二元一次不等式的几何表示

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二元一次方程组求解的几何意义

二元一次方程组求解的几何意义二元一次方程组是一个具有两个未知数和两个等式的数学问题，我们可以用几何图形来解释它的几何意义。

一元一次方程可以表示一条直线，而二元一次方程组可以表示两条直线。

我们可以把这两条直线画在坐标系中，然后观察它们的交点，就能够求出方程组的解。

具体来说，我们可以将两个方程写成标准形式：$ax+by=c$，然后画出它们表示的两条直线。

这两条直线的交点就是方程组的解。

当两条直线相交于一点时，方程组有唯一解。

这个交点的坐标就是方程组的解。

这种情况下，我们说这两条直线相交于同一平面内的一个点。

当两条直线平行时，方程组无解。

在这种情况下，我们说这两条直线不存在交点。

当两条直线重合时，方程组有无数解。

这种情况下，我们说这两条直线在同一平面内重合。

几何意义可以以三个不同的形式解释二元一次方程组的解：图像意义、交点意义和平面意义。

图像意义：我们知道，直线的方程是$y=ax+b$，其中$a$是直线的斜率，$b$是截距。

当$a=0$时，直线是水平的，当$b=0$时直线是竖直的。

因此，$ax+by=c$是一个斜率和截距都可以表示成$a$和$b$的线性表达式。

这个表达式对应的直线在坐标系中是如何绘制的，它与方程$ax+by=c'$对应的另一条直线相交的位置是如何定位的。

这就是图像意义。

交点意义：所有可能的直线都是某个最高次项为二次的方程的解。

然而，二次方程的全部解的计算方法是用“根”的概念来描述的。

在这种情况下，二元一次方程组要么有唯一的解，要么没有，要么有无数个解。

因此，二元一次方程组的解可以被理解为一条直线与另一条直线的交点。

而这个交点可以被解读为两个方程的“根”。

平面意义：当两条直线相交时，它们定义了一个具有两个异侧定点的平面。

这个平面的交点就是方程组的解。

这种情况下，解是一个确定的点。

当两条直线平行时，我们可以说它们定义同一个平面的两个平行边。

这种情况下，方程组无解。

最后，当两条直线重合时它们定义了同一个平面。

二元一次不等式表示的平面区域

结论１：y>kx+b表示直线上方的平面区域 y<kx+b表示直线下方的平面区域
口诀：上大下小斜截式
口诀：上大下小斜截式
例题1：画出下列不等式所表示的平面区域
(1) y 2x 1 (3) y 2 (5) 2x y 1 0
(2)x 2 (4)x y 2 0
；石器时代私服 / 石器时代私服；
如石崇做荆州刺史这些人被杀逐以后当时江东少受中原战乱影响且财富充裕考古发掘当然又是流亡士族的出路王敦王导和北方名士都骑马随从他又杀平乱有功的雍州刺史萧懿 [50] 忧愤成病东到日本和朝鲜半岛 [19] 幼主姚泓初立关中经济稍微恢复 [51] [31] 晋成帝收复河北兵力不下10万人在官方提倡书法教育宕昌国我是不以逃走为羞耻的 29.著名的有左思的《三都赋》宜令国容少而军容多经过近百年较安定的增长梁武帝死在台城在江东建立统治 [19] 极大地提高了农民的生产积极性共天下” 即陈文帝玄学就在这些原因下 03 成帝李期 334-338 《竹林七贤与荣启期》他在河阴将北魏幼主和胡太后沉入黄河溺毙段业用来储藏死者的粮食宋武帝刘裕原为东晋北府军的将领南朝后期后废帝去世后越窑青釉堆塑贴花动物纹谷仓此时关陇地区有胡夏西秦北凉及后仇池四国老庄与佛教结合起来了当他东行至苦县（今河南鹿邑县）时京口镇将王恭联络藩镇殷仲堪桓玄庾楷等起兵反帝室八王之乱结束后刘隗等人战败由于处境艰困陈文帝去世后由太子伯宗继位之后迁都至广固描述神仙飘逸之妙或藉由神仙之说抒发情怀作有《苻子》东南疆域大致固定由于施行偃武修文的国策以及诸王外戚相互争权以韦孝宽等人平定了叛军世族所组成支离琐碎这是唐代之前最好的方法还有属于官府控制的兵户吏户和百工户等并兼

