在5月10日正式通车,从巴中到广元全长约为126km .一辆小汽车,一辆货车同时从巴中,广元两地相向开出,经过45分钟相遇,相遇时小汽车比货车多行6km ,设小汽车和货车的速度分别为xkm /h ,ykm /h ,则下列方程组正确的是( )A .()()45126456x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B .()312646x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C .()()31264456x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩D .()()31264364x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩8.把某一段公路的一侧全部栽上银杏树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x 棵,公路长为y 米.根据题意,下面所列方程组中正确的是( ) A .6(1)5(211)y x x y =-⎧⎨+-=⎩B .6(1)5(21)y x x y =-⎧⎨+=⎩C .65(211)y xx y =⎧⎨+-=⎩D .65(21)y xx y =⎧⎨+=⎩9.若关于x ,y 的二元一次方程组432x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2310x y +=的解,则x y -的值为( ) A .2B .10C .2-D .410.有若干只鸡和兔关在一个笼子里,从上面数,有30个头,从下面数,有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔?若设笼中有x 只鸡,y 只兔,则列出的方程组为( )A .30284x y x y +=⎧⎨+=⎩B .302484x y x y +=⎧⎨+=⎩C .304284x y x y +=⎧⎨+=⎩D .30284x y x y +=⎧⎨+=⎩二、填空题11.方程组251036238x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组(填“是”或“不是”).12.方程组31810x y z x y x y z =+⎧⎪+=⎨⎪++=⎩的解是________.13.甲乙两人共同解方程组515(1)42(2)ax y x by +=⎧⎨-=-⎩,由于甲看错了方程(1)中的a ,得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错了方程(2)中的b ,得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩;计算20192018110ab ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭________.14.方程组1111121132x y x z y z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩的解为______.15.中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤.”大意为:“一群人分银子,若每人分七两,则剩余四两;若每人分九两,则还差八两,问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语)设共有x 人,所分银子共有y 两,则所列方程组为_____________16.在精准扶贫的过程中,某驻村服务队结合当地高山地形,决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人,经过一段时间,该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5,是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量,将在该村余下土地上继续种植这三种中药材,经测算需将余下土地面积的916种植黄连,则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的1940.为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4,则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____.17.国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡,游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查(每名游客都填了调査表,且只选了一个景点),統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名.其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人;选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多,且为整数倍;选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍;选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人.则该旅行团共有_______人. 18.已知三个方程构成的方程组230xy y x --=,350yz z y --=,520xz x z --=,恰有一组非零解x a =,y b =,z c =,则222a b c ++=________.19.关于x ,y 的二元一次方程组5323x y x y a +=⎧⎨+=⎩的解是正整数,试确定整数a 的值为_________________.20.若关于x 、y 的二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩,则关于x 、y 的二元一次方程组3()()162()()15x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩的解是__.三、解答题21.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元;购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元. (1)求A ,B 两种奖品的单价;(2)学校准备购买A ,B 两种奖品共30个,且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.22.对x ,y 定义一种新运算T ,规定()22,ax byT x y a y+=+(其中a ,b 是非零常数且0x y +≠),这里等式右边是通常的四则运算.如:()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==+,()24,22am bT m m +-=-. (1)填空:()4,1T =_____(用含a ,b 的代数式表示); (2)若()2,02T -=-且()5,16T -=. ①求a 与b 的值;②若()()310,33,310T m m T m m --=--,求m 的值.23.为了拉动内需,全国各地汽车购置税补贴活动正式开始.重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV 汽车SC35的手动型和自动型共960台,政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台,其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.(1)在政策出台前一个月,销售的手动型和自动型汽车分别为多少台;(2)若手动型汽车每台价格为9万元,自动型汽车每台价格为10万元.根据汽车补贴政策,政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴,问政策出台后的第一个月,政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元.24.如图,//CD EF ,AE 是CAB ∠的平分线,α∠和β∠的度数满足方程组2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩,(1)求α∠和β∠的度数; (2)求证://AB CD . (3)求C ∠的度数.25.某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元,销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元.(1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台,其中A 型电脑的进货量不少于14台,B型电的进货量不少于A 型电脑的2倍,那么该商店有几种进货方案?该商场购进A 型、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对A 型电脑出厂价下调m (0<m <100)元,若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这50台电脑销售总利润最大的进货方案.26.(1)阅读下列材料并填空:对于二元一次方程组4354{336x y x y +=+=,我们可以将x ,y 的系数和相应的常数项排成一个数表4354()1336,求得的一次方程组的解{x a y b== ,用数表可表示为10)01ab (.用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下,请补全其中的空白:从而得到该方程组的解为x= ,y= .(2)仿照(1)中数表的书写格式写出解方程组236{2x y x y +=+=的过程.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】第一个式子中用x 表示y ,代入到第二个式子中即可. 【详解】 解:7317x y x y +=⎧⎨+=⎩①②由①得7y x =-③,将③代入②中得3(7)17x x +-=, 故选:B . 【点睛】本题考查代入消元法解一元二次方程.熟练掌握代入消元法解一元二次方程的一般步骤是解题关键.解析:C【分析】将x看做常数移项求出y即可得.【详解】由2x-y=3知2x-3=y,即y=2x-3,故选C.【点睛】此题考查了解二元一次方程,解题的关键是将x看做已知数求出y.3.A解析:A【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,∴5x+y=3,∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛,∴x+5y=2,∴得到方程组5352 x yx y+=⎧⎨+=⎩,故选:A.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用,正确理解题意是解题的关键.4.D解析:D【分析】含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数是1的整式方程组是二元一次方程组,根据定义解答.【详解】A、B、C都不是二元一次方程组,D符合二元一次方程组的定义,故选:D.【点睛】此题考查二元一次方程组的定义,正确理解定义并运用解题是关键.5.A解析:A【分析】根据“用一块A型钢板可制成2块C型钢板、3块D型钢板;一块B型钢板可制成1块C 型钢板、4块D型钢板及A、B型钢板的总数”可得设恰好用A型钢板x块,B型钢板y块,根据题意,得:214 3436 x yx y+=⎧⎨+=⎩,故选:A.【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系.6.A解析:A【解析】【分析】设购买甲种笔记本x个,则乙种笔记本y个,利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到x=14-3y,利用143yy-=14y–3为整数可判断y=1,2,7,14,然后求出对应x的值从而得到购笔记本的方案.【详解】设购买甲种笔记本x个,购买乙种笔记本y个,根据题意得5x+15y=70,则x=14–3y,因为143yy-为整数,而143yy-=14y–3,所以y=1,2,7,14,当y=1时,x=11;当y=2时,x=4;y=7和y=14舍去,所以购笔记本的方案有2种.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程的解,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系,特别是确定甲种笔记本数量和乙种笔记本数量关系,然后利用整除性确定方案.7.D解析:D【解析】设小汽车的速度为xkm/h,则45分钟小汽车行进的路程为34xkm;设货车的速度为ykm/h,则45分钟货车行进的路程为34ykm.由两车起初相距126km,则可得出34(x+y)=126;又由相遇时小汽车比货车多行6km ,则可得出34(x-y )=6.可得出方程组31264364x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩()(). 故选:D .点睛:学生在分析解答此题时需注意弄清题意,明白所要考查的要点.另外,还需注意单位的换算,避免粗心造成失误.8.A解析:A 【分析】设原有树苗x 棵,公路长为y 米,由栽树问题“栽树的棵数=分得的段数+1”,建立方程组即可. 【详解】设原有树苗x 棵,公路长为y 米,由题意,得6(1)5(211)y x x y =-⎧⎨+-=⎩,故选:A . 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.关键是找出题目中的相等关系,有的题目所含的等量关系比较隐藏,要注意仔细审题,耐心寻找.9.D解析:D 【分析】把k 看做已知数求出x 与y ,代入已知方程计算即可求出k 的值,从而求得x y -的值. 【详解】432x y k x y k +=⎧⎨-=⎩①②, ①-②得:5ky =, 把5k y =代入②得:115k x =, 把115k x =,5ky =代入2310x y +=,得:11231055k k ⨯+⨯= 解得:2k =, ∴225x =,25y =,∴222455x y-=-=.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解,以及二元一次方程的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.10.B解析:B【分析】设这个笼中的鸡有x只,兔有y只,根据“从上面数,有30个头;从下面数,有84条腿”列出方程组即可.【详解】解:若设笼中有x只鸡,y只兔,根据题意可得:30 2484 x yx y+=⎧⎨+=⎩,故选:B.【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用;根据题意列出方程组是解决问题的关键.二、填空题11.是【分析】根据三元一次方程组的定义可知,由两个或两个以上方程组成,该如果方程组内含有三个未知数,且未知数的次数都是一次的,就是三元一次方程组,由此判断作答即可.【详解】解:如果方程组中含有三解析:是【分析】根据三元一次方程组的定义可知,由两个或两个以上方程组成,该如果方程组内含有三个未知数,且未知数的次数都是一次的,就是三元一次方程组,由此判断作答即可.【详解】解:如果方程组中含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是一,并且方程组中一共有两个或两个以上的方程,这样的方程组叫做三元一次方程组.所以251036238x y zx z⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩是三元一次方程组;故填:是.【点睛】本题主要考查三元一次方程组的定义.12.【分析】①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可. 【详解】 解:①+③解得:2x=10,即x=5; 将x=5代入②得y=3; 将x=5,y=3代解析:532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【分析】①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可. 【详解】解:31810x y z x y x y z =+⎧⎪+=⎨⎪++=⎩①②③①+③解得:2x=10,即x=5; 将x=5代入②得y=3; 将x=5,y=3代入③可得z=2.故答案为532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.【点睛】本题考查了解三元一次方程组,观察方程组、寻找各方程的特点、运用整体思想代入消元是解答本题的关键.13.0 【分析】根据题意,将代入方程(2)可得出b 的值,代入方程(1)可得出a 的值,将a 与b 的值代入所求式子即可得出结果. 【详解】解:根据题意,将代入方程组中的4x-by=-2得:-12+b=-2解析:0 【分析】根据题意,将31xy=-⎧⎨=-⎩代入方程(2)可得出b的值,54xy=⎧⎨=⎩代入方程(1)可得出a的值,将a与b的值代入所求式子即可得出结果.【详解】解:根据题意,将31xy=-⎧⎨=-⎩代入方程组中的4x-by=-2得:-12+b=-2,即b=10;将54xy=⎧⎨=⎩代入方程组中的ax+5y=15得:5a+20=15,即a=-1,∴20192018110a b⎛⎫+-⎪⎝⎭=1-1=0.故答案为:0.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解为能使方程组中两方程成立的未知数的值.14.【分析】先将三个方程依次标号,然后相加可得④,由④-①,④-②,④-③即可得出答案.【详解】解:由方程组,可得:,所以④,由可得:,由可得:,由可得综上所述方程组的解是.【点睛】解析:43445 xyz⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩【分析】先将三个方程依次标号,然后相加可得11194x y z++=④,由④-①,④-②,④-③即可得出答案.