第51讲：数的整除特征(一)
数的整除
一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。
2、 正整数、零、负整数，统称为整数。
3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。
整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。
（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。
二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。
2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。
一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。
（2） 一个整数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身，没有最大倍数。
3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。
2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
数的整除的综合运用(一) 3.差系：7 11 13 能否被 7 11 …
数的整除的综合运用（一）【大海传功】 数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位 能否被4或25整除是看末两位 能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数 弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】()★★★要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】()★★★ 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★)★在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______。
【例5】()★★从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？1【例6】(★)★★下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？【例7】() ★★★★右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
五年级数学讲义数的整除
数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。
①末尾是0。
②各个数位上的数字之和能被9整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。
762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。
3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
六年下册奥数试题：数的整除特征（一）全国通用（含答案）
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
三位。
我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。
小学四年级奥数竞赛班作业第51讲：数的整除特征(一)
数的整除特征练习题一．夯实基础：1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少？3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？5.如果一个六位数2000a b能被26整除，所有．．这样的六位数是二．拓展提高：6.多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除.求这样的A的最小值.7.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?8.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？9.六位数2008能同时被9和11整除.这个六位数是多少？10.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?三. 超常挑战11.包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除；（2）它与2004的和能被13整除.那么这样的“十全数”中最小的是多少？12.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？13.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？14.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？四．杯赛演练：15.（迎春杯试题）用4,5,6,7,8,9组成一个没有重复数字的六位数，并且这个六位数能被667整除，求这个六位数除以667的商是多少？答案： 1. 42()33()abc a b c abc a b c =++⇒⇒++，所以99912617126abc k k ⎡⎤=⇒≤≤=⎢⎥⎣⎦经试验当6k =时，75642(756)abc ==⨯++2. (911)21199683⨯⨯-=3. 设这个五位数的各位数字之和为a ，则这个五位数为2009a ，则920089a a ⇒又100009999954920092009a a ≤≤⇒≤≤，所以9,18,27,36,45a =，将上述5个值依次尝试，只有18a = 时，200936162a =4. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.5. 26200022000,132000a b a b a b ⇒，经试验得520000,420004,3200086. 至少5位，由于31357925++++=，所以数字和至少增加2，为使其尽量小，位数应尽量小，增加的数也应尽量小，取极端情况251127++=，可满足3A 且9A ，又5A ，所以个位是5，依次考虑：1113795,1113975,1117395,1117935…，经用被7整除试验，得1117935符合要求7. 