2018年江苏省无锡市高三上学期期中数学试卷含解析答案

2017-2018学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={0，1，2}，集合B={1，}，且B⊆A，则实数x=．2．（5分）若复数z=a+i（a为正实数）的模为2，则a=．3．（5分）斐波那契数列（Fibonacei scquence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardoda Fibonacei）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…则该数列的第10项为．4．（5分）若函数f（x）=则f（5）=．5．（5分）已知函数f（x）=x2+ax﹣2的单调减区间为（﹣∞，1），则实数a的值为．6．（5分）若变量x，y满足，且x+2y≥a恒成立，则a的最大值为．7．（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，若所得图象过点（，），则φ的最小值为．8．（5分）已知函数f（x）=﹣，则f（a+1）+f（a2﹣1）＞0的解为．9．（5分）已知sin2x+2sinxcosx﹣3cos2x=0，则cos2x=．10．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a3=0，a2+a4=﹣2，则数列{}的前10项和为．11．（5分）已知实数x，y满足y=2，则+的最小值为．12．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=1，则•=．13．（5分）关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知正项数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，对任意正整数m，n，当n＞m时，S n﹣S m=2m•S n﹣m总成立，若正整数p，q满足p+q=6，则+的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知=（﹣3，1），=（1，﹣2），=（1，1）．（1）求与的夹角的大小；（2）若∥（+k），求k的值．16．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AD ∥BC，AD=2AB=2BC，M为边AD的中点，CB1⊥平面ABCD．求证：（1）C1M∥平面AA1B1B；（2）平面BMB1⊥平面ACB1．17．（14分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，tan（A﹣B）=，角C为钝角，b=5．（1）求sinB的值；（2）求边c的长．18．（16分）一块杂草地上有一条小路AB，现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域．在三角形ABC内种植花卉．已知AB长为1千米，设C=θ，AC边长为BC边长的a（a≥1）倍，三角形ABC面积为S（千米2）．（1）试用θ和a表示S；（2）若恰好当θ=60°时，S取得最大值，求a的值．19．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=记数列{a n}的前n项和为S n，b n=a2n，n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等比数列，并求其通项b n；（2）求S n；＞b n＞S2n成立？说明理由．（3）问是否存在正整数n，使得S2n+120．（16分）已知函数f（x）=2lnx﹣mx﹣1（m∈R）．（1）当m=1时，求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=xf（x），在区间D=（e，e），e为自然对数的底．i）若函数g（x）在区间D上有两个极值，求m的取值范围；ii）设函数g（x）在区间D上的两个极值分别为g（x1）和g（x2），求证：x1•x2＞e．2017-2018学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={0，1，2}，集合B={1，}，且B⊆A，则实数x=．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，集合B={1，}，且B⊆A，∴=2，解得实数x=．故答案为：．2．（5分）若复数z=a+i（a为正实数）的模为2，则a=．【解答】解：∵z=a+i，∴|z|=，即a2=3，得a=，∵a为正实数，∴a=．故答案为：．3．（5分）斐波那契数列（Fibonacei scquence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardoda Fibonacei）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…则该数列的第10项为55．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，…，则从三项起，每一项均为前2项的数字之和，13+21=34，21+34=55，故则该数列的第10项为55，故答案为：554．（5分）若函数f（x）=则f（5）=2．