八年级数学角平分线性质的应用导学案

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15.4 第1课时角平分线的尺规作图2(导学案)2022-2023学年八年级上册初二数学同步备课(

15.4 第1课时角平分线的尺规作图2（导学案）学习目标•掌握角平分线的概念和性质•学会使用尺规作图工具进行角平分线的作图学习重点与难点•熟悉角平分线的定义和性质•理解尺规作图的基本步骤和方法角平分线的定义与性质角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。

一个角的角平分线具有如下性质： - 该角的两个角平分线相交于角的内心。

- 内心到角的三条边的距离相等，即内心到三角形三边的距离相等。

角平分线的尺规作图第一步：作角的平分线已知一角ABC，现在要作出该角的角平分线。

1. 以点B为圆心，以BC作半径画一个圆，再以点C为圆心，以BC作半径画一个圆。

- 这两个圆的交点为P。

2. 以P点为圆心，以PA作半径画一个圆，再以P为圆心，以PB作半径画一个圆。

这两个圆在点D相交。

3. 连接点D和B，则BD为角ABC的角平分线。

第二步：证明平分线的正确性证明BD是角ABC的角平分线，即证明∠ABD = ∠CBD。

构造内心O，则OD ⊥ BC，OD ⊥ BD，因此三角形ODB和ODB均为直角三角形。

根据直角三角形的性质，OD = OD，DB = DB，因此三角形ODB与ODB全等。

所以，∠OBD = ∠OBD，即∠ABD = ∠CBD。

练习题1.在只能使用直尺和圆规的情况下，作出角ABC的角平分线BD。

2.证明BD是角ABC的角平分线。

思考题1.角平分线的性质与三角形的其他性质有什么联系和区别？小结本课时学习了角平分线的定义和性质，以及如何使用尺规作图工具作出一个角的角平分线。

同时还解答了一些与角平分线相关的练习题和思考题，加深对这一知识点的理解和掌握。

Markdown文本格式：# 15.4 第1课时角平分线的尺规作图2（导学案）## 学习目标- 掌握角平分线的概念和性质- 学会使用尺规作图工具进行角平分线的作图## 学习重点与难点- 熟悉角平分线的定义和性质- 理解尺规作图的基本步骤和方法## 角平分线的定义与性质角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。

人教版-数学-八年级上册：12.3角平分线性质(一) 导学案

角的平分线的性质（一）导学案
教学目标
1、通过探究理解角平分线的性质并会运用
2、掌握尺规作图作角平分线
课前思考
1、怎样用尺规作角的平分线？
2、角的平分线上的点到角的两边的距离有什么关系？
自主预习
（一）巩固旧知：如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线
（二）用尺规作一个角的平分线
1、已知：∠AOB，
2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
合作探究：角平分线的性质
1、完成教材中对角平分线性质的探究。

2、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。

3、用三角形全等证明角平分线的性质，
如图，已知：∠BA F=∠CAF,点O在AF上，OE⊥AB , OD⊥AC,垂足分别为E,D.
求证：OE=OD
证明： F
能力展示：
1. 已知，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥
AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
2.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB，BC，C A所在直线的距离相等。