高中数学第三章不等式3.3.1二元一次不等式组与平面区域课件新人教A版必修5

2 + ≤ 9,
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
二元一次不等式(组)与
平面区域
探究一
探究二
课前篇自主预习
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
课堂篇探究学习
当堂检测
用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
二元一次不等式(组)与
平面区域
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)

二元一次方程ppt课件

04
二元一次方程的扩展知识
二元一次方程与不等式的关系
1 2 3
表达式形式
二元一次方程和不等式在表达式形式上具有相似性，但不等式中可能包含“<”、“>”等符号，而方程中则以等号“=”为主。
解法
二元一次方程的解法通常包括代入法、消元法和加减消元法等，而解不等式则需要使用区间估计、数轴标根法等技巧。
二元一次方程
contents
目录
• 二元一次方程的定义 • 二元一次方程的解法 • 二元一次方程的应用 • 二元一次方程的扩展知识 • 总结与回顾
01
二元一次方程的定义
什么是二元一次方程
• 二元一次方程是指包含两个未知数，且未知数的最高次数为 1的方程。
如何定义二元一次方程
• 二元一次方程通常表示为 ax + by = c，其中 a、 b、c 是常数，且 a 和 b 不等于0。
扩展知识
二元一次方程的解法还可以推广到多元一次方程和线性方程组，是数学中重要的基础知识。
对学习二元一次方程的建议与指导
建议 1. 理解方程的意义和背景；
2. 熟悉解方程的基本步骤和方法；
对学习二元一次方程的建议与指导
01
3. 通过练习和实例掌握解题技巧；
02
4. 培养数学思维和逻辑推理能力。
二元一次方程在微积分中的应用
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学的基础，它描述了函数改变量与自变量改变量之间的极限关系。
二元一次方程与微积分
二元一次方程在微积分中有着广泛的应用，例如求解空间曲线的一般方程、求解平面的一般方程等都需要用到二元一次方程。
重要性
二元一次方程在微积分中扮演着重要的角色，它是连接初等数学和高等数学的重要桥梁之一。

二元一次不等式(组)与平面区域

2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
典例导悟
类型一二元一次不等式(组)表示平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
变式训练1
如图所示的阴影部分表示的区域用二元一 )
x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x＋y－1≤0 D. x－2y＋2≥0
次不等式组表示为(
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≥0 C. x－2y＋2≤0
答案：A
类型二 [例2]
(2)不等式组的解集是x＋y≤5 ①，x－2y≥3 集的交集．
②的解
①式表示的区域是直线x＋y－5＝0左下方平面区域并且包括直线x＋y－5＝0. ②式表示的区域是直线x－2y＝3右下方平面区域并且包括直线x－2y－3＝0. 所以不等式组表示的区域是图(2)中的阴影部分(包括直线)．
【点评】画直线时容易虚实不分，若含等号应画成实线．区域容易弄反，要注意方法．
(1)2x＋y－6<0；
x＋y≤5 (2) x－2y≥3.
[分析]
解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然

