北师大版高中数学必修一第二次月考解析版document
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作河南武陟二中高一数学第二次月考试题（集合与函数单元测试题）命题人：张进涛一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）1.设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，则 （ ）A ．B A U ⋃= B ． B AC U U ⋃=)( C ．)(B C A U U ⋃=D ．)()(B C A C U U U ⋃=2.集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-<≤，那么A B = （ ）A 、{|23}x x -<<B 、{|12}x x <≤C 、{|21}x x -<≤D 、{|23}x x << 3.下列五个写法：①}3,2,1{}0{∈；②}0{⊆φ；③{0，1，2}}0,2,1{⊆；④φ∈0；⑤φφ=⋂0，其中错误．．写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C . 3 D. 44.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合MN 为（ ）A 、3,1x y ==-B 、(3,1)-C 、{3,1}-D 、{(3,1)}-5. 设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则5.下述对应法则f 中，不能．．构成A 到B 的映射的是 （ ）A 、2:x y x f =→B 、23:-=→x y x fC 、4:+-=→x y x fD 、24:x y x f -=→ 6. 下列各图形中，不可能是某函数)(x f y =的图象的是（ ）Oxy xy Oxy OxyOA B C D 7.下列各组中的函数)(x f 与)(x g 相等的是（ ）A x x f =)(，2)()(x x g =B 2)(x x f =，x x g =)(C 11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x gD 0)(x x f =，xxx g =)(8.已知)1(,1)1(22++=-x f xx xx f 则的表达式为 （ ）A ．22)1(1)1(+++x xB ．22)1(1)11(xx x-+- C ．(x +1)2+2 D ．(x +1)2+1 9.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（ ） A.f (x )=3-xB.f (x )=x 2-3x C .f (x )= 11+-x D.f (x )=||x -10.若函数y=x 2+(2a －1)x+1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[－23，+∞） B ．（－∞，－23] C ．[23，+∞） D ．（－∞，23]11.若函数3()()f x x x R =∈，则()y f x =-在其定义域上是（ ） A ．单调递减的偶函数 B. 单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D. 单调递增的奇函数12.已知二次函数y=2x 2－1在区间[a ,b]上有最小值－1，是下面关系式一定成立的是（ ） A ．a ≤0<b 或a <0≤b B ．a <0<b C ．a <b<0或a <0<b D ．0<a <b 或a <b<0 二、填空题（每小题5分，共计20分）13满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个14 函数42x y x -=-的定义域为___________________15.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是16 已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2x -x x f 2=, 则()x f 在0<x 时的解析式是 _______________三.解答题17. （共10分）已知全集I=}32,3,2{2-+a a ，若}2,{b A =，}5{=A C I ，求实数b a ,18.（共12分）已知集合，，，求实数的取值范围19.（12分）已知函数f （x ）=xx 1+. （1）判断()f x 在其定义域上的奇偶性；（5分）（2）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性并加以证明.（7分）20.（共12分）已知二次函数()f x 满足(0)1f =及(1)()2f x f x x +-=， （1）求()f x 的解析式；（6分）（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y|y ＝2x}，P ＝{y|y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y|y ＞1} B ．{y|y ≥1} C ．{y|y ＞0}D ．{y|y ≥0}【解析】 M ＝{y|y ＝2x }＝{y|y ＞0}， P ＝{y|y ＝x －1}＝{y|y ≥0}． 故M ∩P ＝{y|y ＞0}． 【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≤1)，log 2x ，(x ＞1).则f(1)＋f(4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f(1)＋f(4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f(4)的值为( )A ．16B ．2C.12D.116【解析】 设幂函数为y ＝x α，∵幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，∴22＝2α， 解得α＝－12.y ＝x －12.f(4)＝4－12＝12.故选C.【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】 由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x|2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1， 当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f(x)＝x 2，g(x)＝(x)2 B ．f(x)＝1，g(x)＝x 2C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g(t)＝|t|D ．f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x|x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g(x)＝|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0.【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a－x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x可化为y ＝(1a)x，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足f(x)＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 由题意f(x)的图像如图所示， 故f(x)＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 D9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|(0＜x ≤9)，－x ＋11(x ＞9)，若a ，b ，c 均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】 作出f(x)的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f(a)＝f(b)＝f(c)＝t ， 则a ＝3－t ，b ＝3t ， c ＝11－t.由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)． 【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则f(x)的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】 设t ＝2x，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f(x)＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f(x)的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)＝2x －P ·2－x ，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f(x)为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f(x)为偶函数且为R 上的增函数【解析】 当P ＝1时，f(x)＝2x －2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x 是R 的减函数，∴f(x)＝2x －2－x 为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f(x)＝2x ＋2－x ，定义域为R 且f(－x)＝2－x ＋2x ＝f(x)，∴f(x)为偶函数．根据1＜2，f(1)＜f(2)可知f(x)在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f(－2)＞f(－1)可知f(x)在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】 令f(x)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22<4，故f(x)∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f(x)＝ax 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，所以函数f(x)＝13x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f(－x)＝f(x)恒成立，即13(－x)2＋(b＋13)(－x)＋3＝13x2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋13x＋3对任意的实数x都成立，所以有b＋13＝0，解得b＝－13，所以a＋b＝0.【答案】014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f(x)＝log 12(x2－2x－3)的单调递增区间为________．【解析】函数f(x)的定义域为{x|x＞3或x＜－1}．令t＝x2－2x－3，则y＝log 1 2 t.因为y＝log 12t在(0，＋∞)单调递减，t＝x2－2x－3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)．【答案】(－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝1－x 2π，∴S正＝(x4)2＝x216，S圆＝π·(1－x)24π2，∴S正＋S圆＝(π＋4)x2－8x＋416π(0＜x＜1)，∴当x＝4π＋4时有最小值．【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是________．【解析】 由已知f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f(1)＜f(ln x)，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f(－1)＜f(ln x)，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72.【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝12.(2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2≤2x≤16，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B)∪A ；(2)已知集合C ＝{x|1＜x ＜a}，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由已知得A ＝{x|1≤x ≤4}， B ＝{x|x ＞3}，∴A ∩B ＝{x|3＜x ≤4}，∴(∁R B)∪A ＝{x|x ≤3}∪{x|1≤x ≤4}＝{x|x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f(x)＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z)为偶函数，且f(3)＜f(5)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a [f(x)－ax](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f(x)为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f(3)＜f(5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32.又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f(x)＝x 2.(2)由(1)知，g(x)＝log a [f(x)－ax]＝log a (x 2－ax)(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u(x)＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数，即⎩⎨⎧ a 2≤0，u (2)＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u(x)＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎨⎧a 2≥3，u (3)＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f(x)＝a x －a －x(a>0且a ≠1)，(1)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f(1)＝32，g(x)＝a 2x ＋a －2x －2mf(x)且g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．【解】 (1)f(x)＝a x －a －x (a>0且a ≠1)，∵f(1)<0，∴a －1a <0，又a>0，且a ≠1，∴0<a<1.∵a x 单调递减，a －x 单调递增，故f(x)在R 上单调递减． 不等式化为f(x 2＋tx)<f(x －4)，∴x 2＋tx>x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t<5.(2)∵f(1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g(x)＝22x ＋2－2x －2m(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m(2x －2－x )＋2. 令t ＝f(x)＝2x －2－x ，由(1)可知f(x)＝2x －2－x 为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f(1)＝32，令h(t)＝t 2－2mt ＋2＝(t －m)2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h(t)min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m<32，当t ＝32时，h(t)min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f(x)＝log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9.(1)求f(3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f(x)表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f(3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.由f(x)＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x)2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2. 令g(t)＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t＝－32时，g(t)min＝－14，即log3x＝－32，则x＝3－32＝39，∴f(x)min ＝－14，此时x＝39；②当t＝2时，g(t)max ＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，∴f(x)max＝12，此时x＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝1－g(x)m＋2g(x)是奇函数．(1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范围．【解】(1)设g(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则a3＝8，∴a＝2，∴g(x)＝2x.因为f(x)＝1－2x2x＋1＋m，又f(－1)＝－f(1)，∴1－12m＋1＝1－24＋m⇒m＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.(2)f(x)为减函数，证明如下：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1.任取x1，x2∈R，设x1＜x2则f(x2)－f(x1)＝12x2＋1＝12x1＋1＝2x1－2x2(2x1＋1)(2x2＋1)，因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，∴2x1－2x2＜0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0∴f(x 2)－f(x 1)＜0即f(x 2)＜f(x 1)， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， 从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)＞0得 f(1－x)＞－f(1－2x)即f(1－x)＞f(2x －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3，即x 的取值范围是[2,3]．。
北师大版高中数学必修一第二次月考答案document
安徽省萧城一中2016届高三上学期第二次月考文科数学试题答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.________34____；14.______(－2,3)______；15._______－3_____；16.____22________。
三．解答题（17—21题每题12分，22题10分，共70分）17.解析（1）（定义，复合函数，导数）减少的（2）()()2041x x x f x f x <<=--=-+当-1时，()()()()()()()()00,11,1121110f f f f f f f f =-=--=-+=∴-==()2,01410,012,1041xx x x x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪===±⎨⎪⎪--<<⎪+⎩或（3）()()()()210,11,052f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在上递减，取值范围为，，在上递减，取值1225⎛⎫-- ⎪⎝⎭范围为，()()()0110f f f ==-={}211205225a ⎛⎫⎛⎫⋃⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故的范围为，，()()()218.10,1,01221.a a a a a ⎛⎫<-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭=+∞⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时，定义域为；当时，定义域为，；当0时，定义域为， （2）复合函数法，内层函数用导数，定义或系数分离。
令21axt x -=-,12log y t = ()122log 1ax f x x -=-函数在（2,4）上是增函数，则函数21axt x -=-在（2,4）上是减函数，()()()''2220,21122,41ax a t a x x axt x --⎛⎫==<< ⎪-⎝⎭--=-所以函数在上是减函数22=,211ax at a a x x --=-<--或减则 24140,412a x t a -==≥≤-当时，19.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p，最小值为-；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数21()sin 22f x x x =-的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，从而就可求出f （x ）的最小周期和最小值；（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数g （x ）的表达式，再由x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦并结合正弦函数的图象即可求出其值域． 试题解析：(1)211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1=sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因此()f x 的最小正周期为π，最小值为2-.(2)由条件可知：()3sin 32g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1[,1]2，那么()3sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭的值域为1323[,]22--. 故g()x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是1323[,]22--. 考点：1.三角恒等变换；2.正弦函数的图象及性质. 20.【答案】（I ）12；30o .考点：解三角形 21.【答案】(Ⅰ)15⎛+ ⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x +<<．故()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝⎭． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-．22.【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.。
北师大版高中数学必修一高三第二次月考试题(理科数学)学生版document-副本