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（2）=f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2．故答案为：2．5．（5分）已知函数f（x）=x2+ax﹣2的单调减区间为（﹣∞，1），则实数a的值为﹣2．【解答】解：函数f（x）=x2+ax﹣2的开口向上，对称轴为：x=，函数f（x）=x2+ax﹣2的单调减区间为（﹣∞，1），可得，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．6．（5分）若变量x，y满足，且x+2y≥a恒成立，则a的最大值为﹣4．【解答】解：令z=x+2y，画出变量x，y满足的可行域，由可行域知：目标函数过点A（0，﹣2）时，取最小值，最小值为﹣4．所以要使x+2y≥a恒成立，只需使目标函数的最小值大于等于a 即可，所以a 的最大值为：﹣4．故答案为：﹣4．7．（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，若所得图象过点（，），则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y=sin2（x﹣φ）=sin（2x﹣2φ），图象过点（，），∴sin（﹣2φ）=即﹣2φ=或，k∈Z∵φ＞0，∴φ的最小值为．故答案为：．8．（5分）已知函数f（x）=﹣，则f（a+1）+f（a2﹣1）＞0的解为（﹣1，0）．【解答】解：函数f（x）=﹣是定义域R上的减函数，且f（﹣x）=﹣=﹣=﹣f（x），∴f（x）是定义域R上的奇函数，把f（a+1）+f（a2﹣1）＞0化为f（a+1）＞﹣f（a2﹣1）=f（1﹣a2），即a+1＜1﹣a2，解得﹣1＜a＜0，∴所求不等式的解集为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．9．（5分）已知sin2x+2sinxcosx﹣3cos2x=0，则cos2x=﹣或0．【解答】解：∵sin2x+2sinxcosx﹣3cos2x===0，∴tanx=﹣3，或tanx=1，当tanx=﹣3时，cos2x===﹣，当tanx=1时，cos2x===0，故答案为：﹣或0．10．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a3=0，a2+a4=﹣2，则数列{}的前10项和为．【解答】解：由a1+a3=0，a2+a4=﹣2，∴a2+a4﹣（a1+a3）=2d=﹣2，解得d=﹣1，∴a1=1，∴a n=1﹣（n﹣1）=2﹣n，设数列{}的前n项和为S n，∴﹣S10=﹣+++…+，①∴﹣S10=﹣+++…+，②由①﹣②可得，﹣S10=﹣1++++…+﹣=﹣1+﹣=﹣﹣=﹣，∴S10==，故答案为：11．（5分）已知实数x，y满足y=2，则+的最小值为．【解答】解：实数x，y满足y=2，∴y==，即xy=4．则+≥2=2=，当且仅当x=2y=2时取等号．故答案为：．12．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=1，则•=2．【解答】解：设AC，BD交点为O，则=2•=2•AP•AO•cos∠PAO=2AP2=2．故答案为：2．13．（5分）关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为（1﹣ln2，+∞）．【解答】解：∵关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解，∴y=2|x+a|与y=e x的图象有3个交点，设y=2x+b与y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得b=2﹣2ln2．∴切线方程为y=2x+2﹣2ln2，令y=0得x=ln2﹣1，∴﹣a＜ln2﹣1，解得a＞1﹣ln2．故答案为：（1﹣ln2，+∞）．14．（5分）已知正项数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，对任意正整数m，n，当n＞m时，S n﹣S m=2m•S n﹣m总成立，若正整数p，q满足p+q=6，则+的最小值为．【解答】解：因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m=2m•S n﹣m 总成立，所以n≥2时，令m=n﹣1，得到S n﹣S n=2n﹣1•S1，即a n=a12 n﹣1=2 n﹣1，﹣1当n=1时，也成立，所以a n=2 n﹣1，则前n项和为S n==2n﹣1，∴+=+≥2=2，∵2p+2q≥2=2×=16，∴+≥==，当且仅当p=q=3时取等号，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知=（﹣3，1），=（1，﹣2），=（1，1）．（1）求与的夹角的大小；（2）若∥（+k），求k的值．【解答】解：（1）=（﹣3，1），=（1，﹣2）；∴||==，||==，•=﹣3×1+1×（﹣2）=5，∴cos＜，＞===﹣，∴与的夹角；（2）+k=（﹣3+k，1﹣2k），=（1，1）；当∥（+k），﹣3+k=1﹣2k，解得k=．16．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD=2AB=2BC，M为边AD的中点，CB1⊥平面ABCD．求证：（1）C1M∥平面AA1B1B；（2）平面BMB1⊥平面ACB1．【解答】证明：（1）连接CM．