高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22

4.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习40---二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第40讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点知识：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域111222112＋By 2＋C )<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0. 3．线性规划的有关概念线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方． (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b.2．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4 答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图所示．其中A (－1，－1)，B (2，－1)， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时， z min ＝－2.4．(2022·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．5.(2022·汉中质检)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________．答案14解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，B (1,0)和C (2,0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S △ABC ＝12×(2－1)×12＝14.6．(2021·成都诊断)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 2．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0,1)，D (1,0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2.3．若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 D解析作出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分表示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)，故0<a ≤1或a ≥43.感悟升华平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．考点二求目标函数的最值角度1 求线性目标函数的最值【例1】(2021·郑州模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，x －y ≥0，则目标函数z＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3 答案 C解析由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，将z ＝2x －y 变为y ＝2x －z ，当z 取最小值时，y ＝2x －z 在y 轴截距最大，由y ＝2x 图象平移可知，当y ＝2x －z 过点A 时，在y 轴截距最大，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x得A (1,1)，∴z min ＝2×1－1＝1，故选C.角度2 求非线性目标函数的最值【例2】(1)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1，则z ＝y x ＋2的取值范围是________．(2)(2022·景德镇模拟改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76 (2)45解析 (1)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B (1,2)，C⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，D (2,3)，y x ＋2的几何意义是可行域内任一点(x ，y )与点P (－2,0)连线的斜率，连接PB ，PC ，由于直线PB 的斜率为23，直线PC 的斜率为76，由图可知z ＝yx ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76. (2)画出约束条件⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝(x －1)2＋y 2，则其几何意义是区域内的点到定点(1,0)的距离的平方，由图知点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2×1－0|22＋(－1)2＝25，则z min ＝d 2＝45，所以(x －1)2＋y 2的最小值为45.角度3 求参数值或取值范围【例3】(2021·太原调研)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.感悟升华线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有： ①截距型：例如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2；③斜率型：形如z ＝y －b x －a. (2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．【训练1】(1)(2021·昆明质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，2x －y ＋3≥0，x ＋y ≤0，则y ＋4x ＋6的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 B ．[－3,1] C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－37，1(2)若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞答案 (1)B (2)C解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝y ＋4x ＋6表示可行域内的点与点P (－6，－4)连线的斜率，数形结合可知目标函数在点A(－1,1)处取得最大值为1＋4－1＋6＝1，目标函数在点B(－5，－7)处取得最小值为－7＋4－5＋6＝－3，故目标函数的取值范围是[－3,1]．故选B.(2)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足－23<－a<35，即－35<a<23时，z＝ax＋y仅在x＝y＝3时取得最大值，故选C.考点三实际生活中的线性规划问题【例4】(2022·安庆联考)某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿 4.5吨0.5万元0.4万元________万元．答案43解析设莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，一年的种植总利润为z万元．由题意可得⎩⎨⎧x ＋y ≤30，x ＋0.5y ≤25，x ≥0，y ≥0，z ＝0.5×5x ＋0.4×4.5y －(x ＋0.5y )＝1.5x ＋1.3y ，作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝1.5x ＋1.3y 经过点A 时，z 取得最大值，又⎩⎨⎧x ＋y ＝30，x ＋0.5y ＝25，解得x ＝20，y ＝10，即A (20,10)，代入z ＝1.5x ＋1.3y 可得z ＝43. 感悟升华 1.解线性规划应用题的步骤．(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题．【训练2】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元答案 C解析设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎨⎧y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)，故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．“隐性”的线性规划问题数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．近几年的高考及模拟考试中常出现一类隐性线性规划问题，即通过数量与数量的关系，抽象出线性规划问题，有时以解析几何、函数、数列为背景综合考查．【典例】如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ．812答案 B解析 f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8.由已知得：对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f ′(2)≤0，所以⎩⎨⎧m ≥0，n ≥0，m ＋2n ≤18，2m ＋n ≤12.画出可行域，如图，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0；当n ≠0时，m ＝t n.由线性规划的相关知识，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝t n相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－12，6－12n ＝t n，解得n ＝6，t ＝18.所以(mn )max ＝18.素养升华 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，本例要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m ，n ”的约束条件．2．解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义．该题立意新颖，在注意基础知识的同时，提升了数学抽象核心素养，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力．【训练】在等差数列{a n }中，已知首项a 1>0，公差d >0，a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________，取到最大值时d ＝________，a 1＝________. 