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）萧城一中2016届高三第二次月考试题理科数学（150分 120分钟）一．选择题（每题5分，共60分）1. (2014年高考浙江卷)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( )A ．∅B ．{2}C ．{5}D ．{2,5}2. (2014年皖南八校联考)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 3. (2014年高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4. (2014年高考辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则 a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨qB ．p ∧qC ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝5. 已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 6. 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )等于( ) A.12x B ．2x －2C ．log 12xD ．log 2 x7. 设f (log 2x )＝2x (x >0)，则f (2)的值是( )A ．128B ．16C ．8D ．2568. 已知函数()()23log 1,3=21,3x x x f x x -⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．19. 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e10. (2015年石家庄调研)函数f (x )＝sin x ·ln |x |的部分图象为( )11. (2014年高考重庆卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 12. (2014年高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)答案：C二．填空题（每题5分，共20分）13. 当x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 14. 函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．15. 已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.16. 已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()22f x f x -=-+， ()()2f x f x +=-.给出下列命题：①(0)0f =； ②函数()f x 是周期函数，并且周期为4；③函数()f x 是奇函数； ④函数()f x 的图象关于y 轴对称；⑤函数()f x 的图象关于点(2,0)成中心对称.其中所有正确命题的序号为 （填写所有正确命题的序号）三．解答题17. （本小题满分12分）已知(x ＋1)(2－x )≥0的解集为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx－2m 2－3m －1<0⎝⎛⎭⎫m >－23的解集为条件q . (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 18. （本小题满分12分）()()122log 21axf x a a x -=<-已知函数是常数且 ()()1f x 求的定义域；()()()22,4f x a 若在区间上是增函数，求的取值范围。
北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质(含解析)
北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质（含解析）北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质(原卷版)角一、选择题1. 顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(C)A.y2＝xB.y2＝3xC.y2＝6xD.y2＝－6x2. 过抛物线y2＝16x的焦点的最短弦长为(A)A.16B.8C.32D.4弦长即通径长，故长度为2p＝16.3. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(B)A. B.2C. D.34. 已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则p的值为(D)A.1B.2C.3D.4＝2×2，解得p＝4.5. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A.2B.2C.2D.46. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是(B)A.4B.4或－4C.－2D.2或－27. 如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF 与△ACF的面积之比是(A)A.B.C.D.8. (多选题)对于抛物线y2＝10x，下列结论正确的是(AD)A.焦点在x轴上B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C.抛物线的通径长为5D.抛物线的准线方程为x＝－二、填空题9. 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. 则该抛物线的方程为y2＝8x；此抛物线的准线方程为x＝－2.10. 抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－，则其焦点坐标为，实数a 的值为1 .11. 若抛物线y2＝mx与椭圆＝1有一个共同的焦点，则m＝±8.三、解答题12. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值.13. 设抛物线C：y2＝4x，O为C的顶点，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点.(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值. ＋14. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(B)A.x＝1B.x＝－1C.x＝2D.x＝－215. 已知平行于x轴的直线l交抛物线x2＝4y于A，B两点，且|AB|＝8，则l的方程为y＝4.16. 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB 的斜率.北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质(解析版)一、选择题1. 顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(C)A.y2＝xB.y2＝3xC.y2＝6xD.y2＝－6x解析：顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p ＞0)，由题意知，故p＝3. 因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.2. 过抛物线y2＝16x的焦点的最短弦长为(A)A.16B.8C.32D.4解析：过抛物线焦点的最短弦长即通径长，故长度为2p＝16.3. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(B)A. B.2C. D.3解析：由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.4. 已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF 的中点坐标是(2，2)，则p的值为(D)A.1B.2C.3D.4解析：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，设M，由中点坐标公式可知＝2×2，y1＋0＝2×2，解得p＝4.5. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A.2B.2C.2D.4解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，故选C.6. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是(B)A.4B.4或－4C.－2D.2或－2解析：由题意，设抛物线的标准方程为x2＝－2py，由题意，得＋2＝4，△p＝4，x2＝－8y. 又点(k，－2)在抛物线上，△k2＝16，k＝±4. 故选B.7. 如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF 与△ACF的面积之比是(A)A.B.C.D.解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于. 由抛物线方程知其焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1. △点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M. 由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1. 在△CAN中，BM△AN，△. 故选A.8. (多选题)对于抛物线y2＝10x，下列结论正确的是(AD)A.焦点在x轴上B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C.抛物线的通径长为5D.抛物线的准线方程为x＝－解析：对于A，y2＝10x的焦点为，故A正确；对于B，准线方程为x＝－，抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1＋，故B错误；对于C，通径长为2p＝10. 故C错误；对于D，准线方程为x＝－，故D正确. 故选AD.二、填空题9. 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. 则该抛物线的方程为y2＝8x；此抛物线的准线方程为x＝－2.解析：易知直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，则x1＋x2＝①. 由焦点弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋p ＝9 ②. 由①②解得p＝4，从而抛物线的方程是y2＝8x. 抛物线的准线方程为x＝－2.10. 抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－，则其焦点坐标为，实数a 的值为1.解析：由题意得焦点坐标为，抛物线C的方程可化为x2＝y，由题意得－，解得a＝1.11. 若抛物线y2＝mx与椭圆＝1有一个共同的焦点，则m＝±8.解析：椭圆焦点为(－2，0)和(2，0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m＝±8.三、解答题12. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值.解：设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，有－(－3)＝5，所以p＝4.所求抛物线方程为y2＝－8x，又因为点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，所以m＝±2.13. 设抛物线C：y2＝4x，O为C的顶点，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点.(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值.解：(1)△焦点坐标为F(1，0)，△直线l的方程为y＝x－1，与y2＝4x联立消去y可得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，从而焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，与y2＝4x联立消去x可得y2－4ky－4＝0. 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＋yB＝4k，yAyB＝－4.△xAxB＝(kyA＋1)(kyB＋1)＝k2yAyB＋k(yA＋yB)＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1.△＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3.即是一个定值.14. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(B)A.x＝1B.x＝－1C.x＝2D.x＝－2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2).又△y1＋y2＝4，△＝k＝1，△p＝2. △所求抛物线的准线方程为x＝－1. 故选B.15. 已知平行于x轴的直线l交抛物线x2＝4y于A，B两点，且|AB|＝8，则l的方程为y＝4.解析：如图，|AB|＝8 xB＝4，将xB＝4代入x2＝4y得yB＝4，则直线l的方程为y＝4.16. 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB 的斜率.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0).因为点P(1，2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以，所以y1＋2＝－(y2＋2).所以y1＋y2＝－4.由①－②得，＝4(x1－x2)，所以kAB＝＝－1(x1≠x2).。
(北师大)高一数学月考一答案
（北京师大）高一数学月考试题（一）答案 第1页 （共2页）2019－2020学年度第二学期梯级强化训练月考试题（北京师大）高一数学试题（一）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．A 10．C 11．D12．B二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．16 14．相等 502007 15．280 16．60三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)解：步骤如下：第一步：首先将30个足球编号：00,01,02， (29)第二步：在随机数表中随机选一数作为开始，如从第9行第17列的数0开始．第三步：从选定的数0开始向右读(也可以向左、向上、向下等)，读取一个两位数字07，由于07<29，将它取出；读取82，由于82>29，将它去掉．按照这种方式继续向右读，取出的两位数字若与前面已有的相同，也将它去掉，这样又得到15,00,13，…，依次下去，直到样本的10个号码全部取出．这样就得到一个容量为10的样本．公平性在于：(1)随机数表中每个位置上出现哪一个数是等可能的；(2)从30个足球的总体中抽到哪一个个体的号码也是机会均等的．基于以上两点，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是相等的．18．(本小题满分12分)解：由于数据－1,0,4, x,7,14的中位数为5，所以42x +＝5，x ＝6. 设这组数据的平均数为x ，方差为s 2，由题意得 x ＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5， s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 19．(本小题满分12分)解：(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲 10分 13分 12分 14分 16分乙 13分 14分 12分 12分 14分 甲得分的平均数为10131214165++++＝13， 乙得分的平均数为131********++++＝13. s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，（北京师大）高一数学月考试题（一）答案 第2页 （共2页） s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．20．(本小题满分12分)解：(1)样本容量是100.(2)①50 ②0.10所补频率分布直方图如图中的阴影部分．(3)设旅客平均购票用时为t min ，则有00510101015502030100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≤ t <501010151020502530100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 即15≤t <20. 所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．21．(本小题满分12分)解：(1)第四小组的频率＝1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2，因为第一小组的频数为5，其频率为0.1，所以参加这次测试的学生人数为5÷0.1＝50(人)．(2)0.3×50＝15,0.4×50＝20,0.2×50＝10，则第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5,15,20,10.所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内．(3)跳绳成绩的优秀率为(0.4＋0.2)×100%＝60%.22．(本小题满分12分)解：(1)年份－2 010－4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29x y ˆb ＝2222(4)(21)(2)(11)2194294224-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+++＝26040＝6.5. ˆa＝y －ˆb x ＝3.2. 由上述计算结果知所求回归直线方程为ˆy－257＝ˆb (x －2 010)＋ˆa ＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即ˆy＝6.5(x －2 010)＋260.2.① (2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．。
2022-2023学年全国高中高一上数学北师大版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知全集，，，则( )A.B.C.D.2. 命题“，”的否定是( )A.，B.，C.，D.，3. 若，则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 A.B.U =R A ={x |−2x <0}x 2B ={x |x ≥1}A ∪(B)=∁U (0,+∞)(−∞,1)(−∞,2)(0,1)∀x ≥0−2x ≥1e x ∀x ≥0−2x <1e x ∀x <0−2x <1e x ∃x ≥0−2x <1e x ∃x <0−2x <1e x a ∈R a >2|a|>2y =mx −1m +4mx +3x 2R m ()(0,]34(0,)340,]3C.D.5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）A.B.C.D.6. 不等式的解集为( )A.B.C. D.7. 已知，则( )A.B.C.D.8. 已知函数的定义域为，且是偶函数，若，在上单调递增，则不等式的解集为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）[0,]34[0,)34a =3+log 2log 23–√b =9−log 2log 23–√c =2log 3a b c a =b <ca =b >ca <b <ca >b >c5−>4x x 2(−∞,−5)∪(1,+∞)(−∞,−1)∪(5,+∞)(−1,5)(−5,1)f (x +1)=x +2f (0)=12−1f (x)R f (x +1)f (2)=3f (x)(−∞,1]f (2x −1)>3(−∞,)∪(,+∞)1232(,)1232(−∞,1)∪(3,+∞)(1,3)(x)={，−2≤x <1，29. 已知函数关于函数的结论正确的是( )A.的定义域为B.的值域为C.若，则的值是D.的解集为10. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则可能为( )A.B.C.D.11. 已知，则 A.为奇函数B.为偶函数C.在上单调递增D.在上单调递减12. 已知，且，则下列说法中正确的有（）A.的最大值为B.的最大值为C.的最小值为D.的最小值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）f (x)={，−2≤x <1，x 2−x +2，x ≥1，f (x)f (x)Rf (x)(−∞,4]f (x)=2x −2–√f (x)<1(−1,1)a +2>b >0x (+2a)+2bx −≤0a 2x 2b 24a 012231f (x)=1−2x1+2x ()f (x)f (x)f (x)R f (x)R x >0,y >02x +y =2xy 124+x 2y 22+4x 2y 4+2x xy 4π13. 若点在函数的图象上，则的值为________． 14. 函数的定义域为________．15. 已知函数 若存在实数 ，当时，满足，则的取值范围是________．16. 已知函数 有以下结论：①任意 ，等式 恒成立；②任意 ，方程 有两个不等实数根；③存在无数个实数，使得函数 在上有个零点；④函数 在区间 上单调递增.其中正确结论有________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数＝．（1）当＝时，求函数在的值域；（2）若存在零点，求的取值范围． 18. 已知集合＝，＝．（1）若＝，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．19. 已知函数，且满足，.求函数的解析式；判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论.20. 已知正实数，，，满足.证明：；证明：. 21.已知实数满足关系式（且，且)．若，求的表达式；在的条件下，若当时，有最小值，求和的值．(a,27)y =x 3tan πaf (x)=(2x −1)log 2f(x)={|x|，0<x <4,log 4sin(x −)，4≤x ≤12,π4π2,,,x 1x 2x 3x 4<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4⋅⋅⋅−50⋅x 1x 2x 3x 4x 1x 2f (x)=,x ∈(−1,1)x |x|−1x ∈(−1,1)f (−x)+f (x)=0m ∈[0,+∞)|f (x)|=m k g(x)=f (x)−kx (−1,1)3f (x)(−1,1)f(x)2a ⋅−−14x 2x a 1f(x)x ∈[−3,0]f(x)a A {x |0≤x ≤2}B {x |a ≤x ≤3−2a}(A)∪B ∁U R a A ∩B ≠B a f(x)=2x +ax +b f(2)=13f(9)=32(1)f(x)(2)f(x)[0,+∞)a b c ab +bc +ac =abc (1)a +b +c ≥9(2)++≥1b a 2c b 2a c 2t =log a t a 3log t y a3a >0a ≠1t >0t ≠1(1)t =a x y =f(x)(2)(1)x ∈(0,2]y 8a x22. 22已知二次函数f(x)=ax2+bx,(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(2-x)=f(x-D),且方程f(x)=x有两个相等的安根(1)求f(x)的解析式(2)设g(x)=kx+1,若F(x)=g(x)-f(x),求F(x)在[,2上的最小值3)是存在实数m,川(m 11参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】本题主要考查了交、并、补集的混合运算的相关知识点，需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法才能正确解答此题．【解答】解：由题意得，.∵全集，，∴，则.故选．2.【答案】C【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定为特称命题即可得出答案.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知，命题“，”的否定是“，”.故选.3.Venn A =(0,2)U =R B ={x |x ≥1}B =(−∞,1)∁U A ∪(B)=(−∞,2)∁U C ∀x ≥0−2x ≥1e x ∃x ≥0−2x <1e x C【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：已知 ，解得或，则“”是“”的充分不必要条件.