我的收获与反思。

人教版八年级数学导学案- 角平分线的性质

第十二章全等三角形12．3 角平分线的性质第1课时角平分线的性质学习目标：1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题．重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线．难点：角平分线定理的应用．一、知识链接1．判定两个三角形全等的方法有哪几种？2．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则∠ =∠ ．过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，则图中线段的长度表示点D 到BC 的距离．二、新知预习1．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点．操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E为垂足，测量PD 、PE 的长．将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论．2．下面四个图中，点P 都在∠AOB 的平分线上，则PD ＝PE 的是（）A B C D 3．猜想：角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的相等．三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系．提示：（1）已知什么？求作什么？（2）把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?（3）在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？（4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．注意：作角平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握．已知：平角∠AOB．求作：平角∠AOB的角平分线．结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法．探究点2：角平分线的性质实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．1．操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．已知：如图，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．方法归纳：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1．明确命题中的已知和求证；2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．知识要点：性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离．定理的作用：证明线段相等．应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD = PE．判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（2）∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）典例精析例1:已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm．变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14．（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；（3）求△PDB的周长．二、课堂小结1．如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE =DF，∠EDB= 60°，则∠EBF= 度，BE= ．第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．3．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6 B．5 C．4 D．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：（1）哪条线段与DE相等？为什么？（2）若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长．6．如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离．7．如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．参考答案自主学习一、知识链接1．SSS、SAS、ASA、AAS、HL2．ABD CBD DE二、新知预习1．PD=PE2．D 3．距离三、我的疑惑课堂探究二、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题能做一做作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．针对训练解：如图．探究点2：角平分线的性质验证猜想证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在△PDO和△PEO中，,,,PDO PEOAOC BOCOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE．判一判（1）×（2）×典例精析例1 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °．在Rt△BDE和Rt△CDF中，,,DE DFBD CD=⎧⎨=⎩∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴EB=FC．例2 4变式解：（1）m（2）由角平分线的性质，可知，PD=PC=m，172PDBS AB PD m=⋅=．（3）由题意可证△ACP≌△ADQ，∴AC=AD．∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=14．当堂检测1．60 BF2．3 3．A4．D 解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴11422722ABCS AC=⨯⨯+⨯=，解得AC＝3．5．解：（1）DC=DE．理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等．（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠EBD．在△CDB和△EDB中，∠C=∠BED，∠CBD=∠EBD，DB=DB，∴△CDB≌△EDB(AAS)，∴BE＝BC=8．∴AE＝AB-BE=2．∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8．6．解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离．∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，∴PM= PE．同理，PN= PE．∴PM= PN= PE=3．∴MN=6．即AD与BC之间的距离为6．7．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF．在Rt△CDE和Rt△CDF中，,,CD CDDE DF=⎧⎨=⎩∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF．。

角平分线判定定理2导学案

课题：角平分线的性质和判定应用主备人：备课组签字：审核：学习目标：1、掌握角平分线的性质和判定．能够应用性质和判定解决简单实际问题；2、在动手操作过程中，培养动手操作能力与探索精神．一、新知探究活动一：剪一个三角形纸片，折叠出每个角的平分线，观察你发现了什么？三角形的三条角平分线交于。

例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作的平分线上吗？为什么？思考回答！想一想：点P在A三角形的三条角平分线交于。

并且这一点到三边的距离。

二、拓展延伸1、如图：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F到三边AC、BC、CA的距离相等2、已知，如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．3、要在S 区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建立于何处？答：应建立在，并且离角顶点处思考：如果不要求建立在S 区，这个集贸市场还可以建在哪？三、达标检测1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A ．三条边上的高的交点B ．三个内角平分线的交点C ．三边上的中线的交点D ．以上结论都不对2．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处五、总结：本节课你学到了什么？掌握了什么内容？还有什么疑问？。

角平分线的性质导学案

1.4角的平分线的性质（1）学习目标：1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、掌握尺规作图作角平分线学习重点：角平分线的性质及尺规作图【学习过程】一、预习导学：基本定理的学习：（阅读课文P22-25的内容）角的平分线性质定理和判定定理：二、讨论展示：（1）知识回顾：如图，已知AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：AC 是∠DAB 的平分线（2）学习新知：1、如图，已知∠BAC ，用尺规作图的方法作出∠BAC 的角平分线AD ，写出作法，并说明这种作法的依据。

2、OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段3、你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？已知：AD 平分∠BAC ，P 为AD 上的一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC 求证：证明：4、反过来，如图，若P 为∠BAC 内的一点，且点P 到边AB 、AC 的距离相等，即PM=PN ，你认为经过点P 的射线AD 平分∠BAC 吗？为什么？5、小结：通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：（1）；（2）。

仔细比较分析，以上两条定理有什么关系：一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即：（1）；（2）；（3）。

三、新知应用：（1）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，且D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，求证：BE=CFA B D C A B C C A B CN M P D A B C N M P D。

八年级数学上册 12.3 角平分线的性质导学案2(新版)新人教版

八年级数学上册 12.3 角平分线的性质导学案2(新版)新人教版1、会叙述角平分线的性质及“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”2、能利用两个性质解决一些实际问题学习重点：角平分线的性质及应用学习难点：利用两个性质解决一些实际问题学习方法：探索归纳法一、课前预习:阅读课本，完成下列的问题：角平分线的判定及几何语言表述【自能学习】复习旧知角平分线的性质定理1、性质定理：角平分线上的点到角的的距离、2、几何语言：（注意：三个已知条件缺一不可）∵，，∴二、探究新知：1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）小帅已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：解：如右图，过______做射线，已知：，；并且_______=_______求证：_____是的平分线证明：结论：角平分线的判定定理:角的内部到角的两边的点在角的＿＿＿上。