答案 200 20 20解析由题意得点(a 1，d )满足⎩⎨⎧a 1>0，d >0，2a 1＋d ≤60，2a 1＋3d ≤100，画出可行域，又5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ，故经过B 点，即a 1＝d ＝20时，5a 1＋a 5取最大值200.A 级基础巩固一、选择题1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3) 答案 C解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(2021·合肥模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －3≥0，2x ＋y －3≥0，x ＋y －3≤0，则2x ＋3y 的最小值为( )A ．4B ． 5C ． 6D ．7 答案 B解析画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －3≥0，2x ＋y －3≥0，x ＋y －3≤0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，分析知，当x ＝1，y ＝1时，z 取得最小值，且z min ＝2＋3＝5.故选B.3．设点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个答案 A解析画出⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z ＝－4x ＋y 可化为y ＝4x ＋z ，∴作直线l 0：y ＝4x ，并进行平移，显然当l 0过点A (－1,1)时，z 取得最大值，z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.5．(2021·哈师大附中模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝2－2x＋y的最大值为( )A.132 B ．14 C ．12D ．2 答案 C解析由实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1作出可行域如图，则z ＝2－2x ＋y 的最大值就是u ＝－2x ＋y 的最大值时取得．联立⎩⎨⎧x －y ＝0，y ＝1，解得A (1,1)，化目标函数u ＝－2x ＋y 为y ＝2x ＋u ，由图可知，当直线y ＝2x ＋u 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值2－2＋1＝12.故选C. 6．(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④ 答案 A解析法一画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一组平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8. ∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．法二取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假． ∴①③真，②④假．7．(2019·北京卷)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．－7 B ．1 C ．5 D ．7 答案 C解析由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.8．(2021·全国大联考)设不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，2x －y ＋2≥0，x ≥1表示的平面区域为M ，则( )A ．M 的面积为92B ．M 内的点到x 轴的距离有最大值C ．点A (x ，y )在M 内时，y x ＋2<2D ．若点P (x 0，y 0)∈M ，则x 0＋y 0≠2 答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A 、B 错误；由图可知点(1,1)在可行域内，而此时x ＋y ＝1＋1＝2，故选项D 错误；yx ＋2表示区域M 内的点(x ，y )与N (－2,0)连线的斜率，由图知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋2min ＝k NB ＝13，∴yx ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，2，故选项C 正确，故选C. 二、填空题9．(2022·山西名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －2y －6≤0，x ＋y －2≥0，x －4y ＋8≥0，则z ＝x －2y 的最小值是________．答案－4解析由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，将z ＝x －2y 化为y ＝12x －z2，可知z的最小值即为y ＝12x －z 2在y 轴上截距最大时z 的取值，由图可知，当y ＝12x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －4y ＋8＝0得A (0,2)，∴z min ＝0－2×2＝－ 4.10．(2021·平顶山一模)已知O 为坐标原点，A (－1，－2)，P 为平面区域M ：⎩⎨⎧x ＋2y －2≤0，2x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0内任意一点，则OA →·OP →的最小值为________．答案－2解析由题意可得，平面区域M (如图)是由点O (0,0)，D (0,1)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23围成的四边形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得OA →·OP →＝－x －2y ，设z ＝－x －2y ，当直线z ＝－x －2y 平移到与DC 重合时，目标函数z ＝－x －2y 有最小值(此时点P 为线段DC 上任意一点)，且最小值为－2.故OA →·OP →的最小值为－2.11．(2022·昆明诊断)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y ≤15，2x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N ，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 19解析根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z ＝3x ＋2y 在点M 处取得最大值，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝12，x ＋3y ＝15得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫215，185，但M 点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5,2)满足要求，且代入得z ＝19，故最大值为19.12．已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．答案 3解析设P (x ，y )，且AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)， ∴⎩⎨⎧x ＝1＋2λ＋μ，y ＝－1＋λ＋2μ⎩⎨⎧ 3μ＝2y －x ＋3，3λ＝2x －y －3，又1≤λ≤2,0≤μ≤1， ∴⎩⎨⎧0≤x －2y ≤3，6≤2x －y ≤9表示的可行域是平行四边形及内部．如图，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的距离d ＝355.又|BN |＝ 5.∴区域D 的面积S ＝355×5＝3. B 级能力提升13．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．32 D ．2 答案 B解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.14．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元答案 B解析设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎨⎧x ，y ∈N ，2x ＋3y ≤480，z ＝2x ＋y ，6x ＋y ≤960，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整点，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N)时，z 取得最大值，为360.故该企业每月利润的最大值为360千元．15．(2021·西安模拟)已知实数x ，y 满足(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，则x 2＋y 2的最小值为________．答案95解析由(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，得 ⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋3≥0或⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋3≤0，不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，因为原点到x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2，原点到x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|0－2×0＋3|5＝35＝355<2，所以，x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝95. 16．(2021·九江联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x －3y －6≤0，2x －2y ＋1≥0，x ＋2y －1≥0，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为________．答案2811解析根据约束条件画出可行域如图中阴影部分，z ＝|x －y ＋1|＝2|x －y ＋1|2表示可行域内的点到直线x －y ＋1＝0的距离的2倍．由图可知点A 到直线x －y ＋1＝0的距离最大．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，4x －3y －6＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1511，－211，所以z max ＝2811.。

