行列式的计算1(二阶行列式)
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
二阶三阶行列式计算方法
二阶三阶行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和变换。
在实际应用中，行列式经常用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题。
本文将介绍二阶三阶行列式的计算方法。
二阶行列式二阶行列式是一个2×2的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$是矩阵中的元素。
例如，对于矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，它的二阶行列式为：$$\begin{vmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{vmatrix} = 1\times4 - 2\times3 = -2$$三阶行列式三阶行列式是一个3×3的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$是矩阵中的元素。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。
它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。
一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。
这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。
二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。
三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。
其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。
四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。
分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。
五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。
以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。
行列式的计算1二阶行列式
$number {01}
目 录
• 行列式的定义 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 二阶行列式的计算实例
01
行列式的定义
二阶行列式的定义
01
二阶行列式表示为2x2 的数字方阵，由上而下 按顺序排列，记作|a b;
c d|。
02
行列式中的数字a、b 、c、d分别表示方阵 中对应位置的元素。
THANKS
递推法
递推法是一种基于数学归纳法的计算行列式的方法，通过递推关系式逐步计算出行列式的值。
对于二阶行列式，递推法的基本思想是利用已知的二阶行列式的值，通过递推关系式计算出更高阶的 行列式的值。具体步骤为：先计算出二阶行列式的值，然后利用递推关系式逐步计算出更高阶的行列 式的值。
03
行列式的性质
行列式与转置行列式的关系
具体计算步骤为：D=a11*a22-a12*a21。其中，a11、a12、a21、a22分别代 表二阶行列式中对应的元素。
降阶法
降阶法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式来计算的一种 方法。对于二阶行列式，降阶法就是将其转化为三角形行列 式来计算。
具体步骤为：先将二阶行列式的某一行或某一列的元素化为 零，然后利用展开式法计算剩余的元素，得到结果。
2
代数余子式具有反对称性，即对于任意一个n阶 行列式，任意交换两行或两列的位置，行列式的 值会变号。
3
代数余子式在计算行列式时具有消去性，可以通 过代数余子式展开来消去行列式中的某些元素， 从而简化计算。
02
行列式的计算方法
展开式法
展开式法是计算二阶行列式最直接的方法，根据二阶行列式的定义，将行列式按 主对角线元素相乘，副对角线元素相乘，然后相减得到算，即a*d-
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算行列式的情况，因此掌握行列式的计算方法对于线性代数的学习和应用都是非常重要的。
本文将介绍行列式的几种常用的计算方法，希望能够对读者有所帮助。
1. 二阶行列式的计算方法我们来看二阶行列式的计算方法。
对于一个二阶行列式，其表示形式为：D = |a b||c d|a、b、c、d为任意实数。
二阶行列式的计算方法非常简单，只需用左上角的元素乘以右下角的元素，再减去左下角的元素乘以右上角的元素即可，即：这就是二阶行列式的计算方法。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出任意给定二阶行列式的值。
同样地，a、b、c、d、e、f、g、h、i为任意实数。
三阶行列式的计算方法稍微复杂一些，但也是很容易理解的。