【详解】解:由方程组1111121132x y x zy z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③,++①②③可得:111922x y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 所以11194x y z ++=④, 由-④①可得:154,45z z =∴=,由-④②可得:11,44y y =∴=,由-④③可得13,4x = 43x ∴= 综上所述方程组的解是43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩.【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法,利用加减消元的思想是解题的关键.15.【解析】【分析】题中涉及两个未知数:共有x 人,所分银子共有y 两;两组条件:每人分七两,则剩余四两;每人分九两,则还差八两;列出二元一次方程组即可.【详解】两组条件:每人分七两,则剩余四两;解析:7498x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】【分析】题中涉及两个未知数:共有x 人,所分银子共有y 两;两组条件:每人分七两,则剩余四两;每人分九两,则还差八两;列出二元一次方程组即可.【详解】两组条件:每人分七两,则剩余四两;每人分九两,则还差八两;解:7498x y x y +=⎧⎨-=⎩【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,找到等量关系,列方程组是解答本题的关键. 16.3:20【解析】【分析】设该村已种药材面积x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),川香已种植面积x、贝母已种植面积x、黄连已种植面积x,依题意列出方程组,用y的代数解析:3:20【解析】【分析】设该村已种药材面积x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),川香已种植面积13x、贝母已种植面积14x、黄连已种植面积512x,依题意列出方程组,用y的代数式分别表示x、y,然后进行计算即可.【详解】解:设该村已种药材面积x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),川香已种植面积13x、贝母已种植面积14x、黄连已种植面积512x依题意可得,5919()121640191:3:4 3164x y x yx y y z x z⎧+=+⎪⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪+--+=⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩①②由①得32x y =③将③代入②得38 z y =∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=3383202yzx y y y==++故答案为3:20.【点睛】本题考查了三元一次方程组,正确找出等量关系并列出方程是解题的关键17.48【分析】设选洪崖洞的有a人,选长江索道的有b人,选李子坝轻轨站的有c人,选磁器口的有d人,根据题意可列出4个方程,然后整理得到不含c的两个方程,再分情况讨论整数倍x的值,得到符合题意的解即可解析:48【分析】设选洪崖洞的有a 人,选长江索道的有b 人,选李子坝轻轨站的有c 人,选磁器口的有d 人,根据题意可列出4个方程,然后整理得到不含c 的两个方程,再分情况讨论整数倍x 的值,得到符合题意的解即可.【详解】解:设选洪崖洞的有a 人,选长江索道的有b 人,选李子坝轻轨站的有c 人,选磁器口的有d 人,根据题意可列方程:c=d ﹣8,a=xd (x >1,且为整数),d+a=5(b+c ),b+a=c+d+24,整理可得:283727d b a b=-⎧⎨=-⎩, 当x=2时,解得b=16,d=﹣20,不符合题意,舍去;当x=3时,解得b=6,d=10,a=30,c=2,则旅行团共有6+10+30+2=48人;当x >3时,求得的b 均为负数,不符合题意.故答案为48.【点睛】本题主要考查列方程,解多元一次方程,解此题的关键在于根据题意准确列出方程. 18.152【解析】【分析】先把xy-2y-3x=0,yz-3z-5y=0,xz-5x-2z=0建立三元方程组,再利用代入法求出x ,y ,z 的值,再根据x=a ,y=b ,z=c 求出a2+b2+c2的值.解析:152【解析】【分析】先把xy-2y-3x=0,yz-3z-5y=0,xz-5x-2z=0建立三元方程组,再利用代入法求出x ,y ,z 的值,再根据x=a ,y=b ,z=c 求出a 2+b 2+c 2的值.【详解】xy 2y 3x 0--=,yz 3z 5y 0--=,xz 5x 2z 0--=组成方程组得230350520xy y x yz z y xz x z --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩①②③,由①得:x=23yy-④,把④代入③整理得:-10y+6z=0,∴z=53y,把z=53y代入②得:253y-5y-5y=0,解得:y1=0 (舍去),y2=6,∴z=53×6=10,x=2663⨯-=4,又∵x=a,y=b,z=c,∴a2+b2+c2=x2+y2+z2=42+62+102=16+36+100=152,故答案为152.【点睛】本题考查了解三元方程组;解题的关键是通过建立三元方程组,再运用代入法进行消元求出方程组的解.19.7或5【解析】分析:首先用含a的代数式分别表示x,y,再根据条件二元一次方程组的解为正整数,得到关于a的不等式组,求出a的取值范围,再根据a为整数确定a 的值.详解:①-②×3,得2x=2解析:7或5【解析】分析:首先用含a的代数式分别表示x,y,再根据条件二元一次方程组的解为正整数,得到关于a的不等式组,求出a的取值范围,再根据a为整数确定a的值.详解:5323x yx y a+=⎧⎨+=⎩①②①-②×3,得2x=23-3a解得x=2332a-把x=2332a-代入②得y=5232a-∵关于x ,y 的二元一次方程组5323x y x y a +=⎧⎨+=⎩的解是正整数 ∴2332a ->0,5232a ->0 解得232353a << 即a=5、6、7∵x 、y 为正整数∴a 为5或7.故答案为:5或7.点睛:本题考查了二元一次方程组的解,解二元一次方程组,解一元一次方程的应用,关键是能根据题意得出关于a 的方程.20.【解析】分析:令x+y=a ,x-y=b ,根据已知,比较后得出a ,b 的值,从而得出结论. .详解:令x+y=a ,x-y=b ,则关于x 、y 的二元一次方程组变为:.∵二元一次方程组的解是,解析:52x y =⎧⎨=⎩【解析】分析:令x +y =a ,x -y =b ,根据已知,比较后得出a ,b 的值,从而得出结论. .详解:令x +y =a ,x -y =b ,则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩()()()()变为:316215a mb a nb +=⎧⎨+=⎩.∵二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩,∴73a b =⎧⎨=⎩,∴73x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得:52x y =⎧⎨=⎩. 点睛:本题主要考查二元一次方程组的解法,关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法,本题要注意整体思想的运用.三、解答题21.(1)A 的单价30元,B 的单价15元(2)购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少【分析】(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意列出方程组3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩,即可求解;(2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为(30)z -个,购买奖品的花费为W 元,根据题意得到由题意可知,1(30)3z z ≥-,3015(30)45015W z z z =+-=+,根据一次函数的性质,即可求解;【详解】解:(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意,得 3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩, 3015x y =⎧∴⎨=⎩, ∴A 的单价30元,B 的单价15元;(2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为(30)z -个,购买奖品的花费为W 元, 由题意可知,1(30)3z z ≥-, 152z ∴≥, 3015(30)45015W z z z =+-=+,当=8z 时,W 有最小值为570元,即购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少;【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,一次函数的应用;能够根据条件列出方程组,将最优方案转化为一次函数性质解题是关键.22.(1)163a b +;(2)①11a b =⎧⎨=-⎩;②53m = 【分析】(1)把(4,-1)代入新运算中,计算得结果;(2)①根据新运算规定和T (-2,0)=-2且T (5,-1)=6,得关于a 、b 的方程组,解方程组即可;②把①中求得的a 、b 代入新运算,并对新运算进行化简,根据T (3m-10,m )=T (m ,3m-10)得关于m 的方程,求解即可.【详解】 解:(1)224(1)16(4,1)413a b a b T ⨯+⨯-+-==-; 故答案为:163a b +; (2)①∵()2,02T -=-且()5,16T -=,∴42,225 6.4a ab ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩ 解得:1,1.a b =⎧⎨=-⎩②∵a=1,b=1-,且x+y≠0, ∴22()()(,)x y x y x y T x y x y x y x y -+-===-++.∴()310,33103610T m m m m m --=-+=-,()3,3103310610T m m m m m --=--+=-+∵()()310,33,310T m m T m m --=--,∴610610m m -=-+, 解得:53m =. 【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识,理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键23.(1)手动型汽车560台,自动型汽车400台;(2)577.6万元.【分析】(1)根据题意设在政策出台前一个月,销售的手动型汽车x 台,自动型汽车y 台,根据政策出台前一个月及出台后的第一月销售量,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)由题意根据总价=单价×数量结合政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴,即可求出结论.【详解】解:(1)设在政策出台前一个月,销售的手动型汽车x 台,自动型汽车y 台, 依题意,得:()()960130%125%1228x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩, 解得:560400x y =⎧⎨=⎩. 答:在政策出台前一个月,销售的手动型汽车560台,自动型汽车400台.(2)[560×(1+30%)×9+400×(1+25%)×10]×5%=577.6(万元).答:政府对这1228台汽车用户共补贴了577.6万元.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.24.(1)α∠和β∠的度数分别为70︒和110︒;(2)见解析;(3)40C ∠=︒【分析】根据2250(1)3100(2)αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩,解二元一次方程组,求出α∠和β∠的度数;根据平行线判定定理,判定//AB CD ;由“AE 是CAB ∠的平分线”:2CAB α∴∠=∠,再根据平行线判定定理,求出C ∠的度数.【详解】解:(1)①+②,得5350α∠=︒,70α∴∠=︒,代入①得110β∠=︒α∴∠和β∠的度数分别为70︒和110︒.(2)180αβ∠+∠=︒//AB EF ∴//CD EF ,//AB CD ∴(3)AE ∵是CAB ∠的平分线2140CAB α∴∠=∠=︒//AB CD ,180C CAB ∴∠+∠=︒40C ∴∠=︒【点睛】本题运用二元一次方程组给出已知条件,熟练掌握二元一次方程组的解法以及平行线相关定理是解题的关键.25.(1) 每台A 型电脑销售利润为100元,每台B 型电脑的销售利润为150元;(2)该商店有三种进货方案;商店购进14台A 型电脑和36台B 型电脑的销售利润最大;(3)见解析【解析】【分析】(1)设每台A 型电脑销售利润为a 元,每台B 型电脑的销售利润为b 元;然后根据销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元,销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元列出方程组,然后求解即可;(2)根据A 型电脑的进货量不少于14台,B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍,列不等式组求出x 的取值范围,再根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解;然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可.(3) 结合(2)找出y 关于x 的函数关系式,利用一次函数的性质分m-50<0、m-50=0和m-50>0来解决最值问题.【详解】解:(1)设每台A型电脑销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元;根据题意得:10204000 20103500a ba b+=⎧⎨+=⎩,解得:100150 ab=⎧⎨=⎩.答:每台A型电脑销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元;(2)设购进A型电脑x台,则购进B型电脑(50-x)台,销售总利润为y元根据题意得,y=100x+150(50-x),即:y=-50x+7500;根据题意得,14 502xx x≥⎧⎨-≥⎩,解得:2 14163x≤≤,∵x为正整数,∴x=14,15,16;∴该商店有三种进货方案;∵y=-50x+7500,∴y随x的增大而减小,∴当x=14时,y取最大值,则50-x=36,此时最大利润是y=-50×14+7500=6800.即商店购进14台A型电脑和36台B型电脑的销售利润最大,最大利润是6800元.(3)由已知得:y=(100+m)x+150(50-x)=(m-50)x+7500,当0<m<50时,m-50<0,则购进14台A型电脑和36台B型电脑的销售利润最大;当m=50时,m-50=0,则A、B两种电脑随意搭配(14≤A型电脑数≤16),销售利润一样多;当50<m100<时,m-50>0,则购进16台A型电脑和34台B型电脑的销售利润最大【点睛】本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,读懂题目信息,准确找出等量关系列出方程组是解题的关键,利用一次函数的增减性求最值是常用的方法,需熟练掌握.26.(1)6,10;(2)2 xy=⎧⎨=⎩。
中考数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案