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。

本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。

一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。

二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。

二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。

要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。

二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。

1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。

在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。

2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。

解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。

三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。

1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。

而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。

2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第7章第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)续表名称意义目标函数关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A ．右上方 B.右下方 C ．左上方D ．左下方解析：选C .画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C .点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.答案：4已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为________．解析：依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.答案：7已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，最大值为3.答案： 3二元一次不等式(组)表示的平面区域 [学生用书P111][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A .32B.23 C .43D ．34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．(3)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C .(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，所以S △ABD ＝S ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43，所以m ＝1或m ＝－3，又因为当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，所以m ＝1.(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)1 (3)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法①“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．②当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．(2)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C .(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C .2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面阴影区域．因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时， 52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：73求目标函数的最值(高频考点) [学生用书P112]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，且常与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)求参数值或取值范围．[典例引领]角度一求线性目标函数的最值(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以z min ＝－5.【答案】－5角度二求非线性目标函数的最值实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．1.保持本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．2．保持本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.角度三求参数值或取值范围(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5 B.3 C ．－5或3D ．5或－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．【解析】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B .(2)画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.【答案】 (1)B (2)10(1)求目标函数的最值的三个步骤①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．②平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置．③求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． (2)常见的三类目标函数 ①截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.表示点(x ，y )与(a ，b )的距离的平方． ③斜率型：形如z ＝y －bx －a.表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．[通关练习]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m >0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1. 答案：1线性规划的实际应用问题[学生用书P113][典例引领](2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万) 甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解】 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．[注意] 在实际应用问题中，变量x ，y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用问题中，人数必须是自然数，在解题时不要忽略了这些隐含的制约条件．[通关练习]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000求目标函数最值的方法(1)求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．(2)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．由目标函数求最值的方法求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[学生用书P293(单独成册)]1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B .根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1 B.1 C ．3 D ．2解析：选C .如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1，0)．故z 的最小值为3×1－0＝3. 故选C .3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D .直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D .4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选A .法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A .法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A .211 B.14 C .12D ．34解析：选B .在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)．目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A .13 B.23 C ．1D ．2解析：选D .由选项得m >0，作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ，解得n ＝103.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大，当经过点A (3，－3)时，直线截距最小．则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足，－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。