故选.4.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的定义域为，则对于任意，有恒不等于成立，然后分和讨论求解．当时需要分母所对应方程的判别式小于．【解答】解：∵的定义域为，当，∴满足题意；当时，由，解得．综上，当，即时，函数的定义域为．故选．5.【答案】B【考点】|a|>2a <−2a >2a >2|a|>2A y =mx −1m +4mx +3x 2R x ∈R m +4mx +3x 20m =0m ≠0m ≠00y =mx −1m +4mx +3x 2R m =0m +4mx +3=3x 2m ≠0Δ=16−12m <0m 20<m <340≤m <34m ∈[0,)34y =mx −1m +4mx +3x 2R D不等式比较两数大小【解析】利用对数的运算性质可求得，，而，从而可得答案．【解答】解：∵，，∴，又，∴．故选：．6.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为，即解得，所以不等式的解集为.故选．7.【答案】A【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】用换元法，设，得，从而得，即，即可求出结果.【解答】a =3log 23–√b =3>1log 23–√0<c =2<1log 3a =3+=3log 2log 23–√log 23–√b =9−==3>1log 2log 23–√log 293–√log 23–√a =b >10<c =2<1log 3a =b >c B +4x −5<0x 25−>4x x 2+4x −5<0x 2(x +5)(x −1)<0−5<x <1(−5,1)D x +1=t x f (t)f (x)解：设，则.由，得，即，则．故选．8.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】答案未提供解析．【解答】解：因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，因为在上单调递增，所以等价于，即．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】利用分段函数的定义域、值域、自变量等知识对四个选项逐一进行判断正误即可.【解答】x +1=t x =t −1f (x +1)=x +2f (t)=(t −1)+2=t +1f (x)=x +1f(0)=0+1=1A f (x +1)f (x)x =1f (0)=f (2)=3f (x)(−∞,1]f (2x −1)>30<2x −1<2<x <1232B A f (x)[−2,1)∪[1,+∞)[−2,+∞)A解：，的定义域为，即，故错误；，当时，，当时，，则的值域为，即，故正确；，当时，，此时或(舍去)，当时，，(舍去)，故的值为，故正确；，当时，，此时，即，当时，，此时，即，综上可得的解集为，故错误.故选.10.【答案】B,C【考点】一元二次不等式的应用一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：，由于该不等式的解集中的整数恰有个，则有，，故．由不等式，解得.要使该不等式的解集中的整数恰有个，且，那么，得.又，所以，则.故选．11.【答案】A,D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】可先得出的定义域为，求，从而得出为奇函数，根据指数函数的单调性便可看出增大时，减小，从而得到在上单调递减，这样便可找出正确选项．A f (x)[−2,1)∪[1,+∞)[−2,+∞)A B −2≤x <10≤f (x)≤4x ≥1f (x)≤1f (x)[0,4]∪(−∞,1](−∞,4]B C −2≤x <1f (x)==2x 2x =−2–√2–√x ≥1f (x)=−x +2=2x =0x −2–√C D −2≤x <1f (x)=<1x 2−1<x <1−1<x <1x ≥1f (x)=−x +2<1x >1x >1f (x)<1(−1,1)∪(1,+∞)D BC (+2a)+2bx −≤0a 2x 2b 24+2a >0a 2a +2>0a>0(+2a)a 2+2bx −≤0x 2b 2−≤x ≤b a b a +240<<1b a +2−4<≤−3−b a 3a ≤b <4a a +2>b a +2>3a 0<a <1BC f (x)R f (−x)=−f (x)f (x)x f (x)f (x)R【解答】解：，，的定义域是，定义域关于原点对称，，是奇函数，故正确，错误；，设，且，则，，，，，，，即，，在上为减函数，故错误，正确．故选．12.【答案】A,C,D【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据均值不等式逐项分析解答【解答】解：，，， 由均值不等式 ，，，当且仅当，即，时，“”成立， ，故正确；，，当且仅当，即，时，“”成立，，故错误；，由均值不等式，，∵>02x 1+>12x ∴f (x)=1−2x1+2xR f (−x)===−f (x)1−2−x 1+2−x −12x +12x ∴f (x)A B f (x)==−1+1−2x 1+2x 21+2x ∀,∈(−∞,+∞)x 1x 2<x 1x 2f ()−f ()=−1++1−x 1x 221+2x 121+2x 2=2(−)2x 22x 1(1+)(1+)2x 12x 2∵<x 1x 2∴0<<2x 12x 2∴−>02x 22x 11+>02x 11+>02x 2∴>02(−)2x 22x 1(1+)(1+)2x 12x 2f ()−f ()>0x 1x 2∴f ()>f ()x 1x 2∴f (x)R C D AD ∵x >0y >02x +y =2≤≤ab −−√a +b 2+a 2b 22−−−−−−√A ∵=1≥2x +y 22xy −−−√2x =y x =12y =1=∴xy ≤12A B ∵=1≤2x +y 24+x 2y 22−−−−−−−−√2x =y x =12y =1=∴4+≥2x 2y 2B C +=+≥2=2=44x 2y 22x 2y 22x+y −−−−√22−−√=1当且仅当，当且仅当，即，时，“”成立，，故正确；，，，由均值不等式，， 当且仅当，即时“”成立，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点代入，求出的值，再计算的值．【解答】解：把点代入得，，解得，所以．故答案为：．14.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．=4x 2y 2x =y x =12y =1=∴+≥44x 2y C D ∵2x +y =2∴x +=1y 2(+)(x +)=2+++2x x y y 2y x x 2y x 2=2++y x x (2x +y)2y ≥2+2⋅y x x (2x +y)2y −−−−−−−−−−−−√=2+2=42x +y 2−−−−−−√=y x x (2x +y)2y x =y =23=D ACD 3–√(a,27)y =x 3a tanπa (a,27)y =x 3=27a 3a =3tan ==πaπ33–√3–√(，+∞)12f(x)【解答】解：函数，，解得；∴的定义域为．故答案为：.15.【答案】【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，函数画出函数的图象，如图所示，令，则 .由图象可知，设 和函数 的图象有四个交点，可得 ，其中 ，则 ，解得 ，且，则,所以 ，其中 .设，则当时，函数单调递增，则，所以的取值范围是 .故答案为：.f(x)=(2x −1)log 22x −1>0x >12f(x)(，+∞)12(,+∞)12(−2，10)f(x)={|x|,0<x <4，log 4sin(x −),4≤x ≤12π4π2={|x|,0<x <4,log 4−cos(x),4≤x ≤12,π4y =a 0<a <1y =a y =f(x)0<<<4<<8<<12x 1x 2x 3x 4=−log 4x 1log 4x 2+==0log 4x 1log 4x 2log 4x 1x 2=1x 1x 2+=16x 3x 4=16−x 4x 3⋅⋅⋅−50⋅x 1x 2x 3x 4x 1x 2=1×(16−)−50×1x 3x 3=−+16−50=−(−8+14x 23x 3x 3)24<<6x 3g(x)=−(x −8+14)2x ∈(4,6)g(x)g(4)=−2,g(6)=10⋅⋅⋅−50⋅x 1x 2x 3x 4x 1x 2(−2,10)(−2，10)16.【答案】①③【考点】函数恒成立问题根的存在性及根的个数判断奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：①，即函数为奇函数，∴ 恒成立，∴①正确；由①知 为奇函数，∴ 为偶函数，当时，即时，方程 只有一个实根，∴②错误；③由得，，∴，即是函数的一个零点，又函数 为奇函数，且在上单调递减，∴可以存在无数个实数，使得函数在上有个零点，∴③正确；④当 时，为减函数，当时，f (x)=,x ∈(−1,1)x |x|−1f (−x)==−=−f (x),x ∈(−1,1)−x |x|−1x |x|−1f (x)f (−x)+f (x)=0f (x)=,x ∈(−1,1)x |x −1|f (x)|x =0|f (0)|=0m =0|f (x)|=m g(x)=f (x)−kx =0f (x)=kx f (0)=0x =0f (x)(−1,1)k g(x)=f(x)−kx(−1,1)3x ∈[0,1)f (x)=x |x|−1=x x −1=x −1+1x −1≤0x ∈(−1,0]f (x)=x |x|−1=x −x −1=x +1−1−x −1−1+1为减函数，综上函数在上为单调函数，且单调递减，④错误.故答案为：①③.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】当＝时，＝＝，令＝，，可得那么＝＝根据二次函数的图象，可得值域为．由存在零点，即＝有解转化为＝在有解①当＝时，可得＝，不成立；②当时，对称轴图象过，显然不成立；③当时，对称轴，图象过，必有一个正根，显然存在零点，成立；综上，的取值范围是【考点】函数的值域及其求法【解析】（1）当＝时，＝＝，转化为二次函数问题即可求解的值域；（2）转化为二次函数存在零点，求的取值范围即可．【解答】当＝时，＝＝，令＝，，可得那么＝＝根据二次函数的图象，可得值域为．由存在零点，即＝有解转化为＝在有解①当＝时，可得＝，不成立；②当时，对称轴图象过，显然不成立；③当时，对称轴，图象过，必有一个正根，显然存在零点，成立；综上，的取值范围是=−1+1x +1≥0f (x)(−1,1)a 1f(x)2⋅−−14x 2x 2(−−12x )22x t 2x x ∈[−3,0]t ∈[,1]18g(t)2−t −1t 22(t −−14)298[−,0]98f(x)2a(−−12x )22x 02a −m −1m 20(0,+∞)a 0m −1<0a <0m =<014a (0,−1)a >0m =>014a (0,−1)a (0,+∞)a 1f(x)2⋅−−14x 2x 2(−−12x )22x x ∈[−3,0]a a 1f(x)2⋅−−14x 2x 2(−−12x )22x t 2x x ∈[−3,0]t ∈[,1]18g(t)2−t −1t 22(t −−14)298[−,0]98f(x)2a(−−12x )22x 02a −m −1m 20(0,+∞)a 0m −1<0a <0m =<014a (0,−1)a >0m =>014a (0,−1)a (0,+∞)18.【答案】由集合＝，所以＝，又＝，＝，所以，解得；所以实数的取值范围是．若＝，则，当＝时，；当时，有，要使，则，解得；综上知，实数的取值范围是；所以时的取值范围是的补集，为．【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：∵，，∴代入可得方程组解得∴函数的解析式为.在区间上是增函数．证明如下：任取，且，A {x |0≤x ≤2}A ∁U {x |x <5或x >2}B {x |a ≤x ≤3−4a}(A)∪B ∁U R a ≤0a (−∞,0]A ∩B B B ⊆A B ∅6−2a <a B ≠∅a ≤1B ⊆A a A ∩B ≠B a (1)f(2)=13f(9)=32 =,2×2+a 2+b13=,2×9+a 9+b 32{a =−3,b =1,f(x)f(x)=2x −3x +1(2)f(x)[0,+∞)，∈[0,+∞)x 1x 2<x 1x 2()−f()=−则.因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上是增函数．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴代入可得方程组解得∴函数的解析式为.在区间上是增函数．证明如下：任取，且， 则.因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上是增函数．20.【答案】证明：因为，所以，所以，f()−f()=x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 20<<x 1x 2−<0x 1x 2(+1)(+1)>0x 1x 2f()−f()=<0x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)[0,+∞)(1)f(2)=13f(9)=32 =,2×2+a 2+b 13=,2×9+a 9+b 32{a =−3,b =1,f(x)f(x)=2x −3x +1(2)f(x)[0,+∞)，∈[0,+∞)x 1x 2<x 1x 2f()−f()=x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 20<<x 1x 2−<0x 1x 2(+1)(+1)>0x 1x 2f()−f()=<0x 1x 2−x 1x 2(+1)(+1)x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)[0,+∞)(1)ab +bc +ac =abc ++=11a 1b 1c a +b +c =(a +b +c)⋅(++)1a 1b 1c =3++++++a b b a a c c a c b b c ≥3+2+2+2=9⋅a b b a −−−−−√⋅a c c a −−−−−√⋅c b b c−−−−−√a =b =c当且仅当时，等号成立，所以．，当且仅当时，等号成立，所以．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．，当且仅当时，等号成立，所以．21.【答案】解：由，得，由，，知，代入上式得，a =b =c a +b +c ≥9(2)++b a 2c b 2ac 2=+++++−1b a 2c b 2a c 21a 1b 1c =(+)+(+)+(+)−1b a 21bc b 21c a c 21a≥++−1=12a 2b2ca =b =c ++≥1b a 2c b 2a c 2(1)ab +bc +ac =abc ++=11a 1b 1c a +b +c =(a +b +c)⋅(++)1a 1b 1c =3++++++a b b a a c c a c b b c ≥3+2+2+2=9⋅a b b a −−−−−√⋅a c c a −−−−−√⋅c b b c −−−−−√a =b =c a +b +c ≥9(2)++b a 2c b 2a c 2=+++++−1b a 2c b 2a c 21a 1b 1c =(+)+(+)+(+)−1b a 21bc b 21c a c 21a ≥++−1=12a 2b 2ca =b =c ++≥1b a 2cb 2ac 2(1)=log a ta 3log t ya 3t −3=y −3a log a log t log t t =a x t ≠1x =t ≠0log a x −3=−+y 3x 1x log a y =(x ≠0)−3x+32∴，即．令，则，①若，要使在区间上有最小值， 则在上应有最大值，但在上不存在最大值，不符合题意．②若，要使在区间上有最小值，则在上应有最小值．∴当时，，，由，得．综上，可知所求，．【考点】函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，由，，知，代入上式得，∴，即．令，则，①若，要使在区间上有最小值， 则在上应有最大值，但在上不存在最大值，不符合题意．②若，要使在区间上有最小值，则在上应有最小值．∴当时，，，由，得．y =−3x +3log a x 2y =(x ≠0)a −3x+3x 2(2)u =−3x +3=+(x≠0)x 2(x −)32234y =(u≠3)a u 0<a <1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]u (0,2]a >1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]x =32=u min 34=y min a 34=8a 34a =16a =16x =32(1)=log a ta 3log t ya 3t −3=y −3a log a log t log t t =a x t ≠1x =t ≠0log a x −3=−+y3x 1xlog a y =−3x +3log a x 2y =(x ≠0)a −3x+3x 2(2)u =−3x +3=+(x≠0)x 2(x −)32234y =(u≠3)a u 0<a <1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]u (0,2]a >1y =a −3x+3x 2(0,2]8u =+(x −)32234(0,2]x =32=u min 34=y min a 34=8a 34a =16=3综上，可知所求，．22.【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法待定系数法求二次函数解析式二次函数的应用一元二次不等式与二次函数函数的单调性及单调区间函数最值的应用【解析】（1）结合一元二次函数的图形特征，列出与.（2）根据对称轴与区间的关系来分类讨论；（3）观察图形知在 上单调递增，求解方程即可.【解答】此题暂无解答a =16x =32−=b 2a 12Δ=02n ≤=n ≤f (x)1418m,n {f (m)=2mf (n)=2n。
2022-2023学年北京师范大学第二附属中学高一上学期10月月考数学试卷(含详解)
三､解答题：
15.设集合 ， ．若 ，求实数a的取值范围．
16 已知a>0，b>0，求证： .
17.已知 恒成立．
（1）求 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 .
A.①②B.①③C.①②③D.②③
8.已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则A.－1<a<0B.0<a<1C. 1<a<3D. 3<a<6
二､填空题：
9.若命题p的否定是“对所有正数x， ＞x＋1”，则命题p是________________.
10.“ 且 ”的充要条件是“ 且________”.
18.设集合A 元素都是正整数，满足如下条件：①A的元素个数不小于3；②若 ，则 的所有因数都属于A；③若 ， ， ，则 ，请回答下面的问题：
（1）证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素
（2）判断2021是否集合A 元素，并说明理由
高一数学阶段性练习
一､选择题：
1.如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是
4.设集合 ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 、 ，利用集合间的关系判断可得出合适的选项.
【详解】因为 ，
，故 .
ABC均错，D对.
故选：D.
5.已知集合 ，则具有性质“若 ，则 ”的 的所有非空子集的个数为
A.3B.7C.15D.31
【答案】B
新教材北师大版高中数学必修第一册练习-换底公式答案含解析
第四章 对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点 对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。
A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。
故选D 。
2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。
A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。
故选D 。
3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。
A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。
故选B 。
4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。
A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。
故选D 。
5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。
A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。
