上海2020届高三数学二模汇编三角函数

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2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)

1（2020静安二模）. 若sin 3x =，则cos(2)x π-的值为 1（2020虹口二模）. 函数()3cos21f x x =+的最小值为2（2020宝山二模）. 函数)1arcsin(+=x y 的定义域是 2（2020黄浦二模）. 函数22cos 2y x =+的最小正周期为 3（2020杨浦二模）. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 3（2020徐汇二模）. 函数()cos 3xf x π=的最小正周期为5（2020黄浦二模）. 如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= 5（2020徐汇二模）. 方程1sin 3x =在[,]2ππ上的解是 7（2020奉贤二模）. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是7（2020崇明二模）. 若1sin()23πα+=，则cos2α=8（2020虹口二模）. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =9（2020崇明二模）. 将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的任意1x 、2x ，12||x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是10（2020普陀二模）. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22csc()ab ca b c A B -=++，则角C 的大小为11（2020崇明二模）. 在△ABC 中，,cos )AB x x =uu u r ，(cos ,sin )AC x x =uuu r ，则△ABC面积的最大值是12（2020嘉定二模）. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222sin a b c A ++=，则A =14（2020宝山二模）. 若函数x a x x f cos sin )(+=的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为（）A. 1B. 1-C.D. 15（2020徐汇二模）. 设点2( 1)(0)2t P t t+<，是角α终边上一点，当||OP uu u r 最小时，cos α的值是（）A. 5-B. 5C. 5D. 515（2020虹口二模）. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）A. 14(2,]3 B. 14[2,)3 C. 10[,4)3 D. 10(,6]315（2020长宁二模）. 在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则x =（）A. 0.6B. 0.8C. 0.6-D. 0.8- 15（2020浦东二模）. 已知函数()cos |cos |f x x x =⋅，给出下列结论： ①()f x 是周期函数； ②函数()f x 图像的对称中心(,0)2k ππ+（Z k ∈）；③若12()()f x f x =，则12x x k π+=（Z k ∈）；④不等式sin 2|sin 2|cos2|cos2|x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15{|,Z}88x k x k k +<<+∈；则正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④16（2020静安二模）. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ≤<）满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合，对任意的x ∈R 都有()(26f x f π≤=）成立.（1）求()f x 的解析式；（2）若锐角△ABC 的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求△ABC 的周长l 的取值范围.18（2020闵行二模）. 已知函数2()3cos cos f x x x x ωωω=+（0ω>）. （1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且a =，6b =，求△ABC 的面积.18（2020松江二模）. 已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最大值和最小正周期T ；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()32Af =，且1a =，求△ABC 面积的最大值.18（2020宝山二模）. 已知函数())f x x ωϕ=+，()g x x ω=，0ω>，[0,)ϕπ∈，它们的最小正周期为π.（1）若)(x f y =是奇函数，求)(x f 和)(x g 在[0,]π上的公共递减区间D ；（2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-，求()h x 的最大值.18（2020普陀二模）. 设函数2()2sin ())1263x f x x ωππω=++-.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为()2f π，求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()f x 在区间(,2)ππ内不存在零点，求正实数ω的取值范围.18（2020嘉定二模）. 设常数a ∈R ，函数2()2cos f x x a x =+.（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若()36f π=，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解.18（2020青浦二模）. 已知函数2π()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x =++. （1）若函数()y f x =的图像关于直线x a =（0a >）对称，求a 的最小值；（2）若存在05[0,]2π1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围.18（2020杨浦二模）. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.18（2020金山二模）. 已知函数2()2cos 2xf x x =. （1）求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间；（2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值.18（2020长宁二模）. 已知函数()sin f x x x =-，R x ∈.（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若()0f A =，且2b =，3c =，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x =的最大值.18（2020浦东二模）. 已知锐角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方形重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q . （1）求cos()αβ+的大小；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值.。

2020年上海市高三数学二模分类汇编：函数(16区全)

2（2020静安二模）. 若幂函数()y f x =的图像经过点1(,2)8，则1()8f -的值为2（2020虹口二模）. 函数()f x =的定义域为 2（2020金山二模）. 函数12y x-=的定义域是3（2020青浦二模）. 已知函数1()1f x x=+，则方程1()2f x -=的解x = 3（2020浦东二模）. 若函数12()f x x =，则1(1)f -=4（2020静安二模）. 若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，在区间(,0]-∞上是增函数，2x =是其零点，则()0f x >的解集为4（2020崇明二模）. 已知函数()21x f x =+，其反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 5（2020虹口二模）. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =5（2020金山二模）. 已知函数21()11x f x =，则1(0)f -=6（2020徐汇二模）. 若11()21xf x a=+-是奇函数，则实数a 的值为 7（2020宝山二模）. 某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0rnp p e =.实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率=r （精确到1%）7（2020金山二模）. 已知函数1()lg sin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -= 8（2020嘉定二模）. 已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=，若1(3)2f -=，则a =8（2020黄浦二模）. 已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[2,0]-，则(1)f -=8（2020松江二模）. 若函数2()log (21)x f x kx =++是偶函数，则k =9（2020长宁二模）. 已知111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---，若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α=9（2020青浦二模）. 设{1,3,5}a ∈，{2,4,6}b ∈，则函数1()log baf x x=是减函数的概率为10（2020青浦二模）. 已知函数()f x =，若存在实数0x 满足00[()]f f x x =，则实数a 的取值范围是10（2020静安二模）. 设(,)n n A n y （*n ∈N ）是函数12y x x=+的图像上的点，直线1x n =+与直线n y y =的交点为n B ，△1n n n A B A +的面积为n S ，则lim n n S →∞的值为10（2020闵行二模）. 已知(2)f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为10（2020浦东二模）. 已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为10（2020松江二模）. 已知函数()cos(2)6f x x π=-，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，总存在2[,]x m n ∈，使得12()()0f x f x +=，则||m n -的最小值为11（2020黄浦二模）. 已知a ∈R ，函数22(0)()1(0)a x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若存在不相等的实数1x 、2x 、3x ，使得312123()()()2f x f x f x x x x ===-，则a 的取值范围是 11（2020奉贤二模）. 三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路：甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解；乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解；丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当x = 时，2221100a y x x=+-（010x <<，0a >）有最小值 12（2020虹口二模）. 已知函数|51|1()811x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 12（2020闵行一模）. 已知函数()|sin ||cos |4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为12（2020崇明二模）. 对于函数()f x ，其定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 定义域为{1,2,3,4,5,6}D =，值域为{7,8,9}A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是 12（2020松江二模）. 已知函数20()|log ()|0a x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩（R a ∈且a 为常数）和()g x k =（R k ∈且k 为常数），有以下命题：① 当0k <时，函数()()()F x f x g x =-没有零点；② 当0x <时，2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同零点1x 、2x 、3x ，则1231x x x ⋅⋅=-； ③ 对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点123x x x <<4x <，且1||x 、2||x 、3||x 、4||x 成等比数列；其中的真命题是（写出所有真命题的序号）12（2020徐汇二模）. 设二次函数2()(21)2f x m x nx m =++--（,m n ∈R 且12m ≠-）在[2,3]上至少有一个零点，则22m n +的最小值为12（2020青浦二模）. 定义函数(){{}}f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{1.4}2=，{2.3}2-=-，当(0,]x n ∈（*n ∈N ）时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a = 12（2020长宁二模）. 已知函数1()||1f x x =-，若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是13（2020黄浦二模）.“函数()f x （x ∈R ）存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13（2020徐汇二模）. 某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图像大致为（）A. B. C. D.14（2020嘉定二模）. 下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（） A. 1y x=B. 2x y =C. 1||y x =-D. lg ||y x = 14（2020奉贤二模）. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（）A. B. C. D.15（2020奉贤二模）. 设函数()log (1)x a f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则()lim f n n n a a a→∞=+（） A. 1 B. a C.1a D. 1a或a 16（2020宝山二模）. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x 、2x 都有211212()()0x f x x f x x x -<-，则函数(),0()0,0f x xg x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（）A. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减B. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增C. 是奇函数，且单调递减D. 是奇函数，且单调递增 16（2020松江二模）. 已知实数12100,,,[1,1]x x x ⋅⋅⋅∈-，且12100x x x π++⋅⋅⋅+=，则当22212100x x x ++⋅⋅⋅+取得最大值时，12100,,,x x x ⋅⋅⋅这100个数中，值为1的个数为（）A. 50个B. 51个C. 52个D. 53个16（2020金山二模）. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x =()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A. 11(,)44-B. (11)C. 11(4,4)44k k -+(Z k ∈)D. (411)k k +(Z k ∈)16（2020普陀二模）. 定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得222()21f s t t a a =+++-成立，则实数a 的取值范围是（）A. [1,0][1,2]-UB. {1}[0,2]-UC. [2,1][0,1]--UD. {1}[2,0]-U16（2020崇明二模）. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,R}A x f x x ==∈，集合{|B x =(())0,R}f f x x =∈，若A B =，且A 、B 都不是空集，则m n +的取值范围是（）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 16（2020青浦二模）. 已知函数()sin 2|sin |f x x x =+，关于x的方程2()()10f x x --=有以下结论：① 当0a ≥时，方程2()()10f x x --=在[0,2]π内最多有3个不等实根； ② 当6409a ≤<时，方程2()()10f x x -=在[0,2]π内有两个不等实根； ③若方程2()()10f x x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程2()()10f x x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π；其中所有正确结论的序号是（）A. ②④B. ①④C. ①③D. ①②③17（2020普陀二模）. 设函数3120()()0x x f x g x x m-⎧--≤≤=⎨<≤⎩是偶函数.（1）求实数m 的值及()g x ；（2）设函数()g x 在区间[0,]m 上的反函数为1()g x -，当12(2)log 5a g ->（0a >且1a ≠）时，求实数a 的取值范围.18（2020奉贤二模）. 已知向量33(cos ,sin )22a x x =r ，(sin ,cos )22x xb =-r （x k π≠，Z k ∈），令()f x =2()a b a bλ+⋅r r r r （R λ∈）. （1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅r r r r ，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.18（2020虹口二模）. 已知函数4()31xf x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.18（2020黄浦二模）. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数21log 21xy x=+-的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足1()2OM OA OB =+uuu r uu r uu u r .（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小.18（2020崇明二模）. 已知函数()22x x af x =-（0a >）. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.18（2020徐汇二模）. 已知函数()|31|f x x =-，()1||g x x =-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）求()()()F x f x g x =-的最小值.21（2020松江二模）. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在实常数λ及a （0a ≠），对任意x D ∈，当x a D +∈且x a D -∈时，都有()()()f x a f x a f x λ++-=成立，则称函数()f x 具有性质(,)M a λ.（1）判断函数2()f x x =是否具有性质(,)M a λ，并说明理由；（2）若函数()sin 2sin g x x x =+具有性质(,)M a λ，求λ及a 应满足的条件；（3）已知函数()y h x =不存在零点，当R x ∈时具有性质1(,1)M t t+（其中0t >，1t ≠），。

2020届上海市宝山区高考数学二模试卷(含解析)

2020届上海市宝山区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项数是()A. B. C. D.2.已知a，b均为实数，则“ab2>1”是“a>1”的()b2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知0<θ<，则双曲线C1：=1与C2：=1的A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等4.平行六面体中，设则()A. 1B.C.D.二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.下列关系中，正确的是______．①−4∈R；3②√3∉Q；③|−20|∉N∗；④|−√2|∈Q；⑤−5∉Z；⑥0∈N．6.设圆C位于抛物线y 2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为__________．7.抛物线y2=2px(p>0)过圆x2+y2−4x+8y+19=0的圆心，A(3,m)为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__．8.i是虚数单位，i2015+i2016=______．9.在(x−2)5的展开式中，x3的系数为______.(用数字作答)10.已知a⃗=(1,−2)，b⃗ =(x,6)，且a⃗⊥b⃗ ，则x=______ ．11.在三棱锥A−BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为ΔBCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2√2，则三棱锥A−BCD 外接球的表面积为_________．12.若复数z满足|z−41z|=0，则z的值为______．13.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为π2，若P为弧AB⏜上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点，当△POQ的面积大于√38时，∠POQ的大小范围为______．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{−3,−2,−1,0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X=“|a−b|的取值”，则X的均值EX为______ ．15.在数列{a n}中，a1=4，a2=10，若{log3(a n−1)}为等差数列，则T n=1a2−a1+1a3−a2+⋯+1a n+1−a n=______ ．16.设直线x=t与两数f(x)=x2+1，g(x)=x+lnx的图象分别交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，AB=1，AA1=2，线段B1D1上有两个点E，F．(1)证明：AC⊥B1D1；(2)证明：EF//平面ABCD；(3)若E，F是线段B1D1上的点，且EF=12，求三棱锥A−BEF的体积．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知√3a=b(sinC+√3cosC)．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=2，求a+c的取值范围．19.设二次函数．(1)求函数的最小值；(2)问是否存在这样的正数，当时，，且的值域为？若存在，求出所有的的值，若不存在，请说明理由．20.已知点A(0,−2)，椭圆E:x2a2+y2b2=1的离心率为√32，F(c,0)是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P、Q两点，当ΔOPQ的面积最大时，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=ln x−2．x+2(Ⅰ)若f(a)=1，求a的值；(Ⅱ)试判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(Ⅲ)写岀方程f(x)=sinx+2根的个数(不需证明)．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：n=k时，不等式为，当n=k+1时，不等式为，所以左端增加的项数为2项，故选B。

2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷(含答案解析)

