圆周角和圆心角的关系 练习题

章第4节圆周角和圆心角的关系第3 同步检测一.选择题的任意一点，上不同于点C 上，点P在CD 1.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O ）则∠BPC的度数是（90°D．C．75°A．45°B．60°A答案O解析解答：连O，O上，∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙，∠∴BOC=90°1∠∴∠．BOC=45°BPC=2．故选A∠，，上，可得BOC=90°OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O分析：首先连接OB ∠的度数．BPC然后由圆周角定理，即可求得=62°，则∠ACD的大小为（CD的弦，且AB ⊥．若∠CDB）O2.如图，AB.CD都是⊙A．28°B．31°C．38°D．62°答案：A⊥CD，AB解析：解答：∵∴∠，DPB=90°∵∠，CDB=62°．，∴∠=28°B=180°-90°-62°∠∴∠B=28°ACD=．．A故选∠出求角和定理再根据三角形内分析：利用垂直的定义得到DPB=90°，∠∠，然后根据圆周角定理即可得到的度数．ACDB=180°-90°-62°=28°）（的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=O3.如图，AB是⊙D．110°70°B．55°C．A．35°B答案：的直径，AB是⊙O解析：解答：：∵，ACB=90°∴∠，BAC=35°∵∠，-35°=55°∴∠ABC=180°-90°∠．ABC∴∠ADC==55°．故选B根据ABC的度数，ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠先根据圆周角定理求出∠分析：圆周角定理即可得出结论．）4.下列命题中，正确的命题个数是（①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．③B．2个C．3个1A．个D．4个A答案：解析：解答：解：①中，该角还必须两边都和圆相交才行．错误；②中，必须是同弧或等弧所对，错误；③正确；④中，必须在同圆或等圆中，错误．故选A．分析：根据圆周角的概念和定理，逐条分析判断．ACB，，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（C在⊙O上，）如图，已知5.A B∠CB+．∠D A ∠4．C B∠4．B C∠2．A．A答案：∠AOB=2．C解析：解答：如图，由圆周角定理可得：∠．故选：A都等于这条弧所对的在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，分析：圆周角定理：∠．C圆心角的一半．根据圆周角定理，可得∠AOB=2，则∠∠）BAD=如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若（ACD=35°6. ．30°DC ．35°BA．55°．40°A答案：解析：解答：∵∠ACD与∠B是AD 对的圆周角，∠ACD=35°B=，∴∠∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠B=55°．故选A．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，继而可求得∠BAD的度数．7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°D答案：解析：解答：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．分析：由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．8.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED 的正切值等于（）5251B．C．2 A．D．552D答案：解析：解答：∵∠E=∠ABD，AC1 ．AED=tan∠∠ABD= ∴tan AB2故选D．分析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．）的大小是（AOCO9.如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠．70°60°C．D．A．30°B45°C答案：1∠AOC，解析：解答：∵∠ABC= 2而∠ABC+∠AOC=90°，1∠AOC+∠AOC=90°，∴2∴∠AOC=60°．故选：C．1∠AOC，由于∠ABC=到理角圆根：分析先据周定得∠ABC+∠AOC=90°，所以2AOC=90，然后解方程即可AOC2，的度=35°，则∠ADC是⊙O的弦，连接AC.AD，若∠10.如图，AB是⊙O的直径CABCD ）数为（．65°D．B45°C．55°A．