2022-2023学年高中高一下数学北师大版月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知，且，则sin(π+2α)＝（ ）A.B.C.D.2. 设θ是两个非零向量→a、→b的夹角，若对任意实数t，|→a+t→b|的最小值为1，则下列判断正确的是（ ）A.若|→a|确定，则θ唯一确定B.若|→b|确定，则θ唯一确定C.若θ确定，则|→b|唯一确定D.若θ确定，则|→a|唯一确定3. 要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin(2x−π4)的图象（ ）A.向左平移π4单位B.向右平移π4单位C.向左平移π8单位D.向右平移π8单位4. 下列关于函数y=tan(2x+π3)的说法错误的是( )A.在区间(−5π12,π12)上单调递增B.最小正周期是π2C.图象关于点(π12,0)成中心对称D.图象关于直线x=−5π12对称5. 若a=(94)12，b=3log83，c=(23)13，则a，b，c的大小关系是（）A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b6. 函数f(x)=cosxx 2+1(−3≤x≤3)的图象大致为( )A. B. C.D.7. 八中女排和一中女排两队进行比赛，在一局比赛中八中女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则八中女排获胜的概率等于( )A.49B.2027C.827D.16278. 函数y=cosx ，x∈[π2,3π2]的最大值是（）A.1B.0C.−1D.3π2二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列角的终边位于第二象限的是( )A.480∘B.−860∘C.17π6D.4rad10. 下列叙述中错误的是( )A.若→a=→b，则3→a>2→bB.若→a//→b，则→a与→b的方向相同或相反C.若→b≠→0且→a//→b，→b//→c，则→a//→cD.对任一向量→a，→a|→a|是一个单位向量11. 抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是2，3，4”为事件A，“向上的点数是1，5”为事件B，则下列选项正确的是( )A.A与B是对立事件B.A与B是互斥事件C.P(A∪B)=1D.P(AB)=012. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，−π3为f(x)的一个零点，x=π6为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在(0,π)上有且仅有7个零点，下述结论正确的是( )A.φ=π6B.ω=5C.f(x)在(0,π)上有且仅有4个极大值点D.f(x)在(0,π42)上单调递增卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）已知函数f(x)={log3x，x>0,3x，x≤0,且关于x的方程f(x)+x+3a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 已知第二象限角θ的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(−1213,513).(1)写出三角函数sinθ，cosθ，tanθ的值；(2)若f(θ)=cos(3π2+θ)cos(π−θ)tan(3π+θ)sin(3π2−θ)sin(−θ)，求f(θ)的值．15. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60) ，[60,70)，⋯，[90,100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．(1)求图中x的值；(2)估计这组数据的平均数和中位数；(3)若与满意度评分值为[50,60)的人进行座谈，已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3:2，安排座谈座位时所有人坐成一横排且女生必须相邻，求所有入座情况共有多少种. 16. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的部分图象如图所示．(1)求函数y=f(x)的表达式；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，若关于x的方程f(x)+g(x)−a=0在[0,π2]上有实数解，求实数a的取值范围．17. 已知函数y=−2sin2x+1，（1）试写出该函数的定义域、值域、奇偶性及单调区间（不必证明）；（2）利用五点法作出该函数在x∈[0,π]上的大致图象（请列表）．18. 临沂泰盛广场最大的亮点建设在楼顶的空中摩天轮，距地最高120米相当于40层楼高，城市繁华尽收眼底，百万点阵聚合而成的电子屏幕与城市灯光交相辉映；该摩天轮直径约80米，摩天轮的圆周上均安装了36个透明座舱，每个座舱最多乘坐8人，整个摩天轮可同时共280余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30分钟．(1)小明自最低点处登上摩天轮，请问5分钟后他距离地面的高度是多少？(2)若小明在距离地面至少100米的高度能够获得俯瞰城市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果．19. 函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)若∀x∈[−π4,π4]，[f(x)]2−mf(x)−1≤0，求m的取值范围.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】∵已知，且，∴cosα＝-＝-，则sin(π+2α)＝−sin2α＝−2sinαcosα＝，2.【答案】D【考点】向量的概念与向量的模【解析】令g(t)=(→a+t→b)2=→b2t2+2t→a⋅→b+→a2，恒成立．当且仅当t=−2→a⋅→b2→b 2=−|→a|cosθ|→b|时，g(t)取得最小值1，代入即可得出．【解答】令g(t)=(→a+t→b)2=→b2t2+2t→a⋅→b+→a2，当t=−2→a⋅→b2→b 2=−|→a|cosθ|→b|时，g(t)取得最小值1，∴→b 2×|→a|2cos2θ|→b|2−2→a⋅→b×|→a|cosθ|→b|+→a2=1，化为：→a 2sin2θ＝1．∴θ确定，则|→a|唯一确定．3.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律得出结论．【解答】解：将函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π8个单位，可得函数y=sin[2(x+π8)−π4]=sin2x的图象.故选C.4.【答案】D【考点】正切函数的单调性正切函数的周期性正切函数的奇偶性与对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：令kπ−π2<2x+π3<kπ+π2，解得kπ2−5π12<x<kπ2+π12，k∈Z，显然(−5π12,π12)满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期T=πω=π2，故B正确；令2x+π3=kπ2，解得x=kπ4−π6，k∈Z，当k=1时，x=π12，图象关于点(π12,0)成中心对称，故C正确；正切函数图象没有对称轴，故D错误．故选D.5.【答案】D【考点】指数式与对数式的互化指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(−x)=cos(−x)(−x)2+1=f(x)，所以f(x)为偶函数，排除B，D选项；又因为f(0)=1，故排除C选项.故选A．7.【答案】B【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】先由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求出比赛2场实验女排获胜的概率，再求得比赛3场实验女排获胜的概率，相加，即得所求．【解答】解：若比赛2场八中女排获胜，概率为(23)2=49，若比赛3场八中女排获胜，概率为(C12⋅23⋅13)⋅23=827，∴八中女排获胜的概率等于49+827=2027.故选B.8.【答案】B【考点】余弦函数的单调性余弦函数的定义域和值域【解析】利用余弦函数的性质求解即可.【解答】解：函数y=cosx在 x∈[π2,π]上单调递减，在x∈(π,3π2]上单调递增，当x=π2或x=3π2时，y=0，∴函数的最大值为0.故选B.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,C【考点】象限角、轴线角【解析】求出各个选项中角所在的象限，进行判定即可求解.【解答】解：A，480∘=360∘+120∘，∴480∘是第二象限角，满足题意；B，−860∘=−360∘×3+220∘，∴−860∘是第三象限角，不满足题意；C，17π6=2π+5π6，∴17π6是第二象限角，满足题意；D，4rad≈229.2∘，∴4rad 是第三象限角，不满足题意.故选AC.10.【答案】A,B,D【考点】零向量平行向量的性质相等向量与相反向量单位向量【解析】此题暂无解析【解答】解：向量不能比较大小，故A错误；零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；因为→b不是零向量，所以若→a//→b，→b//→c，则→a//→c，故C正确；当→a=→0时，→a|→a|无意义，故D错误.故选ABD.11.【答案】B,D【考点】互斥事件与对立事件对立事件的概率公式及运用互斥事件的概率加法公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，AB为不可能事件，A∪B表示向上的点数是1，2，3，4，5，所以P(AB)=0，P(A∪B)=56，事件A与事件B是互斥事件，不是对立事件．故选BD．12.【答案】C,D【考点】正弦函数的单调性正弦函数的周期性正弦函数的图象三角函数的图象【解析】无【解答】解：∵x=π6是f(x)图象的一条对称轴，且−π3是f(x)的一个零点，∴ω×π6+φ=π2+kπ，且ω×(−π3)+φ=kπ，k∈Z，∴ω=2k+1，k∈Z，∵f(x)在(0,π)上有且仅有7个零点，∴7π<ωπ+φ≤8π，即132<ω<8，∴ω=7，∴7×π6+φ=π2+kπ，且0<φ<π2，∴φ=π3，故A，B选项错误；∵f(x)=sin(7x+π3)，令7x+π3=π2+2kπ，k∈Z，解得x=π42+2kπ7，k∈Z，当0<π42+2kπ7<π时，解得−112<k<4112，又k∈Z，∴取k=0，1，2，3，∴f(x)在(0,π)上有且仅有4个极大值点，故C选项正确；由−π2+2kπ≤7x+π3≤π2+2kπ，得−5π42+2kπ7≤x≤π42+2kπ7，即f(x)在[−5π42+2kπ7,π42+2kπ7]上单调递增，∴f(x)在(0,π42)上单调递增，故D 选项正确.故选CD ．三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】[−13,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】构造函数g(x)=f(x)+x ，画出图象，转化为y =−3a 与g(x)图象有两个交点，求解实数a 的范围．【解答】解：作出函数f(x)={log 3x ，x >0,3x ，x ≤0的图象如下：∵关于x 的方程f(x)+x +3a =0有两个实数根，∴y =−x −3a 与f(x)图象有两个交点，据图可知：−3a ≤1，即a ≥−13.故答案为：[−13,+∞).四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：(1)由题易得r =√x 2+y 2=√(−1213)2+(513)2=1可得sinθ=yr =5131=513，cosθ=xr =−12131=−1213，tanθ=yx =513−1213=−512.(2)f(θ)=cos (3π2+θ)cos(π−θ)tan(3π+θ)sin (3π2−θ)sin(−θ)=sinθ⋅(−cosθ)⋅tan(π+θ)−cosθsin(−θ)=−sinθ⋅cosθ⋅tanθcosθ⋅sinθ=−tanθ=512.【考点】任意角的三角函数运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题易得r =√x 2+y 2=√(−1213)2+(513)2=1可得sinθ=yr =5131=513，cosθ=xr =−12131=−1213，tanθ=yx =513−1213=−512.(2)f(θ)=cos (3π2+θ)cos(π−θ)tan(3π+θ)sin (3π2−θ)sin(−θ)=sinθ⋅(−cosθ)⋅tan(π+θ)−cosθsin(−θ)=−sinθ⋅cosθ⋅tanθcosθ⋅sinθ=−tanθ=512.15.【答案】解：(1)由题意，得(0.005+0.01+0.035+0.030+x)×10=1，解得x =0.02.(2)由题意，得这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77.设中位数为m ，则0.05+0.2+(m −70)×0.035=0.5，解得m =5407，故这组数据的中位数为5407.(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5(人)，其中男生3人，女生2人，则入座情况共有：A22A14A33=48(种).【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数古典概型及其概率计算公式【解析】利用小矩形的面积之和为1即可求解.利用中位数即为平分矩形面积的点，平均数是用每个小矩形的横轴的中点与面积乘积之后再求和.利用列举法求解古典概型.【解答】解：(1)由题意，得(0.005+0.01+0.035+0.030+x)×10=1，解得x=0.02.(2)由题意，得这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77.设中位数为m，则0.05+0.2+(m−70)×0.035=0.5，解得m=5407，故这组数据的中位数为5407.(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5(人)，其中男生3人，女生2人，则入座情况共有：A22A14A33=48(种).16.【答案】解：(1)由题图可知A=2，T2=11π12−5π12，所以T=π，所以ω=2πT=2ππ=2，将点(5π12,2)的坐标代入函数f(x)=2sin(2x+φ)，得5π6+φ=2kπ+π2(k∈Z) ，即φ=2kπ−π3(k∈Z)，因为|φ|≤π2，所以φ=−π3，所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x−π3).(2)依题意g(x)=2sin2x，方程f(x)+g(x)−a=0在[0,π2]上有实数解，即方程f(x)+g(x)=a在[0,π2]上有实数解．令h(x)=2sin(2x−π3)+2sin2x=3sin2x−√3cos2x=2√3(√32sin2x−12cos2x)=2√3sin(2x−π6)，∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴h(x)的值域为[−√3,2√3]，所以实数a的取值范围为[−√3,2√3].【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题图可知A=2，T2=11π12−5π12，所以T=π，所以ω=2πT=2ππ=2，将点(5π12,2)的坐标代入函数f(x)=2sin(2x+φ)，得5π6+φ=2kπ+π2(k∈Z) ，即φ=2kπ−π3(k∈Z)，因为|φ|≤π2，所以φ=−π3，所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x−π3).(2)依题意g(x)=2sin2x，方程f(x)+g(x)−a=0在[0,π2]上有实数解，即方程f(x)+g(x)=a在[0,π2]上有实数解．令h(x)=2sin(2x−π3)+2sin2x=3sin2x−√3cos2x=2√3(√32sin2x−12cos2x)=2√3sin(2x−π6)，∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴h(x)的值域为[−√3,2√3]，所以实数a的取值范围为[−√3,2√3].17.【答案】解：（1）x∈R，y∈[−1,3]，非奇非偶函数，增区间：[kπ+π4，kπ+3π4]，k∈Z，减区间：[kπ−π4，kπ+π4]，k∈Z（2）将x的取值，2x的取值及f(x)的取值情况列表如下：x 0π4π23π4 π2x 0π2 π3π2 2π2sin2x+1 1 3 1−1 1作图如下：【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性正弦函数的对称性【解析】（1）利用三角函数性质直接写出该函数的定义域、值域、奇偶性及单调区间；（2）将x的取值，2x的取值及y的取值情况列表，利用五点法作出函数在[0,π]的大致图象即可．【解答】解：（1）x∈R，y∈[−1,3]，非奇非偶函数，增区间：[kπ+π4，kπ+3π4]，k∈Z，减区间：[kπ−π4，kπ+π4]，k∈Z（2）将x的取值，2x的取值及f(x)的取值情况列表如下：x 0π4π23π4 π2x 0π2 π3π2 2π2sin2x +11 3 1−1 1作图如下：18.【答案】解：(1)根据题意如图.设距地面高度h =Asin(ωt +φ)+B(A >0,ω>0)，则{A +B =120,−A +B =40,所以A =40，B =80.由题意ω=2π30=π15.由t =0时h =40，得φ=−π2，所以当t =5时，h =40sin (5×π15−π2)+80=60，即5分钟后小明距离地面60米．(2)由h =40sin(π15t −π2)+80≥100得40sin(π15t −π2)≥20,得cos πt15≤−12.又0≤t ≤30，所以2π3≤πt15≤4π3，解得10≤t ≤20，即摩天轮转动一周能有10分钟会有最佳视觉效果.【考点】在实际问题中建立三角函数模型已知三角函数模型的应用问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据题意如图.设距地面高度h =Asin(ωt +φ)+B(A >0,ω>0)，则{A +B =120,−A +B =40,所以A =40，B =80.由题意ω=2π30=π15.由t =0时h =40，得φ=−π2，所以当t =5时，h =40sin (5×π15−π2)+80=60，即5分钟后小明距离地面60米．(2)由h =40sin(π15t −π2)+80≥100得40sin(π15t −π2)≥20,得cos πt15≤−12.又0≤t ≤30，所以2π3≤πt15≤4π3，解得10≤t ≤20，即摩天轮转动一周能有10分钟会有最佳视觉效果.19.【答案】解：(1)由图可得34T =5π6−π12，即34⋅2πω=3π4，∴ω=2，∴cos (2×π12+φ)=1，∴π6+φ=2kπ，φ=2kπ−π6，∴φ=−π6，f(x)=cos (2x −π6)．(2)∵x ∈[−π4,π4]，∴2x −π6∈[−2π3,π3]，∴f(x)∈[−12,1]，令t =f(x)∈[−12,1]，则由题意得g(t)=t 2−mt −1≤0恒成立，由二次函数图像可知只需g (−12)=14+12m −1≤0，g(1)=−m ≤0，解得0≤m ≤32．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图可得34T =5π6−π12，即34⋅2πω=3π4，∴ω=2，∴cos (2×π12+φ)=1，∴π6+φ=2kπ，φ=2kπ−π6，∴φ=−π6，f(x)=cos (2x −π6)．(2)∵x ∈[−π4,π4]，∴2x −π6∈[−2π3,π3]，∴f(x)∈[−12,1]，令t =f(x)∈[−12,1]，则由题意得g(t)=t 2−mt −1≤0恒成立，由二次函数图像可知只需g (−12)=14+12m −1≤0，g(1)=−m ≤0，解得0≤m ≤32．。
2022-2023学年北师大版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 已知集合，，，则的真子集共有A. 个B.个C.个D.个3. 命题，，则命题的否定形式是（ ）A.，B.，C.，D.，4. “”是“双曲线的离心率为”的（ ）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件A ={x|−8>0}2x B ={x|x −1>6}A ∪B =(3,+∞)(7,+∞)(3,7)(−∞,7)S ={0,1,2}T ={0,3}P =S ∩T P ()0123p :∀x >0>12x p ∀x >0≤12x ∀x ≤0>12x ∃>0x 02≤1∃≤0x 02>1m =1−=1x 2m y 232D.既不充分也不必要条件5. 设集合，，若，则的最大值为（ ）A.B.C.D.6. 已知集合，，则 A. B. C. D.7. 使不等式成立的的取值范围是（ ）A.B.C.D.以上答案都不对8. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.）C.）D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列结论不正确的是( )A.A ={x|(x +2)(x −3)≤0}B ={a}A ∪B =A a −2234<|x |x 2x x >1x <−1−1<x <1x >2x +≥a 1x −2a (−∞,2][2,+∞[4,+∞(−∞,4]1∈N∈Q –√B.C.D.10. 下列关于命题的结论正确的是（ ）A.命题“，或”的否定是“，或”B.若命题“，”是真命题，则实数C.若命题“，”是真命题，则实数D.命题“中，若，则”是假命题11. 已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为（ ）A.B.C.D.12. 设，，且，则下列说法正确的有( )A.有最大值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知全集，集合，则________．14. 已知关于的不等式的解集是，则所有满足条件的实数组成的集合是________.∈Q2–√0∈N ∗−3∈Z∀x ∈R >0x 2x ≤0∃x ∈R ≤0x 2x >0∀x ∈R+x +≥4k xk ∈[4,+∞)∃x ∈R 2sin x +3cos x =m m ∈[−,]13−−√13−−√△ABC A >B sin A >sin B x 1x 20<<1<<3x 1x 2m −2−3−4−5x >0y >0x +y =4xy 4+1x 1y1+x 2y 28+x −√y √2U =R A ={x |<1}1x A =∁U15. 已知函数若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是________.16. 若，则的最小值是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数的定义域为集合，函数＝的定义域为集合．Ⅰ当＝时，求；Ⅱ若＝，求的值． 18. 已知函数.若，在上恒成立，求实数的取值范围；若成立，求实数的取值范围. 19. 命题：实数满足,命题：实数满足，是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20. 已知集合，.若，，求实数的取值范围；若，且，求实数的取值范围．21. 如图，矩形草坪中，点在对角线上．垂直于于点，垂直于于点，米，米，设米，米．求这块矩形草坪面积的最小值．22. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.求的值；若每吨产品出厂价为万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？f(x)={x +4,x <a ，−2x,x ≥a ，x 2b x 0f()=x 0b a x ∈(0,+∞)x +4xf(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√A g(x)lg(−2x +a)x 2B ()a −8A ∩B ()A ∩B ∁R {x |−1<x ≤3}a f(x)=−x +1x 2a 2(1)f(x)≥0R a (2)∃x ∈[1,2],f(x)≥2a p x <02x −3x −1q x −4ax +3<0(a >0)x 2a 2p q a A ={x|(x −7)(x +2)≤0}B ={y|−3≤y ≤5}(1)C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)m (2)D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅m AMPN C MN CD AN D CB AM B |CD |=|AB |=3|AD |=|BC |=2|DN |=x |BM |=y AMPN y x y =2+（15−4k ）x +120k +8x 2k x =1y =142(1)k (2)48参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】无【解答】解：因为，，所以．故选．2.【答案】B【考点】子集与真子集【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，，所以的真子集只有一个.故选.3.【答案】C【考点】A ={x|x >3}B ={x|x >7}A ∪B =(3,+∞)A P =S ∩T ={0}P B命题的否定【解析】直接利用含有量词的命题的否定方法进行求解即可．【解答】命题，，则命题的否定形式是，．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】并集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】可以求出，根据可得出，从而可以得出的最大值．【解答】解：∵ ，，且，∴ ，∴ 的最大值为．故选．6.【答案】p :∀x >0>72x p ∃>0x 05≤1A ={x|−2≤x ≤3}A ∪B =A B ⊆A a A ={x|−2≤x ≤3}B ={a}A ∪B =A B ⊆A a 3CB【考点】分式不等式的解法【解析】解对数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得两个集合的交集和并集，进而判断出正确选项．【】则故选．【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】二元一次不等式组【解析】由已知可以判断出与的大小关系，从而确定的范围．【解答】∵不等式成立，而和都是正数，∴，∴，∴且，∴或．8.【答案】D【考点】不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析A B 加加A ={x |x <1}={x |0<x <3}B ={x |≤0}={x |−1<x <2}log 3x +1x −2A ∩B ={x |0<x ≤2}A ∪B ={x |−1≤x <3}B <|x |x 2|x |1x <|x |x 2x 2|x |||<|x |x 2|x |×|x |<|x ||x |<1x ≠0−1<x <00<x <1【解答】设，因为，所以，则，所以，因此要使不等式恒成立，则，所以实数的取值范围是，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】元素与集合关系的判断【解析】无【解答】解：由集合的概念可知，，是自然数，故正确；，是无理数，而表示有理数，故错误；，是自然数，但不是正整数，故错误；，是整数，故正确.故选．10.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定全称命题与特称命题【解析】利用命题的否定以及量词的否定，依次写出命题，判断选项求出范围，即可得到答案.【解答】f (x)=x +1x −2x >2x −2>0f (x)=x −2++2≥2+2=41x −2(x −2)×1x −2−−−−−−−−−−−−−√f =4(x)min x +≥a 1x −2a ≤4a (−∞,4]D A 1A B 2–√Q B C 0C D −3D BC >02≤02解：选项，命题“，或”的否定是“，且”，故错误 ；选项，命题“，”是真命题， 若 则存在 使得 ，则命题不成立,，，，，， ，故正确；选项，命题“，”是真命题， ， ,， 故正确；选项，若，，由正弦定理，（为外接圆半径），，故为真命题，故错误.故选.11.