第九章 二分图平面图和树王元元

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匹配的应用
安排工作：现有6个工人{x1,x2,…,x6}, 有6项工作{y1,y2,…,y6}。假设在同 一时间内，每人只能干一项工作，每项工 作只需一个人干，每个工人能干的工作用 边来表示。 安排工作就是求二分图的一个匹配问题。求 最大匹配就是一个工作最佳的安排问题， 使尽可能多的人有工作干，尽可能多的工 作被人干。
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应当指出，欧拉公式及其上述推论， 都只是平面连通图或平面连通简单图的必 要条件，而不是它们的充分条件，因此只 能用它们判别非平面图，不能用它们来识 别平面图。
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(1)切割操作
（1）对边e的切割操作。设G中有边e = {u,v},对边e作切割操作是指： 1) 取消边e。
2) 增加顶点w，以及 边e1 = {u,w}， 边e2 = {w,v}。
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例9-2 图9-2中各图的红线表示匹配中 的边(简称匹配边)。
(a)
(b)
G (c)
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9.1.2
匹配
注意：
最大匹配总是存在但未必唯一；
X(Y)-完全匹配及G的完全匹配必定是最 大的，但反之则不然；
X(Y)-完全匹配未必存在，存在不唯一。
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有四名教师张征、王兴、李忠和赵华，分别 派他们教四门课程：数学、物理、电工和计 算机导论。张征懂物理和电工；王兴懂数学 和计算机导论；李忠懂数学、物理和电工； 赵华只懂电工。问应该如何分派，才不会使 任何人去讲他不懂的课程而又不存在有的课 程无人教？
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
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例9-3 用匈牙利算法求图9.3的一个最大匹配。
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
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例9-3 用匈牙利算法求图9.3的一个最大匹 配。
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
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完全匹配的存在条件
定义图G = <V，E>的顶点子集SV的相 邻顶点集N(S)（所有与S中顶点相邻的顶点 组成的集合）：
N(S) = {v vV∧ue(uS∧eE∧ e= {u, v})} 或 N(S) = {v ue(uS∧e = {u, v})}
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完全匹配的存在条件
定理9-2 设图G = <X，E，Y>。G有X-完 全匹配的充分必要条件是： 对每一SX有N(S)≥ S
霍尔婚姻定理
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例
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
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应用
有六位未婚女子,L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , L6 和六位未婚 男子,G1 , G2 , G3 , G4 , G5 , G6 中 六位女子分别对下列集合的男子中意： L1 ：{G1 , G2 , G4 }, L2 ：{G3, G5}, L3 ：{G1 , G2 , G4 }, L4 ：{G2 , G5 , G6 }, L5：{G3 , G6}, L6 ：{G2 , G5 , G6 } 六位男子分别对下列集合的女子中意： G1 ：{L1 , L3 , L6 }, G2 ：{L2 , L4 , L6 }, G3 ：{L2 , L5}, G4 ：{L1 , L3}, G5：{L2 , L6}, G6 ：{L3 , L4 , L5 }
匈牙利算法
求最大匹配的一种显而易见的算法是： 先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。 但是这个算法的复杂度为边数的指数级函 数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。
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匈牙利算法
用交替链求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利 数学家Edmonds于1965年提出) 算法轮廓： (1)置M为空 (2)找出一条交错链P，通过取反操作获得更 大的匹配M′代替M (3)重复(2)操作直到找不出交错链为止
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推论
定理9-9 顶点数n不少于4的平面连通简 单图G，至少有一个顶点的度数不大于5。
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证明：定理9-9的结论可加强为“至少有 3个顶点的度数不大于5”。
证 用反证法。假设度数不大于5的顶点数 可以少于3个，但由于n不小于4且为连通 图，所以每个顶点的度数最小为1。因此 6(n – 2) + 2≤2m。 由于m≤3n – 6，故 6(n – 2) + 2≤2m≤6n – 12， 即 6n – 10≤6n – 12 矛盾。 因而度数不大于5的顶点数至少有3个。
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例9-1
简单无向图G是二分图，当且仅当G可二着色。
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判断二分图的定理
定理9-1 无向图G为二分图的充分必要条件 是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度 均为偶数。
推论 任何无回路的图均是二分图。
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例：