方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80． 又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24A +，26B +，28C +，30D +，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32235789572520⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=整除．用1993000试除，1993000252079÷=，余2200可以看成不足25202200320-=，所以在末三位的方格内填入320即可，或用1993999进行试除，19939992520791679÷=，所以19939996791993320-=能被2520整除，所以1993320为所求的这个数．8. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.9. 为便于表示，设这个六位数为2008a b ，它能同时被9和11整除，所以能被99整除，28991,7a b a b +=⇒==，所以这个六位数是12008710. 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个 数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它 们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．11.能被10整除，说明个位为0，为了使这个十位数尽可能小，就不妨假设它依次为1234560,123450abc abcd，经试验都不行，再假设它为12340abcd，经试验得这个数最小为123475968012.7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除÷=，所以所得六位数是524000344523656-=，或5240005041039344-=．因此三个数字的和是17或8．52365650452315213.1到10的乘积里会出现25⨯和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是408149++=个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．343=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其14.因为37中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．15.4+5+6+7+8+9=39，是3的倍数，所以这个六位数一定可以被3整除又这个六位数能被667整除，所以这个六位数是3×667=2001的倍数即一个三位数乘以2002得到这个六位数所以这个六位数的前三位是后三位的2倍，所以这个六位数是956478956478÷667=1434，即商是1434.。
整数的整除特征
整数的整除特征1. 尾系的整除特征12、5：末一位能被2、5整除：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位是0和5的数能被5整除;24、25：末两位能被4、25整除：如1764、123456能被4整除；17850、能被25整除;38、125：末三位能被8、125整除：如1760、123456能被8整除；27750、能被125整除;推而广之,末n位能被2n、5n整除;2. 和系的整除特征：从末位右→首位左13、9：一位一截,各位的数字和能被3或9整除：如8649→8＋6＋4＋9＝27,能被3或9整除；还可以采用更方便的弃39法,如1,3、6、9、1＋2、4＋5、8＋7都是3的倍数可以弃去,和是0,所以1可以被3整除;采用弃9法,弃去1＋8、2＋7、3＋6、4＋5、9,和是0,所以1可以被9整除;211、33、99：两位一截,数段和能被11、33、99整除：如260535→26＋5＋35＝66,66÷11＝6,66÷33＝2,66÷99＝0 ┅ 99,所以260535能被11和33整除,但不能被99整除；3. 差系的整除特征：从末位右→首位左111：奇偶位差法：一位一截,奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除;如110220→奇数段0＋2＋1＝3,偶数段2＋0＋1＝3,3－3＝0,0能被11整除,所以110220能被11整除;27、11、13：三位一截,这个的位上的与位上的数字之和的差能被7、11、13整除：如1121876→1┆121┆876,奇数段的和是876＋1＝877,偶数段是121,它们的差是877－121＝756,用这个差除以7、11、13：756÷7=108,756÷11=68....8,756÷13=58...2,所以1121876能被7整除,1121876除以11余8,1121876除以13余2;是11的;注意：如果出现不够减的情况,则奇数位加上7、11、13或它们的倍数后再减;如654333→654┆333,差654－333＝321不够减,333可以加上11的30倍再减,333＋330－654＝9,即余数是9;如果用奇偶位差法,奇数位的和是3＋3＋5＝11,偶数位的和是6＋4＋3＝13,11减13不够减,这时奇数位的和加上11再减偶数位的和：11＋11－13＝9,即余数是9;。
数的整除特征
数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除,那么这个数就能被2或5整除;2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除,那么这个数就能被4或25整除;3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除,那么这个数就能被8或125整除;4、能被9和3整除的数的特征,如果各位上的数字和能被9或3整除,那么这个数能被9或3整除;5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差大数减小数能被7、11、13整除,那么这个数就能被7、11、13整除;6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差大减小能被11整除,这个数就能被11整除;例1七位数错误!能被15整除,A与B 可以是哪些数字例2从0, 4, 9, 5这四个数中任选三个排列成能同时被2, 5, 5 整除的三位数;问：这样的三位数有几个例3五年级1班有36名同学,每人买了一本英语词典,共花了6 2.