【答案】B,C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A,B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】直接利用基本不等式的常规模型判断即可，利用特殊值排除.A ∀x ∈R >0x 2x ≤0∃x ∈R ≤0x 2x >0AB ∀x ∈R+x +≥4k x k ≤0=x 0−k −−−√+=0x 0k x 0∴k >0∴x >0>0k x ∴x +≥2=2k x x ×k x −−−−−√k −√∴2≥4k −√∴≥2k −√∴k ≥4BC ∃x ∈R 2sin x +3cos x =m 2sin x +3cos x =sin(x +φ)4+9−−−−√∵sin(x +φ)∈[−,]13−−√13−−√13−−√∴m ∈[−,]13−−√13−−√C D A >B ∴a >b a =2R sinA b =2R sinB R ∴sin A >sin B D BC ABC D【解答】解：由题意得，，，，，，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，故正确；，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故正确；，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故正确；，当时，，故错误.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】补集及其运算【解析】根据的正负求出中不等式的解集确定出，由全集，求出的补集即可．【解答】解：中不等式，当时，解得：；当时，解得：，此时，综上，的范围为或，即，则，故答案为：14.【答案】【考点】一元二次不等式与一元二次方程【解析】x >0y >0x +y =4A xy ≤=4()x +y 22x =y =2xy 4A B +=(+)(x +y)=(2++)≥11x 1y 141x 1y 14x y y xx =y =2+1x 1y1B C ≥=8+x 2y 22()x +y 22x =y =2+x 2y 28C D x =y =2+=+>2x −√y √2–√2–√D ABC [0,1]x A A U =R A A <11x x >0x >1x <0x <1x <0x x <0x >1A =(−∞,0)∪(1,+∞)A =[0,1]∁U [0,1]{2}−1)x (x +)<02a +2变换得到，化简得到，根据解集得，解得答案【解答】，则，即化简得到，不等式解集是故且，解得或（舍去）．故答案为：15.【答案】【考点】函数恒成立问题二次函数的性质【解析】根据二次函数的最小值分类讨论，从而解得．【解答】解：①当时，∵对任意实数，总存在实数，使得，∴，解得，；②当时，，解得，，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.16.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】直接利用基本不等式求最值即可.||<1ax +1x −1(−1)x (x +)<0a 22a +2−1a 2−=−22a +2−1a 2−1<<1ax +1x −1||−1ax +1x −1<(ax +1)2(x −1)2(−1)x(x +)<0a 22a +2−1a 2{x |−2<x <0}−1>0a 2−=−22a +2−1a 2a =2a =−1{2}[−5,4]−2x x 2a ≤1b x 0f()=x 0b a +4≥1−2a ≥−5a >1a +4≥−2a a 2−1≤a ≤4a [−5,4][−5,4]4【解答】解：∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】函数有意义，则有，解得，-----------当＝时，＝，所以，解得或，-----------所以＝；------------＝＝，--------------由＝，可得，＝，-------------将＝带入方程，解得＝，＝，满足题意，所以＝．--------------【考点】交集及其运算交、并、补集的混合运算【解析】求出函数、的定义域，再根据交集的定义写出；根据补集与交集的定义，结合一元二次不等式与方程的知识，即可求出的值．【解答】函数有意义，则有，解得，-----------当＝时，＝，所以，解得或，-----------所以＝；------------＝＝，--------------由＝，x ∈(0,+∞)x +≥2=44x x ⋅4x −−−−√x =4x x =2x +4x 44(I)f(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√{ 5−x ≥0x +1>0−1<x ≤5a −8g(x)lg(−2x −8)x 2−2x −8>0x 2x >4x <−2A ∩B {x |4<x ≤5}(II)B ∁R {x |−2x +a ≤0}x 2{x |≤x ≤}x 1x 2A ∩(B)∁R {x |−1<x ≤3}≤−1x 1x 23x 23a −3x 1−1a −3(I)f(x)g(x)A ∩B (II)a (I)f(x)=+lg(x +1)5−x−−−−−√{ 5−x ≥0x +1>0−1<x ≤5a −8g(x)lg(−2x −8)x 2−2x −8>0x 2x >4x <−2A ∩B {x |4<x ≤5}(II)B ∁R {x |−2x +a ≤0}x 2{x |≤x ≤}x 1x 2A ∩(B)∁R {x |−1<x ≤3}可得，＝，-------------将＝带入方程，解得＝，＝，满足题意，所以＝．--------------18.【答案】解：由题意得在上恒成立，，解得，∴实数的取值范围为 .由题意得 成立， ，成立．令，则在区间上单调递增，解得∴实数的取值范围为.【考点】全称命题与特称命题函数恒成立问题一元二次不等式与二次函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得在上恒成立，，解得，∴实数的取值范围为 .由题意得 成立， ，成立．令，则在区间上单调递增，R≤−1x 1x 23x 23a −3x 1−1a −3(1)f (x)=−x +1≥0x 2a 2R ∴Δ=−4≤0a 24−4≤a ≤4a [−4,4](2)∃x ∈[1,2],−x +1≥2x 2a 2∴∃x ∈[1,2]≤x −a 21x g(x)=x −,x ∈[1,2]1x g(x)[1,2]∴g =g(2)=,(x)max 32∴≤,a 232a ≤3,a (−∞,3](1)f (x)=−x +1≥0x 2a 2R ∴Δ=−4≤0a 24−4≤a ≤4a [−4,4](2)∃x ∈[1,2],−x +1≥2x 2a 2∴∃x ∈[1,2]≤x −a 21x g(x)=x −,x ∈[1,2]1x g(x)[1,2]∴g =g(2)=,(x)max 32≤,3解得∴实数的取值范围为.19.【答案】解：由，得，即，记.由得 ，记.∵是的充分不必要条件，，有即【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，即，记.由得 ，记.∵是的充分不必要条件，，有即20.【答案】解：，∴.∴≤,a 232a ≤3,a (−∞,3]<02x −3x −1(2x −3)(x −1)<01<x <32A ={x|1<x <}32−4ax +3<0(a >0)x 2a 2a <x <3a B ={x|a <x <3a}p q ∴A B {a ≤1，3a ≥，32≤a ≤1.12<02x −3x −1(2x −3)(x −1)<01<x <32A ={x|1<x <}32−4ax +3<0(a >0)x 2a 2a <x <3a B ={x|a <x <3a}p q ∴A B {a ≤1，3a ≥，32≤a ≤1.12(1)A ={x|(x −7)(x +2)≤0}={x|−2≤x ≤7}A ∩B ={x|−2≤x ≤5}C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)若，，当时，，解得；当时，则解得：，∴，∴实数的取值范围为..若，且，则，∴，∴实数的取值范围为.【考点】交集及其运算集合关系中的参数取值问题并集及其运算【解析】分两种情况讨论求解即可；若，且，则，求解即可.【解答】解：，∴.若，，当时，，解得；当时，则解得：，∴，∴实数的取值范围为..若，且，则，∴，∴实数的取值范围为.21.【答案】解：由题意…．C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)C =∅2m −1<m +1m <2C ≠∅ m +1≥−2,2m −1≤5,m +1≤2m −1,2≤m ≤3m ≤3m (−∞,3](2)A ∪B ={x|−3≤x ≤7}D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅6m +1≥7m ≥1m [1,+∞)(1)(2)D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅6m +1≥7(1)A ={x|(x −7)(x +2)≤0}={x|−2≤x ≤7}A ∩B ={x|−2≤x ≤5}C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)C =∅2m −1<m +1m <2C ≠∅ m +1≥−2,2m −1≤5,m +1≤2m −1,2≤m ≤3m ≤3m (−∞,3](2)A ∪B ={x|−3≤x ≤7}D ={x|x >6m +1}(A ∪B)∩D =∅6m +1≥7m ≥1m [1,+∞)∠NCD =∠CMB ⇒=⇒xy =6x 32y =(x +2)(y +3)=xy +3x +2y +6=12+3x +2yS MPN…．…．当且仅当，即，时取得等号．…．面积的最小值为平方米． …．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：由题意…．…．…．当且仅当，即，时取得等号．…．面积的最小值为平方米． …．22.【答案】解：由题意，除尘后，当日产量时，总成本，代入计算得；由，总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，∴除尘后日产量为吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为万元.【考点】二次函数的应用基本不等式在最值问题中的应用函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】=(x +2)(y +3)=xy +3x +2y +6=12+3x +2y S AMPN ≥12+2=243x ⋅2y −−−−−√3x =2y x =2y =324∠NCD =∠CMB ⇒=⇒xy =6x 32y ∠NCD =∠CMB ⇒=⇒xy =6x 32y =(x +2)(y +3)=xy +3x +2y +6=12+3x +2y S AMPN ≥12+2=243x ⋅2y −−−−−√3x =2y x =2y =324(1)y =2+(15−4k)x +120k +8+kx x 2=2+(15−3k)x +120k +8x 2∵x =1y =142k =1(2)(1)y =2+12x +128x 2L =48x −(2+12x +128)=36x −2−128,(x >0)x 2x 2==36−2(x +) 36−4=4L x 64x x ⋅64x −−−−−√x =64x x =884(1)解：由题意，除尘后，当日产量时，总成本，代入计算得；由，总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，∴除尘后日产量为吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为万元.(1)y =2+(15−4k)x +120k +8+kx x 2=2+(15−3k)x +120k +8x 2∵x =1y =142k =1(2)(1)y =2+12x +128x 2L =48x −(2+12x +128)=36x −2−128,(x >0)x 2x 2==36−2(x +) 36−4=4L x 64x x ⋅64x −−−−−√x =64x x =884。
2024-2025年北师大版数学必修第一册1.4.1一元二次函数(带答案)
4．1 一元二次函数必备知识基础练知识点一一元二次函数的解析式1．一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－42．已知一元二次函数的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且函数值的最大值为8，求一元二次函数的解析式．知识点二一元二次函数的图象变换3．将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝－3(x －1)2－2 B ．y ＝－3(x －1)2＋2 C ．y ＝－3(x ＋1)2－2 D ．y ＝－3(x ＋1)2＋24．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向右平移一个单位长度，向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝－x 2＋2 B ．y ＝－x 2＋4x －2 C ．y ＝－x 2－2 D ．y ＝－x 2＋4x －6 知识点三 一元二次函数的图象与性质5．对于二次函数y ＝ax 2＋(1－2a )x (a >0)，下列说法错误的是( ) A ．当a ＝12 时，该二次函数图象的对称轴为y 轴B ．当a >12 时，该二次函数图象的对称轴在y 轴的右侧C ．该二次函数的图象的对称轴可为x ＝1D ．当x >2时，y 的值随x 的值增大而增大6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (1，2)，B (3，2)，C (5，7).若点M (－2，y 1)，N (－1，y 2)，K (8，y 3)也在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上，则下列结论正确的是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 27．当a －1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0或3关键能力综合练1．已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为( )A ．y ＝x 2－2x ＋2 B ．y ＝x 2－2x －2 C ．y ＝－x 2－2x ＋1 D ．y ＝x 2－2x ＋12．一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y ＝bx 2＋ax ＋c (b ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )3．把函数y ＝2x 2－4x －5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得到的函数图象的解析式为( )A ．y ＝2x 2＋4x －8 B ．y ＝2x 2－8x ＋8 C ．y ＝2x 2＋4x －2 D ．y ＝2x 2－8x －24．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，f (－1)＝8，则下列判断错误的是( ) A ．b ＋c ＝－1 B ．f (3)＝0C ．f (x )图象的对称轴为直线x ＝4D ．f (x )的最小值为－15．(探究题)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 同时满足下列条件：图象的对称轴是x ＝1，最值是15，图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a ，则b 的值是( )A ．4或－30B ．－30C ．4D ．6或－206．函数y ＝x 2＋m 的图象向下平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2－1的图象，则实数m ＝________．7．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上f (x )随x 的增大而增大，在(－∞，－1]上f (x )随x 的增大而减小，则f (－1)＝________．8．(易错题)当x ∈[－2，1]时，二次函数y ＝－(x －m )2＋m 2＋1有最大值3，则实数m 的值为________．9．已知二次函数y ＝－12 x 2－x ＋72.(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；(3)将二次函数y ＝－12 x 2的图象如何平移能得到二次函数y ＝－12 x 2－x ＋72 的图象，请写出平移方法．核心素养升级练1．(多选题)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中说法正确的是( )A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m >－14C ．当m >0时，2<x 1<x 2<3D ．当m >0时，x 1<2<3<x 22．(学科素养—逻辑推理)已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A (1，m ). (1)求抛物线的解析式；(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图象．4．1 一元二次函数必备知识基础练1．答案：B解析：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(0，－4)代入得a (－2)2＋4＝－4，解得a ＝－2，所以抛物线的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4，故选B.2．解析：设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求一元二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 3．答案：C解析：将抛物线y ＝－3x 2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－3(x ＋1)2，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－3(x ＋1)2－2.故选C.4．答案：B解析：将抛物线y ＝－(x －1)2向右平移一个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－(x －1－1)2，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝－(x －1－1)2＋2，即y ＝－(x －2)2＋2，即y ＝－x 2＋4x －2.故选B.5．答案：C解析：该抛物线的对称轴为x ＝－1－2a 2a ＝1－12a ，A 中，当a ＝12 时，此时x ＝0，即二次函数的图象对称轴为x ＝0，即y 轴，故正确；B 中，当a >12 时，此时x ＝1－12a >0，此时对称轴在y 轴的右侧，故正确；C 中，由于a >0，故对称轴不可能是x ＝1，故错误；D 中，由于1－12a <1，所以对称轴x <1，由于a >0，∴抛物线的开口向上，∴x >2时，y 的值随x的值增大而增大，故正确，故选C.6．答案：B解析：把A (1，2)，B (3，2)，C (5，7)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝2，25a ＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝58，b ＝－52，c ＝318．∴函数解析式为y ＝58 x 2－52 x ＋318 ＝58 (x －2)2＋118 .∴当x >2时，y 随x 的增大而增大；当x <2时，y 随x 的增大而减小；根据对称性，K (8，y 3)的对称点是(－4，y 3)，所以y 2<y 1<y 3.故选B.7．答案：D解析：当y ＝1时，有x 2－2x ＋1＝1，解得x 1＝0，x 2＝2，∵当a －1≤x ≤a 时，函数有最小值1，∴a －1＝2或a ＝0，∴a ＝3或a ＝0.故选D.关键能力综合练1．答案：B解析：因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，－3)，所以y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2.故选B.2．答案：D解析：由于一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y ＝bx 2＋ax ＋c (b ≠0)的图象的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，则－b 2a 与－a2b同号，即它们的图象的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；由C ，D 中给出的图象，可判定两函数图象的开口方向相反，故ab <0，于是－b 2a >0，－a2b>0，即两函数图象的对称轴都位于y 轴右侧，排除C ，故选D.3．答案：A解析：y ＝2x 2－4x －5＝2(x －1)2－7，将y ＝2(x －1)2－7的图象向左平移2个单位长度得y ＝2(x －1＋2)2－7，再向下平移3个单位长度得y ＝2(x ＋1)2－7－3，即y ＝2x 2＋4x －8.故选A.4．答案：C解析：由题得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝01－b ＋c ＝8 ，解得b ＝－4，c ＝3，所以f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，因为f (1)＝0，∴b ＋c ＝－1，所以选项A 正确；所以f (3)＝0，所以选项B 正确；因为f (x )min ＝－1，所以选项D 正确； 因为f (x )＝0的对称轴为x ＝2，所以选项C 错误．故选C. 5．答案：C解析：∵对称轴是x ＝1，最值是15，∴可设y ＝a (x －1)2＋15，∴y ＝ax 2－2ax ＋15＋a ， 设方程ax 2－2ax ＋15＋a ＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－－2a a ＝2，x 1x 2＝15＋a a，∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a ，则x 21 ＋x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝15－a ，∴22－2（15＋a ）a＝15－a ，即a 2－13a －30＝0，∴a 1＝15(不符合题意，舍去)，a 2＝－2，∴y ＝－2(x －1)2＋15＝－2x 2＋4x ＋13，∴b ＝4.故选C.6．答案：1解析：因为函数y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2＋1的图象，所以m ＝1.7．答案：1 解析：由题意可得a ＋18＝－1，解得a ＝－9.∴f (x )＝4x 2＋8x ＋5.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.8．答案：32或－2解析：二次函数的对称轴为x ＝m ，①当m <－2时，x ＝－2时二次函数有最大值，此时－(－2－m )2＋m 2＋1＝3，解得m ＝－32，与m <－2矛盾，故m 值不存在；②当－2≤m ≤1时，x ＝m 时二次函数有最大值，此时m 2＋1＝3，解得m ＝－2 或m ＝2 (舍去)；③当m >1时，x ＝1时二次函数有最大值，此时－(1－m )2＋m 2＋1＝3，解得m ＝32 .综上所述，m 的值为32或－2 .9．解析：(1)y ＝－12 x 2－x ＋72 ＝－12 (x ＋1)2＋4，即y ＝－12(x ＋1)2＋4.(2)因为a ＝－12 <0，所以该抛物线的开口方向向下，由y ＝－12 (x ＋1)2＋4知，抛物线的顶点坐标是(－1，4)，对称轴为直线x ＝－1.(3)∵y ＝－12 (x ＋1)2＋4，∴将y ＝－12 x 2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可．核心素养升级练1．答案：ABD解析：当m ＝0时，(x －2)(x －3)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝3，故A 对；方程(x －2)(x －3)＝m 化为x 2－5x ＋6－m ＝0，由方程有两个不等实根得Δ＝25－4(6－m )＝1＋4m >0，∴m >－14 ，故B 对；当m >0时，画出函数y ＝(x －2)(x －3)和函数y ＝m 的图象如图，由(x －2)(x －3)＝m 得，函数y ＝(x －2)·(x －3)和函数y ＝m 的交点横坐标分别为x 1，x 2，由图可知，x 1<2<3<x 2，故C 错，D 对．故选ABD.2．解析：(1)∵点A (1，m )在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3. 把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8， 得a ＋6－8＝－3，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8.(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，∴该抛物线的顶点坐标为(3，1).因此，把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度就可以得到y＝－x2的图象．。