2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“函数存在反函数”是“函数在R上为增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.设，是复数，则下列命题中的假命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量夹角的正切值，则数列是A. 单调递增数列且B. 单调递减数列且C. 单调递增数列且D. 单调递减数列且4.如图，直线平面，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，A，D分别是直线l和平面上的动点，且，则下列判断：点O到棱BC中点E的距离的最大值为；正四面体ABCD在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是A. 都正确B. 都错误C. 正确，错误D. 错误，正确二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若集合2，3，4，，，则______．6.函数的最小正周期为______．7.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选______户．8.若直线：与：互相垂直，则实数a的值为______．9.如果，为第三象限角，则______．10.若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为______．11.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程______．12.已知函数的定义域和值域都是，则______．13.当x，y满足时，恒成立，则实数a的取值范围是______．14.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为______．15.已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则a的取值范围是______．16.点A是曲线上的任意一点，，，射线QA交曲线于B点，BC垂直于直线，垂足为点C，则下列结论：为定值；为定值5；为定值．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，在三棱椎中，平面ABC，，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，，．求异面直线PB与DF所成的角；求点P到平面DEF的距离．18.设是函数，的图象上任意两点，点满足若，求证：为定值；若，且，求的取值范围，并比较与的大小．19.某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图所示，矩形ABCD的AB边与BC边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O为AB中点，扇形的圆弧端点E，F分别在AD与BC上，圆弧的中点G在CD上．求扇形花园的面积精确到1平方米；若在扇形花园内开辟出一个矩形区域为花卉展览区，如图所示，矩形的四条边与矩形ABCD的对应边平行，点，分别在OE，OF上，点，在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形面积最大时，两矩形与ABCD的形状恰好相同即长与宽之比相同，试求花卉展区面积的最大值，并判断上述猜想是否正确请说明理由20.已知点A，B分别是椭圆C：的右顶点与上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为，且点A是圆r：的圆心，动直线l：与椭圆交于两点．求椭圆C的方程；若点S在线段AB上，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值；若直线l与圆分别交于G，H两点，点G在线段PQ上，且，求r的取值范围．21.若数列与函数满足：的任意两项均不相等，且的定义域为R；数列的前n项的和，对任意的都成立，则称与具有“共生关系”．若试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合，并写出关于a，b，n的表达式：若，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：“函数在R上为增函数”“函数存在反函数”；反之取，则函数存在反函数，但是在R上为减函数．故选B函数存在反函数，至少还有可能函数在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．2.答案：D解析：解：对，若，则，，所以为真；对若，则和互为共轭复数，所以为真；对设，，若，则，，所以为真；对若，，则为真，而，所以为假．故选：D．题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．3.答案：D解析：解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，，，，，，，，，为向量夹角，，，为减函数，随着n的增大而减小．．故选：D．分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，进而可求出，结合函数的单调性即可判断．本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.答案：C解析：解：由题意，直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到DC的距离，因此：最大距离为BC到球心的距离即BC与AD的公垂线半径，如图：，点O到棱BC中点E的距离的最大值为：；所以正确；当A与O重合时，正四面体ABCD在平面上的射影为：对角线长为2的正方形，射影面的面积为2，所以不正确；故选：C．直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，因此O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到SC的距离，故最大距离为BC到球心的距离，求解判断；求出特殊点A与O重合时，射影面的面积判断即可．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．5.答案：解析：解：由题知集合，再由交集定义可得，故答案为：．由题直接求出集合B，再利用交集的定义求得结果．本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．6.答案：解析：解：由已知得，所以．故答案为：．先将函数降幂化简，然后套公式求周期．本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．7.答案：56解析：解：由题知共有户家庭，设应选中等收入家庭为x户，由分层抽样的定义知，解得故答案为：56由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．8.答案：解析：解：直线：与：互相垂直，，解得．故答案为：．由直线互相垂直，可得，解得a．本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：解析：解：，为第三象限角，，则．故答案为：．由的值及为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，原式利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．10.答案：解析：解：一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于6，如图：圆锥的高，底面半径，因此，该圆锥的体积故答案为：．根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．11.答案：解析：解：由题意得，，解得，，双曲线的方程是，故答案为：．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出、，代入双曲线的方程即可．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：当时，由题得，解得，，则；当时，由题意得，无解；故答案为：由题分别讨论，两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a，再代入即可．本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．13.答案：解析：解：x，y满足的可行域如图：由解得，，经过可行域的A时，取得最大值，最大值为：4，此时取得最大值，所以，恒成立，则实数a的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，求解的最大值，即可得到a的范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.答案：解析：解：某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．故答案为：．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，由此能求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．15.答案：解析：解：当时，令，解得；所以只需方程在上有两个不等根即可，整理得，有两个根．只需与在上有两个不同交点即可．令，，，当时，，递增；时，，递减；所以，且，或时，都有．所以，要使时，结论成立，只需即可．故答案为：．令，解得，所以问题转化为在上有两个不等根即可，分离参数得在上有两个不等实根，只需研究在上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题．本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能力等．属于中档题．16.答案：，解析：解：由题意知：曲线表示双曲线的上半支，；并且是双曲线的下焦点，为上焦点；曲线表示的是抛物线，其焦点为，准线为．做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．因为A在双曲线的上支上，所以，为定值，故正确；因为B在抛物线上，设直线于H，，，定值，故正确；因为，，故错误．故正确的序号为：．故答案为：，．曲线表示双曲线的上支，曲线表示的是抛物线，P，Q点为双曲线的两个焦点，且Q点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线的定义，逐个判断即可；其中第问中，要注意将转化为后，再进一步分析．本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．17.答案：解：如图，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，0，，0，，．故，．．可得．故异面直线PB与DF所成的角为；，．设是平面DEF的一个法向量，则，取，得．又．点P到平面DEF的距离．解析：分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出与所成角的余弦值，可得异面直线PB与DF所成的角的大小；求出平面DEF的一个法向量，再求出的坐标，由点到平面的距离公式可得点P到平面DEF 的距离．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档题．18.答案：解：证明：由可知，，即，，故为定值，即得证；由，，可得，则，即，解得，此时由，可得，故，即．解析：依题意，，即，再利用中点坐标公式可求得，即得证；根据题意，可得，再由对数函数的性质可得，由此求得的取值范围，利用作差法可知，进而得出与的大小关系．本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：设，则，在中，，，，；可得扇形的面积为平方米，即扇形花园的面积约为1030平方米；在图中，连接，设，，则在中，由，可得；又，，，所以矩形的面积为，当且仅当，即时，取得最大值，所以的最大值为；所以花卉展览区面积的最大值为平方米．当矩形的面积最大时，，此时，，所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．解析：设，利用直角三角形的边角关系求出BO、OF，再计算扇形的面积即可；在图中连接，设，，利用正弦定理求出，计算矩形的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比相等，得出该同学的猜想是正确的．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题．20.答案：解：由题意可知，，，，所以直线AB的方程为：，所以原点到直线的距离，所以可得，所以椭圆的方程为：；由设，由题意可得，将S坐标代入直线AB的方程中，可得，所以，所以当时取最小值，所以，且直线l的方程为，所以；由，可得，将代入椭圆C的方程可得：，即，故，又A到直线l的距离，故，所以，可得，令，则，所以r的取值范围为解析：由椭圆的方程可得A，B的坐标及直线AB的方程，由题意可得a的值，及O到直线的距离距离，可得，a，b的值，进而求出椭圆的方程；设P的坐标，由向量的关系求出S的坐标，将S的坐标代入直线AB的方程可得的表达式，由三角函数的取值范围求出最小时r的值；设直线GH的方程与圆联立，求出P，Q的坐标，求出弦长GH，求出A到直线的距离，及弦长GH与A到直线GH的距离和半径之间的关系，求出弦长GH，两式联立求出r的表达式，换元可得可得r的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档题．21.答案：解：解：由，可知，与数列具有“共生关系”函数的解析式可以是．解：由题意得，令，得，即，若，，此式不成立，不合题意，若，，由，得，又，可得，与任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．若，则，若，则由与，可得，不合题意，若，，1，则，由，，可得，即，此时，数列是首项为，公比为的等比数列，又的任意两项均不相等，故，可知，实数对所构成的集合为，1，，且，其中a，，其中a，，且．证明：必要性若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，可知，恒成立，，可得，且有实根，即，可知，点在射线上．充分性若点在射线上，则，，又方程等价于，，且，取，它是正数，满足，令，则，当时，，这里的无穷数列是首项为，公差为的无穷数列，其每一项都是正数，存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有“共生关系”．故“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．解析：由，可知，由此能求出与数列具有“共生关系”函数的解析式．由题意得，令，得，推导出，数列是首项为，公比为的等比数列，由此能求出结果．先证明必要性：若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，知恒成立，由此推导出点在射线上；再证明充分性：若点在射线上，则，，方程等价于，，且，它是正数，满足，令，则，当时，，由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．。

上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析

2020年全国普通高等学校招生统一考试上海数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|1,A x y x x R ==-∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中1y x =-10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-，则{1}A B ⋂=，故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.若函数()1f x x =，()1g x x x -，则()()f x g x +=__________．【答案】11x +-(01)x ≤≤ 【解析】分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果. 【详解】()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=，解得：1tan23α=-或tan 32α=，因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭．故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题． 4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >,∴9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==，所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤；综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线2sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____．【答案】22841x y -= 【解析】【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【详解】曲线（θ为参数），即有sec 2tan xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1，即为8x 2﹣4y 2＝1．故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______. 【答案】34【解析】【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t . 【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2i iM AB AP =⋅（1,2,,10i =），则1210M M M +++=________.【答案】180 【解析】【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，直线33B C 的方程为3(6)y x =--，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，即有233i i i i M AB AP x =⋅=+ 3(3)18i i x y =+=，则12101810180M M M++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa xf x a ax x x⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x≤的解集为(],3,-∞则实数a的取值范围为___________.【答案】(]1,3【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a>，且1a≠，设函数21()21xa xf xx x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x的解集是(-∞，3]，当1x时，2|2|3x x-，可得2323x x--，解得13x ；当1x<，即(,1)x∈-∞时，3xa，不等式恒成立可得13a<．综上可得13a<．∴实数a的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.已知*n N∈，从集合{}1,2,3,,n中选出k（k∈N,2k≥）个数12,,,kj j j，使之同时满足下面两个条件：①121kj j j n≤<<≤；②1i ij j m+-≥（1,2,,1i k=-），则称数组()12,,k j j j 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m的组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)，若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】【分析】设z x yi =+，由||1x ，||1y ，可得||2z ，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x ，||1y ，则||2z ，故充分性不成立；由||1z ，则221x y+，所以||1x ，||1y ，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( )A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】【分析】由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-,即有()()()2121f x f x x x αα--<<-, 令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+,则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos126AB AC AB AC π⋅==，可得83AB AC =ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+ 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12= 又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴83AB AC =∴111sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯=考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ，根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，221201216h =-=cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元．答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可；（2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立，因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=，所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤，即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由. 【答案】（1）2a =22（3）见解析【解析】【分析】（1）将直线y ＝x 3得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D 0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=>⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y（2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =- 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++.【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n nb b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k nb b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-，又11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=，解得：2k =；（3）解：11c =，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>， 2211(1)2c m c c -∴==-，232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯，3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m ---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅，显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅ 1(11)11m m --=⋅- 1m=．【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

2020届上海市普陀区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)(精品)

第二学期普陀区高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为（结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（） )A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα// ()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数 ()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数 ()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .1A 1B 1C1DF18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值；（2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .xyo（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值；（2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c Λ21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,Y3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB DE =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin 411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分（2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分（2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3, ，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，36333max =+=k所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。

上海市黄浦区2020年高考数学二模试卷(理科)含答案解析

上海市黄浦区2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．2．计算：=．3．函数的反函数f﹣1（x）=．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为（结果用反函数值表示）6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=．9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于．10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b=．13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为．14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A．2B．3C．4D．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．23．对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；（2）若C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：1【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．2．计算：=．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．函数的反函数f﹣1（x）=（x﹣1）3．【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵=y，∴x=（y﹣1）3，∴x，y互换，得y=（x﹣1）3．故答案为（x﹣1）3．【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan（结果用反函数值表示）【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，把记极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．【解答】解：把极坐标方程ρ（cosθ+2sinθ）=1与ρsinθ=1化为普通方程是x+2y=1与y=1；又直线x+2y=1与y=1夹角的正切值为，所以直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan．故答案为：arctan．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题，能进行极坐标和直角坐标的互化，是解题的关键．6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影．【解答】解：∵在菱形ABCD中，A=，∴∠CAB=，又∵||=1，∴||=2||cos=，∴向量在上的投影为||cos=，故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题．7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1．【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1．正六棱柱的底面积S==．∴多面体的体积V=Sh==．故答案为．【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=﹣3．【分析】由已知得f（x）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出f（a）+f（b）．【解答】解：∵f（x）=x3+lg（+x），∴f（﹣x）=﹣x3﹣lg（+x）=﹣f（x），∵f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，∴2[f（a）+f（b）]=﹣6，∴f（a）+f（b）=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于15．【分析】（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解出即可得出．【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解得：r=1，r=（舍去），r=0．∴常数项=4﹣5=20﹣5=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10．【分析】不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．利用已知可得a ﹣c=5，a+c=15，解出即可得出．【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，∴a﹣c=5，a+c=15，∴b2=a2﹣c2=5×15=75．∴b=5．则椭圆的短轴长为10．故答案为：10．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，故它们的颜色号码均不相等的概率是=，故答案为：【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b=．【分析】由已知得（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，由此能求出a+b．【解答】解：∵设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），ξ的数学期望Eξ=，∴（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，解得a=，b=0，∴a+b=．故答案为：．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用．13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031．【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．【解答】解：由方程组消y可得，4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，当x≤﹣a时，4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b，故x=b﹣a﹣4032，故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a，即b≤4032时，有一个解；即a≤4031时，有一个解；否则无解；当﹣a＜x≤1时，4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b，故x=4032﹣a﹣b，故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；即2020≤a≤4030，有一个解，否则无解；当1＜x≤b时，4033﹣2x=x+a+b﹣1，故3x=4034﹣a﹣b，故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；即≤a≤2020，方程有一个解，否则无解；当x＞b时，4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，故5x=4034﹣a+b，故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031．【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为128．【分析】由题意可得a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，从而解得．【解答】解：∵a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），∴a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27=128，故答案为：128．【点评】本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】解：若“=0则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴=0，故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为a+bi（a、b∈R）的形式，分析实部和虚部的大小关系．【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，此复数的实部为m﹣1，虚部为m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选D．【点评】本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质．17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论．【解答】解：∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求得a=4，b=3，c=6．再利用余弦定理可得cosC==﹣＜0，故C为钝角，故选：C．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由题意可得sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，而当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；当0＜x＜时，sin（2πx）＞0，当＜x＜1时，sin（2πx）＜0，问题变成了求在0＜x＜时，sin（3πx）与sin（4πx）同号得区间，及＜x＜1时，sin（3πx）与sin（4πx）异号的区间．然后由三角函数的象限符号求解即可．【解答】解：要使原函数有意义，则sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；即sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0．若sin（2πx）＞0，得2kπ＜2πx＜π+2kπ，即k＜x＜，取k=0，得0＜x＜；若sin（2πx）＜0，得π+2kπ＜2πx＜2π+2kπ，即＜x＜1+k，取k=0，得＜x＜1；∴只需sin（3πx）与sin（4πx）在（0，）上同号，在（）上异号．若sin（3πx）＞0，得2kπ＜3πx＜π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；若sin（3πx）＜0，得π+2kπ＜3πx＜2π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得＜x＜；若sin（4πx）＞0，得2kπ＜4πx＜π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；若sin（4πx）＜0，得π+2kπ＜4πx＜2π+2kπ，即+＜x＜，取k=0，得＜x＜．取k=1，得．∴满足sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0且在[0，1]内的区间为：（0，），（），（），（），共4个．∴n的值为4．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）【分析】连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，推导出∠PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度．【解答】解：连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，∵凳面与地面平行，∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60°，在等边三角形ABC中，AB=18，∴AO=6，在直角△PAO中，PO=AB=18，由，解得h≈47.13cm，三根钢管总长度为≈163.25cm．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识．20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．【分析】（1）由f（）=，可得a+b=2，又f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，f（x）的最大值为，可得：=，联立即可解出a，b的值．（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=b，由题意+φ=kπ+，k∈z，可得φ，根据tan（kπ+）==b，可求φ，由f（x0）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，结合范围x0∈[0，2π]，即可得解．【解答】解：（1）∵f（）=（a+b）=，∴a+b=2，①∵f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中tanφ=，∴f（x）的最大值为，可得：=．②∴联立①②可得：，，（2）∵a=1，∴可得：f（x）=sinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=b，∵根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，可得φ=kπ+，∴tan（kπ+）=tan==b，故φ=，故f（x）=2sin（x+）．∵f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，解得：x0=2kπ，或x0=2kπ+，k∈Z，又∵x0∈[0，2π]．∴x0=0或或2π．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【分析】（1）令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；（2）通过讨论x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（1）函数f（x）=a x+，其中a＞1，令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，则h′（x）=＞0，∴函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）x∈（﹣∞，﹣1）时，0＜a x＜1，=1﹣，x→﹣∞时：x+1→﹣∞，﹣→0，x→﹣1时，﹣→+∞，故x∈（﹣∞，﹣1）时：f（x）∈（1，+∞），x∈（﹣1，0）时，由（1）得：f（x）在（﹣1，0）递增，而f（0）=a0+=﹣2，∴f（x）＜0在（﹣1，0）恒成立，综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f （n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴b n===n+﹣（1+k2），当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，联立不等式组，解得：6＜k2＜12，∴k2=7，8，9，10，11；（3）∵0＜k1＜k2，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴c n=a n+|a n|=，∵c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j），∴i、j∉（k1，k2），又∵c n=2[n2﹣（k1+k2）n+k1k2]，∴=，∴0＜i＜k1＜k2＜j，此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，又S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，不妨设S m=S m+1=S m+2=...，则c m+1=c m+2= 0∵当k1≤n≤k2时c n=0，∴5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，∴k2≥6，即k2的最小值为6．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．23．对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；（2）若C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．【分析】（1）由题意可得直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，且y0=kx0+1，即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，运用二次项系数小于0和判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；（2）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围；（3））|xy|=mx2+1（m＞0），即为|y|=m|x|+，由题意可得曲线上点P（x0，y0）满足﹣＜1，代入y0，整理成x0的二次不等式，运用换元法和二次函数的性质，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）直线y=kx+1上的点都在C的外部，可得（1，1）直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，且y0=kx0+1，即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，可得1﹣k2＜0，且△=4k2+8（1﹣k2）＜0，即有k2＞2，解得k＞或k＜﹣；（2）若C过点（2，1），可得﹣=1，（a，b）即为a2=，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立，解得y=±，可得r=，化简可得r2====，令b2﹣3=t（t＞0），则r2=＞8，即有r＞2；（3）|xy|=mx2+1（m＞0），即为|y|=m|x|+，的外部，由曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）可得曲线上点P（x0，y0）满足﹣＜1，即为b2x02﹣a2（m2x02+2m+）＜a2b2，即有（b2﹣a2m2）x04﹣（2a2m+a2b2）x02﹣a2＜0，令t=x02，即有（b2﹣a2m2）t2﹣（2a2m+a2b2）t﹣a2＜0，对t≥0恒成立，t=0时，﹣a2＜0显然成立；t＞0时，b2﹣a2m2＜0，且﹣a2＜0，＜0，由m＞0，可得m2＞，解得m＞．【点评】本题考查双曲线的内部或外部的理解和运用，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立思想的解法，以及直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)