问：每本词典多少钱例4在568后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3,4,5整除,而且使这个数尽可能小;例5要使错误!这个五位数能被44整除,那么个位,百位各应该是几例6能被11整除,首位数字是6,其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几数的整除专项练习：1、五位数错误!的A,B各是什么数字时,这个五位数能被75整除问：这样的五位数共有几个2、在内填上合适的数使七位数能被72整除;3、在1978后面补上三个数字,组成一个七位数,使它能同时被3,4,5整除,并且使这个数尽可能小;4能被11整除,求这个六位数;5、能被11整除,首位数字是6,其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几6、一个六位数错误!是99的倍数,求这个数除以33的商;7、在,就能被15整除填上什么数字就能被45整除填上什么数字就能被21整除8、四年级有72名学生,共交5月份课间营养加餐费;平均每人交多少钱9、四位数能被2和3整除;10、在下列各数中,能被3整除,又能被11整除的是;1001 2375 1155 3772 1515 841511、在里填上适当的数字,使2、5、9整除;12、一个数能被11整除,首位数字是7,其余各位数字各不相同的最小六位数是什么13能被33整除,那么这个六位数是多少14、能同时被9、25、8整除的7,这个七位数是多少15、五位数错误!能同时被4和9整除,求这样的五位数;16、自然数1—100中,共有多少个不能被3或11整除的数17、判断306741, 3287690 能否被7整除,能否被13整除18、五1班数学测验平均分90分,总分错误!;问这个班多少名同学19、七位数72AAABB是6的倍数,问,这样的七位数有几个20、在1—100这100个自然数中,不能被2整除,或者不能被3整除,不能被5整除的数有几个质数与合数,分解质因数1、质数:只能被1或它本身整除的自然数;合数：除了能被1和它本身整除外还能被其他一些自然数整除的数;2、质数除了2以外,其余的全都是奇数;3、100以内质数顺口溜：二、三、五、七、一十一,一三、一九、一十七,二三、二九、三十七,三一、四一、四十七,四三、五三、五十九,六一、七一,六十七,七三、八三,八十九,还有七九,九十七;例1A是一个质数,而且A+6,A+8,A+12,A+14都是质数,求A;例2有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是143,如果它的长、宽、高都是质数;那么这个长方体的体积是多少例3有4名同学参加数学夏令营,他们的年龄恰好一个比一个大1岁,而他们年龄的乘积是17160.他们分别是多少岁例4写出从小到大的五个质数,要求后面的质数都比它前面一个质数大12;例51如果两个质数的和是1999,那么这两个质数的积是多少2 如果三个质数和是130,那么这三个质数的积最大是多少例6小瑜同学参加高年级数学竞赛,她的成绩、名次及年龄的乘积是3492;问：小瑜的年龄、名次、成绩各是多少分解质因数专项练习：1、写出50以内5个连续自然数,要求每个数都是合数;2、把一个一位数的质数A,写在另一个两位数质数B的后面,得到一个新的三位数,这个三位数是A的119倍,求A和B;3、一个整数a 与720相乘是一个完全平方数,求a的最小值;4、有五位同学的年龄恰好一个比一个大一岁,五个人的年龄乘积是95040;问：这五个同学的年龄各是多少5、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100,求这两个质数的积是多少6、岸上有867名学生,准备乘船到对岸,来了一批小船,每船载人数相等,3次往返把学生全部运到对岸;有多少只船每船每次载多少人7、用2,3,4,5中的3个数码能组成的三位质数是;8、已知M×N+5=ᵡ,其中M,N,为质数,而且都小于1000,ᵡ为奇数,问ᵡ最大是多少9、3个质数的和是能被2、3整除的最小三位数,这3个质数的积最小是多少最大是多少10、长方体的体积是2100立方厘米,它的高是10厘米,长和宽都大于高;求长方体的长和宽各是多少11、一个长方体,它的正面和上面面积之和是299平方厘米,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少奇偶数分析：1、能被2整除的自然数叫偶数,不能被2整除的自然数叫奇数;依据因数、被除数、除数的奇偶性可判断积、商的奇偶性；依据加数、被减数、减数的奇偶性可判断和、差的奇偶性;2、奇、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数；奇数个奇数的和或差是奇数；偶数个奇数的和或差是偶数；任意个偶数和是偶数；奇数的连乘积是奇数；因数中有一个偶数,积是偶数;例1 1+2+3+…+1997的和是奇数还是偶数例2 有一本180页的故事书,从中任意撕下40张纸,这40张纸的所有页码之和能否等于2009 请说明理由;例3某次数学竞赛,试卷共有30道题,评分方法是：答对一题得5分,不答得1分,答错倒扣1分;问：某班参加数学竞赛同学的总分是奇数还是偶数例4有11只杯口向上的杯子放在桌上,每次将其中8只杯同时翻转,使其杯口向下,能否经过若干次翻动后,11只杯口全部向下例5幼儿园有25名小朋友,坐成5行5列;每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座;如果想让每一个小朋友都换到邻座上去,能成功吗为什么例6某展览馆共有36个陈列室,相邻两室之间都有门通行,有人希望每个展览馆只去一次,你能帮他设计参观路线吗奇偶数分析专项练习：1、25人参加羽毛球比赛,能不能让每个队员都恰好与另5个球员各赛一场,为什么2、电影院小放映厅有50个观众,坐成10行5列;每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座;如果想让每一个观众都换到邻座上去,能成功吗为什么3、从1—1995中,共有多少个奇数多少个偶数4、1+2+3+4+5+...+99+100×1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+...+11的积是奇数还是偶数5、49个学生做游戏,每一次都有8个学生向后转;能不能经过若干次的向后转,使每个学生全部都转过身去6、五年级二班参加数学竞赛,试题共有50道;评分标准是：答对一题得3分,不答得1分,答错倒扣1分;问：请你说明这个班参加数学竞赛同学的总分一定是偶数;7、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图;8、正方形的展厅如下图,共分16个展室,每个展室之间互通,你能不能设计一条路线,使参观的人不重复地走完全部展室。
数的整除1 能被N整除数的特征!