35°C答案：，解答：连接BC解析：的直径，是⊙O∵AB ，ACB=90°∴∠，CAB=35°∵∠，B=55°∴∠=55°．∴∠ADC C．故选△.ADC的度数，求出∠B的度数，即可推出∠分析：连接BC，推出RtABC ）（8，则∠D的度数是：∠是⊙O的内接四边形，且∠A：B：∠C=1：3若四边形11.ABCD 120°D．30°C．80°．A．10°BD答案：=8x，=3x解答：设∠A=x，则∠B，∠C解析：ABCD为圆内接四边形，因为四边形，A+∠C=180°所以∠即：x+8x=180，∴x=20°，，∠=60°C=160°，B=20°则∠A，∠，D所以∠=120°．D故选．C.∠；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A则∠B=3x，∠C=8x本题可设∠分析：A=x，D 的度数，由此得解．的度数，进而求出∠B和∠DCE，则∠若∠BAD=105°四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，12.如图，）的大小是（95°D．C．100°．115°B．l05°AB答案：解析：解答：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．13.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A.点B，点A的坐标为（0，3），M是第OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）三象限内2D．3 C．3 B ．A6 ．5C答案：∵ABMO∠BMO=120°，解答：是圆内接四边形，四边形解析：∴∠BAO=60°，∵AB⊙C 的直径，是∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵A03 ），的坐标为（，点∴OA=3 ，∴AB=2OA=6 ，AB=3 ∴⊙C=．的半径长2 C．故选：=90°∠OAB∠AOB，故的度数，由圆周角定理可知分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠ABOAB的长，进而得出结论．的度数，根据直角三角形的性质即可得出可得出==70°∠BOD ⊙14.ABCDO∠DCE），则（，若它的一个外角如图，四边形内接于D140°B70°C110°A35°．．．．D答案：∵ABCD⊙O ，四边形解答：解析：内接于∴∠A=∠DCE=70°，∴∠BOD=2∠A=140°．D ．故选∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，分析：由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠BOD=2∠A=140°．15.Px.yA.BCOBACB=则∠是劣弧如图，已知经过原点的⊙与点轴分别交于上一点，两点，）（A80 B90 C100 D．无法确定°．°．．°B答案：AOBACBAB 所对的圆周角，与∠解答：∵∠解析：是优弧AOB=ACB ，∠∴∠AOB=90 °，∵∠ACB=90 °．∴∠．B ．故选AOBACBABACB=∠是优弧分析：由∠所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠与∠AOB=90°．.填空题二16.△ABCA.B.C⊙O∠OAC=20°∠B 的度数是如图，，则上，的顶点均在70°答案：∵OA=OC∠OAC=20°，，解析：解答：解：∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，11∠AOC=×140°=70°∴∠B=．2270°．故答案为：∠ACO∠AOC的的度数，再由三角形内角和定理求出分析：先根据等腰三角形的性质求出∠B 的度数即可．度数，由圆周角定理17.△ABC⊙O∠ABC=70°∠CAB=50°D⊙O∠ADB 的在，点如图，，，内接于上，则.大小为60°答案：∵∠ABC=70°∠CAB=50°，解析：解答：，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°，∴∠ADB=∠ACB=60°．60°．故答案为∠ACB 的度数，然后根据圆周角定理求解．分析：先根据三角形内角和定理计算出18.A.B.C.D⊙O∠B=130°∠AOC 的度数是都在如图，上，，则100°答案：∵A.B.C.D⊙OABCD⊙O 内接四边形，为都在上，即四边形解析：解答：∴∠D+∠B=180°∠B=130°，，又∴∠D=180°-∠B=180°-130°=50°，∠D⊙O∠AOC⊙O ，为的圆周角，为的圆心角，且两角所对的弧都为又D=2∠=100°∠AOC．则100°故答案为：OA.B.C.DOABCD的内接四边形，根据圆内四个点都在圆为圆分析：由上，得到四边形OD∠D∠D∠B∠∠B的圆的度数求出互补，接四边形的对角互补得到由的度数，与为圆O∠AOC的圆心角，且两角所对的弧为同一条弧，根据同弧所对的圆是圆周角，所求的角∠AOC2∠D的度数．