2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)1.函数f(x)=3cos2x+1的最小值为1.2.若sinx=1/2，则cos(π/2-x)=cos(π/2-sin⁻¹(1/2))=cos(π/3)=1/2，因此cosx=cos(π/2-π/3)=sin(π/3)=√3/2.3.函数y=arcsin(x+1)的定义域是[-1,√2]。

4.函数y=2cos2x+2的最小正周期为π/2.5.函数y=3cos2x+1的最小正周期为π。

6.函数f(x)=cos(πx/3)的最小正周期为6.7.根据三角形余弦定理，sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC，代入A=π/2-B-C得到cosBcosC≤1/4，因此B+C≥π/3.又因为B+C≤π-A=2π/3，所以A∈[π/3,2π/3]。

8.根据三角函数的基本关系sin(π/2+α)=cosα，代入sin(π/2+α)=1得到cosα=0，因此α=π/2.再根据三角函数的基本关系cos2α=2cos²α-1得到cos2α=-1.9.根据正弦定理，sinC=c/√(a²+b²-2abcosC)，代入a=23，b=√(23²-8²)=21，C=150°得到sinC=8/21.10.根据函数图像的平移公式，将f(x)=sinx向右平移Δ个单位得到g(x)=sin(x-Δ)，其中Δ>0.对于满足|f(x₁)-g(x₂)|=2的任意x₁、x₂，有|sin(x₁)-sin(x₂-Δ)|=2，即|sin(x₁)-cosΔsin(x₂)-sinΔcos(x₂)|=2.根据三角函数的基本关系sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny，可得到|sin(x₁-x₂)cosΔ-s inΔcos(x₂-x₁)|=2.因为|sinθ|≤1和|cosθ|≤1，所以有|sin(x₁-x₂)|≤2，即|x₁-x₂|≤2.因此Δ的最小值为2.11.根据向量的数量积公式AB·AC=|AB||AC|cosA，代入AB=(3cosx,cosx)，AC=(cosx,sinx)，得到cosA=1/2，因此A=π/3.根据正弦公式，△ABC的面积为S=1/2ab·sinC=3/2sinx·cosx。

2020届上海高三数学二模部分汇总(无答案)

崇明区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (2)宝山区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (8)奉贤区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (12)金山区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (21)闵行区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (28)长宁区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (35)浦东新区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题41崇明区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题高三数学2020.05考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，另有答题纸。

2.作答前，在答题纸正面填写姓名，编号等信息。

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位，在试卷上作签一律不得分，4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题。

一.填空题（本大题满分54分）本大愿共有12题，考生应在各题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空填对得4分，7-12题每个空格填对得5分 1. 行列式1234的值等于 .2. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则A B = .3. 已知复数zi =，i 为虚数单位，则z = .4. 已知函数()21xf x =+，其反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= .5. 已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于 .6. 241(2)x x+的展开式中含5x 项的系数是 .（用数字作答）7. 若1sin()23πα+=，则cos2α= . 8. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，3432a a +=，则lim n n S →∞= .9. 将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足12()()2f x g x -=的任意1x ，2x ，12x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是 .10. 已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是 .11. 在ABC 中，(3,cos )AB x x =，(cos ,sin )AC x x =，则ABC 面积的最大值是 .12. 对于函数()f x ，其定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”.若函数()f x 定义域为{1,2,3,4,5,6}D =，值域为{7,8,9}A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是 .二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答来，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

上海市奉贤区2020年高中数学高考二模卷(逐题详解版)

上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1. 若球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm2. 已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是3. 设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =4. 已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5. 已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围为6. 从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是（结果用数值表示）7. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是 8. 已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是10. 集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅，则实数a的取值范围是11. 三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路：甲：112m n m n n m m n m n m n+++=+=++，可用基本不等式求解；乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解；丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当x = 时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值12. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（） A . 1.5小时B . 1.0小时C . 0.9小时D . 0.6小时14. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（）A .B .C .D .15. 设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则()lim f n n n a a a→∞=+（）A. 1B. aC.1aD.1a或a 16. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1，且公比1q ≠，若存在数对(,)k t ，*,N k t ∈，使得k t a b =，称这样的数对(,)k t 为{}n a 与{}n b 相关数对，则这样的数对(,)k t 最多有（）对 A. 2 B. 3C. 4D. 5三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.18. 已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，Z k ∈），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.19. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元. （1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*N n ∈. （1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为k a （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n-的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*N n ∈，且110a b ==，是否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷答案解析版一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.球的表面积为216cm π，则球的体积为___________.【答案】323π【解析】【详解】2343242,6331R R V R ππππ=∴===2.已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是________【答案】2 【解析】【分析】化为直角坐标方程可得其圆心和半径【详解】解：由62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩得，222(6)2x y -+=，所以此圆的圆心为(6,0)，半径为2 故答案为：2【点睛】此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题3.设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =________ 【答案】180±【解析】【分析】直接代入化简求解【详解】解：由2021i z b =+和22029z z ⋅=得2(2021)(2021)2029bi bi +-=， 22220212029b +=所以22220292021(20292021)(20292021)b =-=+-，232400b =，解得180b =±，故答案为：180±【点睛】此题考查的是复数的运算，属于基础题4.已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为________【答案】【解析】【分析】若设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==，结合椭圆的定义和直角三角形可得，2220242m n a m n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，从而可求出0x ，然后将0x 的值代入椭圆方程中可求出0y 【详解】解：曲线22:1412x y Γ+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中2212,4a b ==，则28c =，得4,a b c ===0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==，因为12F PF ∠是直角，所以2220242m n am n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得0x =0x 2021412y +=，解得0y =（负根舍去）所以点的坐标为，故答案为：【点睛】此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题5.已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值是_____．【答案】2 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则OA OM⋅=-x+y，设z＝﹣x+y，则y＝x+z，平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大，由22yx y=⎧⎨+=⎩得2xy=⎧⎨=⎩，得A（0，2），此时z＝﹣0+2＝2，故⋅OA OM的最大值是2，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.6.从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）【答案】4 5【解析】【分析】从4男2女六名志愿者中任选三名，其中既有男志愿者又有女志愿者，所以分两种情况：（1）1男2女；（2）2男1女求解【详解】解：从4男2女六名志愿者中任选三名共有3620C =种方法，而所选的3名中既有男志愿者又有女志愿者，分两种情况：第一种1男2女，有21244C C =种；第二种2男1女，有122412C C =种，所以所求的概率为2112242436164205C C C C P C +=== 故答案为：45【点睛】此题考查的是古典概率的求法，属于基础题7.ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______．【答案】0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 变为222bc b c a ≤+-，然后用余弦定理推论可求2221cos 22b c a A bc +-=≥，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A 的取值范围．【详解】因为sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，所以222a b c bc +-≤，即 222bc b c a ≤+-．所以2221cos 22b c a A bc +-=≥ ，因为A 0π∈（，），所以A 0]3π∈（，．【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin ,sin 22a bA B R R==，将角化为边．8.已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或5 【解析】【分析】由3a 、13a 、63a 成等比数列，列方程找出1,a d ，从而可求出公比【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因3a 、13a 、63a 成等比数列，所以213363a a a =⋅，即2111(12)(2)(62)a d a d a d +=++，化简得，212d a d =0d =或12d a =当0d =时，等差数列的每一项都相等，所以3a 、13a 、63a 成等比数列时的公比为1当12d a =时，311131125,1225a a d a a a d a =+==+=，所以1335a a =，所以等比数列的公比为1或5 故答案为：1或5【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．【答案】2π【解析】【详解】试题分析：分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2DA =，则()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2A M A M =--， ()()()()1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos ,0A M DN N DN AM DN A M DNA M DN--⋅=∴〈〉===1AM DN ⊥，即异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是2π考点：异面直线所成的角10.集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若AB =∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】(,1)[4,)-∞-+∞【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再由AB =∅列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：由22024x x -≤-得，(22)(24)0x x --≤且(24)0x -≠，解得12x ≤<，所以集合{}12A x x =≤<，由||2x a -≤得，22a x a -≤≤+，所以集合{}22B x a x a =-≤≤+，因为AB =∅，所以21a +<或22a -≥，解得1a <-或4a ≥ 故答案为：(,1)[4,)-∞-+∞【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题 11.三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路：甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解；乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解；丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当x =________时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值【解析】【分析】由22(100)100x x +-=得，221001100100x x -+=，然后利用丙的思路求解即可【详解】解：因为22(100)100x x +-=，010x <<，0a >所以221001100100x x -+=所以222221100100100100a x x y x x ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 2222221(100)100100100(100)a x a x x x +-=++-21100a +≥+212100100a a+=+当且仅当22222(100)100100(100)x a x x x -=-时，取等号即当x =221100a a ++【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题12.在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =________【答案】1-+，12-，16-【解析】【分析】由点(,1)A m -在抛物线22y px =上，所以将点A 坐标代入抛物线方程中，可得到m 与p 的关系，由22y px =可得点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，所以2p AF m =+，而2AB m =-，由2||||6AB AF +=列方程可求出m 的值【详解】解：因为点A 在抛物线22y px =上，所以12pm =，得12p m=，因为抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-所以124p AF m m m=+=+，因为(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，所以2AB m =-，因为2||||6AB AF +=，所以12(2)64m m m-++=，所以12204m m m+=+≥，所以1224m m m +=+或1224m m m+=--化简得24810m m +-=或212810m m ++=，解得25m -±=或12m =-或16m =-，因为12m -≤<，所以252m -+=，12m =-，16m =-，故答案：512-+，12-，16-【点睛】此题考查抛物线的性质，属于中档题二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A .1.5小时 B. 1.0小时 C. 0.9小时 D. 0.6小时【答案】C 【解析】【分析】直接利用加权平均数公式求解【详解】解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为1(50200.510 1.010 1.55 2.0)0.950⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故选：C【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题14.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.15.设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*n ∈N ，则()lim f n n n a a a→∞=+（）A. 1B. aC.1aD.1a或a 【答案】C 【解析】【分析】由已知可得10na ->，得01a <<，所以lim 0n n a →∞=，从而可求出()lim f n n n a a a→∞+的值【详解】解：因为()log (1)xa f x a =-，所以log (1)()1lim lim lim na a f n nn n nn n n a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-==+++，因为10n a ->，所以01a <<，所以lim 0nn a →∞=，所以log (1)()11lim lim lim na a f n n n n n n n n a a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-===+++，故选：C【点睛】此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）16.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.【答案】（1）1；（2）30. 【解析】【分析】（1）由1BE B C ⊥，可得BCE ∆∽11CC B ∆，从而得111CC BC CE C B =，再将已知的数据代入可得EC 的长；（2）如图建立空间直角坐标系，先求出平面BED 的法向量，然后利用向量的夹角公式求出1A B 与平面BED 所成的线面角【详解】解：因为1BE B C ⊥，所以190EBC BCB ∠+∠=，因为11190C CB BCB ∠+∠=︒，所以11EBC C CB ∠=∠，因为1190BCE CC B ∠=∠=︒，所以BCE ∆∽11CC B ∆，所以111CC BC CE C B =又因为1112,4BC B C CC ===，所以242CE = 解得1CE =（2）如图，以D 为坐标原点，分别以射线1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,0),(2,2,0),(0,2,1),(2,0,4)D B E A所以1(2,2,0),(0,2,1),(0,2,4)DB DE BA ===-，设平面BED 的法向量为(,,)m x y z =，则0m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则1,2x z =-=-所以(1,1,2)m =--，设1A B 与平面BED 所成的角为θ，则111sin cos ,66m BA m BA m BA θ⋅=<===所以30arcsin6θ= 所以1A B 与平面BED 所成的线面角为【点睛】此题考查的是几何图形中的计算，利用空间向量求线面角，属于中档题 17.已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，k ∈Z ），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.【答案】（1）()212sin sin xf x xλλ+-=-，26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z ；（2）12λ=时，()f x P ∈，12λ≠时，()f x P ∉ 【解析】【分析】（1）直接将向量33(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-代入()f x =2()a b a bλ+⋅中化简，可求出()f x 的解析式，再解方程()2f x =-即可；（2）由()()2f x f x +-=化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-，所以()f x =22233(cos sin )(sin cos )()222233cos sin sin cos 2222x xx x a b x x a b x x λλλ++-+=⋅- 212sin sin()xx λλ+-=-212sin sin xxλλ+-=-，当1λ=时，22sin ()sin x f x x-=-，由()2f x =-得，1sin 2x =解得26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z 所以方程的解集为26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭（2）当()()2f x f x +-=时，2212sin 12sin()2sin sin()xx xx λλλλ+-+--+=---，化简得， 2212sin 12sin 2sin x x x λλλλ--++++=解得12λ=，所以当12λ=时，()f x P ∈，当12λ≠时，()f x P ∉ 【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.18.甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【答案】（1）1000300()y bv v=+，(]0,100v ∈；（2）当110b ≥时，v =，10,10b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，100v =时最小. 【解析】【分析】(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别表示出来依题意建立起全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的倍数,由题设条件速度不得超过70千米/时,故定义域为(]0,100v ∈; (2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论【详解】解：（1）由题意得，全程运输成本23001000(1000)300()y bv bv v v=+=+，(]0,100v ∈ （2）因为0,0b v >>所以1000300()y bv v =+≥=当且仅当1000bv v =时取等号，即v =① 100≤时，即110b ≥时v =时，y 最小② 100>时，即1010b <<时，y 在(0,100]上单调递减则100v =时，y 最小【点睛】此题考查建立函数关系、不等式的性质、最大值、最小值等知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决问题的能力，属于中档题19.直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果.【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ，因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍，所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b-=，由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点，所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->，化简得22330m k -+>，由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，因为||||QM QN =，所以221111mk km k k +-=--，化简得212k m -=，所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 20.两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*n ∈N .（1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为ka （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n -的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N ，且110a b ==，否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.【答案】（1）不具有；见解析（2）102；见解析（3）见解析，1λ=. 【解析】【分析】（1）2022(1)x +展开式中系数最大项为101110112022C x ，然后再判断20221()x x-展开式中1011x 的系数是否是最大值，即可得结果；（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n nn T n n -=-=+-⋅-，结合11n n nn T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，求得6n =，求得n T 的最大值，由{}n S 与{}n T 具有性质P ，可得6n =时，max ()10800n S =，由n a t dn =-，结合60,70t d t d ->-<求得t 的范围，再由n a t dn =-是等差数列，可得6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，然后联立*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解出数列{}t dn -的个数；（3）由11()n n n n a a b b λ++-=-进行迭代，可得n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，从而可1λ=【详解】解：（1）2022(1)x +展开式的通项为12022r r r T C x +=，则数列{}n c 的通项为-12022n n c C =故数列{}n c 中的最大值为101110122022c C =20221()x x -展开式的通项为'2022202221202220221(1)rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，而当202221011r -=时，得10112r N =∉，所以{}n c 与{}n d 不具有性质P（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，即113333198231982(1)322223333198231982(1)32222n n n n n n n n -+⎧+-⋅≥-+-⋅⎪⎪⎨⎪+-⋅≥++-⋅⎪⎩，解得131********n n +⎧≤⎨≥⎩，因为*2,n n N ≥∈，673729,32187== 所以当6n =时，6max 33()19826+31080022n T =⨯-⋅=, 因为 {}n S 与{}n T 具有性质P ，所以6n =时，max ()10800n S =，因为n a t dn =-，所以60,70t d t d ->-<，因n a t dn =-，所以6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，由*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解得360636134313,,,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⋅⋅⋅⎨⎨⎨===⎩⎩⎩共有102个数列；（3）因为11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N 当2n ≥，*n ∈N 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+112211()()()n n n n b b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+所以n n a b λ=当1n =时，110a b ==符合上式所以n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大项，设00max max (),()n n n n a a b b ==，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，1λ=显然成立，假设1λ>，则显然00max max (),()n n n n a a b b ==，000n n n a b b λ=>矛盾同理，1λ<也矛盾，所以1λ=【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.。

