电磁感应中的电容器问题

电磁感应中的电容器与金属棒相结合的问题

黄德利山东省兖州一中272100

摘要：部分导体做变速运动产生变化的电流时，高中阶段的闭合电路欧姆定律就无法列式计算，学生感觉无从下手，从而这一类的问题成为高三复习的难点。通过最近全国各地的一模考试发现，这类问题在各地一模中均有体现。

关键词：电磁感应；电容器；金属棒

电容器是一个储存电荷的容器，它可以进行无数次的充放电。在充放电的过程中，可以理解为变化的电流可以通过电容器。因此，在一些含有电容器的电磁感应电路中，当一部分导体做变速运动产生变化的电流时，高中阶段的闭合电路欧姆定律就无法列式计算，学生感觉无从下手，从而这一类的问题成为高三复习的难点。通过最近全国各地的一模考试发现，这类问题在各地一模中均有体现。实际上这类问题，只要认真分析，寻找其中的规律，这类问题其实也很好解决。下面通过几个例题对与电容器相关的问题分类解决。

一、金属棒做匀加速直线运动

例1、.如图所示，位于同一水平面的两根平行导轨间的距离是L，导线的左端连接一个耐压足够大的电容器，电容器的电容为C。放在

导轨上的导体杆cd与导轨接触良好，cd杆在平行导轨

平面的水平力作用下从静止开始匀加速运动，加速度为

a，磁感强度为B的匀强磁场垂直轨道平面竖直向下，导

轨足够长，不计导轨和连接电容器导线的电阻，导体杆

的摩擦也可忽略。求从导体杆开始运动经过时间t电容

器吸收的能量E＝？

解析：据题意，导体杆MN加速切割磁感线，产生的感应电动势且不断增大，电容器两极板间电压随着增大，储存的电能增加，同时由于电容器处于连续充电状态中，电路中有持续的充电电流，故导体杆受到向左的安培力。因电容器在时间t内吸收的电能可以用克服安培力做的功来量度，所以弄清楚充电电流及安培力的变化规律，就成为解答本题的关键。

设某时刻导体杆切割磁感线的速度为v，产生的感应电动势为E，电容器所带的电荷量为q，两极板间的电压为u，则有：u=E=BLv,q=Cu=CBLv。设经过一个很短的时间间隔Δt，速度的变化量为Δv，则电容器带电量的变化量为：

Δq=CBLΔv。

在时间Δt内充电电流的平均值可表示为：

i==CBLa

式中a表示Δt内导体杆运动的平均加速度。若把Δt取得足够小，那么i和a 就分别趋近于该时刻的充电电流的瞬时值及加速度的瞬时值。于是，杆MN所受

=BiL=CB2L2a。

安培力的瞬时值可表示为：F

安

上式表明：安培力的瞬时值与加速度成正比。

将安培力瞬时值表达式代入牛顿第二定律，F-CB2L2a=ma。由此解得a=。

由上式不难看出：加速度a是恒定的，杆MN做匀加速直线运动，进而推知：充电电流是恒定电流，安培力是恒力。

因时间t内，杆MN的位移为：s=at2=

故杆MN克服安培力做的功可表示为：

·s=,电容器在时间t内吸收的电能E=W，可用上式表示。W=F

安

二、金属棒在恒定外力下的直线运动

例2、如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上

端接有一平行板电容器，电容为C。导轨

处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，

方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一

质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，

且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好

接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求:

(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。

解析：（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为①

平行板电容器两极板之间的电势差为U=E②

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有③联立①②③式得④

（2）设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为⑤

设在时间间隔（t，t+Δt）内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有

⑥

ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔（t，t+Δt）内增加的电荷量。由4式得⑦

式中Δv为金属棒的速度变化量，按定义有⑧

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为⑨

式中N是金属棒对导轨的正压力的大小，有⑩

金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有

联立⑤至11式得

由上式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为

三、

通过上面例题可以看出，电磁感应与电容器的综合问题，涉及电磁感应、电容、电流强度、安培力、牛顿定律、匀变速直线运动规律等多方面物理知识，综合性较强．此类题的关键是电容器充电电流与运动的关系，求这两者关系思维跨越较大，考查了综合能力和分析论证能力，有较高的区分度，体现了较强的选拔性。