倍，由心角等于所对圆周角的的度数可求出=40°OC⊥AB∠AOC∠BDC O19.A.B.C.D⊙的度数是，如图，上，四点在，则20°答案：∵OC⊥AB ，解答：解析：∴BCAC 1∠AOCCDB= ∴∠，2∠AOC=40°，而∴∠CDB=20°．20°．故答案为1∠=AOC=BC∠CDBACOC⊥AB，弧再根据圆周角定理得根据垂径定理得到弧，，分析：由2∠∠AOC=40°BDC的度数．而，即可得到BODOABAC △=60°20.∠B∠C=70°ABC⊙D∠则相交于点如图，，若在，中，，与以为直径的.度的度数是100答案：∵△ABC∠B=60°∠C=70°，在中，，解答：解析：∴∠A=50°，∵∠BOD=2∠A ，∴∠BOD=100°．100 ．故答案为：∠A∠BOD的度的度数，再根据圆周角定理即可求得分析：先根据三角形内角和定理求出数．. 解答题三21. 请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．答案：①1O∠BAC 的一边上时，如图（在），当点∵OA=OC ，∴∠A=∠C ，∵∠BOC=∠A+∠C ，1∠BOC ∴∠BAC=；2②2O∠BACBO⊙ODCD ，则交，连接如图（的内部时，延长）当圆心在于点∠D=∠A （同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OD ，∴∠D=∠OCD ，∵∠BOC=∠D+∠OCD （三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A ，1∠BOCBAC= ∠．即2③3O∠BACBO⊙OECE ，则如图（交），当圆心的外部时，延长在于点，连接∠E=∠A （同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OE ，∴∠E=∠OCE ，∵∠BOC=∠E+∠OCE （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A ，1∠BOC ∠BAC=．即2O∠BACO∠BACO的内部时与当圆心在的一边上时，当圆心解析：分析：分别从当点在∠BAC 的外部时，去分析证明，即可证得结论．在=2⊙O =45°⊙O∠BACBC∠22.BAC的半径大小．，是的圆周角，且如图所示，，试求2∵∠BAC=45°，答案：∴∠B0C=90°，=2BC ∵，2∴OB=OC=2 ．⊙O2 ．的半径为即∠B0C=90°△BOC为等腰直角三角形，故可解析：分析：根据圆周角定理，可求，即可知0B=OC=1 ．求23.⊙OAB⊙O 的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数．中，弦已知的长等于画出图形：答案：OA.OB ，连接∵AB=OA=OB ，∴∠AOB=60°．分两种情况：，CB ①CCA，在优弧上任取一点，连接1∠AOB==30°∠C，则2②DAD.BD ，在劣弧上任取一点，连接∵ADBC⊙O 的内接四边形，四边形是∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-∠C=150°．AB60°30°150°．所对的圆心角是或，圆周角是综上所述，弦△OAB∠AOB=60°AB所对的，再根据弦解析：分析：根据已知条件得出是等边三角形，则弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，然后分类讨论，即可得出答案．24.⊙OAB=3cm∠ACB=60°⊙O 的直径．如图，在，圆周角中，弦，求2 3答案：AADBD ，如图，点作直径解析：解答：过，连接∠ABD=90°，∵∠ADB=∠ACB=60°，又∴∠BAD=30°，AB=3cm ，而=BD ∴3，=2cm=2ADBD ∴3），（2cm ⊙O3．的直径为即 2 3．故答案为：AAD∠ABD=90°∠ADB=∠ACB=60°Rt△ABDAB=3cm，中，，在，，则点作直径分析：过．AD ．利用三边的数量关系可求出6cmAB6cmAB 25.3所对的圆周角的度数．长如图，在半径为，试求弦的圆中，弦如图，答案：AB∠P∠P′，在优弧上所对的圆周角为，劣弧上所对的圆周角为设弦⊥，ABCOOCOA OB，点作连接，过，垂足为1=3 ABAC=3，由垂径定理，得2333AC AOC=∠=6△AOCOAsin Rt ，在，中，26OA∠AOC=60°，解得∠AOB=2∠AOC=120°，所以，1∠AOB=60°P= ∠，根据圆周角定理，得2APBP′为圆内接四边形，又∠P′=180°-∠P=120°，所以，AB60°120°或所对的圆周角的度数为故弦AB∠P∠P′OA，，解析：分析：设弦劣弧上所对的圆周角为在优弧上所对的圆周角为连接，1=3∠AB=ABOBOOC⊥CACAOC3解直角三角形得，，垂足为，由垂径定理可知，过点作21∠AOB ∠P∠AOB=2∠AOC∠P=，由圆周角定理得与的度数，由垂径定理可知，，利用2∠P′∠P′．的互余关系求。