我们通过第一行的元素a、b、c与其余两行的元素d、e、f 和g、h、i构成的二阶行列式来计算出一个值，即a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)。
这样，我们就得到了原三阶行列式的值。
这个计算方法的核心就是利用代数余子式来计算三阶行列式的值。
代数余子式是指把一个元素及其所在的行和列去掉后所剩下的元素构成的二阶行列式的值。
通过不断地利用代数余子式，我们就可以顺利地计算出任意给定三阶行列式的值。
除了二阶行列式和三阶行列式之外，我们还可以通过递归的方法来计算其他阶行列式的值。
递归的思想在计算机科学中非常常见，它可以大大简化复杂问题的求解过程。
在计算行列式的情况下，递归的思想同样适用。
具体来说，我们可以通过下述公式来递归地计算n阶行列式的值：D = a1* A11 + a2* A12 + ... + an* A1na1、a2、... an为第一行的元素，A11、A12、... A1n为以a1、a2、... an为第一行元素的n-1阶行列式。
通过不断地利用代数余子式，我们就可以层层递归地计算出任意给定阶数的行列式的值。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。
在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。
本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。
行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。
在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。
对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。
三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。
行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。
二阶行列式的性质与应用
二阶行列式的性质与应用行列式是线性代数中的一个重要概念，常常用于解决各种数学问题。
其中，二阶行列式是最简单的一类行列式，在理解行列式的性质和应用时起到了关键作用。
本文将介绍二阶行列式的性质以及在实际问题中的应用。
一、二阶行列式的定义和性质二阶行列式可以表示为一个2×2的矩阵，一般形式为： | a b || c d |其中a、b、c、d为实数。
二阶行列式的计算公式为：ad - bc，即行列式中左上方元素与右下方元素之积减去右上方元素与左下方元素之积。
二阶行列式满足以下性质：1. 二阶行列式的值与对角线上元素的位置无关，即交换对角线上的元素不会改变行列式的值。
2. 二阶行列式的值与对角线上元素的符号有关，当对角线上的元素相等时，行列式的值为0，当对角线上的元素不等时，行列式的值为非零数。
3. 二阶行列式的行和列可以任意交换，不会改变行列式的值。
二、二阶行列式的应用二阶行列式的应用广泛存在于各个领域，下面介绍其中的两个典型应用。
1. 二阶线性方程组的求解二阶行列式可以用于求解二元线性方程组。
设有二元线性方程组：ax + by = mcx + dy = n将上述方程组的系数矩阵表示成二阶行列式的形式：| a b | | x | | m || | | | = | || c d | | y | | n |根据二阶行列式的性质可知，当行列式的值不为零时，方程组存在唯一解；当行列式的值为零时，方程组可能存在无穷多个解或无解。
2. 二阶行列式在几何中的应用二阶行列式在几何中有重要的几何意义，常用于计算平面上两个向量所夹的有向面积。
设有两个向量u = (u₁, u₂)和v = (v₁, v₂)，则二阶行列式 | u₁ u₂ | 计算得到的值表示u、v所夹有向面积的两倍。
| v₁ v₂ |这个性质对于计算平面上的多边形的有向面积十分有用。
通过将各边的向量表示成坐标形式，可以利用二阶行列式求解多边形的有向面积。
第1 讲 行列式的计算 - 清华大学出版社
an 2 ann
a1n
a2 n ann
.
等式右边的行列式称为左边行列式 D 的转置，记作 D T . 所以 D T D . 性质 2 行列式的某两行（列）元素成比例，则行列式为零. 性质 3 如果行列式中有一行（列）的每个元素都是两个数的和，则行列式 可拆成两个行列式的和. 即
ai1 ain ai1 ka j1 ain ka jn . an1 ann an1 ann
3. 行列式的展开定理
(1) 余子式，代数余子式
在 n 阶行列式中，将元素 aij 所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原 来 的 相 对 位 置 构 成 的 n 1 阶 行 列 式 ， 称 为 元 素 aij 的 余 子 式 ， 记 作 M ij .
1 2 . 2
行和与列和均不相等，但第 1 行（列）中不含 的两个元素之一为
0，可直接按对角线方法计算.
1
解
0 2
0 2 1 2 ( 1)( 1) 4( 1) 4( 1) ( 3)( 3). 2
2
考研线性代数选讲
a11
a1n
a11 a1n
a11 a1n
cin .
bi1 ci1 bin cin bi1 an1 ann
bin ci1
an1 ann
an1 ann
性质 4
行列式的两行（列）互换，行列式变号.