∵AD∥BC，AD=2AB=2BC，M为边AD的中点，∴四边形ABCM是菱形，∴CM∥AB．又∵CC1∥BB1，CM⊂面CMC1，CC1⊂面CMC，CC1∩CM=C，∴面CC1M∥平面AA1B1B，∵C1M⊂面CC1M，∴C1M∥平面AA1B1B．（2∵AD∥BC，AD=2AB=2BC，M为边AD的中点，∴四边形ABCM是菱形，∴BM ⊥AC．∵CB1⊥平面ABCD，BM⊂面ABCD，∴BM⊥CB1，且AC∩CB1=C，∴BM⊥面ACB1．又∵BM⊂面BMB1．∴面BMB1⊥平面ACB1．17．（14分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，tan（A﹣B）=，角C为钝角，b=5．（1）求sinB的值；（2）求边c的长．【解答】解：（1）角C为钝角，由sinA=，则cosA==．那么：tanA=∵tan（A﹣B）=，即，可得：tanB=即，sin2B+cos2B=1，解得：sinB=．（2）由（1）可知：sinB=，则cosB==那么：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=正弦定理：=，可得：c=13．18．（16分）一块杂草地上有一条小路AB，现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域．在三角形ABC内种植花卉．已知AB长为1千米，设C=θ，AC边长为BC边长的a（a≥1）倍，三角形ABC面积为S（千米2）．（1）试用θ和a表示S；（2）若恰好当θ=60°时，S取得最大值，求a的值．【解答】解：（1）设BC的边长为x，则AC=ax，由AB=1，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，即1=a2x2+x2﹣2ax2cosθ，解得x2=，∴S=AC•BCsinθ=ax2sinθ=•；（2）设f（θ）=•；∴f′（θ）=•，令f′（θ）=0，解得cosθ0=，当θ＜θ0时，cosθ0＞，即f′（θ）＞0，函数f（θ）对单调递增，当θ＞时，cosθ0＜，即f′（θ）＜0，函数f（θ）对单调递减，∴当θ=θ0时，面积S最大值，此时θ0=60°，∴=，解得a=2±，∵a≥1，∴a=2+19．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=记数列{a n}的前n项和为S n，b n=a2n，n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等比数列，并求其通项b n；（2）求S n；＞b n＞S2n成立？说明理由．（3）问是否存在正整数n，使得S2n+1=，b n=a2n，【解答】（1）证明：∵a n+1∴b n=a2n+2=3a2n+1+6n+3=3（﹣a2n﹣2n﹣1）+6n+3=﹣3a2n=﹣3b n，+1∵a1=1，∴b1=a2=3a1+3=6，∴数列{b n}是首项为6，公比为﹣3的等比数列，∴；（2）解：设c n=a2n+a2n+1（n∈N*），则c n=a2n﹣a2n﹣2n﹣1=﹣2n﹣1，=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n+1）∴S2n+1=a1+c1+c2+…+c n=1﹣2（1+2+…+n）﹣n=﹣n2﹣2n+1，S2n=S2n+1﹣a2n+1=S2n+1+a2n+2n+1=﹣n2+2+6•（﹣3）n﹣1；∴；（3）解：若存在正整数n，使得S2n＞b n＞S2n成立，+1则，即，当n为正的偶数时，①②成立，＞b n＞S2n成立．∴存在正整数n，使得S2n+120．（16分）已知函数f（x）=2lnx﹣mx﹣1（m∈R）．（1）当m=1时，求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=xf（x），在区间D=（e，e），e为自然对数的底．i）若函数g（x）在区间D上有两个极值，求m的取值范围；ii）设函数g（x）在区间D上的两个极值分别为g（x1）和g（x2），求证：x1•x2＞e．【解答】解：（1）m=1时，f（x）=2lnx﹣x﹣1，f′（x）=﹣1=（x＞0）．可得：函数f（x）在（0，2）上单调递增；在[2，+∞）上单调递减．（2）g（x）=xf（x）=2xlnx﹣mx2﹣x．在区间D=（e，e），e为自然对数的底．i）g′（x）=2lnx﹣2mx+1．∵函数g（x）在区间D上有两个极值，∴g′（x）=2lnx﹣2mx+1=0在D上有两个实数根．化为：m==h（x），h′（x）=，可得函数h（x）在上单调递增，在上单调递减．∴x=e时，h（x）取得极大值即最大值，h（e）=．由=0，=2．∴m∈时满足条件．ii）证明：设函数g（x）在区间D上的两个极值分别为g（x1）和g（x2），2lnx1﹣2mx1+1=0，2lnx2﹣2mx2+1=0…①，则m=…②，x1•x2＞e等价于：lnx1+lnx2＞1，即m（x1+x2）＞2，③由①②③得（x1+x2）＞2，不妨设x1＞x2＞0，则t=1上式转化为：lnt﹣＞0，（t＞1）．设H（t）=lnt﹣，t＞1，则H′（t）=＞0，故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，∴H（t）＞H（1）=0，即不等式lnt＞成立，故所证不等式x1•x2＞e成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)log a y x=xyO (1,0)log a y x=。