中考数学第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案一、选择题1.如图,周长为34的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD 的面积为 ( )A .280B .140C .70D .1962.若关于x 、y 的二元一次方程组3234x y ax y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y >2,则a 的取值范围为( ) A .a <−2B .a >−2C .a <2D .a >23.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何”.意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?设1个大桶盛酒x 斛,1个小桶盛酒y 斛,下列方程组正确的是( ). A .5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B .5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C .53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D .35251x y x y +=⎧⎨+=⎩4.已知方程组2(1)3(1)133(1)5(1)30a b a b --+=⎧⎨-++=⎩的解是9.30.2a b =⎧⎨=⎩,则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是( ). A . 6.32.2x y =⎧⎨=⎩B .8.31.2x y =⎧⎨=⎩C .9.30.2x y =⎧⎨=⎩D .10.32.2x y =⎧⎨=⎩5.小兰:“小红,你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊?”小红:“哦,…,我忘了!只记得先后买了两次,第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本共花了 42 元钱,第二次买了 10 文笔和 5 本笔记本共花了 30 元钱.”请根据小红与小兰的对话,求得小红所买的笔和笔 记本的价格分别是( ) A .0.8 元/支,2.6 元/本 B .0.8 元/支,3.6 元/本 C .1.2 元/支,2.6 元/本D .1.2 元/支,3.6 元/本6.如果1,{2x y ==是二元一次方程组1,{2ax by bx ay +=+=的解,那么关于m 的方程a 2m +2 016 b +=2017的解为( ) A .-1 B .1 C .0 D .-27.《孙子算经》是中国古代著名的数学著作.在书中有这样一道题:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五,屈绳量之,不足一尺.问木长几何?”译成白话文:“现有一根木头,不知道它的长短.用整条绳子去量木头,绳子比木头长4.5尺;将绳子对折后去量,则绳子比木头短1尺.问木头的长度是多少尺?”设木头的长度为x尺,绳子的长度为y尺.则可列出方程组为()A.4.512x yyx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B.4.512y xyy-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C.4.512y xyx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D.4.512x yyy-=⎧⎪⎨-=⎪⎩8.解方程组232261s ts t+=⎧⎨-=-⎩①②时,①—②,得()A.31t-=. B.33t-=C.93t=D.91t=9.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的《九章算术》中的算筹图是竖排的,现在我们把它改为横排,如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,x y的系数与相应的常数项把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是2+327214x yx y=⎧⎨+=⎩类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为( )A.2+164322x yx y=⎧⎨+=⎩B.2+164327x yx y=⎧⎨+=⎩C.2+114322x yx y=⎧⎨+=⎩D.2+114327x yx y=⎧⎨+=⎩10.下列方程组的解为31xy=⎧⎨=⎩的是()A.224x yx y-=⎧⎨+=⎩B.253x yx y-=⎧⎨+=⎩C.32x yx y+=⎧⎨-=⎩D.2536x yx y-=⎧⎨+=⎩二、填空题11.如图,在平面直角坐标系xOy中,对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的橫、纵坐标都乘以同一种实数a,将得到的点先向右平移m个单位,再向上平移n个单位(m>0,n>0),得到正方形A′B′C′D′及其内部的点,其中点A,B的对应点分别为A′,B′,则a=_____,m=_____,n=_____.若正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合,则点F的坐标为_____.12.为了应对疫情对经济的冲击,增加就业岗位,某区在5月份的时候开设了一个夜市,分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域,三者摊位数量之比5:4:3,市场管理处对每个摊位收取50元/月的管理费,到了6月份,市场管理处扩大夜市规模,并将新增摊位数量的12用于餐饮,结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的920,同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、20元和30元,结果市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了112,则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______.13.方程组31810x y z x y x y z =+⎧⎪+=⎨⎪++=⎩的解是________.14.冬季降至,贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件,无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏,“让冬天不冷让爱心永驻”,重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物,本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干,自愿者将所有衣物分成若干A 、B 、C 类组合,由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区,一个A 类组合含有60件棉衣,80件防寒服和50件羽绒服;一个B 类组合含有40件棉衣,40件防寒服;一个C 类组合含有40件棉衣,60件防寒服,50件羽绒服;求防寒服一共捐赠了_____件.15.若m 1,m 2,…,m 2019是从0,1,2,这三个数中取值的一列数,m 1+m 2+…+m 2019=1525,( m 1-1)2+(m 2-1)2+…+(m 2019-1)2=1510,则在m 1,m 2,…,m 2019中,取值为2的个数为___________.16.在平面直角坐标系中,当点M (x,y )不在坐标轴上时,定义点M 的影子点为M /(,)y x x y -.已知点P 的坐标为(a,b ),且a 、b 满足方程组3401416a cbc ⎧++-=⎪-=-(c 为常数).若点P 的影子点是点P /,则点P /的坐标为___.17.若关于x ,y 的方程组322x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数,则整数a 的值是_____.18.若关于x 、y 的二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩,则关于x 、y 的二元一次方程组3()()162()()15x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩的解是__.19.若是满足二元一次方程的非负整数,则的值为___________.20.南岸区近年修建和完善了不少道路,其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四个人完成.道路两侧的植树数量相同,如果乙、丙、丁同时开始植树,丁在道路左侧,乙和丙在道路右侧,2小时后,甲加入,在道路左侧与丁一起植树.这样恰好能保证道路两侧的植树任务同时完成.已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为6、7、8、10棵.实际在植树时,四人一起开始植树,甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右侧,为保证右侧比左侧提前5小时完成植树任务,甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务,左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中,甲比丁少植树_____棵.三、解答题21.阅读下列文字,请仔细体会其中的数学思想. (1)解方程组321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩,我们利用加减消元法,很快可以求得此方程组的解为 ;(2)如何解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢?我们可以把m +5,n +3看成一个整体,设m +5=x ,n +3=y ,很快可以求出原方程组的解为 ; (3)由此请你解决下列问题:若关于m ,n 的方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解,求a 、b 的值.22.当,m n 都是实数,且满足28m n =+,就称点21,2n P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭为“爱心点”. (1)判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”,并说明理由;(2)若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”,请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限?并说明理由;(3)已知P 、Q 为有理数,且关于x 、y 的方程组333x y qx y q⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点(),B x y 是“爱心点”,求p 、q 的值.23.甲从A 地出发步行到B 地,乙同时从B 地步行出发至A 地,2小时后在中途相遇,相遇后,甲、乙步行速度都提高了1千米/小时.若设甲刚出发时的速度为a 千米/小时,乙刚出发的速度为b 千米/小时.(1)A 、B 两地的距离可以表示为 千米(用含a ,b 的代数式表示); (2)甲从A 到B 所用的时间是: 小时(用含a ,b 的代数式表示); 乙从B 到A 所用的时间是: 小时(用含a ,b 的代数式表示).(3)若当甲到达B 地后立刻按原路向A 返行,当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,请问AB 两地的距离为多少? 24.阅读下面资料:小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作:分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1,使得A 1B =2AB ,B 1C =2BC ,C1A =2CA ,顺次连接A 1、B 1、C 1,得到△A 1B 1C 1,记其面积为S 1,求S 1的值.小明是这样思考和解决这个问题的:如图2,连接A 1C 、B 1A 、C 1B ,因为A 1B =2AB ,B 1C =2BC ,C 1A =2CA ,根据等高两三角形的面积比等于底之比,所以11∆∆=A BC B CA S S =11∆∆=A BC C AB S S =2S △ABC =2a ,由此继续推理,从而解决了这个问题.(1)直接写出S 1= (用含字母a 的式子表示). 请参考小明同学思考问题的方法,解决下列问题:(2)如图3,P 为△ABC 内一点,连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ,则把△ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形面积已在图上标明,求△ABC 的面积.(3)如图4,若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点,求S △APE 与S △BPF 的比值. 25.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数量各为多少?26. 学校“百变魔方”社团准备购买A ,B 两种魔方,已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.(1)求这两种魔方的单价;(2)结合社员们的需求,社团决定购买A ,B 两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,购进A 种魔方多少个时,两种活动费用相同?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】解:设小长方形的长、宽分别为x 、y , 依题意得:,解得:,则矩形ABCD 的面积为7×2×5=70. 故选C .【点评】考查了二元一次方程组的应用,此题是一个信息题目,首先会根据图示找到所需要的数量关系,然后利用这些关系列出方程组解决问题.2.A解析:A 【分析】先解根据关于x ,y 的二元一次方程组3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②①+②得4x+4y=2-3a ,234ax y -+=;然后将其代入x +y >2,再来解关于a 的不等式即可. 【详解】 解:3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②①+②得 4x+4y=2-3a234ax y -+=∴由x+y>2,得2324a->故选A 【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式.解答此题时,采用了“加减消元法”来解二元一次方程组;在解不等式时,利用了不等式的基本性质: (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变.3.A解析:A 【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可. 【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛, ∴5x+y=3,∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛, ∴x+5y=2,∴得到方程组5352x y x y +=⎧⎨+=⎩,故选:A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用,正确理解题意是解题的关键.4.A解析:A 【分析】根据二元一次方程组的解可得a -1,b +1的值,然后对比得到x+2,y -1的值,求解即可. 【详解】∵方程组2(1)3(1)133(1)5(1)30a b a b --+=⎧⎨-++=⎩∴9.30.2a b =⎧⎨=⎩∴18.31 1.2a b -=⎧⎨+=⎩∴对比两方程组可知:12a x -=+;11b y +=- ∴=3x a -,=2y b + ∴x =6.3,y =2.2 故选:A . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的知识;求解的关键是掌握二元一次方程组的性质,从而完成5.D解析:D 【分析】首先设小红所买的笔的价格是x 元/支,笔记本的价格是y 元/本,根据关键语句“第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱,”可得方程5x+10y=42,“第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱”可得方程10x+5y=30,联立两个方程,再解方程组即可. 【详解】解:设小红所买的笔的价格是x 元/支,笔记本的价格是y 元/本,由题意得:5104210530x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得: 1.23.6x y =⎧⎨=⎩ 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用,关键是弄懂题意,找出题目中的等量关系,再列出方程组即可.6.B解析:B【解析】试题分析:根据二元一次方程组的解,可直接代入可得21{22a b b a +=+=,解得1{0a b ==,代入可得m+2016+0=2017,解得m=1. 故选:B.点睛:此题主要考查了二元一次方程组的解,解题关键是把二元一次方程组的解代入原方程组,然后可求出系数a ,b ,再代入即可求解.7.C解析:C 【分析】根据“用绳子去量一根木头,绳子还剩余4.5尺,将绳子对折再量木头,木头还剩余1尺”,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,此题得解. 【详解】依题意,得: 4.512y x yx -=⎧⎪⎨-=⎪⎩, 故选:C . 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.8.C【分析】运用加减消元法求解即可. 【详解】解:解方程组232261s t s t +=⎧⎨-=-⎩①②时,①-②,得3t-(-6t)=2-(-1),即,9t=3, 故选:C . 【点睛】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.9.D解析:D 【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1,一个横的算筹数算10,每一横行是一个方程,第一个数是x 的系数,第二个数是y 的系数,第三个数是相加的结果:前面的表示十位,后面的表示个位,由此可得图2的表达式. 【详解】第一个方程x 的系数为2,y 的系数为1,相加的结果为11;第二个方程x 的系数为4,y 的系数为3,相加的结果为27,所以可列方程组为:2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩.故选D . 【点睛】此题主要考查了由实际问题列二元一次方程组,关键是读懂图意,得到所给未知数的系数及相加结果.10.D解析:D 【解析】 把31x y =⎧⎨=⎩代入选项A 第2个方程24x y +=不成立,故错误; 把31x y =⎧⎨=⎩代入选项B 第2个方程3x y +=不成立,故错误; 把31x y =⎧⎨=⎩代入选项C 第1个方程3x y +=不成立,故错误; 把31x y =⎧⎨=⎩代入选项D 两个方程均成立,故正确; 故选D.二、填空题11.(1,4)【分析】首先根据点A到A′,B到B′的点的坐标可得方程组,,解可得a、m、n的值,设F 点的坐标为(x,y),点F′点F重合可列出方程组,再解可得F点坐标.【详解】由点A解析:1212(1,4)【分析】首先根据点A到A′,B到B′的点的坐标可得方程组312a mn-+=-⎧⎨=⎩,322a mn+=⎧⎨=⎩,解可得a、m、n的值,设F点的坐标为(x,y),点F′点F重合可列出方程组,再解可得F点坐标.【详解】由点A到A′,可得方程组312a mn-+=-⎧⎨=⎩;由B到B′,可得方程组322a mn+=⎧⎨=⎩,解得12122amn⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,设F点的坐标为(x,y),点F′点F重合得到方程组1122122x xy y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得14 xy=⎧⎨=⎩,即F(1,4),故答案为:12,12,2,(1,4).