北师大版2018-2019高一数学下月考试卷(附答案解析)
北师大版2018-2019高一数学(下)月考试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请将正确答案的序号填在括号里）1．已知集合M＝{x|2x＞4}，N＝{x|lgx＞1}，则M∩（∁R N）为（）A．（2，10）B．（2，+∞）C．（2，10]D．（10，+∞）2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c＝2，sin A＝2sin C，cos B＝，则△ABC的面积S＝（）A．1B．2C．D．3．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．4．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°则此球的表面积等于（）A．B．20πC．8πD．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝7，对任意的n∈N*都有a n+1＝﹣2+a n，则使S n最大的n的值为（）A．3B．4C．5D．66．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣b2﹣c2＝bc，则A＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2π和π，则|MN|＝（）A．1B．C．2D．8．已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是（）A．x﹣2y+2＝0B．2x+y﹣6＝0C．x+2y﹣2＝0D．2x﹣y+6＝09．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βD．若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线11．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B 间的距离为，则M到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．12．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，P A＝2，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知经过坐标平面内两点A（1，2），B（﹣2，2m﹣1）的直线的倾斜角α∈（45°，60°），则实数m的取值范围为．14．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4＝0上找一点P，使|P A|+|PB|为最小，则这个最小值为．15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|＝m的点P的个数为6，则m的取值范围是．16．如图，正四面体ABCD的棱CD放置在水平面α内，且AB∥α，其俯视图的外轮廓是边长为2的正方形，则与这个正四面体的6条棱都相切的球的表面积为．评卷人得分三．解答题（本大题共7小题，满分70分）17．（1）已知点A（3，﹣4）与点B（5，8）关于直线l对称，求直线l的方程．（2）求过直线3x﹣2y+1＝0和x+3y+4＝0的交点，且平行于直线x﹣2y+3＝0的直线l方程．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，SA＝SD＝1，SB＝．（Ⅰ）证明：AD⊥SB；（Ⅱ）求三棱锥S﹣ABCD的体积．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（1）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与CF所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程．（2）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC＝90°，AA1⊥BC，AA1＝AC＝2AB ＝4．（1）求证：A1C⊥平面ABC1；（2）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE∥平面ABC1．若存在，求二面角E﹣AC1﹣B的余弦值．21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且OC⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若G为B1C上的一点，A1G∥平面BCD，证明：G为B1C的中点．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝1，P A＝PB＝PC＝2．（1）证明：点P在平面ABCD上的射影O是棱BC的中点；（2）求三棱锥D﹣P AC的高．23．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*都有a n＞0，且a13+a23+…+a n3＝（a1+a2+…+a n）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为S n，不等式s n＞（1﹣a）式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．．北师大版2018-2019高一数学(下)月考试卷参考答案与试题解析一．选择题1．已知集合M＝{x|2x＞4}，N＝{x|lgx＞1}，则M∩（∁R N）为（）A．（2，10）B．（2，+∞）C．（2，10]D．（10，+∞）【分析】求出集合M，N根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：集合M＝{x|2x＞4}＝（2，+∞），N＝{x|lgx＞1}＝（10，+∞），∴∁R N＝（﹣∞，10]，M∩（∁R N）＝（2，10]，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c＝2，sin A＝2sin C，cos B＝，则△ABC的面积S＝（）A．1B．2C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得a＝2c＝4，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c＝2，∴sin A＝2sin C，由正弦定理可得a＝2c＝4，∵cos B＝，∴sin B＝＝，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算和转化思想，属于基础题．3．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱锥的定义，得到顶点在底面的射影是底面的中心，然后即可求出斜高长度．【解答】解：在正三棱锥中，顶点P在底面的射影为底面正三角形的中心O，延长A0到E，则E为BC的中点，连结PE，则PE为正三棱锥的斜高．∵正三棱锥的底边长和高都是2，∴AB＝PO＝2，即AE＝，OE＝，∴斜高PE＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查正三棱锥的定义和性质，根据正三棱锥的性质是解决本题的关键．4．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°则此球的表面积等于（）A．B．20πC．8πD．【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π故选：B．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝7，对任意的n∈N*都有a n+1＝﹣2+a n，则使S n最大的n的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用等差数列的通项公式可得a n，令a n≥0，解得n即可得出．【解答】解：对任意的n∈N*都有a n+1＝﹣2+a n，∴a n+1﹣a n＝﹣2，∴数列{a n}是等差数列，公差为﹣2．∴a n＝7﹣2（n﹣1）＝9﹣2n，令a n≥0，解得n≤，因此n＝4时，S n取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣b2﹣c2＝bc，则A＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】原式可变形为，由余弦定理可得cos A，由此可求A．【解答】解：a2﹣c2＝b2+bc，可化为b2+c2﹣a2＝﹣bc，两边同除以2bc，得，由余弦定理，得cos A＝﹣，∴A＝120°，故选：C．【点评】该题考查余弦定理及其应用，对余弦定理的内容要熟练，会“正用、逆用、变形用”．7．已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2π和π，则|MN|＝（）A．1B．C．2D．【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用勾股定理即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为M、N，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OMEN为矩形，∵圆M和圆N的面积分别为2π和π，∴圆M和圆N的半径分别为和1，于是OM＝＝，ON＝＝，∴MN＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查．解决本题的关键在于得到OMEN为矩形．8．已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是（）A．x﹣2y+2＝0B．2x+y﹣6＝0C．x+2y﹣2＝0D．2x﹣y+6＝0【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．【解答】解：两点A（0，1），B（4，3），它的中点坐标为：（2，2），直线AB的斜率为：＝，AB垂线的斜率为：﹣2，线段AB的垂直平分线方程是：y﹣2＝﹣2（x﹣2），即：2x+y﹣6＝0．故选：B．【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设正方体的边长为2，取CD的中点F，AB的中点为M，AD的中点为N，连接EF，DB，MN，由面面平行的判定定理可得平面A1MN即为平面α，直线MN即为直线m，直线A1M即为直线n，∠A1MN即为直线m，n所成角，由解三角形的余弦定理计算可得所求值．【解答】解：设正方体的边长为2，取CD的中点F，AB的中点为M，AD的中点为N，连接EF，DB，MN，可得MN∥BD∥EF∥B1D1，由于平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E即有平面A1MN即为平面α，直线MN即为直线m，直线A1M即为直线n，∠A1MN即为直线m，n所成角，由A1M＝A1N＝＝，MN＝，可得cos∠A1MN＝＝．故选：B．【点评】本题考查空间两直线所成角的余弦值，考查面面平行的判断，以及三角形的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．10．α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βD．若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线【分析】在A中，α与β相交但不一定垂直；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，m有可能垂直于平面α内的无数条平行直线．【解答】解：由α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α与β相交但不一定垂直，故A错误；在B中，若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确．在D中，若m不垂直平面α，则m有可能垂直于平面α内的无数条平行直线，故D错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B 间的距离为，则M到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．【分析】由△AMC为等边三角形，取CM中点D，则AD⊥CM，AD交BC于E，证明AE⊥平面BCM，利用等体积法，即可求得结论．【解答】解：由已知得AB＝2，AM＝MB＝MC＝1，BC＝，由△AMC为等边三角形，取CM中点D，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD＝，AD交BC于E，则AD＝，DE＝，CE＝．折起后，由BC2＝AC2+AB2，知∠BAC＝90°，又cos∠ECA＝，∴AE2＝CA2+CE2﹣2CA•CE cos∠ECA＝，于是AC2＝AE2+CE2．∴∠AEC＝90°．∵AD2＝AE2+ED2，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A﹣BCM的高，AE＝设点M到面ABC的距离为h，则∵S△BCM＝∴由V A﹣BCM＝V M﹣ABC，可得××＝×××1×h，∴h＝故选：A．【点评】本题考查由平面图形折成空间图形求其体积，考查点到平面距离的计算，求此三棱锥的高是解决问题的关键．12．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，P A＝2，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC与AD所成角的余弦值．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，D是PC的中点，∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，P A＝2，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，，1），＝（﹣2，2，0），＝（0，，1），设异面直线BC与AD所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线BC与AD所成角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二．填空题13．已知经过坐标平面内两点A（1，2），B（﹣2，2m﹣1）的直线的倾斜角α∈（45°，60°），则实数m的取值范围为：（，0）．【分析】求出直线AB的斜率，根据倾斜角的范围，求出m的范围即可．【解答】解：∵A（1，2），B（﹣2，2m﹣1），∴k AB＝，∵直线的倾斜角为α∈（45°，60°），∴，解得：＜m＜0．故答案为：（，0）．【点评】本题考查了直线的倾斜角问题，考查斜率的求法，是一道基础题．14．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4＝0上找一点P，使|P A|+|PB|为最小，则这个最小值为5．【分析】设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4＝0的对称点为A′（a，b），求出A′．可得|P A|+|PB|的最小值＝|A′B|．【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4＝0的对称点为A′（a，b），则，解得A′（3，﹣3）．则|P A|+|PB|的最小值＝|A′B|＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|＝m的点P的个数为6，则m的取值范围是（2，2）．【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长不大于，能求出m的范围．【解答】解：∵|P A|+|PC1|＝m＞|AC1|＝，∴m＞，∵正方体的棱长为2，∴正方体的面的对角线的长为：，∵点P的个数为6，∴b≤，∵短半轴长b＝＝＜，解得m＜2，∴m的取值范围是（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．16．如图，正四面体ABCD的棱CD放置在水平面α内，且AB∥α，其俯视图的外轮廓是边长为2的正方形，则与这个正四面体的6条棱都相切的球的表面积为4π．【分析】与正四面体六条棱都相切的球，可以这样转化：取AB，CD的中点M，N，以MN为直径的球，必与其他四条棱相切，这个球即为正四面体的棱切球．【解答】解：根据正四面体的俯视图知，该四面体的棱长为＝2；与该正四面体六条棱都相切的球，可以这样转化，取AB，CD的中点M，N，则以MN为直径的球，必与其他四条棱相切，这个球即为正四面体ABCD的棱切球；球的半径为R＝|MN|＝×＝1，所以该球的表面积为S球＝4πR2＝4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了球的表面积与三视图的应用问题，正确转化是解题的关键．三．解答题17．（1）已知点A（3，﹣4）与点B（5，8）关于直线l对称，求直线l的方程．（2）求过直线3x﹣2y+1＝0和x+3y+4＝0的交点，且平行于直线x﹣2y+3＝0的直线l方程．【分析】（1）点A（3，﹣4）与点B（5，8）关于直线l对称，则两点的中点在此直线上，且两点的连线与此直线垂直，故可以求出中点得到直线上的一个点的坐标，再求出此两点连线的斜率，它的负倒数即是直线l的斜率，由此能求出直线方程．（2）联立，得，设平行于直线x﹣2y+3＝0的直线l方程为x﹣2y+c＝0，把代入，得c＝﹣1．由此能求出结果．【解答】解：（1）由于点A（3，﹣4）与点B（5，8）中点坐标为（4，2），此点在直线l上，又直线AB的斜率为＝6，故直线l的斜率为﹣，∴l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣4），即x+6y﹣16＝0．（2）联立，得，设平行于直线x﹣2y+3＝0的直线l方程为x﹣2y+c＝0，把代入，得﹣1+2+c＝0，解得c＝﹣1．∴平行于直线x﹣2y+3＝0的直线l方程为x﹣2y﹣1＝0．【点评】本题考查直线方程的求法，考查对称、直线与直线相交、直线与直线平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，SA＝SD＝1，SB＝．（Ⅰ）证明：AD⊥SB；（Ⅱ）求三棱锥S﹣ABCD的体积．【分析】（Ⅰ）取AD的中点E，连接SE，BE，证明AD⊥SE，AD⊥BE，推出AD⊥平面SBE，然后证明AD⊥BS．（Ⅱ）求出底面面积和高，通过V S﹣ABD＝V A﹣SBE+V D﹣SEB．求解即可．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取AD的中点E，连接SE，BE．（1分）因为SA＝SD，所以AD⊥SE．（2分）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AD⊥BE．（3分）又因为SE∩BE＝E，SE⊂平面SBE，BE⊂平面SBE，所以AD⊥平面SBE．（5分）因为SB⊂平面SBE，所以AD⊥BS．（6分）（Ⅱ）因为△ABD和△ASD是等边三角形，经计算，SE＝BE＝．（7分）又SB＝，S△SBE＝＝．（8分）由（Ⅰ）知，AD⊥平面SBE．（9分）V S﹣ABD＝V A﹣SBE+V D﹣SEB＝＝（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（1）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与CF所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程．（2）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．【分析】（1）取线段CD的中点，连结KQ，直线KQ即为所求．写出余弦值为，（2）以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，求出平面ECF的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）取线段CD的中点，连结KQ，直线KQ即为所求．余弦值为，如图所示：（2）以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴，，设平面ECF的法向量为，得，取y＝1，得平面ECF的一个法向量为，设直线EB与平面ECF所成的角的正弦值为：＝＝．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量数量积的应用，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC＝90°，AA1⊥BC，AA1＝AC＝2AB ＝4．（1）求证：A1C⊥平面ABC1；（2）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE∥平面ABC1．若存在，求二面角E﹣AC1﹣B的余弦值．【分析】（1）证明AA1⊥AB，AA1⊥BC，推出A1A⊥平面ABC，得到A1A⊥AC．证明A1C⊥AC1．A1C⊥AB，推出A1C⊥平面ABC1（2）当E为B1B的中点时，有DE∥平面ABC1．连接AE，EC1，DE，取A1A的中点F，连接EF，FD，通过EF∥AB，DF∥AC1，证明平面EFD∥平面ABC1，推出DE∥平面ABC1．以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABC1的一个法向量．平面AC1E的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E﹣AC1﹣B的余弦值即可．【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC＝B，∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC．又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1．又AB⊥AC．AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴AB⊥平面A1ACC1又A1C⊂平面A1ACC1，∴A1C⊥AB又AB∩AC1＝A∴A1C⊥平面ABC1；（2）解：当E为B1B的中点时，有DE∥平面ABC1．连接AE，EC1，DE，取A1A的中点F，连接EF，FD，∵EF∥AB，DF∥AC1，又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1，则有DE∥平面ABC1．以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA1＝AC＝2AB＝4，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C1（0，4，4），C（0，4，0），E（2，0，2），A1（0，0，4），由（1）知，＝（0，4，﹣4）是平面ABC1的一个法向量．设＝（x，y，z）为平面AC1E的法向量，∵＝（0，4，4），＝（2，0，2），∴即令z＝1，则x＝﹣1，y＝﹣1，∴＝（﹣1，﹣1，1）为平面AC1E的一个法向量．……（10分）设与的夹角为θ，则cosθ＝＝﹣，由图知二面角E﹣AC1﹣B为锐角，∴二面角E﹣AC1﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，平面与平面培训的性质定理的应用，二面角飞平面角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且OC⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若G为B1C上的一点，A1G∥平面BCD，证明：G为B1C的中点．【分析】（Ⅰ）通过证明△ABD∽△ABB1，转化证明AB1⊥BD，推出AB1⊥OC，即可证明AB1⊥平面BCD，然后证明平面AB1C⊥平面BCD．（Ⅱ）作A1K∥BD交BB1于K，连结KG，说明A1K∥平面BCD，推出平面A1KG∥平面BCD，证明BC∥KG，说明A1KBD为平行四边形，推出K为BB1的中点，得到G为B1C的中点．