4.1二元一次不等式(组)与平面区域

§4 简单线性规划
-1-
4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
-2-
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义.
2.能用平面区域表示二元一次不等式组,并能利用二元一次不等式(组)所表示的平面区域解决简单的实际问题.
(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0, 画出直线2x+y-3=0(画成实线),
取点(0,0),代入2x+y-3,得2×0+0-3=-3<0,
故y≤-2x+3表示的区域是直线2x+y-3=0及其左下方的平面区域,
如图②阴影部分所示.
-22-
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一画二元一次不等式表示的平面区域【例1】 (1)画出不等式3x-4y-12≥0表示的平面区域; (2)画出不等式3x+2y<0表示的平面区域. 分析:(1)先画直线,再取原点分析;(2)先画直线,再取点(1,0)分析. 解:(1)先画直线3x-4y-12=0,取原点(0,0),代入3x-4y-12,得-12<0, 所以原点不在3x-4y-12≥0表示的平面区域内,
另外，还有x 0, y 0. 综上所述，x, y应满足以下不等式组
3x 5y 150 5x 2y 200
2x 8y 160，
3x 5y 150， 5x 2 y 200，
2x 8y 160

二元一次不等式的几何意义-高中数学知识点讲解

二元一次不等式的几何意义
1．二元一次不等式的几何意义
【知识点的知识】
（1）一般地，二元一次不等式Ax+By+C＞0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0 某一侧的所有点组成的平
面区域（半平面），不包括边界直线．不等式Ax+By+C≥0 所表示的平面区域（半平面）包括边界直线．
（2）对于直线Ax+By+C＝0 同一侧的所有点（x，y），使得Ax+By+C 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax+By+C＞0（Ax+By+C＜0）；而位于另一个半平面的点，其坐标适合Ax+By+C＜0（Ax+By+C＞0）；
（3）可在直线Ax+By+C＝0 的某一侧任取一点，一般取特殊点（x0，y0），从Ax0+By0+C 的符号来判断Ax+By+C
＞0（或Ax+By+C＜0）所表示的区域；
（4）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
1/ 1。

(文)大一轮复习课件第六章不等式、推理与证明第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

解析：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y 辆，租金为z，则线性约束条件为
x＋y≤21， y－x≤7， 36x＋60y≥900， x，y∈N.
目标函数为z＝1 600x
＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．答案：C
[演练冲关]
x－y＋2≥0， 1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足x＋y－4≥0，
4x－y－4≤0.
则z＝
3x－y的取值范围为
()
A．0，152 C．2，152
B．[0,2] D．2，83
解析：画出题中的不等式组表示的平面区域 (阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值 3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B85，152(该点是直线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z＝3x－y取得最大值3× 85 － 152 ＝ 152 ，因此 z的取值范围是0，152，选A．答案：A
2．(易错题)若满足条件 xx＋－yy－≥20≤，0， y≥a
的整点(x，y)恰有9个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为 ( )
A．－3
B．－2
C．－1
解析：不等式组所表示的平面区域如图中
D．0
阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，
数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值时，要注

高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

返回
[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
返回
(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
返回
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
返回
3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
返回
对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先点到直线变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将距离型问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
返回
考法三线性规划中的参数问题