上海市宝山区2020年高考二模数学试卷 (解析版)

2020年上海市宝山区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）1．已知复数z满足z（1+i2020）＝2﹣4i（其中，i为虚数单位），则z＝．2．函数y＝arcsin（x+1）的定义域是．3．计算行列式的值，．4．已知双曲线的实轴与虚轴长度相等，则的渐近线方程是．5．已知无穷数，则数列{a n}的各项和为．6．一个圆锥的表面积为π，母线长为，则其底面半径为．7．某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r＝（精确到1%）．8．已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为．9．某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是．10．已知方程x2+tx+1＝0（t∈R）的两个虚根是x1，x2，若，则t＝．11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．12．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．抛物线y＝4x2的准线方程是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y D．y14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．15．用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n，n∈N*成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2都有，则函数（）A．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减B．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增C．是奇函数，且单调递减D．是奇函数，且单调递增三.解答题（本大题共5题，共76分）17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．18．已知函数f（x），它们的最小正周期为π．（1）若y＝f（x）是奇函数，求f（x）和g（x）在[0，π]上的公共递减区间D；（2）若h（x）＝f（x）+g（x）的一个零点为x，求h（x）的最大值．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）20．已知直线l：y＝kx+m和椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l的方程．（2）点在Γ上，若m＝0，求△ABC面积的最大值；（3）如果原点O到直线l的距离是，证明：△AOB为直角三角形．21．定义：{a n}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有a n+k＞a n（a n+k＜a n）则称{a n}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{a n}的间隔数．（1）若，{a n}是不是近似递增数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}的通项公式为，其前n项的和为S n，若2是近似递增数列{S n}的间隔数，求a的取值范围；（3）已知，证明{a n}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知复数z满足z（1+i2020）＝2﹣4i（其中，i为虚数单位），则z＝1﹣2i．【分析】由i得乘方运算得：i2020＝1，进而直接求出z．解：∵i2020＝1，∴1+i2020＝2，则由z（1+i2020）＝2﹣4i得2z＝2﹣4i，即z＝1﹣2i，故答案是1﹣2i．2．函数y＝arcsin（x+1）的定义域是[﹣2，0]．【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足﹣1≤x+1≤1，解出x的范围即可．解：要使y＝arcsin（x+1）有意义，则﹣1≤x+1≤1，解得﹣2≤x≤0，∴该函数的定义域为[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．3．计算行列式的值，﹣2．【分析】根据，计算即可．解：0×3﹣1×2＝﹣2．故答案为：﹣2．4．已知双曲线的实轴与虚轴长度相等，则的渐近线方程是y＝±x．【分析】利用已知条件求出a＝b，然后求解渐近线方程即可．解：双曲线的实轴与虚轴长度相等，可得a＝b，则的渐近线方程是：y＝±x．故答案为：y＝±x．5．已知无穷数，则数列{a n}的各项和为．【分析】求出a1和d，由此可求出无穷等比数列各项的和．解：a n＝2×（）n，首项为，公比为，∴数列{a n}的各项和为S，故答案为：．6．一个圆锥的表面积为π，母线长为，则其底面半径为．【分析】利用圆锥的表面积计算公式即可得出．解：如图所示，设底面半径为r，则πr2+πrπ，解得r，故答案为：．7．某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r＝25%（精确到1%）．【分析】由题意知，p0＝2.58，p＝14.86，n＝7，代入，求解得答案．解：由题意知，p0＝2.58，p＝14.86，n＝7，代入，得14.86＝2.58•e7r，∴ 5.76，则7r＝ln5.76，得r0.25．则增长率r＝25%．故答案为：25%．8．已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为．【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．解：已知的展开式的通项公式为T r+1••x n﹣2r，令n﹣2r＝0，求得n＝2r．∵常数项为第6项，故有r＝5，n＝2r＝10，则常数项为•，故答案为：．9．某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是．【分析】基本事件总数n10，选出的2位医生中至少有1位女医生包含的基本事件个数m C7，由此能求出选出的2位医生中至少有1位女医生的概率．解：某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，基本事件总数n10，选出的2位医生中至少有1位女医生包含的基本事件个数m C7，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是p．故答案为：．10．已知方程x2+tx+1＝0（t∈R）的两个虚根是x1，x2，若，则t＝±2．【分析】根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，并且满足韦达定理，可直接表示出，解方程求出t的值．解：由已知，设两个虚根为x1，x2，则x1+x2＝﹣t，x1x2＝1，∴，解得．经检验，t符合题意．故答案为：．11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2]．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x＝1，y＝1时，1×1+1×1＝0当x＝1，y＝2时，1×1+1×2＝1当x＝0，y＝2时，1×0+1×2＝2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．12．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为﹣4．【分析】根据条件可设，根据即可得出，然后根据即可得出（n﹣q）2＝12，从而可求出nq≥﹣3，这样即可求出的最小值．解：∵，∴设，∴，∴，∴，且，∴4+（n﹣q）2＝16，∴（n﹣q）2＝12，∴（n+q）2＝（n﹣q）2+4nq＝12+4nq≥0，解得nq≥﹣3，∴，∴的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．抛物线y＝4x2的准线方程是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y D．y【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．解：由题意，抛物线的标准方程为x2y，∴p，开口朝上，∴准线方程为y；故选：D．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出θ的值，利用正切函数的性质进行转化求解即可．解：f（x）＝sin x+a cos x（sin x•cos x•），设cosθ，sinθ，则tanθ＝a，即f（x）sin（x+θ），∵f（x）的图象关于直线对称，∴θ＝kπ，k∈Z，则θ＝kπ，k∈Z，∵a＝tanθ＝tan（kπ）＝tan1，故选：A．15．用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n，n∈N*成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的归纳的基础，没有它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对n∈N*“时的命题成立．反之成立．解：用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n，n∈N*成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的归纳的基础，没有它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对n∈N*“时的命题成立．由“对n∈N*“时，命题成立”，显然包括n＝1成立．∴“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的必要不充分条件．故选：B．16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2都有，则函数（）A．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减B．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增C．是奇函数，且单调递减D．是奇函数，且单调递增【分析】根据题意即可得出在（0，+∞）上单调递减，并可得出g（x）是偶函数，从而得出正确的选项．解：∵对任意两个不相等的正数x1，x2都有，∴函数在（0，+∞）上单调递减，又f（x）是R上的奇函数，∴，∴g（﹣x）＝g（x），∴g（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减．故选：A．三.解答题（本大题共5题，共76分）17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．【分析】（1）由已知求出三棱柱的底面积，结合体积列式求高；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面C1B1D的法向量与平面A1B1C1的法向量，再由两法向量所成角的余弦值求解二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．解：（1）由∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，得BC，∴．由三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，得，解得CC1＝6．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（，，0），B1（0，，2），C1（0，0，2）．，．设平面C 1B1D的法向量为，由，取z＝1，得．平面A 1B1C1的法向量．记二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为θ，则cosθ．∴二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为arccos．18．已知函数f（x），它们的最小正周期为π．（1）若y＝f（x）是奇函数，求f（x）和g（x）在[0，π]上的公共递减区间D；（2）若h（x）＝f（x）+g（x）的一个零点为x，求h（x）的最大值．【分析】（1）依题意，可得ω＝2，φ＝0，进而得出函数f（x）及函数g（x）的解析式，由此分别求出它们在[0，π]上的单调递减区间，再取交集即可；（2），把点代入化简可得，结合题意可得，进而求得h（x）的最大值．解：（1）由，得ω＝2，又y＝f（x）是奇函数，故φ＝0，在[0，π]上，的递减区间是，的递减区间是，∴；（2），把点代入得，即，∴，得，∴，∴．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）【分析】（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个，取出S12，加上13得答案；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，由题意列式求得q，然后求解第二项与第三项得答案．解：（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个．则计划2020年新建基站数为．故2020年全国共有基站13+49.2＝62.2万个；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为q（q＞0）．由60+60q+60q2＝800﹣13，得．解得：q≈3（q＞0）．∴2021年至少建60×3＝180万个，2022年至少建60×9＝540万个才能完成计划．20．已知直线l：y＝kx+m和椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l的方程．（2）点在Γ上，若m＝0，求△ABC面积的最大值；（3）如果原点O到直线l的距离是，证明：△AOB为直角三角形．【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左焦点和上顶点的坐标，由截距式方程可得所求直线方程；（2）可得直线y＝kx，联立椭圆方程可得A，B的长，由点到直线的距离公式可得C到AB的距离，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；（3）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，结合向量垂直的条件：数量积为0，计算可得证明．解：（1）椭圆的a＝2，b＝c，可得椭圆Γ的左焦点（，0）和上顶点（0，），则直线l的方程为1，即为y＝x；（2）由m＝0可得直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程x2+2y2＝4，可得x2，y2，则|AB|＝2，C到AB的距离为d，则△ABC面积为••22，显然k＜0时，上式取得最大值，由1，当且仅当k时，上式取得最大值1，则三角形ABC的面积的最大值为2；（3）证明：联立可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，由A（x1，y1），B（x2，y2）可得x1+x2，x1x2，由原点O到直线l的距离是，可得，即为3m2＝4+4k2，则•x 1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）•km•（）+m2（2k2m2+2m2﹣4﹣4k2﹣4k2m2+m2+2k2m2）（3m2﹣4﹣4k2）＝0，可得⊥，则△AOB为直角三角形．21．定义：{a n}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈一、选择题*，均有a n+k＞a n（a n+k ＜a n）则称{a n}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{a n}的间隔数．（1）若，{a n}是不是近似递增数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}的通项公式为，其前n项的和为S n，若2是近似递增数列{S n}的间隔数，求a的取值范围；（3）已知，证明{a n}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列．（2）利用数列的和，进一步确定a的范围．（3）利用由a n+k＜a n得：，即k＞2[sin（n+k）﹣sin n]，进一步利用赋值法的应用求出结果．解：（1）数列{a n}是近似递增数列，由于[n+（﹣1）n]＝3﹣2（﹣1）n＞0，或，即a n+3＞a n，或a n+2＞a n．所以：数列{a n}是近似递增数列，（2）由题意得：，或，即恒成立．令，则，即a的取值范围是（）．（3）由a n+k＜a n得：，即k＞2[sin（n+k）﹣sin n]①，由于n和k为正整数，所以sin n和sin（n+k）均取不到±1．所以k＝4时，上式恒成立，即数列{a n}是近似递减数列，4是它的间隔数．当k＝3时，当n＝5时，2[sin（5+3）﹣sin5]≈3.9＞3，故不等式①成立．当k＝2时，当n＝5时，2[sin（5+2）﹣sin5]≈3.23＞32故不等式①不成立．当k＝1时，当n＝5时，2[sin（5+1）﹣sin5]≈1.36＞1，故不等式①不成立．所以4是它的最小间隔数．。