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练习
六名间谍a,b,c,d,e,f被我捕获，他们分别懂得的语言是 a：汉语，法语，日语； b：德语，日语，俄语； c：英语，法语； d：汉语，西班牙语； e：英语，德语； f：俄语，西班牙语。 问至少用几个房间监禁他们，才能使同一房间的人不能 互相直接对话。
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例9-9
v e
(a)
(b) 边e切割
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(2) 贯通操作
（2）对顶点v的贯通操作。设G中有二度 顶点v，它是e1= {u,v},e2= {v,w}的共同端点。对顶点v作贯通操 作是指： 1）取顶点v以及边e1,e2。 2）增加边e = {u,w} 。 切割与贯通是互逆的，两者常被称为 同胚运算。
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例9-13
（ a）
（b）
（ c）
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性质
定理9-12 树和森林都是可2-着色的，从 而都是二分图。 定理9-13 树和森林都是平面图，其面数 为 1。
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性质
定理9-14 设图T为一树，其顶点数、边 数分别是n, m, 那么 n–m=1 或 m=n–1
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性质
定理9-15 任何非平凡数树都至少有两片叶。
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树等价定义形式
(1) T无回路且m = n – 1 。 (2) T连通且m = n – 1 。 (3) T无回路，但任意添加边时，T中 产生唯一的一条回路。 (4) T连通，但删去任一边时便不再连 通(T的每一边均为割边)。 (5) 任意两个不同顶点之间有且仅有一 条通路。
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树等价定义形式
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9.1 二分图
9.1.1 二分图的基本概念 定义9-1 无向图G = <V，E>称为二分图(bipartite graph)，如果有非空集合X，Y使X∪Y = V， X∩Y = ，且对每一eE，都有 e = {x, y}，xX，yY。此时常用<X，E，Y>表 示二分图G。 若对X中任一x及Y中任一y恰有一边eE， 使e = {x, y}, 则称G为完全二分图(complete bipartite graph)。 当X = m，Y = n时，完全二分图G记为Km,n。
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例9-6
v5 r5
v6 r4
v7
v4
r3
v3
r2
v2
v1
r1
v8
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平面简单图的所有有界面的 度均不小于3。
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9.2
平面图
定义9-6 称平面简单图G是极大平面图 （maximal planar graph），如果在 G中添加任一边（它不是环，也不是其他边 的平行边）后所得的图均非平面图。
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术语介绍
定义9-3 设G = <X，E，Y>， M为G的一个匹配。 (1) M中边的端点称为M-顶点， 其它顶点称为非M-顶点。
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术语介绍
定义9-3 (2)G中vk到vl的通路P称为交替链，如果P 的起点vk和终点vl为非M-顶点，而其边的序 列中非匹配边与匹配边交替出现 (从而首尾两边必为非匹配边，除顶点vk， vl以外各顶点均为M-顶点)。
特别地，当一边{v, v'}两端点均为非M顶点，通路{v, v'}亦称为交替链。
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由交替链的定义可以推出下述三个结论： 1) P的路径长度必定为奇数，第一条边和 最后一条边都不属于M。 2) P经过取反操作可以得到一个更大的匹 配M′。
3) M为G的最大匹配当且仅当不存在相对 于M的交替链。
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例
B
A
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K3,3与K5称为库拉托夫斯基（Kuratowski）图 共同点： （1）它们都是正则图。 （2）去掉一条边时它们都是平面图。 （3）K3,3是边数最少的非平面简单图， K5是顶点数最少的非平面简单图，因而它们 都是最基本的非平面图。
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9.2
面的概念
定义9-5 平面连通图中各边所界定的区域 (不包含任何边和结点)称为平面图的面 （regions）。 有界的区域称为有界面， 无界的区域称为无界面。 界定各面的闭的拟路径称为面的边界 （boundary）， 它的长度称为面的度（degree）。
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例9-9
v e
(a)
(c) 顶点v贯通
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3 库拉托夫斯基定理
定理9-10 图G是平面图，当且仅当对G 或G的子图作任何同胚操作后所得图均不 以K5及K3,3为子图。
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例
（ a）
（b）
（ c）
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9.3
树
9.3.1 树的基本概念 定义9-9 连通无回路的无向图称为无向树， 简称为树(tree)。 树中的悬挂点又称为树叶(leave)， 其它结点称为分支点(branched node)。 单一孤立结点称为空树(null tree)。 诸连通分支均为树的图称为森林(forest)， 树也是森林。
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判断二分图的定理