数的整除：能被一个数N整除的数的特征能被2、5整除数的特征：个位上的数能被2、5整除能被3、9整除数的特征：各位上的数字和是3和9的倍数能被4、25整除数的特征：一个数的末两位是4、25的倍数。
能被8、125整除数的特征：一个数的末三位是8、125的倍数。
能被6整除数的特征：一个数既是2的倍数，又是3的倍数。
能被12整除数的特征：一个数既是3的倍数，又是4的倍数。
能被11整除的数的特征：一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。
能同时被7、11、13整除数的特征：一个三位数连续写两遍，一定是7、11、13的倍数。
（末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差）练习一：一、判断下面的数，哪些数是4和25、8和125的倍数500、120、36400、12000、5800、1136、88652、52000、4375二、判断下面的数，哪些数是3的倍数，哪些是9的倍数258、666、357、878、342、895、12000、3630、1503、三、判断下面的数，哪些是11的倍数。
121、1357、1826、64746、363、1325、888、13211、四、根据数的整除特点，完成下面的填空。
1、一个数如果能被45整除，它就一定能被（）和（）整除。
2、一个数如果能被15整除，它就一定能被（）和（）整除。
3、一个数如果能被12整除，它就一定能被（）和（）整除。
4、一个数如果能被22整除，它就一定能被（）和（）整除。
5、一个数如果能被24整除，它就一定能被（）和（）整除。
6、一个数如果能被36整除，它就一定能被（）和（）整除。
7、四位数4A5B能被12整除，那么这个四位数最大是（）。
8、三位数58A是6的倍数，那么这个三位数最大是（）。
9、四位数236A能同时被2、3整除，这个四位数是（）。
10、五位数4H97H能被3整除，它的最末两位数字所组成的数7H能被6整除，这个五位数是（）。
整除的性质和特征
整除得性质与特征整除问题就是整数内容最基本得问题。
理解掌握整除得概念、性质及某些特殊数得整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子得数感。
一、整除得概念：如果整数ａ除以非0整数b，除得得商正好就是整数而且余数就是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a),记作b/ａ，读作“b整除ａ”或“a能被ｂ整除".a叫做b得倍数，b叫做a得约数（或因数）.整除属于除尽得一种特殊情况.二、整除得五条基本性质:（1)如果a与ｂ都能被c整除，则a+b与ａ-ｂ也能被c整除;（２）如果a能被b整除，c就是任意整数,则积ac也能被b整除；(3）如果a能被b整除,ｂ能被ｃ整除，则积a也能被c整除；（4)如果a能同时被b、c整除,且ｂ与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立;（5)任意整数都能被1整除，即1就是任意整数得约数；０能被任意非０整数整除，即0就是任意非0整数得倍数。
三、一些特殊数得整除特征:根据整除得基本性质,可以推导出某些特殊数得整除特征，为解决整除问题带来方便。
(1)如果一个数就是整十数、整百数、整千数、……得因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数得整除特征。
①若一个整数得个位数字就是2得倍数(0、2、4、6或8)或５得倍数（0、５),则这个数能被２或5整除；②若一个整数得十位与个位数字组成得两位数就是4或２5得倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数得百位、十位与个位数字组成得三位数就是8或125得倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】:２、5都就是10得因数,根据整除得基本性质（２）,可知所有整十数都能被１0、２、5整除。
任意一个整数都可以瞧作一个整十数与它得个位数得与,如果一个数得个位数字也能被２或5整除，根据整除得基本性质（1）,则这个数能被２或５整除。
又因为4、25都就是1００得因数,８、１２５都就是100０得因数，根据整除得基本性质(2)，可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、1２5整除.同时，任意一个多位数都可以瞧作一个整百数与它末两位数得与或一个整千数与它得末三位数得与,根据整除得基本性质(1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征.同理可证,若一个数得末四位数能被１６或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推.(2）若一个整数各位上数字与能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
小学五年奥数-数的整除
数的整除【知能大展台】1．整除的概念对于整数a和不为零的整数b，如果数a除以数b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a,记作b|a;a叫做b的倍数，b叫做a 的约数。
2．数的整除性质①如果数a能被数c整除，数b也能被数c 整除，那么它们的和（a+b）或差(a-b)也能被c整除c|a,c|b，则c|a±b。
②几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。
③数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b,c互质，那么数a能被b与c的积整除。
3．数的整除特征①一个整数的末一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除②一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除③一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个是就能被8或125整除④一个整数的各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除⑤一个整数的奇数位（指个位，百位，万位……）上的数字之和与偶数位（指十位，千位，十万位……）上的数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除⑥一个整数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数的差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除【试金石】例1.小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数；3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清楚了，但是已知这个数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个是多少？【分析】因为五位数3□6□5能被75整除，而75=3×25，3与25互质。