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ABB1A1为矩形，AB＝2，，D是AA1的中点，∴∠BAD＝90°，，，从而△ABD∽△ABB1，∴∠ABD＝∠AB1B…（2分）∴，∴，从而AB1⊥BD…（4分）∵OC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥OC，∵BD∩OC＝O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）（Ⅱ）作A1K∥BD交BB1于K，连结KG，∵A1K⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴A1K∥平面BCD，又A1G∥平面BCD，A1K∩A1G＝A1∴平面A1KG∥平面BCD，…（8分）∵平面BB1C∩平面BCD＝BC，平面BB1C∩平面A1KG＝KG，∴BC∥KG…（10分）在矩形ABB1A1中，∵AA1∥BB1，AA1＝BB1∴A1KBD为平行四边形，从而，∴K为BB1的中点，∴G为B1C的中点．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝1，P A＝PB＝PC＝2．（1）证明：点P在平面ABCD上的射影O是棱BC的中点；（2）求三棱锥D﹣P AC的高．【分析】（1取BC中点O，AD中点E，连结PO、AO、DO、EO、PE，推导出PO⊥AC，OE⊥AC，PO⊥OE，从而PO⊥平面ABCD，由此能证明点P在平面ABCD上的射影O是棱BC的中点．（2）以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥D﹣P AC的高．【解答】证明：（1取BC中点O，AD中点E，连结PO、AO、DO、EO、PE，∵在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝1，P A＝PB＝PC＝2．∴OB＝OC＝AB＝OA＝OB＝AD＝CD＝1，P A＝PB＝PC＝PD＝2，∴PO⊥AC，OE⊥AC，PO＝＝，OE＝＝，PE＝＝，∴PO2+OE2＝PE2，∴PO⊥OE，∵BC∩OE＝O，∴PO⊥平面ABCD，∴点P在平面ABCD上的射影O是棱BC的中点．解：（2）以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则D（，，0），P（0，0，），A（，﹣，0），C（0，1，0），＝（，，﹣），＝（，﹣，﹣），＝（0，1，﹣），设平面P AC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（3，，1），∴三棱锥D﹣P AC的高h＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*都有a n＞0，且a13+a23+…+a n3＝（a1+a2+…+a n）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为S n，不等式s n＞（1﹣a）式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．．【分析】（1）依题意知，a13+a23+…+a n3+＝（a1+a2+…+a n+a n+1）2，与已知关系式a13+a23+…+a n3＝（a1+a2+…+a n）2相减，可求得＝2（a1+a2+…+a n）+a n+1，同理可得a n+1﹣a n＝1，又a2﹣a1＝1，继而可判断数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，于是可求得数列{a n}的通项公式a n；（2）由（1）知a n＝n，利用裂项法可求＝＝（﹣），从而可求得S n＝﹣（+），由S n+1﹣S n＝＞0，可判断数列{S n}单调递增，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵a13+a23+…+a n3＝（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+＝（a1+a2+…+a n+a n+1）2，②②﹣①，得＝（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，∵a n＞0，∴＝2（a1+a2+…+a n）+a n+1，③同样有＝2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得﹣＝a n+1+a n．∴a n+1﹣a n＝1，又a2﹣a1＝1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n＝1，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n＝n．（2）由（1）知a n＝n，则＝＝（﹣）．∴S n＝+++…++＝[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）．∵S n+1﹣S n＝＞0，∴数列{S n}单调递增，∴（S n）min＝S1＝．要使不等式S n＞log a（1﹣a）对任意正整数n恒成立，只要＞log a（1﹣a）．∵1﹣a＞0，∴0＜a＜1．∴1﹣a＞a，即0＜a＜．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及数列{S n}的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题．。
2022-2023学年北师大版高一上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. ，，若，则的值为（ ）A.B.或C.D.2. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有名学生喜欢篮球或足球，名学生喜欢篮球，名学生喜欢足球，则该中学既喜欢篮球又喜欢足球的学生数是( )A.B.C.D.3. 已知，，若，则 A.B.C.D.4. 已知集合，，则（ ）A.A ={a,a +b,a +2b}B ={a,ac,a }c 2A =B c −1−1−12−12185766346485254A ={1,x,y}B ={1,,2y}x 2A =B x −y =()1211432A ={x|−8>0}2x B ={x|x −1>6}A ∪B =(3,+∞)(7,+∞)B.C.D.5. 已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为( )A.B.C.D.6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.7. 已知命题：实数满足，命题：实数满足．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为( )A.B.C.D.8. 正数，满足＝，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.(7,+∞)(3,7)(−∞,7)x >k <13x +1k (−∞,−1][1,+∞)[2,+∞)(2,+∞)A ={x|−2≤x ≤−1}B ={y|y =−2x +a,x ∈A}A ⊆B a [−5,−4][4.5][−3,−6][3,6]p x −+6x −8>0x 2q x −(m +1)x +m <0(m >1)x 2p q m 1<m <41<m ≤4m >4m ≥4a b 2a +b 12−4−≤t −ab −−√a 2b 212t (−∞,]2–√2[,+∞)2–√2[−,]2–√22–√2[,+∞)12二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于空集的说法中，正确的有（ ）A.B.C.D.10. 若集合＝恰有两个子集，则的值可能是（ ）A.B.C.D.或11. 下列结论中正确的是（ ）A.“”是“”的充要条件B.函数的最小值为C.命题“”的否定是“”D.若函数有负值，则实数的取值范围是或12. 下列命题中正确的是( )A.的最小值是B.的最大值是C.的最大值是D.有最大值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）∅∈∅∅⊆∅∅∈{∅}∅⊆{∅}A {x |a −2x −1＝0}x 2a 0−1101ab >0>0ab y =++2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√2∀x >1,−x >0x 2∃≤1,−≤0x 0x 20x 0y =−ax +1x 2a a >2a <−2y =+3x 2+2x 2−−−−−√2y =x +(x <0)1x −2y =2−3x −(x >0)4x 2−43–√y =+3x 2+2x 2−−−−−√13. （5分） 若命题“ ，”为假命题，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知集合，，若，求实数的值．15. 已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，．若，且当直线轴时，．求椭圆的方程；设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；记的面积为，求的最大值．16. 已知函数的最小值等于．（1）求的值；（2）若正数，，满足，求的最大值． 17. 解不等式． 18. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立．若为真命题，求实数的取值范围；若为假命题，为真命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数.求关于的不等式的解集；若不等式 对任意恒成立，求实数的取值范围．∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2m A ={x|−3x +2=0}x 2B ={x|−ax +a −1=0}x 2A ∪B =A a C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A F C F l C P Q AF =3l ⊥x PQ =3(1)C (2)AP AQ k 1k 2k 1k 2(3)△APQ S S f(x)=|x +m|−|2x −4|(m >0)3m a b c a +b +c =3m ++a −√b √c √<0x −3x +7p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2(1)p m (2)p ∧qp ∨q m f (x)=−4x +5(x ∈R)x 2(1)x f (x)<2(2)f (x)>m −3x ∈R m参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】集合的相等【解析】根据集合相等确定元素关系即可得到结论．【解答】解：∵，，∴若，则①或②，由①消去得，当时，集合，不成立，由②消去得，当或时，当时，此时，满足条件.故选：.2.【答案】D【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】记“该中学学生喜欢篮球”为事件，“该中学学生喜欢足球”为事件，则“该中学学生喜欢篮球或足球”为事件，“该中学学生既喜欢篮球又喜欢足球”为事件·，然后根据积事件的概率公式可得结果．【解答】解：记“该中学喜欢篮球的学生”为集合，“该中学喜欢足球的学生”为集合，A ={a,a +b,a +2b}B ={a,ac,a }c 2A =B {a +b =ac a +2b =ac 2{a +b =ac 2a +2b =acb c =1c =1B =B ={a,a,a}b c =1c =1c =−12c =−12b =−a 34C A B A +B A B P (A ⋅B)=P (A)+P (B)−P (A +B)A B A ∪B则“该中学喜欢篮球或足球的学生”为集合，如图，所以该中学既喜欢篮球又喜欢足球的学生数为人.故选.3.【答案】C【考点】集合的无序性集合的相等【解析】化简，，利用，即可得出结论．【解答】解：，假设，解得或(舍去)，(舍去)，该假设不合题意；假设，解得，，该假设满足题意；.故选.4.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】A ∪B =85A ∩B =63+76−85=54D A B A =B ∵A =B {x =，x 2y =2y ，∴x =0x =1y =0∴{=y ，x 2x =2y ，∴(2y =y )2y =14x =12∴∴x −y =−=121414C无【解答】解：因为，，所以．故选．5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断求解．【解答】解：由得，解得或．要使“”是“”的充分不必要条件，则．故选.6.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】由已知先求出集合，然后结合集合的包含关系即可直接求解．【解答】解：因为，，若 ，则解得：.故选.7.A ={x|x >3}B ={x|x >7}A ∪B =(3,+∞)A <13x +1<13x +1−1=<03x +1−x +2x +1x <−1x >2x >k <13x +1k ≥2C B A ={x|−2≤x ≤−1}B ={y|y =−2x +a,x ∈A}={y|2+a ≤y ≤4+a}A ⊆B {4+a ≥−1,2+a ≤−2,−5≤a ≤−4A【答案】D【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】先求出，为真时的值，再利用充分必要条件求解即可.【解答】解：由，可得，由，可得.∵是的充分不必要条件，∴，∴.故选.8.【答案】B【考点】不等式恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】由，，＝得，＝，于是问题转化为：恒成立，令＝，求得的最大值，只需即可．【解答】∵，，＝，∴＝，∴恒成立，转化为恒成立，令＝＝，又由，，＝得：＝，∴（当且仅当，时取“＝”）；∴＝．p q x −+6x −8>0x 22<x <4−(m +1)x +m <0x 21<x <m p q {x|2<x <4} {x|1<x <m}m ≥4D a >0b >02a +b 14+a 2b 21−4ab t ≥2+4ab −ab −−√12f(a,b)2+4ab −ab −−√12f(a,b)t ≥f(a,b)max a >0b >02a +b 14+a 2b 21−4ab 2−4−≤t −ab −−√a 2b 212t ≥2+4ab −ab −−√12f(a,b)2+4ab −=4(ab +−)ab −−√1212ab −−√184−(+)ab −−√14234a >0b >02a +b 112a +b ≥22ab −−−√ab ≤18a =14b =12f(a,b)max 4−=(+)18−−√142342–√2≥–√．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】略10.【答案】A,B【考点】子集与真子集【解析】恰有两个子集的集合只有一个元素，进而求解．【解答】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素，当＝时，，满足题意；当时，＝＝，即＝，此时＝，满足题意；故的值为，．11.【答案】A,D【考点】命题的真假判断与应用t ≥2–√2A A a 0a ≠0△4+4a 0a −1A {−1}a 0−1必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，由，能得到，反之也成立，故正确.对于，由基本不等式可知 当且仅当，解得 ，无解，所以等号不成立，所以取不到最小值，错误；对于，命题""的否定是“”，故错误.对于，函数有负值，则，解得或，故正确.故选.12.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】结合基本不等式以及基本不等式取得最值的条件对每个选项进行分析即可求解.【解答】解：对于，，当且仅当时取等号，解得无解，即式子最小值取不到，故错误；对于，时，，当且仅当时取等号成立，故正确；A ab >0>0a b AB +≥2,+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=−1x 2B C ∀x >1,−x >0x 2∃>1,−≤0x 0x 20x 0C D y =−ax +1x 2Δ=−4>0(−a)2a >2a <−2D AD A y ==++3x 2+2x 2−−−−−√+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√≥2=2⋅+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√x 2A B x <0y =x +=−[(−x)+(−)]1x 1x ≤−2=−2(−x)⋅(−)1x−−−−−−−−−−√x =−1B =2−3x −≤2−2=2−4−−−−−对于，时，，当且仅当时取等号，即式子的最大值是，故正确；对于，由中结论可知，无最大值，故错误.故选.三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】由于命题：“，使得”为假命题，可得命题的否定是：“，”为真命题，因此，解出即可．【解答】解：∵命题：“，使得”为假命题，∴命题的否定是：“，”为真命题，∴，即，解得，∴实数的取值范围是．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：由题得，∵，∴，∴或或或．当时，，无解；当时，得；当时，C x >0y =2−3x −≤2−2=2−44x 3x ⋅4x −−−−−√3–√3x =4x 2−43–√CD A y =+3x 2+2x 2−−−−−√D BC [−1,2]∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤0∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤04−4(m +2)≤0m 2−1≤m ≤2m [−1,2][−1,2]A ={1,2}A ∪B =A B ⊆A B =∅{1}{2}{1,2}B =∅Δ=−4(a −1)<0a 2B ={1}{1+1=a,1×1=a −1,a =2B ={2}{2+2=a,2×2=a −1,无解；当时，得．综上可知，或．【考点】集合关系中的参数取值问题根与系数的关系【解析】【解答】解：由题得，∵，∴，∴或或或．当时，，无解；当时，得；当时，无解；当时，得．综上可知，或．15.【答案】解：设椭圆的右焦点为，，则，①由，得，②又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，则，③联立①②③，解得，，，所以椭圆的方程为．为定值．证明如下：显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，B ={1,2}{1+2=a,1×2=a −1,a =3a =2a =3A ={1,2}A ∪B =A B ⊆A B =∅{1}{2}{1,2}B =∅Δ=−4(a −1)<0a 2B ={1}{1+1=a,1×1=a −1,a =2B ={2}{2+2=a,2×2=a −1,B ={1,2}{1+2=a,1×2=a −1,a =3a =2a =3(1)F(c,0)c >0=+a 2b 2c 2AF =3a +c =3l ⊥x P Q c x =c +=1x 2a 2y 2b 2y =±b 2a PQ ==32b 2a =4a 2=3b 2=1c 2C +=1x 24y 23(2)k 1k 2−14PQ y PQ x =my +1=122联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，由韦达定理得从而，，所以，即，故得证． 由知，所以．令，，则，设函数，由知，在上为增函数，得，即时，，此时取得最大值为．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题利用导数研究函数的最值根与系数的关系直线与椭圆结合的最值问题+=1x 24y 23x (3+4)+6my −9=0m 2y 2P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2 +=−y 1y 26m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2+=(m +1)+(m +1)=x 1x 2y 1y 283+4m 2=(m +1)(m +1)=x 1x 2y 1y 2−12+4m 23+4m 2==k 1k 2y 1y 2(+2)(+2)x 1x 2y 1y 2+2(+)+4x 1x 2x 1x 2===−−93+4m 2++4−12+4m 23+4m 2163+4m 2−93614=−k 1k 214(3)(2) +=−，y 1y 26m 3+4m 2=，y 1y 2−93+4m 2S =AF ⋅|−|=|−|=12y 1y 232y 1y 232(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√==1832(−+6m 3+4m 2)2363+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2(3+4m 2)2−−−−−−−−−−√=18+1m 29(+1+6(+1)+1m 2)2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1819(+1)++6m 21+1m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t =+1m 2t ≥1S =(t ≥1)189t ++61t −−−−−−−−−√g(t)=9t +(t ≥1)1t (9t +)'=9−=>01t 1t 29−1t 2t 2g(t)[1,+∞)t =1m =0[g(t)=9×1+=10]min 11S =1810+6−−−−−√92椭圆的标准方程【解析】对第（1）问，由，，及可求得，；对第（2）问，可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性；对第（3）问，根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．【解答】解：设椭圆的右焦点为，，则，①由，得，②又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，则，③联立①②③，解得，，，所以椭圆的方程为． 为定值．证明如下：显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，由韦达定理得从而，，所以，即，故得证． 由知，所以AF =3PQ =3=+a 2b 2c 2a 2b 2PQ P Q k 1k 2=AF ⋅|−|S △APQ 12y 1y 2|−|y 1y 2m m (1)F(c,0)c >0=+a 2b 2c 2AF =3a +c =3l ⊥x P Q c x =c +=1x 2a 2y 2b 2y =±b 2a PQ ==32b 2a =4a 2=3b 2=1c 2C +=1x 24y 23(2)k 1k 2−14PQ y PQ x =my +1+=1x 24y 23x (3+4)+6my −9=0m 2y 2P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2 +=−y 1y 26m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2+=(m +1)+(m +1)=x 1x 2y 1y 283+4m 2=(m +1)(m +1)=x 1x 2y 1y 2−12+4m 23+4m 2==k 1k 2y 1y 2(+2)(+2)x 1x 2y 1y 2+2(+)+4x 1x 2x 1x 2===−−93+4m 2++4−12+4m 23+4m 2163+4m 2−93614=−k 1k 214(3)(2) +=−，y 1y 26m 3+4m 2=，y 1y 2−93+4m 2S =AF ⋅|−|=|−|=12y 1y 232y 1y 232(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=18−−−−−−−−−−．令，，则，设函数，由知，在上为增函数，得，即时，，此时取得最大值为．16.【答案】【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】解：∵．∴可得：∴解得：．∴不等式的解集为．【考点】分式不等式的解法一元二次不等式的解法==1832(−+6m 3+4m 2)2363+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2(3+4m 2)2−−−−−−−−−−√=18+1m 29(+1+6(+1)+1m 2)2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1819(+1)++6m 21+1m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t =+1m 2t ≥1S =(t ≥1)189t ++61t −−−−−−−−−√g(t)=9t +(t ≥1)1t (9t +)'=9−=>01t 1t 29−1t 2t 2g(t)[1,+∞)t =1m =0[g(t)=9×1+=10]min 11S =1810+6−−−−−√92<0x −3x +7{(x −3)(x +7)<0，x +7≠0，−7<x <3{x |−7<x <3}【解析】（1）由题意可得：，或，进而即可得解．【解答】解：∵．∴可得：∴解得：．