注意：（1）该定理也是证明两角相等的一种方法；（2）三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等、(3）符号语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE ∴ ＿＿＿＿＿＿（）（4）作用：常证明两个角相等2、比较角平分线的性质与判定三、例题学习例1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证：∠1＝∠2例2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。

求证：点P 到三边AB、BC、CA的距离相等PMNABC四、当堂检测1如图，在四边形中，，平分交于，且，求证：平分2、如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，AB＝9cm，BC＝6cm，求△ABC的面积、【自能训练】1、已知△ABC中，∠A=60，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为2、到三角形三条边的距离相等的点是（）A、三条中线的交点B、三条高线的交点C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点3、下面哪个点到三角形三边的距离相等（）A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点C、三条高的交点D、三角形内任意一点4、如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（）A、不平分B、平分C、平分D、5、在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为、6、如图，的三边、、的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则、7、的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为、8、如图，在直线上求一点，使得点到射线和的距离相等、9、如图，在中，，点为三条角平分线的交点，于，于，于，且，，，求的长、10、如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等、求证：平分。

八年级数学上册角平分线的性质导学案

角平分线的性质（一）教案【教学目标】：1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理。

2．通过测量操作，发现角的平分线的性质定理。

3．能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力。

4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。

5.通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形成，养成永无止境的科学探索精神。

【教学重难点】：1.教学重点：掌握角的平分线的性质定理.2.教学难点：角平分线定理的应用。

【自学指导】：一、学生看P19---P21并思考一下问题：1) 作已知角的平分线的方法是什么？在作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？2) 点到直线的距离是什么？（点到直线的垂线段长才叫距离）3) 如何证明角平分线的性质？证明几何命题的步骤，写出已知，求证并给予证明4) 运用角平分线的性质的符号语言：@ OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴BP AP =.@@符号语言： AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，BP AP =，∴点P 在∠AOB 的平分线上.5) 角平分线定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？6) 三角形三个内角平分线有什么特征？如何做简单的论证？二、自学检测：1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，BC=8，BD=5，求DE 的长。

ABC D E1 22.如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB三、师生共同探讨，总结：1. 定理的应用，② 应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离;②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.2. 这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．。

角平分线的性质导学案

1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。

【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。

几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。

【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点。

用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上；（2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是。

2、角平分线的判定定理是。

【达标评学】1．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的距离是：。

2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5，点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的距离是：。

A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。

【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。

角平分线的性质-导学案

【MeiWei 81重点借鉴文档】12.3 角平分线的性质（1）导学案、学习目标1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理;2、会用尺规作已知角的平分线.二、温故知新如图1，在/ AOB 的两边 0A 和0B 上分别取 OM=ONMC L OA NCL OB MC 与NC 交于C 点. 求证：（1） Rt △ MO © Rt △ NOC（2） / MOC M NOC三、自主探究合作展示探究（一）1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、思考：把上面的方法改为“在已知/ AOB 的两边上分别截取 OM=QN 使MC=NC 连接OC 则OC 即为/ AOB 的平分线。

”结论是否仍然成立呢?件行吗?OA 是/ BAC 的平分线，点 O 是射线取点 O 的三个不同的位置，分别过点 AM 上的任意一点. O 作OE 1 AB, OD 丄AC,点D E 为垂足，测四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

【MeiWei 81重点借鉴文档】 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图 2所示的平分角的仪器：其中AB=AD BC=DC 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线•你能说明它的道理吗？探究思考已知求作作法二）如何作出一个角的平分线呢？/ AOB / AOB 勺平分线.（1 ）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA OB 于 M N 1 M N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧.两弧在 2（2）分别以 C. OC 射线OC 即为所求./ AOB 内部交于点（3）作射线请同学们依据以上作法画出图形。

议一议: 在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 丄MN 的长”这个条 2 E1 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB 的内部吗?探究（三）如图操作测量：量OD OE 的长.将三次数据填入下表： 3,ODOE第次卜面用我们学过勺知:女第二次 AO 平寸知识证明发现：乙分 / RAC OEI A B ODI AC 'H ♦丿'口 1 ' 1 1 ：图1观察测量结果，猜想线段 OD 与OE 的大小关系，写出结论:。

角平分线的性质导学案

角平分线的性质（2）导学案临沂第三十二中学胡顺适教学目标 1.能够利用三角形全等，证明角平分线的判定．2.能利用角平分线判定进行简单的推理，解决一些实际问题．3．让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学重点角平分线的判定．教学难点利用角平分线判定进行简单的推理，解决一些实际问题．教学过程一、回顾引入1.角平分线的性质______________________________________________________________。