(1) (2) (3) (4)
AB A B (其中 B 为 n 阶方阵)； 1 A1 A （其中 A 可逆） ； A O A O A C A B ， (5) O B C B O B
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式1.行列式的性质：(1)交换定理：对于n阶行列式，将其行与列调换，则行列式的值不变。
(2)对角线法则：对于n阶行列式，行标和列标的和为偶数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之和；行标和列标的和为奇数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之差。
2.行列式的递推公式：(1)二阶行列式：对于2阶行列式，行列式的值等于左上角元素乘以右下角元素，减去右上角元素乘以左下角元素。
(2)三阶行列式：对于3阶行列式，行列式的值等于三个主对角线上元素的乘积之和，减去三个副对角线上元素的乘积之和。
3.行列式的初等变换：(1)行(列)交换：交换两行(列)，行列式的值不变。
(2)行(列)倍乘：将其中一行(列)的元素乘以k，行列式的值乘以k。
(3)行(列)倍加：将其中一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
4.行列式的倍数的性质：(1)行(列)成比例：若有两行(列)是成比例的，则行列式的值为0。
(2)带公因子：若行(列)中存在公因子，可提出公因子，行列式的值等于公因子乘以去掉公因子的行列式的值。
5.行列式的秩：(1)非零行列式：对于非零行列式，如果有r行(列)成线性相关，则行列式的值为0。
(2)对角行列式：对于对角行列式，主对角线上的元素均不为0，则行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。
6.行列式的乘改定义：(1) 行列式的乘积定义：两个行列式A和B的乘积定义为C=AB，其中C的元素为C_ij = ∑(A_i1*B_1j)，即A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
(2)顺序可交换：行列式的乘法满足顺序可交换，即AB=BA。
7.行列式的乘积规则：(1)两个行列式的乘积的维数：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB的维数为m×p。
(2)AB的行列式的值：如果AB的行列式的值存在，且A的行行列式的值不为0，B的列行列式的值不为0，则AB的行列式的值等于A的行列式的值乘以B的行列式的值。
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。
在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。
本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。
一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。
行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。
对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。
对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。
谈谈行列式的计算方法
谈谈行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组、计算逆矩阵以及求多项式的根等问题。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
一、行列式的定义与性质：行列式是一个数，可以用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的唯一解以及计算矩阵的逆等问题。
设A为一个n阶方阵，其行列式记作，A，或det(A)。
1.一阶行列式：对于一个1×1的矩阵[a]，其行列式定义为，a，=a。
2.二阶行列式：对于一个2×2的矩阵[a b; c d]，其行列式定义为，A，=ad-bc。
3.三阶行列式：对于一个3×3的矩阵[a₁b₁c₁;a₂b₂c₂;a₃b₃c₃]，其行列式定义为，A，=a₁b₂c₃+b₁c₂a₃+c₁a₂b₃-c₁b₂a₃-a₁c₂b₃-b₁a₂c₃。
性质：-行列式与其转置矩阵行列式相同：，A，=，A^T。
-交换矩阵的两行（列）行列式改变符号，交换三行（列）行列式不变。
-一行（列）中有等于零的元素，行列式等于零。
二、行列式的计算方法：1.根据定义计算：根据行列式的定义，可以直接按照计算规则进行计算，但随着阶数的增加，计算量会呈指数级增长，因此不适用于高阶行列式的计算。
2.代数余子式法（拉普拉斯展开）：利用代数余子式法可以将计算一个行列式的问题转化为计算多个较小行列式的和的问题。
对于一个n阶矩阵A，定义它的第i行第j列元素为aᵢⱼ，那么对于任意一个aᵢⱼ，可以定义它的代数余子式M(i,j)为将行i和列j从A中删去后的(n-1)阶行列式，即A的余子矩阵的行列式。
代数余子式M(i,j)用(-1)^(i+j)乘以A的代数余子式C(i,j)得到。
通过拉普拉斯展开定理，行列式等于它的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：A，=a₁ⱼM(1,j)+a₂ⱼM(2,j)+...+aⱼⱼM(n,j)（其中j为任意列号）3.三角行列式法：对于三角矩阵（上三角或下三角），行列式等于对角线上元素的乘积，即a₁₁a₂₂...aⱼⱼ。
(完整版)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档
12 1 11 2 （2） 0 1 1 0 1 1 （第二、 三列互换）
2 1 0 2 0 1
1 （3） 1
5
10 1 0 0 （第一、二两行相等） 27
2 1 1 （4） 4 2 2 0 （第二、三列相等）
7 3 3
1 例 4（1） 0
2
1 1 2
2 5 0 因为第三行是第一行的 2 倍. 22
性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D DT . 注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的 列也同样具有. 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质 3 用数 k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k 乘此行列式, 即
1 4 10
2 8 35
（2）
0 因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的 4
0 0 14
1 4 5 7
倍.