∴不等式的解集为．18.【答案】解：∵命题：对任意，不等式恒成立，而，有，，解得，∴为真命题时，实数的取值范围是.命题：存在，使得不等式成立，只需，∵，，，解得，即命题为真时，实数的取值范围是.由题意，命题，一真一假，若为假命题，为真命题，则 解得；若为假命题，为真命题，则解得.综上所述，实数的取值范围为或.【考点】一元二次不等式的解法复合命题及其真假判断逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】{x −3>0x +7<0{x −3<0x +7>0<0x −3x +7{(x −3)(x +7)<0，x +7≠0，−7<x <3{x |−7<x <3}(1)p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2x ∈[0,1]=−2(2x −2)min ∴−2≥−3m m 21≤m ≤2p m 1≤m ≤2(2)q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2≤0(−x +m −1)x 2min −x +m −1=+m −x 2(x −)12254∴=−+m (−x +m −1)x 2min 54∴−+m ≤054m ≤54q m m ≤54p q p q m <1或m >2,m ≤,54m <1q p 1≤m ≤2,m >,54<m ≤254m m <1<m ≤254x ∈[0,1],≥−3m(2x −2)2命题为真，只需，根据一次函数的单调性，转化为求关于的一元二次不等式；（2）命题为真，只需，根据二次函数的性质，求出的范围，依题意求出真假，和假真时，实数的取值范围．【解答】解：∵命题：对任意，不等式恒成立，而，有，，解得，∴为真命题时，实数的取值范围是.命题：存在，使得不等式成立，只需，∵，，，解得，即命题为真时，实数的取值范围是.由题意，命题，一真一假，若为假命题，为真命题，则 解得；若为假命题，为真命题，则解得.综上所述，实数的取值范围为或.19.【答案】解：∵，∴，，∴，故不等式的解集为.∵不等式 对任意恒成立，∴恒成立.∵，∴，∴即，故的取值范围为.【考点】不等式恒成立问题二次函数的性质P x ∈[0,1],≥−3m (2x −2)min m 2m 4x ∈[−1,1],≤0(−x +m −1)x 2min m P 4P 4m (1)p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2x ∈[0,1]=−2(2x −2)min ∴−2≥−3m m 21≤m ≤2p m 1≤m ≤2(2)q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2≤0(−x +m −1)x 2min −x +m −1=+m −x 2(x −)12254∴=−+m (−x +m −1)x 2min 54∴−+m ≤054m ≤54q m m ≤54p q p q m <1或m >2,m ≤,54m <1q p 1≤m ≤2,m >,54<m ≤254m m <1<m ≤254(1)−4x +5<2x 2−4x +3<0x 2(x −3)(x −1)<01<x <3(1,3)(2)f (x)>m −3x ∈R f(x >m −3)min f(x)=(x −2+1)2f(x =1)min m −3<1m <4m (−∞，4)一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，，∴，故不等式的解集为.∵不等式 对任意恒成立，∴恒成立.∵，∴，∴即，故的取值范围为.(1)−4x +5<2x 2−4x +3<0x 2(x −3)(x −1)<01<x <3(1,3)(2)f (x)>m −3x ∈R f(x >m −3)min f(x)=(x −2+1)2f(x =1)min m −3<1m <4m (−∞，4)。
北师大版高中数学必修一第二次月考学生版document
萧城一中2016届高三上学期第二次月考试题文科数学（120分钟，150分）一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1. 已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．92. 若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3. 设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧qC ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝4. 已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．5(3)<< 2f c f ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5 <<32f c f ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()5<3 <2f f c ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()5 32c f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭5. 设()()2log 20xf x x >＝，则()2f 的值是()A ．128B ．16C ．8D ．2566. 已知函数()()23log 1,3=21,3x x x f x x -⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23B.1716C.32D ．1 7. 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e 8. 若tan α>0，则( ) A ．sin α>0B ．cos α>0 C ．sin2α>0D ．cos2α>0 9. 已知sin α－3cos α＝0，则sin 2αcos 2α－sin 2α＝.( ) A ．13B ．12C ．34D ．－3410. 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2cos x B ．f (x )＝2cos x C ．f (x )＝22sin2x D ．f (x )＝22(sin2x ＋cos2x ) 11. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( ) A ．[4,6] B ．[19－1，19＋1] C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 当x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 14. 函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．15. 已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.16. (2014年高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP→＝2，则AB →·AD →的值是________．安徽省萧城一中2016届高三上学期第二次月考文科数学试题答题卷 姓名____________分数____________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.____________；14.____________； 15.____________；16.____________。
第四章-§1-对数的概念-§2-对数的概念高中数学必修第一册北师大版
例1-4 ［教材改编P106 A组T2］［多选题］(2024·湖南省长沙市期末)下列说法中正
确的是(
AB
)
A.lg lg 10 = 0
B.lg ln e = 0
C.若10 = lg ,则 = 10
【解析】∵ lg 10 = 1,
∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
∵ ln e = 1,∴ lg ln e = lg 1 = 0,B正确；
∴
4
4
3
4
= 81,即3 = 34 ,
= 4,即 = 16,故log 4 3 81 = 16.
（3）log
2+ 3
2− 3 .
【解析】设 = log
故log
2+ 3
2+ 3
2 − 3 = log
2 − 3 = −1.
2+ 3
2+ 3
−1
,∴ = −1,
例1-3 (2024·山东省聊城一中月考)对数式log
1
⋅
1
log + log −
=
方法2 当 = 1时，左边=右边= 0.
当 ≠ 1时，左边
=
lg
lg +
+
综上，log
lg
lg −
+
=
lg ⋅lg[ + − ]
lg + ⋅lg −
+ log
−
= 2log
=2
lg
⋅
lg +
例15 设,,是直角三角形的三边长，其中为斜边，且 + ≠ 1, − ≠ 1，求证:
第一章-1.1-集合的概念与表示高中数学必修第一册北师大版
（3）偶数集；
【解析】可表示为{| = 2， ∈ }．（【举一反三】奇数集可表示为
{| = 2 + 1, ∈ }）
（4）被3除余2的正整数组成的集合.
【解析】可表示为{| = 3 + 2， ∈ }．
设被3除余2的数为，则 = 3 + 2， ∈ ，但此题要求为正整数，故
第一章 预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
教材帮|必备知识解读
知识点1 集合与元素的相关概念
例1-1 ［教材改编P5 T2］ 用符号“∈ ”或“∉ ”填空：
∉
∈
（1）设为素数集，则1___，2___;
【解析】素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然
数，所以1不是素数，2是素数.即1 ∉ ，2 ∈ .
对于D，当 = −34时，3 − 1 = −34，解得 = −11 ∈ ，所以−34 ∈ ，所以D正确.
例14 已知集合 = {| = + 2,， ∈ }.
（1）试分别判断1 = − 2，2 =
1
，3
2− 2
= (1 − 2 2)2 与集合的关系;
【解析】1 = − 2 = 0 + −1 × 2，
C.集合{| = − 1}与{| = − 1}表示同一个集合
D.方程 + 1 + − 1 = 0的解集是{−1,1}
【解析】A中方程 2 − − 6 = 0的解确实是−2,3，故正确；
B中两个集合都是数集，但前者表示实数集，后者表示的是{| ≥ −1}，故不正确；
= 3 + 2， ∈ ，也可以写成 = 3 − 1， ∈ + .（【注意】此时从1开始）
第二章-4.2-简单幂函数的图象和性质高中数学必修第一册北师大版
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小；
当 = −3时，2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数，但不满足当 ∈ 0, +∞ 时，
随的增大而减小，故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数，且在
故A正确；
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点，故B不正确；
当 > 0时， > 0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故C不正确；
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 ， 0,0 ， 1,1 ，共三个，故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增，则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1，即 + 1 − 3 = 0，
解得 = −1或 = 3，
∴ 当 = −1时， − 2 = −3，则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减，不合题意；
当 = 3时， − 2 = 1，则 = 在 0, +∞ 上单调递增，符合题意，∴ = 3，
北师大版高中数学必修一高一第二次调研考试数学参考答案.docx
高中数学学习材料唐玲出品高一二调数学参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCAADCCDCCBD二、填空题： 13、{a, c, d}； 14、 4； 15、(,2)(2,)-∞-+∞； 16、13.三、解答题：17、（1）若φ=B ，则121->+p p 解得2<p …………4分（2）由 B ∅≠又A B ⊆，借助数轴表示知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121p p p p ，故32≤≤p 综上得3≤p . …………10分18、(1)222()22()2f x x ax x a a =++=++-的对称轴为,x a =-又()y f x =在[1,2]-上为单调函数，则1a -≤-或2a -≥， 1a ∴≥或2a ≤- . (4)分（2） f (x )＝x 2＋2ax ＋5＝(x ＋a )2＋5－a 2.函数的对称轴为x ＝－a .当－a ≤－1，即a ≥1时，()f x 在[1,2]-上是增加的，f (x )min ＝f (－1)＝6－2a .当－1<－a <2，即-2<a <1时，()f x 在[1,]a --上是增加的，在(,2]a -上是减少的，f (x )min ＝f (－a )＝5－a 2.当－a ≥2，即a ≤－2时，()f x 在[1,2]-上是减少的，f (x )min ＝f (2)＝9＋4a .综上所述，函数的最小值为2min62,1()5,2194,2a a f a a a x a -≥≤-⎧⎪=--<<⎨⎪⎩＋ …………12分19、(1)令21151(0),2(),48t x t y t =-≥=-+故当14t =时，min 158y =；………… 6分（2）22111()1,2,212121x x xx x f x x +-===-≤+++ 11111215,1,1,521215xx x <+≤∴≤<-<-≤-++ 故值域为 4(0,]5. …………12分20、(1)∵f (1)＝3，∴1＋a1＝3，∴a ＝2，定义域为(,0)(0,)-∝+∝，关于原点对称 ，又因为()a f x x x =+，∴f(－x)＝a x x-+-＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． …………3分 (2)在)2,+∞⎡⎣任取x 1，x 2，设x 2>x 1≥2，f (x 2)－f (x 1)＝x 22＋2x 2－x 2＋2x 1＝(x 2＋2x 2)－(x 1＋2x 1)＝(x 2－x 1)＋(2x 2－2x 1)＝(x 2－x 1)＋2(x 1－x 2)x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2－2)， 2121121212,0,2,2,2,20,x x x x x x x x x x >->≥>>-> ∴x 2－x1x 1x 2(x 1x 2－2)>0, 故()f x 在 )2,+∞⎡⎣是单调递增的； (7)分(3)由题设222x m x x-+>- ，max 2()m f x > 又由(2)得f (x )在[2,5]上为增函数，最大值为27(5)5f =，2725m >，故m 的取值集合为27(,)10+∝. . …………12分21、（1）因为()f x 为R 上奇函数，所以(0)0f =.设0,x <则0,x ->则22()()2()2()f x x x x x f x -=-+-=-=-， 0x ∴<时，2()2f x x x =-+，222,0().2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪∴=⎨-+<⎪⎩ ............4分 （2）图像略，()f x 在R 上为增函数， (7)分（3）原不等式可变形为：2222t kt t k -<-，对任意t R ∈恒成立， 0∆< ，故k 的取值集合为(1,0)-。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作萧城一中2016届高三上学期第二次月考试题文科数学一．选择题（每题5分，共60分）1. 已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9解析：当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0；所以B ＝{－2，－1,0,1,2}． 答案：B2. (2014年皖南八校联考)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 答案 A3. (2014年高考辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则 a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝解析p 真q 假，答案 A4. 已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解析：由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .答案 D5. 设f (log 2x )＝2x (x >0)，则f (2)的值是( )A ．128B ．16C ．8D ．256 解析：令log 2x ＝2得x ＝4，所以f (2)＝24＝16. 答案：B6. 已知函数()()23log 1,3=21,3x x x f x x -⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．1解析：分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤32a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧a >3log 2(a ＋1)＝3 ②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，故选C.答案：C7. 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e解析：依题意得，f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，取x ＝e 得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，由此解得f ′(e)＝－1e＝－e －1，选C.答案：C8. (2014年高考新课标全国卷Ⅰ改编)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0解析：由tan α>0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcos α>0；当α是第三象限角时，sin α<0，cos α<0，仍有sin 2α＝2sin αcos α>0，故选C.答案：C9. 已知sin α－3cos α＝0，则sin 2αcos 2α－sin 2α＝. ( )A ．13 B ．12C ． 34D ．－34解析：sin α＝3cos α⇒tan α＝3，则2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：D10. 将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：平移后的函数解析式是y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .答案：B11. (2014年高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( ) A ．[4,6] B ．[19－1，19＋1] C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]解析：设动点D 的坐标为(x ，y )，则由|CD →|＝1得(x －3)2＋y 2＝1，所以D 点的轨迹是以(3,0)为圆心，1为半径的圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，所以|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2，故|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为(3,0)与(1，－3)两点间的距离加1，即7＋1，最小值为(3,0)与(1，－3)两点间的距离减1，即7－1.故选D.答案：D12. (2014年高考重庆卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析：由题意画出f (x )的图象，如图所示．令g (x )＝f (x )－mx －m ＝0， 得f (x )＝m (x ＋1)，所以g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，可转化为y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)的图象在(－1,1]上有且仅有两个不同的交点．y ＝m (x ＋1)是过定点(－1,0)的一条直线，m 是其斜率．由数形结合知，符合题意的直线位于l 1(x 轴)与l 2之间和l 3与l 4(切线)之间． 因为l 4与y ＝f (x )相切，所以1x ＋1－3＝m (x ＋1)有两个相等的实根，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0有两个相等的实根，即Δ＝9＋4m ＝0，解得m ＝－94.设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，易求k 1＝0，k 2＝12，k 3＝－2，所以m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12. 答案：A二．填空题（每题5分，共20分）13. 当x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， ∴t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：3414. 函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．解析：y ＝3x －1x ＋2＝3－7x ＋2，函数y ＝3x －1x ＋2的图象是函数y ＝－7x 的图象向左平移两个单位，然后再向上平移3个单位得到，故y ＝3x －1x ＋2的图象关于点(－2,3)对称．答案：(－2,3)15. 已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1.所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z .故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 316. (2014年高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由题意知，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB → ＝AD 2→－12AD →·AB →－316AB 2→，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AB →·AD →＝22.答案：22三．解答题（17—21题每题12分，22题10分，共70分）17. （每小题4分）定义在[]1,1-上的奇函数()f x 有最小正周期2，当()201.41xx x f x <<=+时，（1）()()0,1f x 讨论在上的单调性；（2）()[]1,1f x -求在的表达式；（3）()y f x a =-函数有零点，求实数a 的取值范围。
解析（1）（定义，复合函数，导数）减少的（2）()()2041xx x f x f x <<=--=-+当-1时，()()()()()()()()00,11,1121110f f f f f f f f =-=--=-+=∴-==()2,01410,012,1041xx x x x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪===±⎨⎪⎪--<<⎪+⎩或（3）()()()()210,11,052f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在上递减，取值范围为，，在上递减，取值 1225⎛⎫-- ⎪⎝⎭范围为，()()()0110f f f ==-= {}211205225a ⎛⎫⎛⎫⋃⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故的范围为，，18. ()()122log 21axf x a a x -=<-已知函数是常数且 ()()1f x 求的定义域；()()()22,4f x a 若在区间上是增函数，求的取值范围。