2.几何符号表示________________________________________________________________二、新课探究1．猜想角平分线的性质的逆命题为_________________________________________________________________．2．自主探究、合作交流已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．3．归纳总结角平分线的判定定理____________________________________________________________________.书写格式为________________________________________________________________4．定理巩固1.判断题：（1）如图，若QM =QN ，则OQ 平分∠AOB ． ( )（2）如图，若QM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，则OQ 是∠AOB 的平分线． ( )（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm ，且Q 到OB 距离等于2 cm ，则Q 在∠AOB的平分线上． ( )5.角平分线的性质和判定的联系与区别________________________________________________________________三、例题学练例如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于O ．求证：点O 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．变式拓展如图，△ABC 中，∠B 的平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 交于点P ．求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 所在的直线的距离相等．A B O Q M N实际应用1.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B. 两处C.三处D. 四处四、课堂小结五、达标检测1.如图，在RT△ABC中，∠C=900，点D在AC上，DE ⊥AB，且DE=DC，若∠A=500，则∠CDB=___________．2.如图4，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于．3.在△ABC中，D是BC的中点，DE ⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF。

(4)角平分线的性质复习课导学案

通辽四中导学案班级：姓名：导学案编号：课题角平分线性质授课教师课型新授课主备审核学习目标1、掌握角平分线的概念及画法.2、能说出角平分线的有关性质.3、会用角平分线的性质解决问题.4、理解角平分线的判定方法及简单应用.导学过程一、复习旧知：1、角平分线的概念2、尺规作角平分线3、角平分线的性质文字语言叙述：几何符号表示;作用：例1：如图Rt△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，15S，则CD的长（）=∆ABDA．3 B．4 C．5 D．64、角平分线的判定文字语言叙述：几何符号表示：作用：例2：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD. （1）求证：△BDE≌△CDF；（2）点D在∠A的平分线上例3：如图，△ABC的角平分线BM,CN 相交于点P.求证：（1）点P 到三边AB,BC,CA的距离相等.（2）点P在∠A的平分线上吗？选择题：到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点例4：在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180∘,求证DE=DF.例5：如图所示，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD=AB+CD.PB CMNA通辽四中达标检测题1.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )A. PA=PBB. PO平分∠APBC. OA=OBD. AB垂直平分OP2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4（第1题图）（第2题图）3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( )A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°4.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有: ( )A.一处B. 两处C.三处D.四处5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论:①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（第3题图）（第4题图）（第5题图）6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC 于点M 和N,再分别以M,N 为圆心,大于MN 21的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP 并延长交BC 于点D,则下列说法中正确的是( )①AD 是∠BAC 的平分线;②∠ADC=60°;③DA=DB;A. 只有①B. ①②C. ①③D. ①②③7.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,且AB=4,AC=3,则△ABD 与 △ADC 的面积比是( )A. 1:1B. 3:4C. 4:3D. 不能确定8.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG 和△AED 的面积分别为50和39,则△EDF 的面积为( )A. 11B. 5.5C. 7D. 3.5（第6题图）（第7题图）（第8题图）9.如图所示,P,Q 分别是BC,AC 上的点,作PR ⊥AB 于点R,作PS ⊥AC 于点S,若AQ=PQ,PR=PS,下面三个结论:①AS=AR;②QP ∥AR;③△BRP ≌△CSP,正确的是( )A. ①和③B. ②和③C. ①和②D. ①,②和③10. 如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP 等于( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°（第9题图）（第10题图）。

角的平分线的性质和判定

《角的平分线的性质和判定》导学案
主讲：刘世勤
【教学目标】
1，掌握尺规作角的平分线的方法，提高作图能力；
2，经历角的平分线的性质的发现过程，掌握角的平分线的性质定理；
3，会运用角的平分线的性质解决几何问题；
【教学重点】
理解并会证明关于角平分线的两个重要结论，并能运用解决实际问题。

【教学难点】
角平分线的性质的探究及其应用；
【教学过程】
一，情景导入：学生阅读教材P48图12.3-1思考，学生回答并且展示，教师点评
二、新知探究，合作交流：
探究一：作角的平分线的方法
教师引导学生作图：作<AOB的平分线
探究二：角平分线的性质：
1，学生阅读教材P48图12.3-3思考，学生回答并且展示，教师点评
学生归纳角平分线的性质：
2，教师引导学生阅读教材P49角平分线的几何证明过程：
已知（条件），求证（结论），证明（运用几何语言，由已知推出结论）探究三：角平分线的判定
1，学生阅读教材P49图12.3-5思考，如何确定这个点？学生猜想。