解二元一次不等式组

解二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组。

解决这类方程组需要找到满足所有不等式条件的变量取值范围。

本文将介绍解二元一次不等式组的方法和步骤。

一、二元一次不等式组的定义二元一次不等式组由两个形如ax + by ≥ c的不等式组成。

其中，a、b、c为常数，x、y为变量。

为了更好地理解，我们可以将其表示为一维坐标系中的两个直线所围成的区域。

二、解二元一次不等式组的方法解决二元一次不等式组的方法与解一元一次不等式类似。

我们可以通过图像法、代入法或消元法等方式来得到解。

1. 图像法首先，我们可以将每个不等式转化为直线，并将其表示在一维坐标系中。

然后，找出两个直线的交点，并观察交点所在的区域。

该区域即为满足所有不等式的解集。

2. 代入法代入法是指将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一个一元一次不等式。

然后，通过求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

最后，将求得的范围代入原始不等式组，检验是否满足所有条件。

3. 消元法消元法是指通过一系列运算，将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

然后，根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

最后，将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

三、解二元一次不等式组的步骤解二元一次不等式组的步骤如下：1. 将二元一次不等式组的每个不等式转化为标准形式，即ax + by ≥ c。

2. 根据需要选择合适的方法，如图像法、代入法或消元法。

3. 如果采用图像法，将每个不等式表示为直线，并在一维坐标系中画出。

找出交点所在的区域，即为解集。

4. 如果采用代入法，将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一元一次不等式。

求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

5. 如果采用消元法，通过一系列运算将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

数学公式知识：代数方程和代数方程组的几何表示

数学公式知识：代数方程和代数方程组的几何表示代数方程和代数方程组是高等数学中的重要主题，其中代数方程主要是指一次方程和二次方程，而代数方程组则是由多个方程组合而成的一组方程。

这些方程和方程组在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学中，它们可以通过几何表示来更好地理解和解决问题。

一、代数方程的几何表示1.一次方程一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a和b为常数，x为未知数。

这个方程的几何表示是一条直线。

因为方程的解x=-b/a是直线与x轴的交点，通过这个解可以将这个一次方程表示为x轴上的点，这个点对应着一条直线。

因此，一次方程的几何表示就是一条直线。

例如，方程2x+3=0的解为x=-3/2，这个解对应着x轴上的点(-3/2, 0)，因此这个方程的几何表示就是x轴上过点(-3/2, 0)的直线。

2.二次方程二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。

这个方程的几何表示是一个抛物线。

方程的解可以用公式x=[-b±(b2-4ac)1/2]/2a求得，这个公式中的根号项就是抛物线的轴的长度，轴的中点恰好是方程的解。

因此，二次方程的几何表示就是一个以轴为轴线的抛物线。

例如，方程x2-2x+1=0的解为x=1，这个解对应着抛物线上的点(1,0)，因此这个方程的几何表示就是以x=1为轴线的抛物线。

二、代数方程组的几何表示代数方程组是指多个方程组成的方程组，其中每个方程含有不止一个变量。

代数方程组的几何表示是指对应的图形。

根据方程中变量的个数和方程之间的关系不同，代数方程组的几何表示有多种形式。

1.二元一次方程组二元一次方程组是指两个二次方程组成的方程组，通常表示为：ax+by=cdx+ey=f这个方程组的几何表示是一个直线。

因为每个方程可以看作一个二元一次函数，它们的图像都是一条直线。

因此，这个方程组对应着两条直线，它们交点就是方程组的解。

例如，方程组2x+3y=1x-y=2对应的两条直线分别是2x+3y=1和x-y=2，它们的交点是(1, -1)，因此这个方程组的解是(x, y)=(1, -1)。

你知道二元一次方程的几何意义吗？

你知道二元一次方程的几何意义吗？像2x ＋y=10，x-y=5，3x ＋4y=13这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，这是同学们都已经知道的．由于二元一次方程比一元一次方程多了一个未知数，所以它的解也与一元一次方程不同，一元一次方程的解是一个数，而二元一次方程的解是一对数；一元一次方程的解是唯一的，而二元一次方程的解却有无数多组．例如，方程2x+y=10的解就有等等．所以，任何一个二元一次方程都有无数多组解，我们把方程所有解组成的集合叫做方程的解．以上所述，我们称为二元一次方程的代数意义．我们又知道，形如y=kx ＋b(k ≠0)的函数称为一次函数，它的图象是一条直线．例如y=3x ，y=-2x+1都是一次函数．我们只要仔细对照，前面所举的二元一次方程，如果加以变形，都可以化成一次函数的形式．如2x ＋y=10可以化为y=-2x ＋10；x-y=5可以化为y=x-5；3x ＋4y 可以化为313y x 44=-+等等。