上海市2024年高考二模分类汇编：三角函数

三角函数汇编一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D ππ=-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=.12．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =- ，()3,4b = ，则,a b <>=．13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin23cos2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π218．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．19．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．20．（2024·上海崇明·二模）已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB = ，则AB AC ⋅的最小值是．21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；25．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，2AB AC ⋅=，求ABC 的面积．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 30b A a =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin3sin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t 最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:0031．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.33．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP的最大值为.34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线22:16y x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅=.37．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠= .若12AB AA ==，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段,PA PM 的长度和的最小值为.38．（2024·上海黄浦·二模）在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =.39．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中300BC m =，800CD m =，B 在A 的北偏东30︒方向，C 在A 的正北方向，D 在A 的北偏西80︒方向，且90B Ð=°．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B C D --，则最短距离为m ．(结果精确到1m)40．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，若122π3F MF ∠=，213OM =，则双曲线的离心率为.41．（2024·上海普陀·二模）设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，它的最小正周期为π.(1)若函数π12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，求ϕ的值；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，π6A =，324B f c ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求b 的值.42．（2024·上海杨浦·二模）已知()sin (0)f x x ωω=>.(1)若()y f x =的最小正周期为2π，判断函数)()()π(2F x f x f x =++的奇偶性，并说明理由；(2)已知2ω=，ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若π()03f A +=，2a =，3b =，求c 的值.参考答案一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--【答案】A【分析】根据函数图象和()(),f x g x 的奇偶性判断.【详解】易知()21f x x =+是偶函数，()4sin g x x =是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，A.()()()24sin 1g x xy h x f x x ==+=，定义域为R ，又()()()()224si 11n 4sin x xh x h x x x =+--+-=-=-，所以()h x 是奇函数，符合题意，故正确；B.()()24n 1si f x y g x x x+==，π,Z x k k ≠∈，不符合图象，故错误；C.()()()2214sin 14si1n y h x f x g x x x x x ++==+-=-=+，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误；D.()()()2214sin 14si 1n y h x f x g x x xx x +-==--=-=-，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误，故选：A3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D =-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题代入点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭可得2sin sin 2π+面积为正方形面积的一半，即集合故选：A.【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围第一步：得到等式对应的曲线；第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域.4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题【答案】C【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数验证两个命题.【详解】函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>当()sin f x x =时，12πT =，()sin πg x x =时，22T =，满足条件，但函数()()sin sin πy f x g x x x =+=+就不是周期函数，命题甲正确；当()cos 2cos3f x x x =+时，12πT =，()cos 2g x x =-时，2πT =，满足条件，函数()()cos3y f x g x x =+=，32π3T =，有31T T <，命题乙错误.故选：C5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为1322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.【答案】3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，可得π3xOA ∠=，6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．【答案】6【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)【答案】12122k k k k -【分析】根据正弦函数的图象与性质写出,,,A B C M 的坐标，求出12,,k k k ，然后确定它们的关系．【详解】由题意2π,Z C wx k k ϕ+=∈，2πC k x w ϕ-=，则2ππ,Z A wx k k ϕ+=+∈，2ππA k x wϕ+-=，(0,sin )B ϕ，由π2ϕ<得π02ϕ<<，则2(2π)(,sin )k M wϕϕ--，1sin 2ππw k k ϕϕ=-+，2sin 2πw k k ϕϕ=-，sin 2ππAB w k k ϕϕ=--，所以21211AB k k k -=，又212k k ≠，所以12122AB k k k k k =-，故答案为：12122k k k k -．8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.【答案】2π42+【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有214DF CE x ==-，因此步道长221()2π14π4f x x x x x =-+=-+，102x <<，求导得24()π14x f x x '=-+-，由()0f x '=，得2π2π4x =+，29．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.【答案】45/0.8【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .故答案为：π22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ=，(cos ,3sin )b θθ=，其中R θ∈，则a b ⋅=.【答案】3【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：312．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =-，()3,4b = ，则,a b <>=．【答案】2arccos10【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.【详解】由向量的夹角公式得342cos ,1025a b a b a b⋅-+<>===⨯ ，又因为[],0,πa b <>∈ ，所以2,arccos 10a b <>= .故答案为：2arccos10.13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.【答案】(1)()0,π(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求得()f x 的导数，判断()f x 的单调性，可得所求值域；（2）讨论n 为奇数，或偶数时，()f x 的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；（3）由（2）可知函数()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，再由零点存在定理、以②因为()()112222133ππ3π22tan π1π2πn n n n n n n x x x x x x x n n n +++--+=<<=<+⋅由（1）可知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan x x<故()()()11ππtan πn n n n x x x x n ++-+<-+<，所以1ππn n x x n+-<+；由①②可知()11ππn n n x x n++<-<.【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，利用正切函数的性质和不等式的性质求解.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2ω=，π6ϕ=(2)[1,3]a ∈-【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得ω，再利用三角函数的值域与周期性求得ϕ，从而得解；（2）根据题意，利用换元法将问题转化为220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.【详解】（1）因为函数()y f x =的最小正周期2ππω=，所以2ω=，则当π6x =时，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π(Z)32k k ϕ+=+∈，得π2π(Z)6k k ϕ=+∈，因为0πϕ<<，所以取0k =得π6ϕ=，（2）解法一：当1ω=，π6ϕ=时，()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，设()πsin [1,1]6t f x x ⎛⎫==+∈- ⎪⎝⎭，由题意得，220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，化简得22a t t =-，又()22()211g t t t t =-=--在[1,1]t ∈-上单调递减，15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．所以当()1πZ a k k =∈时，{}n a 是周期为1的周期数列，②当()1πZ a k k ≠∈时，记()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当()()1121πZ x k k =+∈时等号成立，即()1cos 0f x x =+>'，所以()f x 在R 上严格增，若12a a <，则12()()f a f a <，即23a a <，进而可得1234a a a a <<<< ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a >，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k =∈Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k ≠∈Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）必要性：若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列，充分性：若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x =，则10()a f x x==211()sin a f x b x ==+，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ==+，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x -=，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x +-=+，令1()sin ()T T g x x b f x -=--，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b f x -+=->，1(2)2sin ()0T T g b f x --=--<，所以()g x 存在零点c ，于是1sin ()0T T c b f c ---=，取1a c =，则111sin ()T T T a b f c c a +-=+==，从而211112sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，322223sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，……一般地，n T n a a +=对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥上的值域为⎡⎤⎣⎦则()3,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，即函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦，故D 正确.故选：D17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π2【答案】A【分析】利用辅助角公式将函数化成()sin y A ωx φ=+的形式，代入周期公式可得结论.【详解】易知()2sin cos 5sin y x x x ϕ=-=+，其中1tan 2ϕ=-，由周期公式可得其最小正周期为2π2πT ω==.故选：A18．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．【答案】4π/45︒【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.19．（2024·上海嘉定·二模）已知()sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪，则函数()y f x =的最小值为．【答案】42【分析】令πsin cos 2sin()4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，20．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB=，则AB AC⋅的最小值是．所以πcos 32sin cos 3AB AC bc A A A⎛⎫⋅==⨯-⨯ ⎪⎝⎭3123cos sin cos 22A A A ⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 3sin cos A A A=-()31cos 23sin 222A A+=-π33sin 232A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ2,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则AB AC ⋅无最值；综上所述，AB AC ⋅ 的最小值是332-故答案为：332-21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．【答案】π【分析】由倍角公式化简方程，解出cos α，得α的值.【详解】已知2cos 23cos 5αα-=，由倍角公式得()()24cos 3cos 74cos 7cos 10αααα--=-+=，由[]0,πα∈，[]cos 1,1α∈-，解得cos 1α=-，则πα=.故答案为：π.22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.【答案】1(arccos ,π)8【分析】设等差数列,,a b c 的公差为m ，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得tan 3tan 2mb =，由正切函数性质可得m 随b 增大而增大，再由c 的临界值点得π2ab =+，代入利用二倍角的余弦求解即得.【详解】设等差数列,,a b c 的公差为m ，,a b m c b m =-=+，依题意，cos cos cos cos a b c a -=-，于是cos()cos cos()cos()b m b b m b m --=+--，整理得22sin sin 2sin sin 22b m mb m ---=-，即sin()sin sin sin 2sin sin cos 2222m m m m b b m b -==，因此sin cos cos sin 2sin cos 222m m mb b b -=，即有tan3tan 2mb =，则m 随b 增大而增大，而0m >当(0,π)a ∈，3(π,π)2b ∈时，c 到达2π时是临界值点，此时π2ab =+，23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；和角公式：()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩．理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；和角公式：()e e ch 2x y x yx y +--++=，()()()()e e e e e e e e ch ch sh sh 2222x x y y x yy x x y x y ----++--+=⋅+⋅e e e e e e e e 44x y x y x y x y x y x y x y x y+--+--+--+--+++--+=+e e 2x y x y+--+=故()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxx x x ----+'===，()e e ch()sh 2x x x x --'==；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，[)0,x ∈+∞，由（1）可知()()ch F x x k '=-，①当1k ≤时，由e e ch()e e 12x xx x x --+=≥⋅=，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()x kx >sh 恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x '=∈+∞，则()()sh 0G x x =>'，可知()G x 是严格增函数，由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F F x <=，即()x kx >sh ，矛盾；（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】(1)补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【详解】（1）由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+011-025．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，AB AC ⋅=，求ABC 的面积．所以函数()f x 的单调增区间是()5πππ,π+,Z 1212k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．（2）（2）由已知π()2sin 213f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02A <<，所以ππ4π2333A <+<，即π5π236A +=，所以π4A =，又cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以2AB AC ⋅=，所以ABC 的面积1122sin 22222S AB AC A =⋅=⨯⨯=．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．【答案】(1)π3或2π3；当π3B =时，πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当2π3B =时，π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2)27【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得cos 21B =±，求出B ，进而求出πsin()6B +即可；（2）由题意可得π3B =，求出C 的范围，根据正弦定理可得2sin ,2sin a A c C ==，利用三角恒等变换化简计算得227sin()a c C ϕ+=+（3tan 5ϕ=），结合ϕ的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由2222cos sin 11cos sin 2B B B B ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得21cos 4B =，则cos 21B =±，又0πB <<，所以π3B =或2π3.当π3B =时，ππsin()sin 162B +==；当2π3B =时，π5π1sin()sin 662B +==.（2）若ABC 为锐角三角形，则π3B =，有π022ππ032C A C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62C <<.由正弦定理，得32sin sin sin 32a c bA C B====，则2sin ,2sin a A c C ==，27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 0b A =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.【答案】(1)π3(2)3(,3]2.【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据ABC 为锐角三角形求出ππ(,)62A ∈，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-，根据正弦函数性质可得结果.【详解】（1）2sin 30b A a -= ，2sin sin 3sin 0A B A ∴-=，又 π0,,sin 02A A ⎛⎫∈∴≠ ⎪⎝⎭，3πsin ,0,22B B ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =.（2）由（1）可知，π3B =，且ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，A ∴ππ(,)62∈，则2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-33sin cos 22A A =+π3sin()6A =+，因为ππ2π363A <+<，sin sin A C ∴+3(,3]2∈.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin 3sin (0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．【答案】(1)π1()sin()62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:00【答案】B【分析】作出示意图形，在四边形ABCD 中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形ABCD 的外接圆直径大小，然后在Rt BDE △中利用锐角三角函数定义，算出DBE ∠的大小，即可得到本题的答案.【详解】如图所示，设两竖直墙面的交线为DE ，点E 被太阳光照射在地面上的影子为点B ，点,A C 分别是点B 在两条墙脚线上的射影，连接AC ，BD ，BE ，由题意可知DBE ∠就是太阳高度角.∵四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=o ，120ADC ∠= ，∴()36060ABC BAD BCD ADC ∠=-∠+∠+∠= ，∴ABC 中，2222212cos60 1.5121.51 1.752AC AB BC AB BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ，可得 1.75 1.32AC =≈，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，BD 是其外接圆直径，31．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.即这个三角形外接圆的直径为161515.故答案为：16151533．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP 的最大值为.【答案】3【分析】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，由向量共线定理得,,P M N 三点共线，从而0AP 表示AMN 的边MN 上的高，利用正弦定理求得AMN 的面积的最大值，从而可得结论．【详解】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，如图，3(1)133(1)3AC AP AB AC AB AM AN λλλλλλ=⋅+-++--== ，所以,,P M N 三点共线，又存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0AP 的长表示A 到直线MN 的距离，即AMN 的边MN 上的高，设0AP h =，由3AC AB =得AC AM =，AB AN =，A ∠公用，因此ABC ANM ≅ ，所以8MN BC ==，AMN 中，设ANM θ∠=，由正弦定理得sin sin sin AM AN MN M Aθ==，MAN ∠记为角A ，所以sin 3sin M θ=，8sin sin AM A θ=，8sin sin M AN A =，所以2132sin sin 96sin sin 2sin sin()ABC AMN M M S S AM AN A A M θθ====+ 2296sin 96sin sin cos cos sin sin cos 3cos sin M M M M M M M θθθ==++96sin cos 3cos M Mθ=+，若θ不是钝角，则222296sin 96sin 1sin 31sin 19sin 99sin ABC MMS M M M θ==-+--+-!，【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出P点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l相交于点O，一根长度为8的直杆AB的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.【答案】(0,63]【分析】令π(0)2OAB x x ∠=<<，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出OAP △的面积函数，再利用导数求出值域即得.【详解】依题意，设π(0)2OAB x x ∠=<<，则2cos 8cos ,cos 8cos OA AB x x AP OA x x ====，因此OAP △的面积31()sin 32sin cos 2f x OA AP x x x =⋅=，π02x <<，求导得42242()32(cos 3sin cos )32cos (13tan )f x x x x x x '=-=-，当π06x <<时，()0f x '>，当ππ62x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)6π上递增，在ππ(,)62上递减，因此3max π31()()32()63622f x f ==⨯⨯=，而π(0)()02f f ==，则0()63f x <≤，所以OAP △面积的取值范围是(0,63].故答案为：(0,63]35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.【答案】1【分析】由正弦定理求解．【详解】由已知π6B ∠=，设三角形外接圆半径为R ，则122πsin sin 6AC R B ===，所以1R =．故答案为：1.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线2:16x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅= .【答案】4。

上海市普陀区2020年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

上海市普陀区2020年⾼考数学⼆模试卷（理科）含答案解析2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、填空题（本⼤题共有14题，满分56分）考⽣应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则⼀律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B=．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．3．若sinα=且α是第⼆象限⾓，则=．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满⾜f（x+2）=﹣f（x），则f在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．7．设P是曲线（θ为参数）上的⼀动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通⽅程为．8．在极坐标系中，O为极点，若A（1，），B（2，），则△AOB的⾯积为．9．袋中装有5只⼤⼩相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最⼤的号码为ξ，则Eξ=．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则⽅程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x=．11．某同学⽤球形模具⾃制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满⼀圆柱形容器（底⾯半径为3cm，⾼为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表⾯积为cm2（损耗忽略不计）．12．如图，三个边长为2的等边三⾓形有⼀条边在同⼀条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=?（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满⾜下⾯两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得=．⼆、选择题（本⼤题共有4题，满分20分）每题有且只有⼀个正确答案，考⽣应在答题纸的相应编号上，将代表答案的⼩⽅格涂⿊，选对得5分，否则⼀律得零分.15．若a、b表⽰两条直线，α表⽰平⾯，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b?α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b16．过抛物线y2=8x的焦点作⼀条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满⾜条件的直线（）A．有且只有⼀条 B．有两条C．有⽆穷多条D．必不存在17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成⽴的条件．（）A．充分⾮必要B．必要⾮充分C．充要 D．既⾮充分⼜⾮必要18．对于正实数α，记Mα是满⾜下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成⽴．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）?g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈三、解答题（本⼤题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底⾯边长为1，C1B与底⾯ABCD所成的⾓的⼤⼩为arctan2，如果平⾯BD1C1与底⾯ABCD所成的⼆⾯⾓是锐⾓，求出此⼆⾯⾓的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值）．20．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐⾓，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．21．某企业参加A项⽬⽣产的⼯⼈为1000⼈，平均每⼈每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项⽬中调出x⼈参与B项⽬的售后服务⼯作，每⼈每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项⽬余下的⼯⼈每年创造利润需要提⾼0.2x%．（1）若要保证A项⽬余下的⼯⼈创造的年总利润不低于原来1000名⼯⼈创造的年总利润，则最多调出多少⼈参加B项⽬从事售后服务⼯作？（2）在（1）的条件下，当从A项⽬调出的⼈数不能超过总⼈数的40%时，才能使得A项⽬中留岗⼯⼈创造的年总利润始终不低于调出的⼯⼈所创造的年总利润，求实数a的取值范围．22．已知椭圆Γ： +=1的中⼼为O，⼀个⽅向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有⼀个公共点M．（1）若k=1且点M在第⼆象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的⼀个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n?a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满⾜：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1，=，求c1+c2+…+c m．2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷（理科）参考答案与试题解析⼀、填空题（本⼤题共有14题，满分56分）考⽣应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则⼀律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：﹣1≤x≤1，即B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={1}，故答案为：{1}．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．【考点】反函数．【分析】由，可得，因此，解出即可．【解答】解：∵，∴有，则，必有x﹣1＞0，∴2（x﹣1）＜1，解得1＜x．故答案为：．3．若sinα=且α是第⼆象限⾓，则=2．【考点】两⾓和与差的正切函数；三⾓函数的化简求值．【分析】由θ是第⼆象限⾓，及sinθ的值，利⽤同⾓三⾓函数间的基本关系求出cosθ的值，进⽽确定出tanθ的值，利⽤⼆倍⾓的正切函数公式化简，求出tan的值，将所求式⼦利⽤两⾓和与差的正切函数公式及特殊⾓的三⾓函数值化简，把tan的值代⼊计算，即可求出值．【解答】解：∵α是第⼆象限⾓，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣，∴tanα==﹣，即3tan2﹣8tan﹣3=0，解得：tan=﹣（不合题意，舍去．因为α是第⼆象限⾓，是第⼀象限或第三象限⾓，tan＞0）或tan=3，则tan（）===．则=2．故答案为：2．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满⾜f（x+2）=﹣f（x），则f是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，⼜因为f（x+2）=﹣f（x），所以有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，根据周期性可得出f=f（0）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f=f（0）=0，故答案为0．5．在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为28．【考点】⼆项式定理的应⽤．【分析】利⽤⼆项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代⼊通项求出展开式的常数项【解答】解：由⼆项式定理得，令（x3）8﹣r?（x﹣1）r=1，即24﹣4r=0，r=6，所以常数项为，故答案为：28．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．．【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的g（x）的解析式，再利⽤正弦函数的单调增区间求得g（x）的单调递增区间．【解答】解：对于函数，当时，函数g（x）单调递增，求得，故答案为：．7．设P是曲线（θ为参数）上的⼀动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通⽅程为8x2﹣4y2=1．【考点】参数⽅程化成普通⽅程．【分析】由sec2θ﹣tan2θ=1，可得曲线的⽅程为2x2﹣y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），运⽤中点坐标公式，代⼊曲线⽅程，化简整理即可得到所求轨迹⽅程．【解答】解：曲线（θ为参数），即有，由sec2θ﹣tan2θ=1，可得曲线的⽅程为2x2﹣y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），可得，代⼊曲线⽅程，可得2x02﹣y02=1，即为2（2x）2﹣（2y）2=1，即为8x2﹣4y2=1．故答案为：8x2﹣4y2=1．8．在极坐标系中，O为极点，若A（1，），B（2，），则△AOB的⾯积为1．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】由=，可得OA⊥OB．即可得出△AOB的⾯积．【解答】解：∵=，∴OA⊥OB．∴S△AOB===1．故答案为：1．9．袋中装有5只⼤⼩相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最⼤的号码为ξ，则Eξ=．【考点】离散型随机变量的期望与⽅差．【分析】由题意得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：由题意得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴Eξ==．故答案为：．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则⽅程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x=4．【考点】⼆次函数的性质；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数的运算性质，可得（x+1）（x﹣3）=5，解得答案．【解答】解：因为f（x）=log5x，所以f（x+1）+f（x﹣3）=log5x+1+log5x﹣3=log5（x+1）（x﹣3）=1，即（x+1）（x﹣3）=5，所以x=4或x=﹣2（舍去），故答案为：4．11．某同学⽤球形模具⾃制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满⼀圆柱形容器（底⾯半径为3cm，⾼为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表⾯积为9πcm2（损耗忽略不计）．【考点】组合⼏何体的⾯积、体积问题．【分析】根据糖浆的体积不变性求出每个棒棒糖的半径，从⽽求出棒棒糖的⾯积．【解答】解：圆柱形容器的体积为，设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为，解得，∴，故答案为：9π．12．如图，三个边长为2的等边三⾓形有⼀条边在同⼀条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=?（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为180．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建⽴直⾓坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的⽅程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，运⽤向量的数量积的坐标表⽰，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建⽴直⾓坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B3C3的⽅程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=?=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与⽅程根的关系．【分析】由函数解析式知，当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，易求x＜1，f（x）=21﹣x+a，依题意，得⽅程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同⼀坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象，数形结合即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0时，f（x）=f（x﹣1）∴当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，设x＜1，则x﹣1＜0，f（x）=f（x﹣1）=21﹣x+a；即x＜1，f（x）=21﹣x﹣a，∵f（x）=x有且仅有两个实数根，∴⽅程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同⼀坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象如右图：∴f（x）=x有且仅有两个实数根，只要直线y=x﹣a介于图中蓝⾊直线下⽅即可．依f（x）=21﹣x可求出A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，2），∵A，B两点均为虚点，∴﹣2＜a．故答案为：（﹣2，+∞）．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满⾜下⾯两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得=10．【考点】进⾏简单的合情推理．【分析】由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有个，若选{2，4，6}页满⾜条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满⾜条件，故=4+1+5=10，⼆、选择题（本⼤题共有4题，满分20分）每题有且只有⼀个正确答案，考⽣应在答题纸的相应编号上，将代表答案的⼩⽅格涂⿊，选对得5分，否则⼀律得零分.15．若a、b表⽰两条直线，α表⽰平⾯，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b?α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【考点】空间中直线与平⾯之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进⾏判断，即可得出结论．【解答】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平⾯α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线⾯垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平⾏，故该命题是假命题，故选：C．16．过抛物线y2=8x的焦点作⼀条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满⾜条件的直线（）A．有且只有⼀条 B．有两条C．有⽆穷多条D．必不存在【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出AB的⽅程，联⽴⽅程组消元，根据根与系数的关系列⽅程判断解得个数．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），若l⽆斜率，则l⽅程为x=2，显然不符合题意．若l有斜率，设直线l的⽅程为：y=k（x﹣2），联⽴⽅程组，消元得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．故选B．17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成⽴的条件．（）A．充分⾮必要B．必要⾮充分C．充要 D．既⾮充分⼜⾮必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|，充分性不成⽴；反之成⽴．【解答】解：设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|=，故充分性不成⽴；由，则x2+y2≤1，所以|x|≤1，|y|＜1，即必要性成⽴．故答案为：B．18．对于正实数α，记Mα是满⾜下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成⽴．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）?g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由题意知，从⽽求得．【解答】解：对于﹣α1（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α1（x2﹣x1），即有，令，则﹣α＜k＜α，若，即有﹣α1＜k f＜α1，﹣α2＜k g＜α2，所以﹣α1﹣α2＜k f+k g＜α1+α2，则有，故选C．三、解答题（本⼤题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底⾯边长为1，C1B与底⾯ABCD所成的⾓的⼤⼩为arctan2，如果平⾯BD1C1与底⾯ABCD所成的⼆⾯⾓是锐⾓，求出此⼆⾯⾓的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值）．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法．【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出平⾯BD1C1与底⾯ABCD所成的⼆⾯⾓的⼤⼩．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底⾯ABCD，∴BC是BC1在平⾯ABCD上的射影，∴∠C1BC是直线C1B与底⾯ABCD所成的⾓，∵C1B与底⾯ABCD所成的⾓的⼤⼩为arctan2，∴∠C1BC=arctan2，在Rt△C1BC中，C1C=BC?tan∠B1BC=2，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，如图，∵D1D⊥平⾯ABCD，∴==（0，0，2）是平⾯ABCD的⼀个法向量，B（1，1，0），D1（0，0，1），C1（0，1，2），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣1，0，2），设=（x，y，z）是平⾯BD1C1的⼀个法向量，∴，取z=1，得=（2，0，1），设平⾯BD1C1与底⾯ABCD所成的⼆⾯⾓为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．20．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐⾓，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【考点】三⾓函数中的恒等变换应⽤；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利⽤三⾓函数中的恒等变换应⽤可求得f（x）=sin（2x+）+，利⽤x ∈[0，]，可求得2x+∈[，]，从⽽可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+）=0，A为锐⾓，可知A=，b=2，c=3，利⽤余弦定理可求得a=，继⽽可求得sinB及cosB的值，利⽤两⾓差的余弦可得cos（A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）===…．∵，∴，．∴．…．（Ⅱ）由，得sin（2A+）=0，⼜A为锐⾓，故A=，⼜b=2，c=3，∴a2=4+9﹣2×2×3×cos=7，解得a=．…．由，得，⼜b＜a，从⽽B＜A，cosB=．∴…21．某企业参加A项⽬⽣产的⼯⼈为1000⼈，平均每⼈每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项⽬中调出x⼈参与B项⽬的售后服务⼯作，每⼈每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项⽬余下的⼯⼈每年创造利润需要提⾼0.2x%．（1）若要保证A项⽬余下的⼯⼈创造的年总利润不低于原来1000名⼯⼈创造的年总利润，则最多调出多少⼈参加B项⽬从事售后服务⼯作？（2）在（1）的条件下，当从A项⽬调出的⼈数不能超过总⼈数的40%时，才能使得A项⽬中留岗⼯⼈创造的年总利润始终不低于调出的⼯⼈所创造的年总利润，求实数a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应⽤．【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1+0.2x%）≥10×1000，求解即可；（2）求出x的范围，得出不等式10（a﹣）x≤10（1+0.2x%），整理可得a≤++1恒成⽴，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x=400时，函数取得最⼩值．【解答】解：设调出x⼈参加B项⽬从事售后服务⼯作（1）由题意得：10（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，⼜x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员⼯从事第三产业．（2）由题知，0＜x≤400，从事第三产业的员⼯创造的年总利润为10（a﹣）x万元，从事原来产业的员⼯的年总利润为10（1+x）万元，则10（a﹣）x≤10（1+0.2x%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成⽴，因为0＜x≤400，∴++1≥++1=5.1，所以a≤5.1，⼜a＞0，所以0＜a≤5.1，即a的取值范围为（0，5.1]．22．已知椭圆Γ： +=1的中⼼为O，⼀个⽅向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有⼀个公共点M．（1）若k=1且点M在第⼆象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的⼀个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设直线l的⽅程为y=kx+t，代⼊椭圆⽅程4x2+5y2=20，可得x的⽅程，运⽤直线和椭圆只有⼀个公共点M，可得△=0，化简整理，解⽅程可得M的坐标；（2）设直线l1：x+ky=0，运⽤（1）求得M到直线l1的距离公式，再由基本不等式可得最⼤值，即可得证；（3）直线ON的⽅程为y=kx，代⼊椭圆⽅程4x2+5y2=20，可得交点N，求得|ON|，同样将直线OP：x+ky=0代⼊椭圆⽅程求得P的坐标，可得|OP|，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）设直线l的⽅程为y=kx+t，代⼊椭圆⽅程4x2+5y2=20，可得（4+5k2）x2+10ktx+5t2﹣20=0，直线l与Γ只有⼀个公共点M，可得△=0，即有100k2t2﹣4（4+5k2）（5t2﹣20）=0，化简可得t2=4+5k2，由k=1可得t=±3，由点M在第⼆象限，可得M（﹣，），即为（﹣，）；（2）证明：设直线l1：x+ky=0，由（1）可得M（﹣，），t2=4+5k2，则点M到直线l1的距离d===≤==﹣2，当且仅当5k2=时，取得等号；（3）由题意可得直线ON的⽅程为y=kx，代⼊椭圆⽅程4x2+5y2=20，可得（20+16k2）x2=100，即有x2=，y2=，即有|ON|2=，将直线OP的⽅程x+ky=0，代⼊椭圆⽅程可得，y2=，x2=，即有|OP|2=，则|ON|2+|OP|2==9．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n?a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满⾜：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1，=，求c1+c2+…+c m．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）通过S n=a n a n+1，利⽤a n+1=S n+1﹣S n整理得a n+2﹣a n=2，进⽽可知数列{a n}是⾸项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=，进⽽可知b n b n+1=?，进⽽利⽤等⽐数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过=及a n=n分别计算出、、、的表达式，进⽽累乘化简即得结论．【解答】（1）证明：∵S n=a n a n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=a n+1a n+2﹣a n a n+1，整理得：a n+2﹣a n=2，⼜∵a1=1，a2==2，∴数列{a n}的通项公式a n=n，即数列{a n}是⾸项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n==2n﹣2（n+1）=，∴b n b n+1=?=?，∴b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1=（++…+）=??=?（1﹣），⼜∵（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，即?=，解得：k=2；（3）解：∵c1=1，=，a n=n，∴=，∴=，=，=，...，=，∴当n≥2时，c m=??...??c1 =?? (1)=（﹣1）m﹣1?=（﹣1）m﹣1?，显然当m=1时满⾜上式，即c m=（﹣1）m﹣1?，∴c1+c2+…+c m=．2020年8⽉27⽇。

2020届上海市闵行区高三二模数学试题(解析版)