2，教师引导，学生完成角平分线的判定的证明过程。

学生展示，教师点评。

已知：求证：
证明：
三，巩固练习：教材P49练习1，2
四，课堂小结，本节课的收获。

五，课外作业：
1，文字证明题：三角形两内角的平分线的交点，到三边的距离相等教材P51：1，2，3。

八年级数学导学案1206角平分线的性质(一)

长冲中学“四学一测”学习模式八年级数学导学案班级姓名日期:2021.9.26 主编人：郭海松学科组长审核：学科主任审核：课题：角平分线的性质（一）设计者：八年级·数学组自研课（时间： 20分钟）旧知链接：已知如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=30°，则∠2= ，∠AOB= .新知自研：1、课本第48页到49页的内容；2、完成导学案自研自探的内容.展示课（时段：正课时间： 40 分钟）【学习目标】1、掌握尺规作图作一个已知角的平分线的方法； 2、掌握角平分线性质并学会应用.【定向导学·互动展示·查学反馈】导学流程自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容·学法·时间）互动策略（内容·学法·时间）展示方案（内容·学法·时间）随堂笔记（成果记录·知识生成·查学反馈）概念认知·例题导析【学法指导】自研课本48页“思考1”及尺规作图，思考：①模仿、创新制作一个平分角的仪器；②对照课本思考中的图说明制作一个平分角的仪器需要注意什么问题？③对照课本思考中的图对制作的平分角的仪器合理性作说明或证明：○4自研教材作一个角的角平分线尺规作图的操作过程，联系上面问题思考：1.作法（1）操作的目的是：2.①作法（2）的目的是：②“大于21MN的长为半径”，小于或等于行吗？试试看，为什么？对子学习针对自学指导和随堂笔记中填空部分进行快速交流，给对子的自学情况评定等级。

小组群学在组长的带领下:A．尺规作图画角平分线的画法和步骤.B．尺规作图画角平分线的理由.C．角平分线的性质的证明步骤、过程及运用.D．在组长的主持下，根据本组的展示内容学科组长做好分工，完成版面设计，做好展示前的预演.（12分钟）方案预设1：主题：角平分线的作法①展示制作的角平分线仪器，说明注意点及原理；②展示尺规作图画角平分线的画法及步骤；③说明尺规作图画角平分线的原理方案预设2：主题：角平分线的性质①按照课本P48思考中测量、猜想、证明的操作步骤展示得出角平分线性质的过程.②介绍“角平分线性质”的几何语言。

初中数学最新版《角平分线的判定》精品导学案(2022年版)

第2课时角平分线的判定一、学习目标1、掌握角的平分线的性质；2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．二、温故知新1、写出命题“全等三角形的对应边相等〞的逆命题.1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞的逆命题.三、自主探究合作展示〔一〕思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞的逆命题是否是真命题？假设是真命题，请给出证明过程。

：如图1，求证：证明：结论：〔二〕思考：如图2所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？〔三〕应用举例例：如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．例题反思：四、双基检测1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．2.如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 假设∠BAC =30°, 那么AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由;(2) 假设AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点O 。

求证：AO ⊥BC 。

五、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

§3.5 分式的加法与减法教学案第二课时【教与学目标】1、经历探索分式的加减法运算法那么的过程，通过与分数加减法法那么的类比，开展学生的联想与合情推理能力.2、能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【重、难点】能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【教与学过程】一、知识引桥1、回想一下同分母的分式加减法的运算并计算以下题目图4 A B D C 图2 图3 P A B C D 图5 A BO E D C图6图1(1) x y x y +3 (2) x y y z y x z x -----22二、学习新知〔一〕交流与发现小亮和小莹练习用电脑打字，小亮每分钟打a 个字，小莹每分钟比小亮多打20个字，当他们都打完了3000个字时，小亮比小莹多用多少时间？与同学们交流一下，最后结果是什么？归纳一下异分母分式加减法法那么：_______________________________〔二〕例题精讲例2 计算：〔1〕bc ab 6121+；〔2〕253bb a ab b a --+ 例3 计算：〔1〕mm -+-329122；〔2〕121112-+--+x x x x 〔三〕反响检测：仔细做一下，检验一下你掌握了本节知识没有.计算：(1) 24a b a b - (2) aa a +--22142 (3) ba b a --+11 (4) y x x y x x +--222 (5)1－y x x +24 (6) --12x x x －1 三、学习思考整式与分式相减及异分母分式相减时应注意什么问题？四、教学反思。

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