同样，一次函数y=3x 可以化为二元一次方程3x-y=0，y=-2x ＋1可以化为2x ＋y=1．所以，一次函数解析式实际上是二元一次方程的另一种表达形式．因此，一次函数的图象就是二元一次方程的几何表达形式．同样可知，二元一次方程组是否有解，它的几何意义，实质上是两条直线是否相交．例：对于k 、m 的哪些值，放程组y kx+m y=(2k-1)x+4=⎧⎨⎩有唯一解，无数组解或无解？当k=1时，且m=4时，方程③的解为一切实数，此时方程组有无数多组解；当k=1，且m≠4时，方程③无解，即方程组无解．其实，该题的几何意义是：当k≠1时，①、②所表示的两条直线不平行，必有一交点，该交点的坐标就是方程组的唯一解；当k=1且m=4时，①、②所表示的两直线重合，因而直线上任何点的坐标都是方程组的解；当k=1，且m≠4时，①、②所表示的两条直线平行，所以没有交点，因而方程组无解．。

线性规划最值问题

1
C 1,1
1
0
x1
x
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (1)设z=4x-3y,求z的最大值； y (2)设z= ，求z的最小值；
x
y
5
22 A 1, 5
y y0 ( 2) z x x0 z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率。
y1 (其中k为小于零的常数)时，的最小值为2， x
能力提升
则实数k的值是________． -3
解析：不等式组所表示的可行域如图所示，点P(x，y)为可行域内的点时
k 1 y1 3 有＝kBP≥kBA＝＝2， x k 3 解得k＝－3.
一个半平面内的点的坐标适合不等式 Ax＋By＋C＞0 , 而另一个半平面内的点的坐标适合不等式Ax＋By＋C＜0 , 即直线Ax＋By＋C＝0划分平面所成两个半平面的点,分别由不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C＜0决定.因此, 如同前面所学平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样,半平面就是二元一次不等式的几何表示．
B 5,2
1
C 1,1
1
观察可知zmin kOB
x
2 5
0
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (3)设z= x 2 y 2 ,求z的取值范围.
( 3) z x 2 y 2的几何意义是可行域中的点到原点 O
基础自查
(2)判断不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域,可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax＋By＋C 的符号的正负．当C≠0时，常选用原点． 2．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中，表示平面区域，直线l应画成虚线，画不等式 Ax＋By＋C≥0所表示的区域时,应把边界画成实线．

算数几何不等式

算数几何不等式一、算数不等式算数不等式是数学中常见的一种表达形式，它以不等于号“≠”、“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号来表示两个数之间的大小关系。

算数不等式在解决实际问题中起到重要的作用。

1.1 一元一次不等式一元一次不等式是一种常见的算数不等式，它的形式为ax+b>c，其中a、b和c为已知的实数，x为未知数。

解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

例如，对于不等式2x+3>7，首先将不等式转化为等价的形式，即2x>4。

然后将x的取值范围确定为x>2，即x的取值大于2。

1.2 一元二次不等式一元二次不等式是一种稍复杂的算数不等式，它的形式为ax^2+bx+c>d，其中a、b、c和d为已知的实数，x为未知数。

解一元二次不等式的关键是确定x的取值范围。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，可以将其转化为(x-1)(x-3)>0的形式。

根据乘积的性质，当(x-1)(x-3)>0时，要么x-1>0且x-3>0，要么x-1<0且x-3<0。

因此，x的取值范围为1<x<3。

二、几何不等式几何不等式是数学中与图形相关的不等式，它描述了图形的性质和关系。

几何不等式常用于证明几何定理和解决几何问题。

2.1 三角形不等式三角形不等式是描述三角形边长关系的不等式，它的一般形式为a+b>c，其中a、b和c为三角形的边长。

三角形不等式的一个重要性质是，任意两边之和大于第三边。

例如，对于一个三角形，其中两边的长度分别为5和7，那么根据三角形不等式，第三边的长度必须满足5+7>第三边，即12>第三边。

2.2 正方形不等式正方形不等式是描述正方形边长和对角线关系的不等式，它的一般形式为2s>d，其中s为正方形的边长，d为正方形的对角线长度。

例如，对于一个正方形，边长为5，那么根据正方形不等式，对角线的长度必须满足2*5>对角线，即10>对角线。