1 0 2 2 0 4
10 2
例 5 若 D 3 1 0 , 则 3 1 0 (2) 3 1 0 2D
1 2 1 1 2 1
1 2 1
4 0 2 10 2 又 12 1 0 4 3 1 0 4D .
1 23
例 1 计算三阶行列式 4 0 5 1 0 6
1 23 解 4 0 5 1 0 6 2 5(1) 3 4 0 3 0 (1) 1 5 0 4 2 6
1 0 6
10 48 58.
但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式 的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
注: 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上,记作 ri krj ; 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作
二阶行列式
方程组（A）有解情况主要取决于 D，那么 D 0是方程组A有唯一解的— ———条件 。
把Ｄ叫做方程组解的判别式。
例２、判断二元一次方程组解的情况：
4x 3y 5 （1）8 x 6 y 22
（2）
4
6
x x
6 9
y y
3 5
3x 2 y 6
从而方程组(A) 无解。
（2）如果 Dx Dy 0 显然在方程 D•x Dx 中，由于D Dx 0 从而x可取任意实数 再由 x的值代入方程求出相应的 y值，所
以方程组有无穷解。
由以上讨论，我们得到结论：
当 D 0 时方程组（A）有唯一解；
当 D 0时且 D x , D y中至少有一个
不为零，则方程组无解；
问题（1）请说出两个方程组的解的情况
（2）请考察各个行列式的情况
注意:1、正确写出行列式D、D x , D y
2、把方程组写成标准形式
（三）作为判别式的二阶行列式
讨论二元一次方程组的解的情况
给出一个二元一次方程组：
（A）
a1 x a2 x
b1 y b2 y
c1 c2
D • x D x
（3）
x
2 3
y
2
注意：若 D0,Dx 0则方程组无解，
不必再考虑 D y 是否为零 。
若 DDx 0，则必须再考虑 D y 是 否为零，由此判断方程组解的情况。
例2：解关于x,y的二元一次方程组，并对解的情
况进行讨论： mx 4y m 2 x my m
解：
m D
4m24(m2)(m2)
三、习题讲练：
例1：展开并化简下列行列式：
线性代数(同济大学应用数学系第四版)1-1 2阶、3阶行列式
b1 . b2
记
系数行列式
b1 D1 = b2
a12 , a 22
a11 D2 = a 21
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 = , = D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 = . = D a11 a12 a21 a22
同理可得
−2 −2 1 D1 = 1 1 − 3 = − 5, 0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −1
−2 1 1 −2 −2 D2 = 2 1 − 3 = −10, D3 = 2 1 1 = − 5, −1 0 −1 0 −1 1 1
故方程组的解为: 故方程组的解为 D1 D2 x1 = x2 = = 1, = 2, D D
例1 求解二元线性方程组
3 x1 − 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1.
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
12 − 2 D1 = = 14, 1 1
3 12 = −21, D2 = 2 1
D1 14 ∴ x1 = = = 2, D 7
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
例4
解线性方程组
x3 = − 2, x1 − 2x 2 + 2x 1 + x 2 − 3x 3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1 解
(一)行列式
a11 a12 a 21 a 22
a11a 22 a12 a 21
2．三阶行列式
a11 a12 a13
由 9 个数 aij (i, j 1,2,3) 得到下列式子： a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法， 我们采用递 归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
3、行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低， 再求出它的值； （2）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。 注意：结合上述两种方法：利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0” 元素，再按这一行或这一列展开；
对角行列式
ann
a11a22 ann
例1 计算下列行列式的值 1 1 2 （） 0 4 1 3 2 1 1 （2） 1 1 0 2 1 2 1 1 0 0 0 3 0 2 1
1
a b c d e f g h （3） x 0 0 0 y 0 0 0
（三）行列式的性质与计算
解：方程组的系数行列式
1 2 D 1
4
1 3 4 1 0 2 1 1 1 1 1 1 (1 )
2 3 1 2列 1列 2 1 1 3 4
第三行展开 按
1 3
3 5 2 6 ( 2)( 3)
2 1 4 1
例 2 计算行列式 D 4
3 1 2 1 5 2 3 2 7 0 2 5
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 1 ，利用这个元素可以把这一 列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
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(4)
表达式 a11a22 − a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 称为数表（ 4 (5)
二阶行列式的计算
主对角线
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12a21.