【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-平移以及二元一次方程组的应用,关键是正确理解题意,根据点的坐标列出方程组.12.【分析】由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为,再假设新增摊位数量为,则餐饮区新增摊位数量为,进而根据条件得出n 和m 的关系,利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式,解析:3:20【分析】由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n ,再假设新增摊位数量为m ,则餐饮区新增摊位数量为12m ,进而根据条件得出n 和m 的关系,利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了112建立关系式,进行代入分析即可得出答案.【详解】 解:由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n , 则5月份的管理费为:(543)50600n n n n ++⨯=(元),6月份的管理费为:1(1)60065012n n +⨯=(元), 再假设新增摊位数量为m ,则餐饮区新增摊位数量为12m , 由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的920,可得: 91(12)5202n m n m +⨯=+,化简后可得:8m n =, 即有新增摊位数量为8n ,餐饮区新增摊位数量为4n ,且6月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为:40元、30元、20元,由此可得百货区和杂项区6月份的管理费为:650(54)40290n n n n -+⨯=(元), 百货区和杂项区没新增摊位数量时管理费为:430320180n n n ⨯+⨯=(元), 则百货区和杂项区新增的摊位数量管理费为:290180110n n n -=(元),当百货区新增3n ,杂项区新增n 时,满足条件,所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是3:(128)3:203:20n n n n n +==.故答案为:3:20.【点睛】本题考查不定方程的应用,注意掌握根据条件得出n 和m 的关系以及利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了112建立关系式,进行代入分析是解答本题的关键. 13.【分析】①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可.【详解】解:①+③解得:2x=10,即x=5;将x=5代入②得y=3;将x=5,y=3代解析:532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【分析】①+③解得x=5,然后将x=5代入②得y=3,最后将x=5、y=3代入③可得z=2即可.【详解】解:31810x y z x y x y z =+⎧⎪+=⎨⎪++=⎩①②③①+③解得:2x=10,即x=5;将x=5代入②得y=3;将x=5,y=3代入③可得z=2.故答案为532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.【点睛】本题考查了解三元一次方程组,观察方程组、寻找各方程的特点、运用整体思想代入消元是解答本题的关键.14.14600【分析】根据题意,可以先设A 类组合x 个,B 类组合y 个,C 类组合z 个,然后根据题意可以列出三元一次方程组,从而可以得到x 、z 与y 的关系,然后即可求得需要防寒服多少件,本题得以解决.【详解析:14600【分析】根据题意,可以先设A 类组合x 个,B 类组合y 个,C 类组合z 个,然后根据题意可以列出三元一次方程组,从而可以得到x 、z 与y 的关系,然后即可求得需要防寒服多少件,本题得以解决.【详解】解:设A 类组合x 个,B 类组合y 个,C 类组合z 个,6040401160050507500x y z x ++=⎧⎨+=⎩, 化简,得28022130x y z y =-⎧⎨=-⎩, ∴需要的防寒服为:80x +40y +60z =80(280﹣2y )+40y +60(2y ﹣130)=22400﹣160y +40y +120y ﹣7800=14600,故答案为:14600.【点睛】本题考查三元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的三元一次方程组,利用方程的知识解答.15.508【分析】先设0有a 个,1有b 个,2有c 个,根据据题意列出方程组求解即可.【详解】解:设0有a 个,1有b 个,2有c 个,由题意得:解得:故取值为2的个数为508个,故答案为:508解析:508【分析】先设0有a 个,1有b 个,2有c 个,根据据题意列出方程组2019215251510a b c b c a c ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩求解即可.【详解】解:设0有a 个,1有b 个,2有c 个,由题意得:2019215251510a b c b c a c ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得:1002509508a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故取值为2的个数为508个,故答案为:508.【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用,会根据题意设未知数列方程并正确求解是解题的关键.16.()【解析】【分析】由方程组变形可得,由非负数性质可求c=4,a=-3,b=1,再依据影子点定义即可求出点P/的坐标.【详解】解:∵方程组(c 为常数),∴,∵,,∴,∴c=4,∴解析:(1,33-)【解析】【分析】由方程组变形可得3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-,由非负数性质可求c =4,a =-3,b =1,再依据影子点定义即可求出点P /的坐标.【详解】解:∵方程组340416a c c ⎧++-=⎪=-(c 为常数),∴3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-, ∵30a +≥0,∴-(4)04(4)0c c -≥⎧⎨-≥⎩, ∴c =4,∴31a b =-⎧⎨=⎩,∴P 坐标为(-3,1),根据定义可知点P 的影子点P /为(13(,)31--- ,即为P /(1,33-). 故答案为(1,33-).【点睛】本题考查了非负数性质和新定义运算.解题关键是利用方程变形和非负数性质得出c -4=0. 17.2或-1【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组,得到x 和y 关于a 的解,根据方程组的解是正整数,得到5-a 与a+4都要能被3整除,即可得到答案.【详解】,①-②得:3y=5-a ,解析:2或-1【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组,得到x 和y 关于a 的解,根据方程组的解是正整数,得到5-a 与a+4都要能被3整除,即可得到答案.【详解】322x y x y a +⎧⎨--⎩=①=②, ①-②得:3y=5-a ,解得:y=53a -, 把y=53a -代入①得: x+53a -=3, 解得:x=+43a , ∵方程组的解为正整数,∴5-a 与a+4都要能被3整除,∴a=2或-1,故答案为2或-1.【点睛】本题考查了解二元一次方程组,正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.18.【解析】分析:令x+y=a ,x-y=b ,根据已知,比较后得出a ,b 的值,从而得出结论. .详解:令x+y=a ,x-y=b ,则关于x 、y 的二元一次方程组变为:.∵二元一次方程组的解是, 解析:52x y =⎧⎨=⎩ 【解析】分析:令x +y =a ,x -y =b ,根据已知,比较后得出a ,b 的值,从而得出结论. .详解:令x +y =a ,x -y =b ,则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩()()()()变为:316215a mb a nb +=⎧⎨+=⎩.∵二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩,∴73a b =⎧⎨=⎩,∴73x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得:52x y =⎧⎨=⎩. 点睛:本题主要考查二元一次方程组的解法,关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法,本题要注意整体思想的运用.19.0或6【解析】由2x+3y=12得y=12-2x3,因为x 、y 都是非负整数,所以x=0,y=4或x=3,y=2或x=6,y=0,所以xy 为0或6.解析:0或6【解析】由2x+3y=12得y=,因为x 、y 都是非负整数,所以x=0,y=4或x=3,y=2或x=6,y=0,所以xy 为0或6. 20.90【分析】首先可设道路一侧植树棵树为x 棵,根据时间的等量关系列出方程求解;实际在植树时,可设甲在左侧植树的时长为y ,根据时间的等量关系列出方程求解;最后进一步求得丁植树的时长,从而可求得甲比丁解析:90【分析】首先可设道路一侧植树棵树为x 棵,根据时间的等量关系列出方程求解;实际在植树时,可设甲在左侧植树的时长为y ,根据时间的等量关系列出方程求解;最后进一步求得丁植树的时长,从而可求得甲比丁少植树的棵树.【详解】解:设道路一侧植树棵数为x 棵,则78x+=2+102610x -⨯+, 解得x =180,实际在植树时,设甲在左侧植树的时长为y ,则 ()18061010y-+﹣5=()18078678y -+++, 解得y =5, 则丁植树的时长为1805610-⨯=15, 所以甲比丁少植树15×10﹣(15﹣5)×6=90(棵).故答案为:90.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键是直接求解两人植树棵树较困难时,可通过计算两人的植树时间进行比较.三、解答题21.(1)12x y =⎧⎨=⎩;(2)41m n =-⎧⎨=-⎩;(3)a =3,b =2. 【分析】(1)利用加减消元法,可以求得;(2)利用换元法,设m+5=x ,n+3=y ,则方程组化为(1)中的方程组,可求得x ,y 的值进一步可求出原方程组的解;(3)把am 和bn 当成一个整体利用已知条件可求出am 和bn ,再把bn 代入2m-bn=-2中求出m 的值,然后把m 的值代入3m+n=5可求出n 的值,继而可求出a 、b 的值.【详解】解:(1)两个方程相加得66x =,∴1x =,把1x =代入321x y -=-得2y =,∴方程组的解为:12x y =⎧⎨=⎩; 故答案是:12x y =⎧⎨=⎩; (2)设m +5=x ,n +3=y ,则原方程组可化为321327x y x y -=-⎧⎨+=⎩, 由(1)可得:12x y =⎧⎨=⎩,∴m+5=1,n+3=2,∴m =-4,n =-1,∴41m n =-⎧⎨=-⎩, 故答案是:41m n =-⎧⎨=-⎩; (3)由方程组722am bn m bn +=⎧⎨-=-⎩与351m n am bn +=⎧⎨-=-⎩有相同的解可得方程组71am bn am bn +=⎧⎨-=-⎩, 解得34am bn =⎧⎨=⎩, 把bn =4代入方程2m ﹣bn =﹣2得2m =2,解得m =1,再把m =1代入3m +n =5得3+n =5,解得n =2,把m =1代入am =3得:a =3,把n =2代入bn =4得:b =2,所以a =3,b =2.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法,重点是考查整体思想及换元法的应用,解题的关键是理解好整体思想.22.(1)()5,3A 为爱心点,理由见解析;(2)第四象限,理由见解析;(3)0p =,q =23- 【分析】(1)分别把A 、B 点坐标,代入(m ﹣1,22n +)中,求出m 和n 的值,然后代入2m =8+n 检验等号是否成立即可;(2)把点A (a ,﹣4)、B (4,b )各自代入(m ﹣1,22n +)中,分别用a 、b 表示出m 、n ,再代入2m =8+n 中可求出a 、b 的值,则可得A 和B 点的坐标,再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标,然后即可判断点C 所在象限;(3)解方程组,用q 和p 表示x 和y ,然后代入2m =8+n 可得关于p 和q 的等式,再根据p ,q 为有理数,即可求出p 、q 的值.【详解】解:(1)A 点为“爱心点”,理由如下:当A (5,3)时,m ﹣1=5,22n +=3, 解得:m =6,n =4,则2m =12,8+n =12,所以2m=8+n,所以A(5,3)是“爱心点”;当B(4,8)时,m﹣1=4,22n+=8,解得:m=5,n=14,显然2m≠8+n,所以B点不是“爱心点”;(2)A、B两点的中点C在第四象限,理由如下:∵点A(a,﹣4)是“爱心点”,∴m﹣1=a,22n+=﹣4,解得:m=a+1,n=﹣10.代入2m=8+n,得2(a+1)=8﹣10,解得:a=﹣2,所以A点坐标为(﹣2,﹣4);∵点B(4,b)是“爱心点”,同理可得m=5,n=2b﹣2,代入2m=8+n,得:10=8+2b﹣2,解得:b=2.所以点B坐标为(4,2).∴A、B两点的中点C坐标为(2442,22-+-+),即(1,﹣1),在第四象限.(3)解关于x,y的方程组3x y qx y q⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩,得:2x qy q⎧=-⎪⎨=⎪⎩.∵点B(x,y)是“爱心点”,∴m﹣1﹣q,22n+=2q,解得:m﹣q+1,n=4q﹣2.代入2m=8+n,得:﹣2q+2=8+4q﹣2,整理得﹣6q=4.∵p,q为有理数,若使p﹣6q结果为有理数4,则P=0,所以﹣6q=4,解得:q=﹣23.所以P=0,q=﹣23.【点睛】本题是新定义题型,以“爱心点”为载体,主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力,正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键.23.(1)2(a+b);(2)(2+21ba+);(2+21ab+);(3)36.【分析】(1)根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间,即可得出结论;(2)利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇,即可得出结论;(3)设AB两地的距离为S千米,根据路程=速度×时间,即可得出关于(a+b),S的二元一次方程组(此处将a+b当成一个整体),解之即可得出结论.【详解】(1)A、B两地的距离可以表示为2(a+b)千米.故答案为:2(a+b).(2)甲乙相遇时,甲已经走了2a千米,乙已经走了2b千米,根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时,得甲还需21ba+小时到达B地,乙还需21ab+小时到达A地,所以甲从A到B所用的时间为(2+21ba+)小时,乙从B到A所用的时间为(2+21ab+)小时.故答案为:(2+21ba+);(2+21ab+).(3)设AB两地的距离为S千米,3小时36分钟=185小时.依题意,得:2()182(11)5S a bS a b=+⎧⎪⎨=+++⎪⎩,令x=a+b,则原方程变形为2182(2)5S xS x=⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得:1836 xS=⎧⎨=⎩.答:AB两地的距离为36千米.【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.24.(1)19a;(2)315;(3)2 3 .【解析】【分析】(1)首先根据题意,求得S△A1BC=2S△ABC,同理可求得S△A1B1C=2S△A1BC,依此得到S△A1B1C1=19S△ABC,则可求得面积S1的值;(2)根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比,求解,从而不难求得△ABC的面积;(3)设S △BPF =m ,S △APE =n ,依题意,得S △APF =S △APC =m ,S △BPC =S △BPF =m .得出23APE BPF S S ∆∆=,从而求解.【详解】解:(1)连接A 1C ,∵B 1C=2BC ,A 1B=2AB , ∴122BCA ABC SS a ==,122BCA ABC S S a ==,1112A B C BCA S S =, ∴1144A B C ABC SS a ==, ∴1166A B B ABC S S a ==,同理可得出:11116A AC CB C S S a ==,∴S 1=6a+6a+6a+a=19a ;故答案为:19a ;(2)过点C作CG BE ⊥于点G ,设BPF S x ∆=,APE S y ∆=,1·702BPC S BP CG ∆==;1·352PCE S PE CG ∆==, ∴1·7022135·2BPCPCE BP CG S S PE CG ∆∆===. ∴2BP EP=,即2BP EP =. 同理,APB APE S BP S PE∆∆=.2APB APE S S ∆∆∴=.842x y ∴+=.①8440APB BPD S APx S PD ∆∆+==,3530APC PCD S AP y S PD ∆∆+==, ∴84354030x y ++=.② 由①②,得5670x y =⎧⎨=⎩, 315ABC S ∆∴=.(3)设BPF S m ∆=,APE S n ∆=,如图所示.依题意,得APF APC S S m ∆∆==,BPC BPF S S m ∆∆==.PCE S m n ∆∴=-.BPC APB APE PCE S S BP S S PE∆∆∆∆==, ∴2m m n m n=-. 2()m m n mn ∴-=,0m ≠,22m n n ∴-=.∴23n m =. ∴23APE BPF S S ∆∆=. 【点睛】此题考查了三角形面积之间的关系.(2)的关键是设出未知三角形的面积,然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解.25.应购买小笔记本50本,大笔记本8本,钢笔4支【解析】【分析】根据题意结合奖品的价格得出5x+7y+10z=346,y=2z ,再利用共花费346元,分别得出x ,y ,z 的取值范围,进而得出z 的取值范围,分别分析得出所有的可能.【详解】解:设购买小笔记本x 本,大笔记本y 本,钢笔z 支,则有5x+7y+10z=346,y=2z .易知0<x ≤69,0<y ≤49,0<z ≤34,∴5x+14z+10z=346,5x+24z=346,即346245z x -=. ∵x ,y ,z 均为正整数,346-24z ≥0,即0<z ≤14∴z 只能取14,9和4. ①当z 为14时,346242,228.445z x y z x y z -====++= 。
