行列式的计算1(二阶行列式)
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注意 分母都为原方程组的系数行列式. 分母都为原方程组的系数行列式
D ≠ 0方程组有唯一解 D = 0时,
1.当D1 , D2 至少有一个不为零 , 方程组无解 . 2.当D1 = D2 = 0, 方程组有无穷多解 .
例1 求解二元线性方程组
3 x1 − 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1.
D = a1b2 − a2b1
Dy = a1c2 − a2c1
Dy ， D
a1c2 − a2c1 y= ， a1b2 − a2b1
y=
a1 x + b1 y = c1 , a1 b1 c1 b1 a1 c1 D= , x= D , Dy = , a2 b2 c2 b2 a2 c2 a2 x + b2 y = c2 .
a21 b2
.
D2 = a11b2 − b1a 21
a11b2 − b1a21 x2 = . x2 = D2 ， a11a22 − a12a21 D
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 . 则二元线性方程组的解为 a11 b1 b1 a12 D2 a21 b2 D1 b2 a22 x2 = . = x1 = , = D a11 a12 D a11 a12 a21 a22 a21 a22
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2;
类似地， 类似地，消去x1，得 （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21,
当a11a22 − a12a21 ≠ 0 时，方程组的解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = ， x2 = . a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 （） 3
由方程组的四个系数确定. 由方程组的四个系数确定
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 由四个数排成二行二列（横排称行、 称列） 称列）的数表
a11 a12 a21 a22
a11 a12 行列式，并记作 行列式， a21 a22
即
a11 a12 = a11a22 − a12a21. a21 a22
a1 b1 D= , a2 b2
D = a1b2 −a2b1
Dx c1b2 − c2b1 x= ，x = ， D a1b2 − a2b1
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
a1 b1 a b , D= 1 1 , D= a2 b2 a2 b2 a1 c1 Dy = , a2 c2
D= a1 b1 a2 b2 , Dx = c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 ,
Dx x= ， D
y=
Dy ， D
二阶系数行列式 的运算定义
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
a1 b1 , D= a2 b2 c1 b1 Dx = , Dx = c1b2 − c2b1 c2 b2
若记 系数行列式
a11 a12 D= , a21 a22
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a12 , D = a11a22 − a12a21
a21 a22
a12 a 22 ,
D1 =
b1 b2
D1 = b1a 22 − a12 b2
D ≠ 0方程组有唯一解
D = 0时, (a1b2 − a2b1 = 0) 时
2.当Dx = Dy = 0,
a1 b1 = a2 b2
1.当Dx , Dy至少有一个不为零方程组无解 , .
a1 b1 c1 = = Dx = c1b2 − c2b1 = Dy = a1c2 − a2c1 = 0 a2 b2 c2
. 方程组有无穷多解
用消元法解二元线性方程组
a11x1 + a12 x2 = b1 , (1) a21x1 + a22 x2 = b2 . (2)
(1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22, (2) × a12 : a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12,
b1a22 − a12b2 x1 = ， x1 = D1 ， a11a22 − a12a21 D
RETURN
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a11 a12
D=
a21 a22 a11 b1
,
D = a11a22 − a12a21
D2 =
百度文库
(4)
表达式 a11a22 − a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 称为数表（ 4 (5)
二阶行列式的计算
主对角线
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12a21.
副对角线
a11x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21x1 + a22 x2 = b2 .
行列式 二阶行列式的运算
a1 x + b1 y = c1 , (a1b2 − a2b1 ≠ 0) a2 x + b2 y = c2 .
用加减消元法解方程组得
c1b2 − c2b1 x= ， a1b2 − a2b1 a1c2 − a2c1 y= ， a1b2 − a2b1
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7
D ≠ 0方程组有唯一解 D = 0时,
1.当D1 , D2 至少有一个不为零 , 方程组无解 . 2.当D1 = D2 = 0, 方程组有无穷多解 .
例1 求解二元线性方程组
3 x1 − 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1.
D = a1b2 − a2b1
Dy = a1c2 − a2c1
Dy ， D
a1c2 − a2c1 y= ， a1b2 − a2b1
y=
a1 x + b1 y = c1 , a1 b1 c1 b1 a1 c1 D= , x= D , Dy = , a2 b2 c2 b2 a2 c2 a2 x + b2 y = c2 .
a21 b2
.
D2 = a11b2 − b1a 21
a11b2 − b1a21 x2 = . x2 = D2 ， a11a22 − a12a21 D
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 . 则二元线性方程组的解为 a11 b1 b1 a12 D2 a21 b2 D1 b2 a22 x2 = . = x1 = , = D a11 a12 D a11 a12 a21 a22 a21 a22
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2;
类似地， 类似地，消去x1，得 （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21,
当a11a22 − a12a21 ≠ 0 时，方程组的解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = ， x2 = . a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 （） 3
由方程组的四个系数确定. 由方程组的四个系数确定
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 由四个数排成二行二列（横排称行、 称列） 称列）的数表
a11 a12 a21 a22
a11 a12 行列式，并记作 行列式， a21 a22
即
a11 a12 = a11a22 − a12a21. a21 a22
a1 b1 D= , a2 b2
D = a1b2 −a2b1
Dx c1b2 − c2b1 x= ，x = ， D a1b2 − a2b1
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
a1 b1 a b , D= 1 1 , D= a2 b2 a2 b2 a1 c1 Dy = , a2 c2
D= a1 b1 a2 b2 , Dx = c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 ,
Dx x= ， D
y=
Dy ， D
二阶系数行列式 的运算定义
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
a1 b1 , D= a2 b2 c1 b1 Dx = , Dx = c1b2 − c2b1 c2 b2
若记 系数行列式
a11 a12 D= , a21 a22
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a12 , D = a11a22 − a12a21
a21 a22
a12 a 22 ,
D1 =
b1 b2
D1 = b1a 22 − a12 b2
D ≠ 0方程组有唯一解
D = 0时, (a1b2 − a2b1 = 0) 时
2.当Dx = Dy = 0,
a1 b1 = a2 b2
1.当Dx , Dy至少有一个不为零方程组无解 , .
a1 b1 c1 = = Dx = c1b2 − c2b1 = Dy = a1c2 − a2c1 = 0 a2 b2 c2
. 方程组有无穷多解
用消元法解二元线性方程组
a11x1 + a12 x2 = b1 , (1) a21x1 + a22 x2 = b2 . (2)
(1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22, (2) × a12 : a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12,
b1a22 − a12b2 x1 = ， x1 = D1 ， a11a22 − a12a21 D
RETURN
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a11 a12
D=
a21 a22 a11 b1
,
D = a11a22 − a12a21
D2 =
百度文库
(4)
表达式 a11a22 − a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 称为数表（ 4 (5)
二阶行列式的计算
主对角线
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12a21.
副对角线
a11x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21x1 + a22 x2 = b2 .
行列式 二阶行列式的运算
a1 x + b1 y = c1 , (a1b2 − a2b1 ≠ 0) a2 x + b2 y = c2 .
用加减消元法解方程组得
c1b2 − c2b1 x= ， a1b2 − a2b1 a1c2 − a2c1 y= ， a1b2 − a2b1
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7