副对角线
a11x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21x1 + a22 x2 = b2 .
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7
D ≠ 0方程组有唯一解
D = 0时, (a1b2 − a2b1 = 0) 时
2.当Dx = Dy = 0,
a1 b1 = a2 b2
1.当Dx , Dy至少有一个不为零方程组无解 , .
a1 b1 c1 = = Dx = c1b2 − c2b1 = Dy = a1c2 − a2c1 = 0 a2 b2 c2
. 方程组有无穷多解
用消元法解二元线性方程组
a11x1 + a12 x2 = b1 , (1) a21x1 + a22 x2 = b2 . (2)
(1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22, (2) × a12 : a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12,
a1 b1 D= , a2 b2
D = a1b2 −a2b1
Dx c1b2 − c2b1 x= ，x = ， D a1b2 − a2b1
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
a1 b1 a b , D= 1 1 , D= a2 b2 a2 b2 a1 c1 Dy = , a2 c2
由方程组的四个系数确定. 由方程组的四个系数确定
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 由四个数排成二行二列（横排称行、 称列） 称列）的数表
a11 a12 a21 a22
a11 a12 行列式，并记作 行列式， a21 a22
即
a11 a12 = a11a22 − a12a21. a21 a22
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2;
类似地， 类似地，消去x1，得 （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21,
当a11a22 − a12a21 ≠ 0 时，方程组的解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = ， x2 = . a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21 （） 3
若记 系数行列式
a11 a12 D= , a21 a22
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a12 , D = a11a22 − a12a21
a21 a22
a12 a 22 ,
D1 =
b1 b2
D1 = b1a 22 − a12 b2
a21 b2
.
D2 = a11b2 − b1a 21
a11b2 − b1a21 x2 = . x2 = D2 ， a11a22 − a12a21 D
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 . 则二元线性方程组的解为 a11 b1 b1 a12 D2 a21 b2 D1 b2 a22 x2 = . = x1 = , = D a11 a12 D a11 a12 a21 a22 a21 a22
D = a1b2 − a2b1
Dy = a1c2 − a2c1
Dy ， D
a1c2 − a2c1 y= ， a1b2 − a2b1
y=
a1 x + b1 y = c1 , a1 b1 c1 b1 a1 c1 D= , x= D , Dy = , a2 b2 c2 b2 a2 c2 a2 x + b2 y = c2 .
b1a22 − a12b2 x1 = ， x1 = D1 ， a11a22 − a12a21 D
RETURN
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
ห้องสมุดไป่ตู้a11 a12
D=
a21 a22 a11 b1
,
D = a11a22 − a12a21
D2 =
D= a1 b1 a2 b2 , Dx = c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 ,
Dx x= ， D
y=
Dy ， D
二阶系数行列式 的运算定义
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
a1 b1 , D= a2 b2 c1 b1 Dx = , Dx = c1b2 − c2b1 c2 b2
行列式 二阶行列式的运算
a1 x + b1 y = c1 , (a1b2 − a2b1 ≠ 0) a2 x + b2 y = c2 .
用加减消元法解方程组得
c1b2 − c2b1 x= ， a1b2 − a2b1 a1c2 − a2c1 y= ， a1b2 − a2b1
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 .
注意 分母都为原方程组的系数行列式. 分母都为原方程组的系数行列式
D ≠ 0方程组有唯一解 D = 0时,
1.当D1 , D2 至少有一个不为零 , 方程组无解 . 2.当D1 = D2 = 0, 方程组有无穷多解 .
例1 求解二元线性方程组
3 x1 − 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1.