第八章 二元一次方程组知识点及练习题含答案
第八章 二元一次方程组知识点及练习题含答案一、选择题1.已知x ,y 满足方程组4,5,x m y m +=⎧⎨-=⎩则无论m 取何值,x ,y 恒有的关系式是( )A .1x y +=B .1x y +=-C .9x y +=D .9x y -=-2.小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路,她去学校共用了16分钟,假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时,下坡路的平均速度是5千米/小时,若设小颖上坡用了min x ,下坡用了min y ,根据题意可列方程组( )A .35120016x y x y +=⎧⎨+=⎩B .35 1.2606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ C .35 1.216x y x y +=⎧⎨+=⎩D .351200606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩3.阅读理解:a ,b ,c ,d 是实数,我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式,并且规定:a b a d b c c d=⨯-⨯,例如,323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,其中1122a D a b b =,1122x b a D c b =,1122y a c D a c =.问题:对于用上面的方法解二元一次方程组3137x y x y -=⎧⎨+=⎩时,下面的说法错误..的是( ). A .311013D -==B .10x D =C .方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩D .20y D =-4.下列各组数中①22x y =⎧⎨=⎩; ②21x y =⎧⎨=⎩;③22x y =⎧⎨=-⎩;④16x y ⎧⎨⎩==是方程410x y +=的解的有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个5.已知关于x ,y 的方程组72x my mx y m +=⎧⎨-=+⎩①②,将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加,得到一个新的方程,当m 每取一个值时,就有一个方程,这些方程有一个公共解,这个公共解为( )A .54x y =⎧⎨=-⎩B .14x y =⎧⎨=-⎩C .41x y =⎧⎨=-⎩D .-54x y =⎧⎨=⎩6.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有m 张正方形纸板和n 张长方形纸板,如果做两种纸盒若干个,恰好将纸板用完,则m+n 的值可能是( )A .200B .201C .202D .2037.对于实数x ,y ,定义新运算1x y ax by *=++,其中a ,b 为常数,等式右边为通常的加法和乘法运算,若3515*=,4728*=,则59*=( ) A .40B .41C .45D .468.如图,将正方形ABCD 的一角折叠,折痕为AE ,点B 落在点B ′处,B AD ∠'比BAE ∠大48︒.设BAE ∠和B AD ∠'的度数分别为x ︒和y ︒,那么x 和y 满足的方程组是( )A .4890y x y x -=⎧⎨+=⎩B .482y x y x -=⎧⎨=⎩C .48290x y y x -=⎧⎨+=⎩D .48290y x y x -=⎧⎨+=⎩9.若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )A .2128x y =⎧⎨=⎩B .98x y =⎧⎨=⎩C .714x y =⎧⎨=⎩D .9787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10.甲、乙两人同求方程ax -by =7的整数解,甲正确地求出一个解为11x y =⎧⎨=-⎩,乙把ax -by=7看成ax-by=1,求得一个解为12xy=⎧⎨=⎩,则a,b的值分别为( )A.25ab=⎧⎨=⎩B.52ab=⎧⎨=⎩C.35ab=⎧⎨=⎩D.53ab=⎧⎨=⎩二、填空题11.一个两位数的数字和为14,若调换个位数字与十位数字,新数比原数小36,则这个两位数是_____.12.一片草原上的一片青草,到处长的一样密、一样快.20头牛在96天可以吃完,30头牛在60天可以吃完,则70头牛吃完这片青草需__________天.13.二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________;整数解有_______个.14.将108个苹果放到一些盒子中,盒子有三种规格:一种可以装10个苹果,一种可以装9个苹果,一种可以装6个苹果,要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满,则不同的装法总数为_____.15.已知x my n=⎧⎨=⎩是方程组20234x yx y-=⎧⎨+=⎩的解,则3m+n=_____.16.解三元一次方程组时,先消去z,得二元一次方程组,再消去y,得一元一次方程2x=3,解得x=,从而得y=_____,z=____.17.有一水池,池底有泉水不断涌出.用10台抽水机20时可以把水抽干;用15台同样的抽水机,10时可以把水抽干.那么,用25台这样的抽水机__________小时可以把水抽干.18.若方程123x y-=的解中,x、y互为相反数,则32x y-=_________19.若m1,m2,…m2016是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若m1+m2+…+m2016=1546,(m1﹣1)2+(m2﹣1)2+…+(m2016﹣1)2=1510,则在m1,m2,…m2016中,取值为2的个数为____.20.南岸区近年修建和完善了不少道路,其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四个人完成.道路两侧的植树数量相同,如果乙、丙、丁同时开始植树,丁在道路左侧,乙和丙在道路右侧,2小时后,甲加入,在道路左侧与丁一起植树.这样恰好能保证道路两侧的植树任务同时完成.已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为6、7、8、10棵.实际在植树时,四人一起开始植树,甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右侧,为保证右侧比左侧提前5小时完成植树任务,甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务,左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中,甲比丁少植树_____棵.三、解答题21.如图①,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,直线OC上所有的点坐标(,)x y,都是二元一次方程40x y -=的解,直线AC 上所有的点坐标(,)x y ,都是二元一次方程26x y +=的解,过C 作x 轴的平行线,交y 轴与点B .(1)求点A 、B 、C 的坐标;(2)如图②,点M 、N 分别为线段BC ,OA 上的两个动点,点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点N 从点O 以每秒1.5个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t 秒,且0<t <4,试比较四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积的大小.22.平面直角坐标系中,A (a ,0),B (0,b ),a ,b 满足2(25)220a b a b ++++-=,将线段AB 平移得到CD ,A ,B 的对应点分别为C ,D ,其中点C 在y 轴负半轴上.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)如图1,连AD 交BC 于点E ,若点E 在y 轴正半轴上,求BE OEOC-的值; (3)如图2,点F ,G 分别在CD ,BD 的延长线上,连结FG ,∠BAC 的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H ,求∠G 与∠H 之间的数量关系.23.某县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务,为了确保质量,该企业进行试生产.他们购得规格是20040cm cm ⨯的标准板材作为原材料,每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材.如图甲所示.(单位cm ) (1)列出方程(组),求出图甲中a 与b 的值;(2)在试生产阶段,若将625张标准板材用裁法一裁剪,125张标准板材用裁法二裁剪,再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面,刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒.求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个?24.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(a,a),点B的坐标(b,c),且a、b、c满足34624 a b ca b c+-=⎧⎨-+=-⎩.(1)若a没有平方根,判断点A在第几象限并说明理由.(2)连AB、OA、OB,若△OAB的面积大于5而小于8,求a的取值范围;(3)若两个动点M(2m,3m-5),N(n-1,-2n-3),请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段MN∥AB,且MN=AB.若存在,求出M、N两点的坐标;若不存在,请说明理由. 25.小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.(1)小红首先用m根小木棍摆出了p个小正方形,请你用等式表示,m p之间的关系:;(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?(3)小红重新用50根小木棍,摆出了s排,共t个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示,s t之间的关系,并写出所有,s t可能的取值.26.方程组1327x yx y+=-⎧-=⎨⎩的解满足210(x ky k-=是常数),()1求k的值.()2直接写出关于x,y的方程()1213k x y-+=的正整数解【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由方程组消去m ,得到一个关于x ,y 的方程,化简这个方程即可. 【详解】解:将5m y =-代入4x m +=,得54x y +-=,所以9x y +=. 故选C. 【点睛】解二元一次方程组的基本思想是“消元”,基本方法是代入法和加减法,此题实际是消元法的考核.2.B解析:B 【分析】根据路程=时间乘以速度得到方程35 1.26060x y +=,再根据总时间是16分钟即可列出方程组. 【详解】∵她去学校共用了16分钟, ∴x+y=16,∵小颖家离学校1200米, ∴351.26060x y +=, ∴35 1.2606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩, 故选:B. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用,正确理解题意列出方程组,注意时间单位,这是解题中容易出现错误的地方.3.D解析:D 【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论. 【详解】 A 、3113D -==3×3-(-1)×1=10,计算正确,不符合题意;B 、D x =1×3-(-1)×7=10,计算正确,不符合题意;C 、方程组的解:x=102011010y ==,=2,计算正确,不符合题意. D 、D y =3×7-1×1=20,计算错误,符合题意; 故选:D . 【点睛】此题考查二元一次方程组的解,理解题意,直接运用公式计算是解题的关键.4.B解析:B 【详解】 解:把①22x y ==⎧⎨⎩代入得左边=10=右边; 把②2{1x y ==代入得左边=9≠10; 把③2{2x y ==-代入得左边=6≠10; 把④1{6x y ==代入得左边=10=右边;所以方程4x +y =10的解有①④2个. 故选B .5.A解析:A 【分析】由这组公共解与m 无关,所以把两个方程相加变形为:()190,x y m x y +-+--=从而可得答案. 【详解】解:①+②得:9,mx x my y m ++-=+90,mx x my y m ∴++---=()190,x y m x y ∴+-+--=结合题意得:1090x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得:54x y =⎧⎨=-⎩,所以这个公共解为54x y =⎧⎨=-⎩.故选A .【点睛】本题考查的是二元一次方程组的公共解与字母系数无关的问题,掌握与该字母无关,则含有该字母的项合并后系数为零是解题的关键.6.A解析:A 【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x 个,横式无盖纸盒y 个,列二元一次方程组43{2x y nx y m+=+=,把两个方程的两边分别相加得5()m n x y +=+,易知m n +的值一定是5的倍数,本题即解答. 【详解】解:设做成竖式无盖纸盒x 个,横式无盖纸盒y 个,根据题意列方程组得:43{2x y n x y m+=+=, 则两式相加得5()m n x y +=+,∵x 、y 都是正整数 ∴m n +一定是5的倍数;∵200、201、202、203四个数中,只有200是5的倍数, ∴m n +的值可能是200. 故选A. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用;巧妙处理所列方程组,使两方程相加得出5()m n x y +=+,是解答本题的关键.7.B解析:B 【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a 和b 的值,再根据定义新运算公式求值即可. 【详解】解:∵1x y ax by *=++,3515*=,4728*=, ∴1535128471a b a b =++⎧⎨=++⎩解得:3725a b =-⎧⎨=⎩∴59*=3752591-⨯+⨯+=41 故选B . 【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组,掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键.8.D解析:D 【分析】根据由将正方形ABCD 的一角折叠,折痕为AE ,∠B'AD 比∠BAE 大48°的等量关系即可列出方程组. 【详解】解:.设BAE ∠和B AD ∠'的度数分别为x ︒和y ︒ 由题意可得:48290y x y x -=⎧⎨+=⎩故答案为D. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据翻折变换的性质以及正方形的四个角都是直角寻找等量关系是解答本题的关键.9.C解析:C 【分析】先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为11122232773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,然后用“整体代换”法,求出方程组的解即可; 【详解】解:111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,11122232773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩,设3727x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,111222a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩,方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,∴方程组111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩的解为34t s =⎧⎨=⎩,337247x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩,解得:714x y =⎧⎨=⎩.故选C . 【点睛】此题考查了解二元一次方程组,弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键.10.B解析:B 【解析】把甲的解代入ax -by =7可得a +b =7,把乙的解代入可得a -2b =1,由它们构成方程组可得721a b a b +=⎧⎨-=⎩,解方程组得52a b =⎧⎨=⎩,故选B . 