2020届上海市闵行区高三二模数学试题一、单选题1．在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论.【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交.∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2．某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（）A．45 B．46 C．47 D．48【答案】C【解析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k==，在1到20中抽到的是7，则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.3．已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M ．N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（） A ．2- B ．12-C ．1D ．1-【答案】D【解析】设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线方程联立，由1EM MF λ=，2EN NF λ=，分别表示出λ1，λ2，利用根与系数关系即可算得答案.【详解】解：根据条件可得F （1，0），则设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以E （0，﹣k ），联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，则x 1+x 2＝2224k k +，x 1x 2＝1，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=，所以λ1（1﹣x 1）＝x 1，λ2（1﹣x 2）＝x 2，即有λ1＝111x x -，λ2＝221x x -，所以()221212122122112221242212411111k x x x x x x k x x x x x x k kλλ+-+-=+===-+---++-++. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中档题.4．关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（） A ．{}5 B ．{}1-C ．()0,1D ．(){}0,11-【答案】D【解析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D. 【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.二、填空题5．设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤，则A B = __________.【答案】{5,7}【解析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤ {5,7}A B =.故答案为:{5,7}. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.6．已知复数z 满足1i z i ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =__________．【答案】1-【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：由1i z i ⋅=+，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴Im 1z =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.7．若直线10ax by ++=的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为__________．【答案】4π【解析】利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】解：∵直线10ax by ++=的方向向量为()1,1， ∴直线的斜率为1， ∴直线的倾斜角为4π. 故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的倾斜角，是基础题.8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =__________．【答案】6【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，31212,2S S S a =+=，3232222d d ∴⨯+=⨯+⨯+，解得1d =.则5246a =+=. 故答案为：6.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 9．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50π【解析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论. 【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯ ∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯ 故答案为50π 【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.10．81x ⎫⎪⎭二项展开式的常数项为________.【答案】28【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项公式，求出展开式的常数项．【详解】解：81x ⎫⎪⎭展开式的通项为()848318811rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8403r-=，解得2r ，所以常数项为()22038128T C x =-=故答案为：28 【点睛】本题解决二项展开式的特定项问题，常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题．11．若x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，则3x y +的最大值为__________．【答案】5【解析】画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值. 【详解】解：由x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，画出可行域如图所示，11y x y =⎧⎨=+⎩可得A （2，1），则目标函数3z x y =+在点A （2，1）取得最大值，代入得35x y +=，故3x y +的最大值为5. 故答案为：5.【点睛】本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键.12．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为__________．（结果用最简分数表示）【答案】128【解析】先求出基本事件总数3984n C ==，再用列举法求出此数列为等比数列包含的基本事件有4个，由此能求出此数列为等比数列的概率. 【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，基本事件总数3984n C ==，此数列为等比数列包含的基本事件有：（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），共3个， ∴此数列为等比数列的概率为318428P ==. 故答案为：128. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 13．已知直线1:l y x =，斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，…，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、…、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=__________．【答案】1aq- 【解析】先由题设条件得出点123,,B B B 的坐标，根据它们之间的关系求出点n B 的坐标，然后利用数列极限的运算性质求出lim n n x →∞. 【详解】解：∵斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，直线1:l y x =，∴A 1（a ，a ）.∵A 1B 0∥x 轴，∴B 1（a ，aq +a ），A 2（aq +a ，aq +a ）. ∵B 1A 2∥x 轴，∴B 2（aq +a ，aq 2+aq +a ）. 同理可得：A 3（aq 2+aq +a ，aq 2+aq +a ）， B 3（aq 2+aq +a ，aq 3+aq 2+aq +a ），…，B n （aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a ，aq n +aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a ）， ∵x n 为点B n 的横坐标，∴x n ＝aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a .故x n 是首项为a ，公比为q （0＜q ＜1）的等比数列的前n 项的和，由数列极限的运算性质得：lim 1n n ax q→∞=-. 故答案为：1a q-.【点睛】本题主要考查数列在实际问题中的应用及数列极限的求法，属于中档题. 14．已知()2f x +是定义在R 上的偶函数，当12[2,,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()131(12)x f f +-+<的解集为__________．【答案】()1,+∞【解析】根据题意可得出()2f x +在[)0,+∞上单调递减，且()1312(102)x f f +-+<+-，从而根据原不等式即可得出13110x +-->，解出x 的范围即可. 【详解】解：∵12[2,,)x x ∈+∞，且12x x ≠时，()()12120x x f x f x -<-， ∴()f x 在[)2,+∞上单调递减， ∴()2f x +在[)0,+∞上单调递减， ∴由()131(12)x f f +-+<得()1312(102)x f f +-+<+-，∴13110x +-->，解得1x >，∴原不等式的解集为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查了偶函数的定义，偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点，减函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.15．已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅的取值范围为__________．【答案】1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】建系，设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），利用不等式，考虑极限情况求范围. 【详解】解：建系如图，M （1，0），N （1，1），P （0，1），设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），其中a ，p ，q ，r ，s ∈[0，1]，(,)(,)()()(10)(10)112AB AC p a q r a s p a r a qs ⋅=-⋅-=--+≤-⨯-+⨯=，当且仅当10p r q s a ====⎧⎨=⎩或10a q s p r ===⎧⎨==⎩时,等号成立；(,)(,)()()()()0()()AB AC p a q r a s p a r a qs p a r a a p r a ⋅=-⋅-=--+≥--+=---2124p r -⎛⎫≥-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当10a p r a p r qs -=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即12100a p r qs ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩或12010a p r qs ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩时，等号成立.故答案为：1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16．已知函数()sin cos 4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为__________．【答案】1 【解析】讨论0＜x ≤2π时与2π＜x ＜π时函数解析式，令k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：（1）当0＜x ≤2π时，设k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x +cos x sin （x +4π），则t ∈[1]，k ＝t ﹣2（t 2﹣1）＝﹣2t 2+ t +2，t ∈[1]为单调函数，则可知当t ＝1时，即k ＝1时，一解；当t 时，即k 2时，一解；当1＜t ﹣2＜k ＜1时两解；（2）当2π＜x ＜π时，设k ＝sin x ﹣cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x ﹣cos x sin （x ﹣4π），则t ∈（1]，k ＝t +2（t 2﹣1），t ∈（1]也为单调函数，则可知当1＜t 时，即1＜k ＜时两解，当t 时，即k 2+时一解，综上：k ＝1或k ﹣2或k 2+，故所有k 的和为1.故答案为：1. 【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题.三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，1AA =M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =．（1）若3h =111ABM A B C -的体积；（2）若异面直线BM 与11A C 所成的角为60︒，求h 的值．【答案】（1103；（2）2 【解析】（1）多面体111ABM A B C -的体积为111ABC A B C M ABC V V V --=-，由此能求出结果；（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h 的值. 【详解】解：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，123AA =M 是侧棱C 1C 上一点，设MC ＝3h =∴多面体ABM ﹣A 1B 1C 1的体积为：111ABC A B C M ABC V V V --=-＝112AB BC AA ⨯⨯⨯﹣1132AB BC MC ⨯⨯⨯⨯ ＝1112223223232⨯⨯⨯⨯⨯⨯103. （2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），M （2，0，h ），A 1（0，2，3），C 1（2，0，3， BM ＝（2，0，h ），11AC ＝（2，﹣2，0）， ∵异面直线BM 与A 1C 1所成的角为60°，∴cos60°＝1111||||||BM AC BM AC ⋅⋅＝2448h +⋅，由h ＞0，解得h ＝2.【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 18．已知函2()3cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=+>．（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值;（2）当1ω=时，设ABC 的内角A ．B ．C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32Af =，且27a =6b =，求ABC 的面积．【答案】（1）12ω=；（2）3363【解析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f （x 3（2ωx +3π）+32，根据f （x ）的最小正周期为2π，可得ω. （2）当ω＝1时，32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭3（2×23A π+）+32＝3，解得A ，利用余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，解得c ，即可得出△ABC 的面积S . 【详解】解：（1）函数2()3cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=+>.∴f （x ）＝3×1cos 2322x x ωω++3sin （2ωx +3π）+32，当f （x ）的最小正周期为2π时，22πω＝2π，解得ω＝12；（2）当ω＝1时，32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴3sin （2×23A π+）+32＝3，又A 为三角形的内角，解得A ＝3π. 且27,6a b ==，由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴c 2﹣6c +8＝0，解得c ＝2或4. ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝33或63. 【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米()0100x <<，A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为()0.5100x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．（1）求函数()f x 的解析式;（2）若规划仓库使用的年限为*()n n ∈N ，()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义．【答案】（1）当050x <≤，100000()f x x =；当50100x <<，100000()100f x x=-；（2）504005n n +，见解析【解析】（1）由题意，设f （x ）＝12,050,50100100k x xk x x⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩，由f （50）＝2000，求得k 1与k 2的值，则函数解析式可求；（2）求出g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50，然后分段写出H （x ），求导后再对n 分类求解H （x ）的最小值，并解释其实际意义. 【详解】解：（1）由题意，设f （x ）＝12,050,50100100k x xk x x ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩，由f （50）＝2000，求得k 1＝k 2＝100000.∴f （x ）＝100000,050100000,50100100x xx x ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩；（2）g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50，若0＜x ≤50，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）＝100000250nx n x++， H ′（x ）＝222100000nx x -，由H ′（x ）＝0，得x ＝若n ∈N 且n ≤20，则H （x ）在（0，50]上单调递减，H （x ）min ＝H （50）＝2000+150n ；若n ∈N 且n ＞20，则H （x ）在（0，50）单调递增，∴min ()50H x n =+；若50＜x ＜100，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）＝100000250100nx n x++-，H ′（x ）＝21000002(100)n x +-＞0，H （x ）在（50，100）上单调递增，若n ∈N 且n ≤20，则H （x ）＞2000+150n ；若n ∈N 且n ＞20，则H （x ）＞50n+综上，若n ∈N 且n ≤20，则H （x ）min ＝2000+150n ；若n ∈N 且n ＞20，则min ()504005H x n n =+.实际意义：建造储备仓库并使用n 年，花费在建造仓库和两地物资运输总费用的最小值. 【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题.20．在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【解析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°；（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标；（3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得()2121212b kx x x x b -=+，直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论. 【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1），则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-，而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23；（3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），联立2222y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0，由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+，直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++，则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13. 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目. 21．已知数列{}n x ，若对任意*n ∈N ，都有212n n n x x x +++>成立，则称数列{}n x 为“差增数列”．（1）试判断数列2*()n a n n =∈N 是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*n a ∈N ，121a a ==，对于给定的正整数m ，当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{}lg n x 为“差增数列”，*2),00(2n n ≤∈N ，且122020lg lg lg 0x x x +++=，证明:10101011 1x x <．【答案】（1）是；见解析（2）*,17{2|}190m m m ∈≤≤N ；（3）见解析【解析】（1）数列()2*n a n n =∈N 是“差增数列”.由新定义可知，只要证明22n n a a ++＞a n +1即可；（2）由新定义可得对任意的n ∈N ，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立，可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），运用累加法，结合等差数列的求和公式可得a n ，由于1≤n ≤19，结合条件可得m 的取值集合；（3）运用反证法证明，假设x 1010x 1011≥1，由题意可得x 1x 2…x 2020＝1，1n n x x +＜21n n x x ++，运用不等式的性质推得x 1009x 1012＞1，即可得到矛盾，进而得证. 【详解】解：（1）数列()2*n a nn =∈N 是“差增数列”.因为任意的n ∈N ，都有a n +a n +2＝n 2+（n +2）2＝2n 2+4n +4＝2（n +1）2+2＞2（n +1）2＝2a n +1，即22n n a a ++＞a n +1成立，所以数列()2*n a nn =∈N 是“差增数列”；（2）由已知，对任意的n ∈N ，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立. 可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），则b n ∈N ，且b n ＜b n +1，又a n ＝m ，要使项数k 达到最大，且最大值为20时，必须b n （1≤n ≤18）最小. 而b 1＝0，故b 2＝1，b 3＝2，…，b n ＝n ﹣1. 所以a n ﹣a 1＝b 1+b 2+…+b n ﹣1＝0+1+2+…+（n ﹣2）＝12（n ﹣1）（n ﹣2），即当1≤n ≤19时，a n ＝1+(1)(2)2n n --，a 19＝154，因为k 的最大值为20，所以18≤a 20﹣a 19＜18+19，即18≤m ﹣154＜18+19，所以m 的所有可能取值的集合为{m |172≤m ＜191，m ∈N}.（3）证明：（反证法）假设x 1010x 1011≥1.由已知可得x n （n ＝1，2，…，2020）均为正数，且x 1x 2…x 2020＝1，1n n x x +＜21n n x x ++. 而由1n n x x +＜21n n x x ++可得10101009x x ＜10111010x x ＜10121011x x ，即x 1010x 1011＜x 1009x 1012，所以x 1009x 1012＞1.又10101008x x ＝10101009x x •10091008x x ＜10121011x x •10131012x x ＝10131011x x ，即x 1008x 1013＞1，同理可证x 1007x 1014＞1，…，x 1x 2020＞1，因此x 1x 2…x 2020＞1，这与已知矛盾，所以x 1010x 1011＜1. 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，主要考查化简整理的运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。

2020届上海市普陀区高三二模数学试题解析

2020届上海市普陀区高三二模数学试题一、单选题1．对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件答案：A根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 解：由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立，综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件.故选：A. 点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.2．已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（） A ．33 B ．34 C ．35 D ．36答案：A根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案. 解：由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36333-=个. 故选：A. 点评：本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 3．已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（）A ．直线AD 与BC 是异面直线B ．直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C ．过AD 有且只有一个平面与BC 平行 D ．过AD 有且只有一个平面与BC 垂直答案：D利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误．解：对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ，不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合，又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与lαβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误．故选：D ．点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a 的取值范围是（） A ．.[][]1,01,2-⋃ B ．.{}[]10,2- C ．.[][]2,10,1-- D ．.{}[]12,0⋃-答案：C求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围．解：解：由函数()g x ，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=，可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1，可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的范围是[][]2,10,1--，故选：C ．点评：本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题5．数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 答案：3.6把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．解：解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5；所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．点评：本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题．6．若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 答案：1根据增广矩阵的概念直接求解. 解：由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1. 点评：本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.7．已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.答案：5根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 解：设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-，所以15,2==a m . 故答案为：5 点评：本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.8．已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 答案：2利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案；解：()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2. 点评：本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.9．已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.答案：2作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 解：作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2 点评：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.10．A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）答案：13古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 解：试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P = 故答案为：13点评：本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题. 11．已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.答案：1612+π由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案. 解：由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4，可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π. 点评：本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 12．设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.答案：160先将(1)nx +化为(2(1))n x +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．解：解：原式[2(1)]n x =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =．故答案为：160．点评：本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题．13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.答案：12-由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．解：∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-．故答案为：12- 点评：本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 14．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 答案：4π 由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果. 解：222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 点评：本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.15．在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.答案：2116连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．解：解：连接BD ，0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴= 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当4x =时，AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．16．设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ．解：解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+，解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)2c t t a t t a =++-+，即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+，解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c == 6．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题17．设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）求实数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1g x -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，求实数a 的取值范围.答案：（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．解：解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=，则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值范围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.点评：本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18．设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值范围. 答案：（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. （1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期；（2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的范围.解：（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+，又01ω<<，则23ω=，则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ，因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 点评：本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19．某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求此模体ABCDEF 的体积. 答案：（1）32arctan20；（2）350（立方米）. （1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.解：（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ，则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 52FO FOB BO ∠===，即32arctan20FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为32arctan20；（2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米），则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）. 点评：本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点（1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值范围.答案：（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果.解：（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =，则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+，要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4，则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=，当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=，故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =，所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又10813S ⎡∈⎢⎣⎦，即1082161313≤≤.化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤，又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值范围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点评：本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21．对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N 成立，则称k a 具有性质()P m . （1）设()*3n a n n N =-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，求实数d 的取值范围；（3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 答案：（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. （1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值范围；（3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 解：（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5；（2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（3）对于299t ≤≤，t *∈N ，因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ，这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.点评：本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。

2020年上海各区高三二模分类汇编-5解析几何(教师版)

2020年二模汇编——解析几何一、填空题【奉贤2】已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是【答案】2【解析】考察圆的参数方程, ()2264,2x y r -+==【松江3】已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 . 【答案】24y x =【解析】动点到定点的距离等于它到定直线的距离，因为定点不在定直线上，所以的轨迹是抛物线，为焦点，为准线。

因为22y px =的焦点是(,0)2p，即，所以2p =，进而抛物线方程为24y x =.【闵行3】若直线01=++by ax 的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为_______【答案】4π 【解析】()4,1tan ,1,1πθθ====k【奉贤4】已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为【答案】【解析】考察焦点三角形的面积21tan222P P b c y y θ=⋅⋅⇒=代入若原椭圆方程解得P x =，所以P点坐标为【宝山4】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是。

【答案】y x =±P (1,0):1l x =-P (1,0):1l x =-(1,0)【解析】由题意知by x a=±，a b =，所以y x =±。

【黄浦4】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为【答案】6-【解析】60,6a a +==-【青浦5】双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．【答案】2【解析】双曲线22144x y -=的焦点为()±，渐近线方程为y x =±，由点到直线距离公式得距离2d =.【金山6】已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = .【答案】12【解析】2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为：x y a =±，12,2x y x a a ===【浦东6】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是．【答案】相交【解析】直线l 的一般方程是10x y -+=，圆O 的一般方程是221x y +=，圆心到直线距1<，直线l 与圆O 的位置关系是相交【长宁6】直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .【答案】2【解析】由直线的参数方程定义可知直线方程为()122y x =-+-，所以2k =【黄浦7】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为【答案】221520x y -= 【解析】22222222,5,5255,1520b x yc c a b a a a ===+==⇒=-= 【浦东8】已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】12222=-y x【解析】抛物线x y 42=的焦点为()10，，设双曲线的方程为22x y λ-=，即221x y λλ-=，则1+12λλλ=⇒=，所以双曲线的方程是12222=-y x 【徐汇8】已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 .【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±【杨浦8】已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为15cos 5sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C 5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l 【虹口10】已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >）的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60o的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆C 的长轴长为【答案】232+【解析】依据题意画出大致图像：因为1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，即等价为1290F MF ︒∠=211tan 3,22M F MF S b y ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得：()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=【嘉定11】设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u rg 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=【青浦11】已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的ABC ∆的三个顶点的横坐标之和为__________．【答案】10-【解析】令()()()222112233,,,,,A x x B x x C x x.令22212121ABx x k x x x x -==+=-ABC中22313131ACx x k x x x x -==+==-223232325BCx x k x x x x --==+==-由此可得出13210x x x ++=-.【黄浦12】点A是曲线y =（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值22；（2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52+；其中正确结论的序号是【答案】①②【解析】（1）由题意可知，曲线22y x =+（2y ≤）是双曲线22122y x -=的上半支，根据双曲线定义可知，正确（2）曲线28x y =的准线2y =-，故正确（3）||||||||||5||5||||522PA AB BC PA AB QB PA AQ ++=++-=+-=+,故错误【奉贤12】在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m = 【答案】51-+，12-，16-【解析】12||2122m AB m pm p m<∴=-∴=∴=Q 抛物线的准线方程为14x m =-由抛物线的定义知1||||4AF m m =+于是条件可转化为12(2)||64m m m-++= 当0m >时, 25481012m m m +-=∴=-+(舍负) 当0m <时, 21128106m m m ++=∴=-或12m =- 【杨浦12】已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二、选择题【宝山13】抛物线24y x =的准线方程是（）【A 】2x =- 【B 】1x =- 【C 】18y =-【D 】116y =- 【答案】D【解析】由24y x =得到214x y =，则其准线方程为116y =-. 【虹口13】已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：4【松江13】若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则OP 的最小值为（）【A 】2【B【C 【D 】2 【答案】B【解析】OP 的最小值为原点O 到直线20x y -+=的距离，即：min d ==【崇明14】若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（）【A 】1- 【B 】1 【C 】2 【D 】13 【答案】B【解析】由()20,2=⇒c F ，所以1432=⇒=+=n n c ，故选B【闵行15】已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于,M N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（）【A 】2- 【B 】12-【C 】1【D 】1- 【答案】D【解析】设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=m E y x N y x M my x l 1,0,,,,,1:2211 112114,4044412121221*********-=+⋅--=+-+-=+-==+∴=--⇒⎩⎨⎧=+=y y y y m y m y y m y y y m y y my y xy my x λλ【青浦15】记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=L ，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，L 上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，L ，则lim n n M →∞=（）．【A 】2 【B 】4 【C 】3【D 】【答案】D【解析】令2222cos ,sin 441x ny n θθ==+，2cos ,x y θθ∴==2cos ),x y θθθϕ∴+=+=+lim n n n μ→∞→∞∴==【杨浦15】设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（）【A 】逐渐变大【B 】逐渐变小【C 】先变大后变小【D 】先变小后变大【答案】B【解析】令()()()()()202020202100520,5,0,5,,y x y x s F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B 三、解答题【宝山20】已知直线:l y kx m =+ 和椭圆22:142x y Γ+=相交于点()()1122,,,A x y B x y .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程；（2）点)C在Γ上，若0m =，求ABC ∆面积的最大值；（3）如果原点O 到直线l的距离是3，证明：AOB ∆为直角三角形。

上海市2020届高三数学试题分类汇编：三角函数(含解析)

高三上期末考试数学试题分类汇编三角函数一、填空、选择题1、（宝山区2019届高三）函数()sin(2)f x x =-的最小正周期为2、（崇明区2019届高三）角θ的终边经过点(4,)P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ= 3、（奉贤区2019届高三）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，若222()a b c ++=，则角B 的值为（用反正切表示）4、（宝山区2019届高三）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=，求边c 。