所以3□6□5能同时被3和25整除。
3□6□5能被25整除，由于末尾是5，所以十位数字只能是2或7，即末两位数只能是25或75。
当末两位数是25时，3□625呢功能被3整除，起各位数字之和必须能被3整除，则千位数字只能是2，5，8，而这些五位数中最大的一个是38625，且无重复数字。
同理当末两数是75时，能被3整除的最大五位数是39675，且无重复数字。
整除的性质
数的整除性质能被2整除：个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除。
能被3整除：各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。
能被4整除：个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除。
能被5整除：个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除。
能被6整除：如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。
能被7整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数余类推。
能被8整除: 百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除。
能被9整除: 各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。
能被10整除: 如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
能被11整除: “奇偶位差法”奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除: 若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
能被13整除: 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除: 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数则原数能被17整除。
数的整除答案
数的整除答案【篇一：奥数数的整除讲义及答案】=txt>教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。
（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？解：任意取出的1998个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即999个奇数和999个偶数。
999个奇数的和是奇数，999个偶数的和是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们的和是奇数。
解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。
根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。
数的整除特征基础篇
数的整除特征(上)什么是整除？若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。
常见数的整除特征：末位系：2，5：看末一位4，25：看末两位8，125：看末三位数字和系：3，9：看数字和数字差系：11：看奇位和与偶位和的差7，11，13系列：⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
例(★★★)四位偶数64WW能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
(★★★)两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
(★★)在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例例例(★★★)在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例(★★★★)请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？例(★★★)能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？【先睹为快】。
数的整除特征(YLK)
第一讲数的整除特征1、探索能被2（5）、4（25）、8（125）……整除的数各有什么特征？2、探索能被3、9整除的数各有什么特征？3、探索能被7、11、13整除的数有什么特征？4、探索能被11整除的数还有什么更简便的特征？【典型例题】例1：在□上填上适当的数字，使六位数43217□能被4整除。
解：能被4整除的看末两位，个位只能填2或6则能被4整除的数有：432172 432176[试一试1]在□中填上适当数字，使284□□能被25整除。
解：能被25整除的看末两位，可以填0、25、50、75。
则能被25整除：28400 28425 28450 28475例2：在□中填上适当的数，使七位数4786□7□能被8整除。
解：能被8整除的看末三位，能被8整除的数有：4786072 4786272 4786472 478667247868724786176 4786376 4786576 47867764786976[试一试2]在□中填上适当的数字，使23□□□能被125整除。
解：能被125整除的看末三位能被125整除的数有23000 23125 23250 2337523500 23625 23750 23875例3：在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除。
解：能被9整除的数看各位上的数字之和是否能被9整除。
4+3+2=9 □+□=0 □+□=9 □+□=18能被9整除的数有：40320 40329 41328 48321 4232747322 43326 46323 44325 4532449329 49320[试一试3]在□中填上合适的数字，使七位数23□4□21能被9整除。
解：能被9整除的数看各位上的数字之和是否能被9整除。
2+3+4+2+1=12 □+□=6 □+□=15能被9整除的有：2304621 2364021 2314521 23541212324421 2344221 2334321 23649212394621 2374821 2384721例4：一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个。