二、填空题 11.95 【详解】设十位数字为x ,个位数字为y ,根据题意所述的等量关系可得出方程组,求解即可得,即这个两位数为95. 故答案为95. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是设出未知解析:95 【详解】设十位数字为x ,个位数字为y ,根据题意所述的等量关系可得出方程组14101036x y x y y x +=⎧⎨+--=⎩,求解即可得95x y =⎧⎨=⎩,即这个两位数为95. 故答案为95. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是设出未知数,注意掌握二位数的表示方法.12.24【分析】设草地原有青草为a ,草一天长b ,一只羊一天吃x ,根据“20头牛在96天可以吃完,30头牛在60天可以吃完”可得到两个关于a 、b 、x 的方程,解可得a 、b 与x 的关系.再设70头牛吃可以吃解析:24【分析】设草地原有青草为a ,草一天长b ,一只羊一天吃x ,根据“20头牛在96天可以吃完,30头牛在60天可以吃完”可得到两个关于a 、b 、x 的方程,解可得a 、b 与x 的关系.再设70头牛吃可以吃y 天,列出方程,把关于a 、b 的代数式代入即可得解.【详解】解:设草地原有青草为a ,草一天长b ,一只羊一天吃x ,根据题意得:969620606030a b x a b x +⎧⎨+⎩== 解得:b=103x ,a=1600x , 当有70头牛吃时,设可以吃y 天,则a+yb=70xy ,把b=103x ,a=1600x 代入得:y=24(天). 故答案为:24.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,把握牛吃青草的同时草也在生长是解答此题的关键. 13.无数【分析】把x 看做已知数求出y ,分析即可确定出正整数解及整数解的情况.【详解】解:方程3x+8y=27,解得:,∵当x 、y 是正整数时,9-x 是8的倍数,∴x=1,y=解析:13x y =⎧⎨=⎩无数 【分析】把x 看做已知数求出y ,分析即可确定出正整数解及整数解的情况.【详解】解:方程3x+8y=27,解得:3(98)x y-=,∵当x、y是正整数时,9-x是8的倍数,∴x=1,y=3;∴二元一次方程3x+8y=27的正整数解只有1个,即13 xy=⎧⎨=⎩;∵当x、y是整数时,9-x是8的倍数,∴x可以有无数个值,如-7,-15,-23,……;∴二元一次方程3x+8y=27的整数解有无数个.故答案是:13xy=⎧⎨=⎩;无数.【点睛】此题考查了二元一次方程的整数解及正整数解问题,解题的关键是将x看做已知数求出y.14.【分析】先列出方程10x+9y+6z=108,再根据x,y,z是正整数,进行计算即可得出结论.【详解】解:设装10个苹果的有x盒,装9个苹果的有y盒,装6个苹果的有z盒,∵每种规格都要有且解析:【分析】先列出方程10x+9y+6z=108,再根据x,y,z是正整数,进行计算即可得出结论.【详解】解:设装10个苹果的有x盒,装9个苹果的有y盒,装6个苹果的有z盒,∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满,∴0<x<10,0<y≤11,0<z≤15,且x,y,z都是整数,则10x+9y+6z=108,∴x=1089610--y z=3(3632)10--y z,∵0<x<10,且为整数,∴36﹣3y﹣2z是10的倍数,即:36﹣3y﹣2z=10或20或30,当36﹣3y﹣2z=10时,y=2623-z,∵0<y≤11,0<z≤15,且y,z都为整数,∴26﹣2z=3或6或9或12或15或18或21或24,∴z=232(舍)或z=10或z=172(舍)或z=7或z=112(舍)或z=4或z=52(舍)当z=10时,y=2,x=3,当z=7时,y=4,x=3,当z=4时,y=8,x=3当z=1时,y=8,x=3,当36﹣3y﹣2z=20时,y=1623-z,∵0<y≤11,0<z≤15,且y,z都为整数,∴16﹣2z=3或6或9或12或15或18或21或24,∴z=132(舍)或z=5或z=72(舍)或z=2或z=12(舍)当z=5时,y=2,x=6,当z=2时,y=4,x=6,当36﹣3y﹣2z=30时,y=623-z,∵0<y≤11,0<z≤15,且y,z都为整数,∴6﹣2z=3,∴z=32(舍)即:满足条件的不同的装法有6种,故答案为6.【点睛】此题主要考查了三元一次方程,整除问题,分类讨论时解本题的关键.15.4【分析】将方程组的解代入得的新的二元一次方程,然后观察发现,运用作差法即可完成解答.【详解】解:把代入方程组得:,①+②得:3m+n=4,故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解解析:4【分析】将方程组的解代入20234x yx y-=⎧⎨+=⎩得的新的二元一次方程,然后观察发现,运用作差法即可完成解答.解:把x my n=⎧⎨=⎩代入方程组得:20234m nm n-=⎧⎨+=⎩①②,①+②得:3m+n=4,故答案为4【点睛】本题考查了方程组的解的作用.将方程组的解代入方程组的解后,可以求出未知数,然后进行计算;但认真观察整体变换求得的结果,准确率更高.16.76, 56.【解析】【分析】逐项代入求值即可解题.【详解】解:将x=32代入x+3y=5得,y=76,将x=32,y=76代入x+2y-z=3得z=56,∴y=76,解析:,.【解析】【分析】逐项代入求值即可解题.【详解】解:将x =代入x+3y=5得,y=,将x =,y=代入得z=,∴y=, z=.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入求值的方法是解题关键.17.5【解析】【分析】设一台抽水机1小时的抽水量为1份,泉水每小时涌进的量为x份,原有泉水量为y份,根据等量关系:用10台抽水机20时可以把水抽干;用15台同样的抽水机10时可以把水抽干,列出方程组解析:5【解析】【分析】设一台抽水机1小时的抽水量为1份,泉水每小时涌进的量为x份,原有泉水量为y 份,根据等量关系:用10台抽水机20时可以把水抽干;用15台同样的抽水机10时可以把水抽干,列出方程组进行求解即可得.【详解】设一台抽水机1小时的抽水量为1份,泉水每小时涌进的量为x 份,原有泉水量为y 份,由题意得201020101510y x y x +=⨯⎧⎨+=⨯⎩, 解得:5100x y =⎧⎨=⎩, 所以,用25台这样的抽水机去抽水时,泉水每小时涌出量用5台抽水机去抽,剩下的就抽原有的泉水了,100÷(25-5)=5(小时),故答案为:5.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,弄清题意,找到等量关系列出方程组是解题的关键,这里要注意的是泉水是不断涌出的.18.【解析】试题分析:根据x 、y 互为相反数,可得x+y=0,然后和方程构成方程组,解得,所以3x-2y=.19.520【解析】试题分析:解决此题可以先设0有a 个,1有b 个,2有c 个,根据据题意列出方程组求解即可.设0有a 个,1有b 个,2有c 个, 由题意得, 解得,故取值为2的个数为502个考点:(1解析:520【解析】试题分析:解决此题可以先设0有a 个,1有b 个,2有c 个,根据据题意列出方程组求解即可.设0有a 个,1有b 个,2有c 个, 由题意得, 解得,故取值为2的个数为502个考点:(1)、规律型:(2)、数字的变化类.20.90【分析】首先可设道路一侧植树棵树为x 棵,根据时间的等量关系列出方程求解;实际在植树时,可设甲在左侧植树的时长为y ,根据时间的等量关系列出方程求解;最后进一步求得丁植树的时长,从而可求得甲比丁解析:90【分析】首先可设道路一侧植树棵树为x 棵,根据时间的等量关系列出方程求解;实际在植树时,可设甲在左侧植树的时长为y ,根据时间的等量关系列出方程求解;最后进一步求得丁植树的时长,从而可求得甲比丁少植树的棵树.【详解】解:设道路一侧植树棵数为x 棵,则78x+=2+102610x -⨯+, 解得x =180,实际在植树时,设甲在左侧植树的时长为y ,则 ()18061010y-+﹣5=()18078678y -+++, 解得y =5, 则丁植树的时长为1805610-⨯=15, 所以甲比丁少植树15×10﹣(15﹣5)×6=90(棵).故答案为:90.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键是直接求解两人植树棵树较困难时,可通过计算两人的植树时间进行比较.三、解答题21.(1)(6,0)A ,(0,1)B ,(4,1)C ;(2)见解析.【分析】(1)令26x y +=中的0y = ,求出相应的x 的值,即可得到A 的坐标,将方程40x y -=和方程26x y +=联立成方程组,解方程组即可得到C 的坐标,进而可得到B 的坐标;(2)分别利用梯形的面积公式表示出四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积,然后根据t 的范围,分情况讨论即可.【详解】(1)令0y =,则206x +⨯=,解得6x =,(6,0)A ∴.4026x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得41x y =⎧⎨=⎩(4,1)C ∴.//BC x 轴,∴点B 的纵坐标与点C 的纵坐标相同,(0,1)B ∴ ;(2)(6,0)A ,(0,1)B ,(4,1)C ,6,4OA BC ∴==.∵点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点N 从点O 以每秒1.5个单位长度的速度向右运动,, 1.5MC t ON t ∴==,4,6 1.5BM t NA t ∴=-=-,11()(4 1.5)4822MNOB S BM ON OB t t t ∴=+⋅=⨯-+⨯=+四边形, 11()(6 1.5)41222MNAC S MC NA OB t t t =+⋅=⨯+-⨯=-+四边形. 当812t t +>-+时,即2t >时,MNOB MNAC S S >四边形四边形;当812t t +=-+时,即2t =时,MNOB MNAC S S =四边形四边形;当812t t +<-+时,即2t <时,MNOB MNAC S S <四边形四边形.【点睛】本题主要考查二元一次方程及方程组的应用,数形结合并分情况讨论是解题的关键.22.(1)(40),(03)A B -,,;(2)1BE OE OC-=;(3)G ∠与H ∠之间的数量关系为2180G H ∠=∠-︒.【分析】(1)根据非负数的性质和解二元一次方程组求解即可;(2)设(0,),(0,)C c E y ,先根据平移的性质可得(43)D c +,,过D 作DP x ⊥轴于P ,再根据三角形ADP 的面积得出8(3)44(3)222c y y c +++=+,从而可得32c y +=,然后根据线段的和差可得BE OE c OC -=-=,由此即可得出答案;(3)设AH 与CD 交于点Q ,过H ,G 分别作DF 的平行线MN ,KJ ,设,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠=,由平行线的性质可得180(),1802()QHF DGF αβαβ∠=︒-+∠=︒-+,由此即可得出结论.【详解】(1)∵2(25)0a b ≥++≥,且2(25)0a b ++=∴250220a b a b ++=⎧⎨+-=⎩解得:43a b =-⎧⎨=⎩则(40),(03)A B -,,; (2)设(0,),(0,)C c E y∵将线段AB 平移得到CD ,(40),(03)A B -,, ∴由平移的性质得(43)D c +,如图1,过D 作DP x ⊥轴于P∴4,3,,AO OP DP c OE y OC c ===+==-∵ADP AOE OEDP SS S =+梯形 ∴()222AP DP OA OE OE DP OP ⋅⋅+⋅=+ 即8(3)44(3)222c y y c +++=+ 解得32c y +=∴()232BE OE BO OE OE BO OE y c -=--=-=-=- ∴1BE OE c OC c--==-;(3)G ∠与H ∠之间的数量关系为2180G H ∠=∠-︒,求解过程如下:如图2,设AH 与CD 交于点Q ,过H ,G 分别作DF 的平行线MN ,KJ∵HD 平分BAC ∠,HF 平分DFG ∠∴设,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠=∵AB 平移得到CD∴//,//AB CD BD AC∴BAH AQC FQH α∠=∠=∠=,180BAC ACD BDC ACD ∠+∠=︒=∠+∠∴2BAC BDC FDG α∠=∠=∠=∵//MN FQ∴,MHQ FQH NHF DFH αβ∠=∠=∠=∠=∴180180()QHF MHQ NHF αβ∠=︒-∠-∠=︒-+∵//KJ DF∴2,2DGK FDG DFG FGJ αβ∠=∠=∠=∠=∴1801802()DGF DGK FGJ αβ∠=︒-∠-∠=︒-+∴2180DGF QHF ∠=∠-︒.【点睛】本题属于一道较难的综合题,考查了解二元一次方程组、平移的性质、平行线的性质等知识点,较难的是题(3),通过作两条辅助线,构造平行线,从而利用平行线的性质是解题关键.23.(1)5040a b ;(2)竖式无盖礼品盒200个,横式无盖礼品盒400个. 【分析】(1)由图示利用板材的长列出关于a 、b 的二元一次方程组求解;(2)根据已知和图示计算出两种裁法共产生A 型板材和B 型板材的张数,然后根据竖式与横式礼品盒所需要的A 、B 两种型号板材的张数列出关于x 、y 的二元一次方程组,然后求解即可.【详解】解:(1)由题意得:310200330200a b a b , 解得:5040a b ,答:图甲中a 与b 的值分别为:50、40;(2)由图示裁法一产生A 型板材为:3×625=1875,裁法二产生A 型板材为:1×125=125, 所以两种裁法共产生A 型板材为1875+125=2000(张),由图示裁法一产生B 型板材为:1×625=625,裁法二产生A 型板材为,3×125=375,所以两种裁法共产生B 型板材为625+375=1000(张),设裁出的板材做成的竖式有盖礼品盒有x 个,横式无盖礼品盒有y 个,则A 型板材需要(4x+3y )个,B 型板材需要(x+2y )个,则有43200021000xy x y ,解得200400x y .【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用,关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a 、b 的值,根据图示列出算式以及关于x 、y 的二元一次方程组.+24.(1)第三象限;(2)见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)根据平方根的意义得到a <0,然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A 在第三象限;(2)先利用方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩,用a 表示b 、c ,得b=2+a.c=a, 则B 点的坐标为(2+a ,a ),故AB //x 轴,AB=|2+a-a|=2,故11|y |2||||22OAB B S AB a a =⨯⨯=⨯⨯= 由若△OAB 的面积大于5而小于8,可得5||8a <<计算即可得a 的取值范围;(3)由AB //x 轴即MN ∥AB 可得MN ∥x 轴,则M 、N 的y 坐标,以及MN=AB =2,可得方程组解得m 、n 的值,即可得出结论;【详解】(1)∵a 没有平方根,∴a <0,∴点A 在第三象限;(2)解方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩用a 表示b 、c ,得2b a c a =+⎧⎨=⎩ ∵点B 坐标为(b ,c )∴点B 坐标为(2+a ,a )∵点A 的坐标为(a ,a )∴AB =|2+a-a|=2,AB 与x 轴平行 ∴11|y |2||||22OAB B S AB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∵△OAB 的面积大于5而小于8,∴5||8a <<解得:58a <<或85a -<<-(3) ∵AB ∥x 轴又∵MN ∥AB∴MN ∥x 轴∵M(2m, 3m-5) N(n-1, -2n-3), MN=AB=2 ∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩ 3523122m n n m -=--⎧⎨--=-⎩∴47137m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴847647,,7774M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 或823623,,7777M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质,平方根,解三元一次方程组,三角形的面积,解不等式,审清题意,能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键.25.(1)31p m +=;(2)正方形有16个,六边形有12个;(3)216s t =⎧⎨=⎩,515s t =⎧⎨=⎩,814s t =⎧⎨=⎩或1113s t =⎧⎨=⎩【解析】【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍,摆2个正方形需要7根小木棍,摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍,则摆p 个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍,由此求得答案即可;(2)设连续摆放了六边形x 个, 正方形y 个,则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根,六方形共用小木棍(5x+1)根,由题意列出方程组解决问题即可;(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根,由此可得s 、t 间的关系,再根据s 、t 均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.