显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c 只有一解.那么，a 的可能取值是 .（只需填写一个适合的答案） 5、（奉贤区2019届高三）下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（） A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-6、（浦东新区2019届高三）在ABC △中，角A 、B 、C 对边是a 、b 、c . 若22(2a b =+⋅，b c =，则A =7、（普陀区2019届高三）若1sin 3α=，则cos()2πα+= 8、（青浦区2019届高三）设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合，则ω=9、（松江区2019届高三）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则△ABC 的面积=10、（徐汇区2019届高三）已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11、（杨浦区2019届高三）已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为12、（长宁区2019届高三）已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=13、（闵行区2019届高三）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-，则cos C = 14、（普陀区2019届高三）函数2cos(2)4y x π=+的图像（）A. 关于原点对称B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称15、（松江区2019届高三）将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ⋅=，其中12,[0,4]x x π∈，则12x x 的最大值为（） A. 9 B. 375C. 3D. 1参考答案一、填空、选择题 1、π 2、34-3、 4、2a a =≥或 5、C 6、56π7、13- 8、32910、43π 11、π 12、55213、0 14、B 15、A二、解答题1、（宝山区2019届高三）已知函数()sin 21cos 2201x f x x -=，将()f x 的图像向左移()0αα>个单位得函数()y g x =的图像．（1）若4πα=，求()y g x =的单调递增区间；（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴为12x π=，求()y g x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域．2、（崇明区2019届高三）已知函数2()cos sin f x x x x =⋅-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1()2f A =，3a =，4b =，求△ABC 的面积.3、（奉贤区2019届高三）函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.4、（虹口区2019届高三）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界2()AB AD km ==，3()BC km =，1()CD km =.（1）求的AC 长度及原棚户区建筑用地ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地面积，请在弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这个面积的最大值.5、（金山区2019届高三）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3)P -.（1）求行列式sin 1tan cos ααα的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数23(2)2()2y x f x π=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.6、（浦东新区2019届高三）已知函数2()23cos 2sin f x x x x =-. （1）若角α的终边与单位圆交于点34(,)55P ，求()f α的值；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的单调递增区间和值域.7、（普陀区2019届高三）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4C =. （1）求22cos 2sin 22A BC ++的值；（2）设2c =，求a b +的取值范围.8、（青浦区2019届高三）如图，某广场有一块边长为1()hm 的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图像的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究△CPQ 的周长l 是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少2hm ？9、（徐汇区2019届高三）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；（2）现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点19. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.陆地海域BA10、（杨浦区2019届高三）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13B =. （1）若4sin 5A =，求cos C ；（2）已知4b =，证明：5AB BC ⋅≥-.11、（长宁区2019届高三）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断△ABC 的形状，并求当b =时，角A 的大小.参考答案二、解答题1、解：（1）()2sin 22sin(2)3f x x x x π=-=--……………………………3分()()2sin(22)3g x f x x παα=+=-+-4πα=，()2sin(2)6g x x π∴=-+，…………………………………5分令()322,2622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦，……………………………6分解得()2,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，所以()y g x =的单调递增区间是()2,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦。

32020年上海各区高三二模分类汇编-.三角比和三角函数(学生版)

2020年二模汇编——三角比、三角函数一．填空题【虹口1】函数()3cos21f x x =+的最小值为 . 【黄埔2】函数22cos 2y x =+的最小正周期为【徐汇3】函数()cos3xf x π=的最小正周期为_____________．【杨浦3】函数23cos 1y x =+的最小正周期为【徐汇5】方程1sin 3x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解是__________________．【黄埔5】如果sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin()2πα+= 【崇明7】若1sin()23πα+=，则cos2α=【虹口6】设复数cos isin iz αα=（i 为虚数单位），若||z =，则tan2α= .【奉贤7】在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是【虹口8】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =【松江9】已知等边ABC ∆的边长为P 其外接圆上的一个动点，则PA PB ⋅u u r u u r的取值范围是 .【崇明9】将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的任意1x 、2x ，12||x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是【松江10】已知函数()cos 26f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，若对于任意的1,44x ππ∈-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，总存在2[,]x m n ∈，使得()()120f x f x +=，则||m n -的最小值为 .【崇明11】在△ABC 中，,cos )AB x x =uu u r ，(cos ,sin )AC x x =uuu r，则△ABC 面积的最大值是【嘉定12】在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若222sin a b c A ++=，则A =____【闵行12】已知函数()k x x x x x f --+=cos sin 4cos sin ，若函数()x f y =的区间()π,0，内恰好有奇数个零点，则实数k 的取值范围________二．选择题【宝山14】若函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x =π对称，则a 的值为（）【A 】1 【B 】1- 【C 】3 【D 】3-【奉贤14】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（）【A 】【B 】【C 】【D 】【长宁15】在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O .已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则x =（）【A 】 0.6 【B 】0.8 【C 】0.6- 【D 】0.8-【浦东15】已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ②函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()21x f x f =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( )【A 】 ① ② 【B 】 ② ③ ④ 【C 】 ① ③ ④ 【D 】 ① ② ④【虹口15】已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）【A 】14(2,]3 【B 】14[2,)3 【C 】 10[,4)3 【D 】 10(,6]3三．解答题【宝山18】已知函数()()f x x ωϕ=+，()g x x ω,0ω>,[)0,ϕπ∈,它们的最小正周期为π。

上海市崇明区2020年高考二模数学试卷 (解析版)

2020年上海市崇明区高考数学二模试卷一、填空题1．行列式的值等于．2．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝．3．已知复数z满足i，i为虚数单位，则z＝．4．已知函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于．6．（2x2）4的展开式中含x5项的系数是．（用数字作答）7．若sin（α），则cos2α＝．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，则．9．将函数f（x）＝sin x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的任意x1，x2，|x1﹣x2|的最小值是，则φ的最小值是．10．已知样本数据x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是．11．在△ABC中，（cos x，cos x），（cos x，sin x），则△ABC面积的最大值是．12．对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是．二、选择题13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1 14．若抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，则n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．1315．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{A n}为等差数列”的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同16．已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面A1BE的距离．18．已知函数f（x）＝2x．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）如果∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）20．已知椭圆Γ：1的右焦点为F，直线x＝t（t∈（，））与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C（2，0），直线AF与直线BC交于点P．（1）当t＝﹣1时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆Γ上；（3）求证：S△PAC．21．在无穷数列{a n}中，a n∈N*，且a n+1，记{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝10，求S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值；（3）证明：{a n}中必有一项为1或3．参考答案一、填空题1．行列式的值等于﹣2．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．解：行列式1×4﹣2×3＝﹣2．故答案为：﹣2．2．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤2}．【分析】由题意通过数轴直接求出A和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是A∩B 即可．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}3．已知复数z满足i，i为虚数单位，则z＝1﹣2i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵i，∴i，∴z1﹣2i．故答案为：1﹣2i．4．已知函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝1．【分析】令f（x）＝3解得x＝1，所以函数f（x）过点（1，3），故函数f（x）的反函数过点（3，1），即f﹣1（3）＝1．解：∵函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），∴令f（x）＝3得，2x+1＝3，∴x＝1，∴函数f（x）过点（1，3），故函数f（x）的反函数过点（3，1），即f﹣1（3）＝1，故答案为：1．5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于．【分析】圆锥的底面直径为2，母线为2，求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积．解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，圆锥的高为：．则这个圆锥的体积是12π．故答案为：．6．（2x2）4的展开式中含x5项的系数是32．（用数字作答）【分析】先写出展开式的通项，然后求出含x5项的k的值，再求出该项的系数．解：由已知得（2x2）4的展开式的通项为：，令8﹣3k＝5得k＝1．故该项的系数为：．故答案为：32．7．若sin（α），则cos2α＝．【分析】先利用诱导公式求得cosα，再利用二倍角的余弦公式，即可求得结论．解：∵sin（），∴cosα∴cos2α＝2cos2θ﹣1故答案为：8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，则8．【分析】求出等比数列的首项与公比，然后求解数列的前n项和，然后求解极限即可．解：数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，q．所以a1（）＝3，解得a1＝4，S n，则8．故答案为：8．9．将函数f（x）＝sin x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的任意x1，x2，|x1﹣x2|的最小值是，则φ的最小值是．【分析】先根据左加右减得到g（x）的解析式，然后根据三角函数的性质可知，两个相邻的最值点的函数值的差为2．此时它们横坐标差的绝对值为，据此求出φ的值．解：由已知得f（x1）＝sin x1，g（x2）＝sin（x2﹣φ）．因为|f（x1）﹣g（x2）|＝2，所以f（x1），g（x2）一个取得最大值，另一个取最小值．不妨设，，由已知得，k，m∈Z．结合φ＞0．当k＝m，φ时成立．故答案为：．10．已知样本数据x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是7．【分析】设样本数据x1，x2，x3，x4中最大的为x1，由平均数和方差公式可得x1+x2+x3+x4＝16和x12+x22+x32+x42＝84，再讨论样本数据中的最大值的情况，分析可得答案．解：根据题意，设样本数据x1，x2，x3，x4中最大的为x1，样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，方差为5，则有（x1+x2+x3+x4）＝4，即x1+x2+x3+x4＝16，（x12+x22+x32+x42﹣42）＝5，则有x12+x22+x32+x42＝84，若x1＝9，即样本数据中最大值是9，有x2+x3+x4＝7，x22+x32+x42＝3，不成立，若x1＝8，即样本数据中最大值是8，有x2+x3+x4＝8，x22+x32+x42＝20，不成立，若x1＝7，即样本数据中最大值是7，有x2+x3+x4＝9，x22+x32+x42＝25，此时四个数据可以为7、1、3、5，符合题意；故样本数据中的最大值是7；故答案为：711．在△ABC中，（cos x，cos x），（cos x，sin x），则△ABC面积的最大值是．【分析】将点A置于直角坐标系中的原点，则运用平面向量坐标表示得到面积S|sin （2x）|，进而可求得其范围．解：将点A置于直角坐标系中的原点，则B（cos x，cos x），C（cos x，sin x），∴|AC|1；|AB|2|cos x|；∠xAB；故AB与AC的夹角为|x|；∴△ABC的面积S|AB||AC|sin∠CAB1×|2cos x|×|sin（x）|sin x cos x﹣cos2x||sin2x||sin（2x）|，故答案为：．12．对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是．【分析】基本事件总数n＝6×6×6＝216，由函数f（x）是“不严格单调增函数”，得f （1）＝7，f（6）＝9，7≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）≤9，f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是8，函数f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数m＝4，由此能求出函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率．解：对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，基本事件总数n＝6×6×6＝216，∵函数f（x）是“不严格单调增函数”，∴f（1）＝7，f（6）＝9，7≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）≤9，且f（2），f（3），f（4），f（5）∈{7，8，9}，∴f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是8，函数f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数m＝4，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是p．故答案为：．二、选择题13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】本题根据线性方程组的系数矩阵的定义可写出线性方程组的系数矩阵，然后根据矩阵相等即可得到a、b的值．解：依题意，由线性方程组的系数矩阵的定义，可知线性方程组的系数矩阵为，即，∴a＝1，b＝﹣1．故选：A．14．若抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，则n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．13【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，利用条件列出方程，即可得到结果．解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0）与双曲线1的一个焦点重合，可得2，解得n＝1．故选：B．15．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{A n}为等差数列”的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同【分析】A i＝2（a i+a i+1），可得：A i+1﹣A i＝2（a i+2﹣a i），利用等差数列的定义通项公式即可判断出结论．解：A i＝2（a i+a i+1），A i+1﹣A i＝2（a i+2+a i+1）﹣2（a i+a i+1）＝2（a i+2﹣a i），若数列{A n}为等差数列，则a i+2﹣a i为常数，可得：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．反之也成立．∴“数列{A n}为等差数列”的充要条件是：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．故选：D．16．已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．三、解答题17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面A1BE的距离．【分析】（1）由已知可得∠EBD为直线BE与平面ABCD所成的角，求其正切值，再由反三角表示即可；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1BE的一个法向量与的坐标，可得点C到平面A1BE的距离d．解：（1）如图，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴ED⊥底面ABCD，∴∠EBD为直线BE与平面ABCD所成的角．∵底面边长为2，∴BD，又DE＝1，∴tan．∴直线BE与平面ABCD所成的角的大小为；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），C（2，2，0），，，．设平面A 1BE的一个法向量．由，取y＝1，得．∴点C到平面A1BE的距离d．18．已知函数f（x）＝2x．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断证明即可．（2）先求出f（﹣x）的解析式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．解：（1）当a＞0时，f（x）在其定义域上是增函数，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）（）＝（）（1），∵x1＜x2，a＞0，∴0．则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（﹣x）＝2﹣x﹣a•2x，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），得2﹣x﹣a•2x＝﹣（2x﹣a•2﹣x）＝﹣2x+a •2﹣x，即2﹣x+2x＝a（2﹣x+2x），得a＝1，即当a＝1时，函数f（x）是奇函数，当a≠1时，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．19．某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）如果∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）【分析】（1）连接BD，由题意可得△ABD为正三角形，可得BD＝AD＝2，且∠ADB ＝60°，进而可得∠ADC＝45°，在△BCD中由正弦定理可得CD的值，（2）在△BCD中由正弦定理可得CD，BC的值，进而求出四边形的周长．解：（1）连接BD，在△ABD中，因为∠BAD＝60°，AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝2，因为∠ADC＝105°，所以∠BDC＝105°﹣60°＝45°，在△BCD中，由正弦定理可得，所以BC•sin45°1.633千米，（2）由（1）可得，而∠DBC＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以CD•sin15°，所以四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2+2+1.666 6.309千米．20．已知椭圆Γ：1的右焦点为F，直线x＝t（t∈（，））与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C（2，0），直线AF与直线BC交于点P．（1）当t＝﹣1时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆Γ上；（3）求证：S△PAC．【分析】（1）求得椭圆的右焦点F，以及点A的坐标，运用两点的距离公式可得所求值；（2）设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），求得直线AF，BC的方程，求得交点P的坐标，代入椭圆方程，检验即可得证；（3）设直线AP的方程为x＝my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合三角形的面积公式和基本不等式，注意等号成立的条件，可得证明．解：（1）椭圆Γ：1的右焦点为F（1，0），直线x＝﹣1与该椭圆交于点A，B，点A位于x轴上方，可得A（﹣1，），则|AF|；（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），则x12+2y12＝2，直线AF的方程为y（x﹣1），BC的方程为y（x﹣2），解得P（，），由（）2+2（）22，则P 在椭圆上；（3）证明：S△PAC|CF|•|y A﹣y P||y A﹣y P|，设直线AP的方程为x＝my+1，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y A+y P，y A y P，所以S△PAC••，当且仅当m＝0时，上式取得等号，则S△PAC．21．在无穷数列{a n}中，a n∈一、选择题*，且a n+1，记{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝10，求S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值；（3）证明：{a n}中必有一项为1或3．【分析】（1）根据递推公式列出数列{a n}中的项，找出规律，发现周期性，即可求出S9的值；（2）根据题意分析情况，进行求解，即可得出答案；（3）先证明一定存在某个a i，使得a i≤6成立，再进行检验，即可得到答案．解：（1）当a1＝10时，{a n}中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…；即数列{a n}从第4项起每3项是一个周期，所以S3＝a1+a2+a3＝23，S6﹣S3＝a4+a5+a6＝7，S9﹣S6＝a7+a8+a9＝7；所以S9＝S6+7＝S3+2×7＝23+14＝37；（2）①若a1是奇数，则a2＝a1+3是偶数，a3，由S3＝17，得a1+（a1+3）17，解得a1＝5，适合题意；②若a 1是偶数，不妨设a1＝2k（k∈N*），则a2a1＝k，a3，由S3＝17，得2k+k17，此方程无整数解；若k是奇数，则a3＝k+3，由S3＝17，得2k+k+（k+3）＝17，此方程也无整数解；综上知，a1＝5．（3）证明：先证明一定存在某个a i，使得a i≤6成立；否则，对每一个i∈N*，都有a i＞6；则在a i为奇数时，必有a i+2a i；在a i为偶数时，有a i+23＜a i，或a i+2a i；因此，若对每一个i∈N*，都有a i＞6，则a1，a3，a5，…单调递减；注意到a n∈N*，显然这一过程不可能无限进行下去；所以必定存在某个a i，使得a i≤6成立；经检验，当a i＝2，或a i＝4，或a i＝5时，{a n}中出现1；当a i＝6时，{a n}中出现3；综上知，{a n}中总有一项为1或3．。

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