【详解】(1)摆1个正方形需要4根小木棍,4=4+3×(1-1),摆2个正方形需要7根小木棍,4=4+3×(2-1),摆3个正方形需要10根小木棍,10=4+3×(3-1),……,摆p 个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍,故答案为:31p m +=;(2)设六边形有x 个,正方形有y 个,则51311104x y x y +++=⎧⎨+=⎩,解得1216x y =⎧⎨=⎩, 所以正方形有16个,六边形有12个;(3)据题意,350t s +=,据题意,t s ≥,且,s t 均为整数,因此,s t 可能的取值为:216s t =⎧⎨=⎩,515s t =⎧⎨=⎩,814s t =⎧⎨=⎩或1113s t =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用,找出连续摆放正方形共用小木棍的根数,六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键.26.(1)4k =;(2){15x y ==,{32x y ==【解析】【分析】(1)先求出方程组的解,再代入方程210x ky -=,即可求出k 值;(2)把k 的值代入方程(k-1)x+2y=13,再求出正整数解即可.【详解】() 1方程组1327x y x y +=-⎧-=⎨⎩的解为:{12x y ==-, 将{12x y ==-代入210x ky -=得:2210k +=,解得:4k =; ()2把4k =代入方程()1213k x y -+=得:3213x y +=, 即1332x y -=, 所以关于x ,y 的方程()1213k x y -+=的正整数解为{15x y ==,{32x y ==.【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程,能求出k 的值是解此题的关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案一、选择题1.已知1,2x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x ay +=的一组解,则a 的值为( )A .2B .2-C .1D .1-2.某小区准备新建 50 个停车位,已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元;新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元,求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?设新建 1 个地上停车位需要 x 万元,新建 1 个地下停车位需 y 万元,列二元一次方程组得( )A .632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩B .623 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩C .0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩D .63213x y x y +=⎧⎨+=⎩3.已知22x y =-⎧⎨=⎩是方程kx +2y =﹣2的解,则k 的值为( )A .﹣3B .3C .5D .﹣54.已知关于x 、y 的二元一次方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩给出下列结论:①当5k =时,此方程组无解;②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解,则10k =;③无论整数k 取何值,此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数),其中正确的是( ) A .①②③ B .①③ C .②③ D .①② 5.已知10a b +=,6a b -=,则22a b -的值是( )A .12B .60C .60-D .12-6.端午节前夕,某超市用1680元购进A ,B 两种商品共60,其中A 型商品每件24元,B 型商品每件36元.设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件,依题意列方程组正确的是( )A .6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩B .6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩C .3624601680x y x y +=⎧⎨+=⎩D .2436601680x y x y +=⎧⎨+=⎩7.甲、乙两人同求方程ax -by =7的整数解,甲正确地求出一个解为11x y =⎧⎨=-⎩,乙把ax -by =7看成ax -by =1,求得一个解为12x y =⎧⎨=⎩,则a ,b 的值分别为( )A .25a b =⎧⎨=⎩B .52a b =⎧⎨=⎩C .35a b =⎧⎨=⎩D .53a b =⎧⎨=⎩8.已知关于x ,y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩,则a ﹣2b 的值是( ) A .﹣2 B .2 C .3 D .﹣3 9.由方程组71x m y m +⎧⎨-⎩==可得出x 与y 的关系式是( )A .x+y=8B .x+y=1C .x+y=-1D .x+y=-810.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换其中一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只 雀的重量为x 斤,一只燕的重量为y 斤,则可列方程组为( )A .56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B .65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C .56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D .65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩二、填空题11.三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物,至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测:他们6人,每人花在买商品的钱数(单位:元)正好等于商品数量的平方,而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱,又知先生A 比b 多买9件商品,先生B 比a 多买7件商品.则先生A 的妻子是__________.12.已知对任意a b ,关于x y ,的三元一次方程()()a b x a b y a b --+=+只有一组公共解,求这个方程的公共解_____________.13.如图,在大长方形ABCD 中,放入六个相同的小长方形,11BC =,7DE =,则图中阴影部分面积是____.14.某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园,门票价格如下: 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格13元/人11元/人9元/人如果按部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1245元;如果两个部门合在一起作为一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为945元.那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为_____.15.2018年10月21日,重庆市第八届中小学艺术工作坊在渝北区空港新城小学体育馆开幕,来自全重庆市各个区县共二十多个工作坊集中展示了自己的艺术特色.组委会准备为现场展示的参赛选手购买三种纪念品,其中甲纪念品5元/件,乙纪念品7元/件,丙纪念品10元/件.要求购买乙纪念品数量是丙纪念品数量的2倍,总费用为346元.若使购买的纪念品总数最多,则应购买纪念品共_____件.16.已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字,且a 、b 、c 满足(|a ﹣2|+|a ﹣4|)(|b |+|b ﹣3|)(|c ﹣1|+|c ﹣6|)=60,则这个三位数的最大值为_____. 17.在精准扶贫的过程中,某驻村服务队结合当地高山地形,决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人,经过一段时间,该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5,是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量,将在该村余下土地上继续种植这三种中药材,经测算需将余下土地面积的916种植黄连,则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的1940.为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4,则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____. 18.若3x -5y -z =8,请用含x ,y 的代数式表示z ,则z =________.19.a 与b 互为相反数,且4a b -=,那么211a ab a ab -+++=_______.20.关于x ,y 的二元一次方程组5323x y x y a +=⎧⎨+=⎩的解是正整数,试确定整数a 的值为_________________.三、解答题21.用如图1所示的,A B 两种纸板作侧面或底面制作如图2所示的甲、乙两种长方体形状的无盖纸盒.(1)现有A 纸板70张,B 型纸板160张,要求恰好用完所有纸板,问可制作甲、乙两种无盖纸盒各多少个?(2)若现仓库A 型纸板较为充足,B 型纸板只有30张,根据现有的纸板最多可以制作多少个如图2所示的无盖纸盒(甲、乙两种都有,要求B 型纸板用完)(3)经测量发现B 型纸板的长是宽的2倍(即b=2a),若仓库有6个丙型的无盖大纸盒(长宽高分别为2,,2a a a ),现将6个丙型无盖大纸盒经过拆剪制作成甲、乙两种型号的纸盒,可以各做多少个(假设没有边角消耗,没有余料)?22.甲从A 地出发步行到B 地,乙同时从B 地步行出发至A 地,2小时后在中途相遇,相遇后,甲、乙步行速度都提高了1千米/小时.若设甲刚出发时的速度为a 千米/小时,乙刚出发的速度为b 千米/小时.(1)A 、B 两地的距离可以表示为 千米(用含a ,b 的代数式表示); (2)甲从A 到B 所用的时间是: 小时(用含a ,b 的代数式表示);乙从B 到A 所用的时间是: 小时(用含a ,b 的代数式表示).(3)若当甲到达B 地后立刻按原路向A 返行,当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,请问AB 两地的距离为多少? 23.规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解,每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点,将这些亮点连接得到一条直线,称这条直线是亮点的隐线,答下列问题: (1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---,则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是隐线26t x hy +=的两个亮点,求方程()22144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数, 且27m n +=,若(),P m n 是隐线23x y s -=的一个亮点,求隐线s 中的最大值和最小值的和. 24.某公园的门票价格如下表所示:某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园,其中(I)班的人数较少,不足 50 人;(2) 班人数略多,有 50 多人.如果两个班都以班为单位分别购票,则一共应付 1172 元,如 果两个班联合起来,作为一个团体购票,则需付 1078 元. (1)列方程求出两个班各有多少学生;(2)如果两个班联合起来买票,是否可以买单价为 9 元的票?你有什么省钱的方法来帮 他们买票呢?请给出最省钱的方案. 25.先阅读材料再回答问题. 对三个数x ,y ,z ,规定{},,3x y zM x y z ++=;{}min ,,x y z 表示x,y,z 这三个数中最小的数,如{}12341,2,333M -++-==,{}min 1,2,31-=- 请用以上材料解决下列问题:(1)若{}min 2,22,422x x +-=,求x 的取值范围; (2)①若{}{}21,2min 2,1,2M x x x x ,+=+,求x 的值;②猜想:若{}{},,min ,,M a b c a b c =,那么a ,b ,c 大小关系如何?请直接写出结论; ③问:是否存在非负整数a ,b ,c 使{}{}27,321,41min 27,321,41M a b a b c a b a b c -++++=-++++等式成立?若存在,请求出a ,b ,c 的值;若不存在,请说明理由.26.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人:他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车. (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?(2)如果工厂招聘新工人若干名(新工人人数少于10人)和抽调的熟练工合作,刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值. 【详解】把1,2x y =⎧⎨=⎩代入方程24x ay +=,得224a +=,解得1a =. 故选C. 【点睛】此题考查了二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.2.C解析:C 【分析】根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式,由此进一步即可得出相应的方程组. 【详解】由题意得:新建1个地上停车位需要x 万元,新建1个地下停车位需y 万元, ∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元, ∴0.6xy,又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元, ∴32 1.3x y +=, ∴可列方程组为:0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩,故选:C . 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.3.B解析:B 【分析】 把22x y =-⎧⎨=⎩代入是方程kx +2y =﹣2得到关于k 的方程求解即可. 【详解】解:把22x y =-⎧⎨=⎩代入方程得:﹣2k +4=﹣2,解得:k =3, 故选B . 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.4.A解析:A 【分析】根据二元一次方程组的解法逐个判断即可. 【详解】当5k =时,方程组为3563510x y x y +=⎧⎨+=⎩,此时方程组无解∴结论①正确由题意,解方程组35661516x y x y +=⎧⎨+=⎩得:2345x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩把23x =,45y =代入310x ky +=得2431035k ⨯+=解得10k =,则结论②正确解方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩得:20231545x k y k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又k 为整数x 、y 不能均为整数∴结论③正确综上,正确的结论是①②③ 故选:A .本题考查了二元一次方程组的解与解法,掌握二元一次方程组的解法是解题关键.5.B解析:B 【分析】先利用加减消元法解方程组106a b a b +=⎧⎨-=⎩可得a 、b 的值,再代入求值即可得.【详解】由题意得:106a b a b +=⎧⎨-=⎩,解得82a b =⎧⎨=⎩,则22222864460a b -==-=-, 故选:B . 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、有理数的乘方和减法运算,掌握方程组的解法是解题关键.6.B解析:B 【分析】根据A 、B 两种商品共60件以及用1680元购进A 、B 两种商品,分别得出等式组成方程组即可. 【详解】解:设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件,依题意列方程组:6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩. 故选B.. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,然后再列出方程组.7.B解析:B 【解析】把甲的解代入ax -by =7可得a +b =7,把乙的解代入可得a -2b =1,由它们构成方程组可得721a b a b +=⎧⎨-=⎩,解方程组得52a b =⎧⎨=⎩,故选B . 8.B【详解】把11x y =⎧⎨=-⎩代入方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩得:231a b a b -=⎧⎨+=⎩, 解得:4313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 所以a−2b=43−2×(13-)=2. 故选B.9.A解析:A 【分析】将第二个方程代入第一个方程消去m 即可得. 【详解】71x m y m +⎧⎨-⎩=①=②,将②代入①,得:x+y-1=7,则x+y=8,故选A . 【点睛】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.10.C解析:C 【分析】根据题意,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题. 【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程:(1)五只雀和六只燕共重一斤,列出方程:5x+6y =1(2) 互换其中一只,恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量,列出方程:4x+y =5y+x, 故选C. 【点睛】此题考查二元一次方程组应用,解题关键在于列出方程组二、填空题11.【分析】设一对夫妻,丈夫买了x 件商品,妻子买了y 件商品,列出关于x 、y 的二元二次方程,再根据x 、y 都是正整数,且与有相同的奇偶性,即可得出关于x 、y的二元一次方程组,求出x 、y 的值,再找出符合和 解析:c【分析】设一对夫妻,丈夫买了x 件商品,妻子买了y 件商品,列出关于x 、y 的二元二次方程,再根据x 、y 都是正整数,且x y +与x y -有相同的奇偶性,即可得出关于x 、y 的二元一次方程组,求出x 、y 的值,再找出符合9x y -=和7x y -=的情况即可进行解答. 【详解】设一对夫妻,丈夫买了x 件商品,则钱数为2x ,妻子买了y 件商品,则钱数为2y ,依题意有x 2-y 2=48,即()()48x y x y +-=, ∵x 、y 都是正整数,且x y +与x y -有相同的奇偶性, 又∵x y x y +>-,48=24×2=12×4=8×6, ∴242x y x y +=⎧⎨-=⎩或124x y x y +=⎧⎨-=⎩或86x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得13x =,11y =或8x =,4y =或7x =,1y =, 符合9x y -=的只有一种,可见A 买了13件商品,b 买了4件, 同时符合7x y -=的也只有一种,可知B 买了8件,a 买了1件, ∴C 买了7件,c 买了11件.由此可知三对夫妻的组合是:A 、c ;B 、b ;C 、a . 故答案为:c . 【点睛】本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性,根据题意列出关于x 、y 的不定方程是解答此题的关键.12.【分析】先把原方程化为的形式,再分别令a ,b 的系数为0,即可求出答案. 【详解】 解:由已知得: ∴两式相加得:,即, 把代入得到,, 故此方程组的解为:. 故答案为:. 【点睛】 本题主要考解析:01x y =⎧⎨=-⎩【分析】先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式,再分别令a ,b 的系数为0,即可求出答案. 【详解】解:由已知得:(1)(1)0a x y b x y ---++=∴1010x y x y --=⎧⎨++=⎩两式相加得:20x =,即0x =, 把0x =代入10x y --=得到,1y =-, 故此方程组的解为:01x y =⎧⎨=-⎩. 故答案为:01x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题,运用三元一次方程组的解法的知识进行计算,即可解答.13.51 【分析】先设小长方形的长、宽分别为、,由题意列方程组,解得小长方形的长、宽,由可求得,再根据,可解阴影面积. 【详解】解:设小长方形的长、宽分别为、, 依题意得: ,即, 解得:, , ,解析:51 【分析】先设小长方形的长、宽分别为x 、y ,由题意列方程组,解得小长方形的长、宽,由DC DE EC =+可求得DC ,再根据6ABCD S S S =-⨯阴影小长方形,可解阴影面积.【详解】解:设小长方形的长、宽分别为x 、y , 依题意得:31127y x y x y +=⎧⎨+-=⎩,即3117x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得:81x y =⎧⎨=⎩, 818S ∴=⨯=小长方形,729DC DE EC ∴=+=+=,11BC =,11999ABCD S BC DC ∴=⋅=⨯=,6996851ABCD S S S ∴=-⨯=-⨯=阴影小长方形,本题的答案为51.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用,利用了求面积中一种常用的方法割补法,面积总量不变,扣掉较容易求出的图形面积,可得解.14.15【分析】根据945不能被11和13整除,能被9整除,可得两个部门的人数之和为105;再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1~50和51~100的范围,结合门票价格和人数解析:15【分析】根据945不能被11和13整除,能被9整除,可得两个部门的人数之和为105;再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1~50和51~100的范围,结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可.【详解】解:设人数较少的部门有x 人,人数较多的部门有y 人,∵945不能被11和13整除且945÷9=105(人),∴两个部门的人数之和为105(人),∵1245不能被11和13整除,∴1≤x ≤50,51≤y ≤100,依题意,得:10513111245x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得:4560x y =⎧⎨=⎩, ∴15-=x y ,故答案为:15.【点睛】本题考查了函数的应用问题和学生分析问题的能力,结合门票和人数之间的关系,建立方程是解题的关键.15.62【分析】设购买甲纪念品x件,丙纪念品y件,则购进乙纪念品2y件,根据总价=单价×数量,即可得出关于x,y的二元一次方程,结合x,y均为非负整数,即可求出x,y的值,进而可得出(x+y+2y)解析:62【分析】设购买甲纪念品x件,丙纪念品y件,则购进乙纪念品2y件,根据总价=单价×数量,即可得出关于x,y的二元一次方程,结合x,y均为非负整数,即可求出x,y的值,进而可得出(x+y+2y)的值,取其最大值即可得出答案.【详解】设购买甲纪念品x件,丙纪念品y件,则购进乙纪念品2y件,依题意,得:5x+7×2y+10y=346,∴x=346245y-,∵x,y均为非负整数,∴346﹣24y为5的整数倍,∴y的尾数为4或9,∴504xy=⎧⎨=⎩,269xy=⎧⎨=⎩,214xy=⎧⎨=⎩,∴x+y+2y=62或53或44.∵62>53>44,∴最多可以购买62件纪念品.故答案为:62.【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用,根据题意,求出x,y的非负整数解,是解题的关键.16.536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,因为a、b、c是整数,且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1解析:536【分析】由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,因为a、b、c是整数,且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60,分三种情况讨论:①|a﹣2|+|a﹣4|=4,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5;②|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=6,|c ﹣1|+|c﹣6|=5;③|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=10,求出a、b、c的值,即可得出最大三位数.【详解】∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2,|b|+|b﹣3|≥3,|c﹣1|+|c﹣6|≥5,∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.∵a、b、c是整数,(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60,∴有三种情况:①|a﹣2|+|a﹣4|=4,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5;②|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=6,|c﹣1|+|c﹣6|=5;③|a﹣2|+|a﹣4|=2,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=10.∴要使三位数最大,首先要保证a尽可能大.当|a﹣2|+|a﹣4|=4时,解得:a=1或a=5;当|a﹣2|+|a﹣4|=2时,解得:2≤a≤4;∴a=5.当a=5时,|b|+|b﹣3|=3,|c﹣1|+|c﹣6|=5.解得:0≤b≤3,1≤c≤6,∴由a、b、c组成的最大三位数为536.故答案为:536.【点睛】本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程;熟练掌握绝对值的几何意义,利用不等式和数轴解题是关键.17.3:20【解析】【分析】设该村已种药材面积x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),川香已种植面积x、贝母已种植面积x、黄连已种植面积x,依题意列出方程组,用y的代数解析:3:20【解析】【分析】设该村已种药材面积x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),川香已种植面积13x、贝母已种植面积14x、黄连已种植面积512x,依题意列出方程组,用y的代数式分别表示x、y,然后进行计算即可.【详解】解:设该村已种药材面积x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则总面积为(x+y),川香已种植面积13x、贝母已种植面积14x、黄连已种植面积512x依题意可得,5919()121640191:3:4 3164x y x yx y y z x z⎧+=+⎪⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪+--+=⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩①②由①得32x y =③将③代入②得38 z y =∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=3383202yzx y y y==++故答案为3:20.【点睛】本题考查了三元一次方程组,正确找出等量关系并列出方程是解题的关键18.3x-5y-8【解析】【分析】根据等式的性质,移项即可解题.【详解】解:∵3x-5y-z=8,∴z=3x-5y-8(移项).【点睛】本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解解析:3x-5y-8【解析】【分析】根据等式的性质,移项即可解题.【详解】解:∵3x-5y-z=8,∴z=3x-5y-8(移项).【点睛】本题考查了等式的性质,属于简单题,熟练运用移项是解题关键.19.7或3【解析】【分析】解此题可设b=-a,求出a,b的值,然后代入代数式求解即可.【详解】由题意得,解得:或,当a=2,b=-2时,=7;当a=-2,b=2时,=3,故答案为:7或解析:7或3【解析】【分析】解此题可设b=-a ,求出a ,b 的值,然后代入代数式求解即可.【详解】 由题意得04a b a b +=⎧⎨-=⎩, 解得:22a b =⎧⎨=-⎩或22a b =-⎧⎨=⎩, 当a=2,b=-2时,2a ab 1 a ab 1-+++=7; 当a=-2,b=2时,2a ab 1a ab 1-+++=3, 故答案为:7或3.【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及代数式求值,正确求出a 、b 的值是解题的关键. 20.7或5【解析】分析:首先用含a 的代数式分别表示x ,y ,再根据条件二元一次方程组的解为正整数,得到关于a 的不等式组,求出a 的取值范围,再根据a 为整数确定a 的值. 详解:①-②×3,得2x=2解析:7或5【解析】分析:首先用含a 的代数式分别表示x ,y ,再根据条件二元一次方程组的解为正整数,得到关于a 的不等式组,求出a 的取值范围,再根据a 为整数确定a 的值.详解:5323x y x y a +=⎧⎨+=⎩①②①-②×3,得2x=23-3a解得x=2332a - 把x=2332a -代入②得y=5232a -∵关于x,y的二元一次方程组5323x yx y a+=⎧⎨+=⎩的解是正整数∴2332a->0,5232a->0解得2323 53a<<即a=5、6、7∵x、y为正整数∴a为5或7.故答案为:5或7.点睛:本题考查了二元一次方程组的解,解二元一次方程组,解一元一次方程的应用,关键是能根据题意得出关于a的方程.三、解答题21.(1)制作甲24个,乙22个.(2)最多可以制作甲,乙纸盒24个.(3)制作甲6个,乙4个.【分析】(1)设制作甲x个,乙y个,则需要A,B型号的纸板如下表:(2)设制作甲m个,乙k个,则需要A,B型号的纸板如下表:(3)由1个丙型大纸盒可以拆成7块B型纸板,所以6个丙型大纸盒可以拆成42块B型纸板,而制作1个甲纸盒要4块B型纸板,制作1个乙纸盒要4.5块B型纸板,通过列方程求方程的正整数解得到答案.【详解】解:(1)设制作甲x个,乙y个,则34160270x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得:2422x y =⎧⎨=⎩, 即制作甲24个,乙22个.(2)设制作甲m 个,乙k 个,则23430m k n m k +=⎧⎨+=⎩, 消去k 得,465m n =-, 因为:,m n 为正整数,所以:10152, 6.63n n m m k k ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩综上,最多可以制作甲,乙纸盒24个.(3)因为1个丙型大纸盒可以拆成7块B 型纸板,所以6个丙型大纸盒可以拆成42块B 型纸板,而制作1个甲纸盒要4块B 型纸板,制作1个乙纸盒要4.5块B 型纸板,设制作甲c 个,乙d 个,则4 4.542c d +=,因为,c d 为正整数,所以6,4c d ==,即可以制作甲6个,乙4个.【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用.二元一次方程(组)的正整数解,解题关键是弄清题意,找出题目蕴含的等量关系,列出方程或方程组解决问题.22.(1)2(a +b );(2)(2+21b a +);(2+21a b +);(3)36. 【分析】(1)根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间,即可得出结论; (2)利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇,即可得出结论;(3)设AB 两地的距离为S 千米,根据路程=速度×时间,即可得出关于(a+b ),S 的二元一次方程组(此处将a+b 当成一个整体),解之即可得出结论.【详解】(1)A 、B 两地的距离可以表示为2(a +b )千米.故答案为:2(a +b ).(2)甲乙相遇时,甲已经走了2a 千米,乙已经走了2b 千米,根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时,得甲还需21b a +小时到达B 地,乙还需21a b +小时到达A 地,所以甲从A 到B 所用的时间为(2+21b a + )小时,乙从B 到A 所用的时间为(2+21a b +)小时.故答案为:(2+21b a +);(2+21a b +). (3)设AB 两地的距离为S 千米,3小时36分钟=185小时. 依题意,得: 2()182(11)5S a b S a b =+⎧⎪⎨=+++⎪⎩, 令x =a +b ,则原方程变形为2182(2)5S x S x =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:1836x S =⎧⎨=⎩. 答:AB 两地的距离为36千米.【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.23.(1)B ;(2),x y 的最小整数解为104x y =⎧⎨=⎩;(3)隐线中s 的最大值和最小值的和为72【分析】(1)将A,B,C 三点坐标代入方程,方程成立的点即为所求,(2)将P,Q 代入方程,组成方程组求解即可,(3)将P 代入隐线方程,27n +=组成方程组,求解方程组的解,再由()2723147s n n n =--=-即可求解.【详解】解:(1)将A,B,C 三点坐标代入方程,只有B 点符合,∴隐线326x y +=的亮点的是B.(2)将()10,2,1,3P Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入隐线方程 得:226163h t h -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得253t h ⎧=⎨=-⎩ 代入方程得:5626x y -=,x y ∴的最小整数解为104x y =⎧⎨=⎩(3)由题意可得273n n s==⎪⎩72n =-72n ∴= ()2723147s n n n ∴=--=-212s ∴=- s ∴的最大值为14,最小值为212- 隐线中s 的最大值和最小值的和为2171422-= 【点睛】本题考查了二元一次方程的新定义,二元一次方程与直线的关系,运用了数形结合的思想,理解题意是解题关键.24.(1)七(1)班有47人,七(2)班有51人;(2) 如果两个班联合起来买票,不可以买单价为9 元的票, 省钱的方法,可以买101张票,多余的作废即可【解析】【分析】(1)由两个班联合起来,作为一个团体购票,则需付 1078 元可知:710879=1209÷可得票价不是9元,所以两个班的总人数没有超过100人,设七(1)班有x 人,七(2)班有y 人,可列方程组,解方程组即可得答案;(2)如果两班联合起来作为一个团体购票,则每张票11元,省钱的方法,可以买101张票,多余的作废即可。